专项突破2 解直角三角形常见的数学模型-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·37　 · 专项突破二　 解直角三角形常见的数学模型 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类型一　 单一三角形 1. 如图,在离高楼 200 m 的 A 处,用测倾仪测得楼顶的仰角为 α,测倾仪的高 AD 为 1. 5 m,则高楼的高 BC 为 (　 　 ) A. (1. 5+200sinα)m B. (1. 5+200cosα)m C. (1. 5+200tanα)m D. 1. 5+ 200 tanα( ) m 2. 知识小提示:要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角 α 一般要满足 53°≤α≤72°. 如图,现有一架长 4 m 的梯子 AB 斜靠在一竖直的墙 AO 上. (参考数据:sin 53°≈0. 80, cos 53 °≈0. 60,tan 53°≈1. 33,sin 72°≈0. 95,cos 72°≈0. 31,tan 72°≈3. 08,sin 66°≈0. 91,cos 66°≈ 0. 41,tan 66°≈2. 25) (1)当人安全使用这架梯子时,求梯子顶端 A 与地面的距离的最大值; (2)当梯子底端 B 距离墙面 1. 64 m 时,∠ABO 等于多少度? 并判断此时人是否能安全使用这架 梯子? 类型二　 背靠背型 3. 如图,一段路基的横断面是梯形 ABCD,高 DE= 4 m,上底宽 DC= 12. 51 m,路基的坡面与地面的倾角 ∠A= 32°,∠B= 28°. 求路基下底的宽 AB. (结果精确到 0. 1 米,参考数据:sin 32°≈0. 53,cos 32°≈ 0. 85,tan 32°≈0. 62,sin 28°≈0. 47,cos 28°≈0. 88,tan 28°≈0. 53) 4. 小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度. 他站在湖边看台上,清晰地看到小山倒映在平静的湖水 中,如图所示,他在点 O 处测得小山顶端的仰角为 45°,小山顶端 A 在水中倒影 A′的俯角为 60°. 已知 点 O 到湖面的距离 OD= 3 m,OD⊥DB,AB⊥DB,A,B,A′三点共线,A′B=AB. 求小山的高度 AB. (光线 的折射忽略不计,结果保留根号) 类型三　 母抱子型 5. (新素材·传统文化)圭表(如图 1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器, 它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为 “圭”),当正午太阳照射在表上时,日影便会投影在圭面上,圭面上日影长度最长的那一天定为冬 至,日影长度最短的那一天定为夏至. 图 2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图,表 AC 垂直于圭 BC,已知该市冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为 37°,夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为 84°,圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即 DB 的长)为 4 m. 求:(1)∠BAD 的度数; (2)表 AC 的长. (结果精确到 0. 1 米,参考数据:sin 37°≈ 3 5 ,cos 37°≈ 4 5 ,tan 37°≈ 3 4 ,tan 84°≈19 2 ) 图 1 　 　 图 2 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6. (新情境·项目式学习)为传承运河文明,弘扬民族精神,枣庄市政府重建了台儿庄古城. 某校“综合 与实践”小组开展了测量台儿庄古城城门楼(如图 1)高度的实践活动,请你帮他们完成下面的实践 报告. 测量台儿庄古城城门楼高度的实践报告 活动课题 测量台儿庄古城城门楼高度 活动目的 运用三角函数知识解决实际问题 活动工具 测角仪、皮尺等测量工具 方案示意图 图 1 　 图 2 测量 步骤 如图 2: (1)利用测角仪站在 B 处测得城门楼最 高点 P 的仰角为 39°; (2)前进了 10 m 到达 A 处(选择测点 A, B 与 O 在同一水平线上,A,B 两点之间 的距离可直接测得,测角仪高度忽略不 计),在 A 处测得 P 点的仰角为 56° 参考数据 sin 39°≈0. 6,cos 39°≈0. 8,tan 39°≈0. 8,sin 56°≈0. 8,cos 56°≈0. 6,tan 56°≈1. 5 计算城门楼 PO 的高度 (结果保留 整数) 类型四　 交叉型 7. 某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示,在配重点 E 处测得塔帽 A 的仰角为 30°,在点 E 的正下方 23 m 的点 D 处测得塔帽 A 的仰角为 53°. 请你依据相关数据,计算塔帽与地面的距离 AC 的高度. (计算结果精确到 1 m,参考数据: 3 ≈1. 73,sin 53°≈0. 80,cos 53°≈0. 60,tan 53°≈ 4 3 ) 　 　 8. 数学活动小组欲测量山坡上一棵大树 CD 的高度,如图,DC⊥AM 于点 E,在 A 处测得大树底端 C 的 仰角为 15°,沿水平地面前进 30 m 到达 B 处,测得大树顶端 D 的仰角为 53°,山坡坡角∠CBM = 30° (图中各点均在同一平面内) . 求:(1)斜坡 BC 的长; (2)这棵大树 CD 的高度. (结果取整数,参考数据:sin 53°≈ 4 5 ,cos 53°≈ 3 5 ,tan 53°≈ 4 3 , 3 ≈1. 73 ) 类型五　 斜截型 9. 如图,若要在宽 AD 为 20 m 的城南大道两边安装路灯,路灯的灯臂 BC 长 2 m,且与灯柱 AB 成 120° 角,路灯采用圆锥形灯罩,灯罩的轴线 CO 与灯臂 BC 垂直. 当灯罩的轴线 CO 通过公路路面的中心线 时照明效果最好,此时,路灯的灯柱 AB 应该设计为多少米? (结果保留根号) · 38·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 ∴ 在 Rt△CEF 中,sin 45° =CF CE = 2 2 . ∴ CF CE =CA CB . ∵ ∠FCE= ∠ACB= 45°, ∴ ∠FCE-∠ACE = ∠ACB-∠ACE,即∠FCA = ∠ECB. ∴ △ACF∽△BCE. ∴ AC BC = AF BE = 2 2 . ∴ BE= 2AF 2 = 2AF. ∴ 线段 BE 与 AF 的数量关系无变化. (3)当点 E 在线段 BF 上时,如图 1. ∵ AB=AC= 2,∠BAC= 90°, ∴ BC= AB2 +AC2 = 2 2 . ∵ CDEF 是正方形,∴ CF=EF=CD,∠ADC= 90°. ∴ CD= 1 2 BC= 2 . ∴ CF=EF=CD= 2 . 在 Rt△BCF 中,CF= 2 ,BC= 2 2 , 根据勾股定理,得 BF= 6 . ∴ BE=BF-EF= 6 - 2 . 由(2)知 BE= 2AF. ∴ AF= 6 - 2 2 = 3 -1. 图 1 　 　 图 2 当点 E 在线段 BF 的延长线上时,如图 2. 同理可得 BE=BF+EF= 6 + 2 . 由(2)知 BE= 2AF. ∴ AF= 6 + 2 2 = 3 +1. 综上所述,线段 AF 的长为 3 -1 或 3 +1. 专项突破二　 解直角三角形常见的数学模型 1. C　 【解析】如图,过点 A 作 AE⊥ BC,垂足为 E,则 EC = AD = 1. 5 m, AE = DC = 200 m. 在 Rt△ABE 中, BE=AE·tanα= 200tanα m. ∴ BC= EC+BE=(1. 5+200tanα)m. ∴ 高楼 的高 BC 为(1. 5+200tanα)m. 故选 C. 2.解:(1)∵ 53°≤α≤72°,∴ 当 α= 72°时,AO 取最大值. 在 Rt△AOB 中,sin∠ABO=AO AB , ∴ AO=AB·sin∠ABO= 4×sin 72°≈4×0. 95= 3. 8(m) . ∴ 梯子顶端 A 与地面的距离的最大值约为 3. 8 m. (2)在 Rt△AOB 中,cos∠ABO=BO AB = 1. 64 4 = 0. 41. ∵ cos 66°≈0. 41,∴ ∠ABO= 66°. ∵ 53°≤α≤72°, ∴ 人能安全使用这架梯子. 3.解:如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F. ∴ ∠CFB= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是梯形,高 DE = 4 m, 上底宽 DC = 12. 51 m,下底为 AB, ∴ DC∥AB,DE∥CF. ∴ 四边形 DEFC 为矩形. ∴ CF=DE= 4 m,EF=DC= 12. 51 m. 在 Rt△ADE 中,tan 32° =DE AE ≈0. 62, ∴ AE= 4 0. 62 ≈6. 45(m) . 在 Rt△BCF 中,tan 28° =CF BF ≈0. 53, ∴ BF= 4 0. 53 ≈7. 55(m) . ∴ AB=AE+EF+FB= 6. 45+12. 51+7. 55≈26. 5(m) . ∴ 路基下底的宽 AB 约为 26. 5 m. 4.解:如图,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,则 BE=OD= 3 m. 设 AE= x m,则 AB= (x+3)m,A′E= (x+6)m. ∵ ∠AOE= 45°, ∴ OE=AE= x m. ∵ ∠A′OE= 60°, ∴ tan 60° =A′E OE = 3 ,即x +6 x = 3 . 解得 x= 3+3 3 . ∴ AB= 3+3 3 +3 = (6+3 3 )m. ∴ 小山的高度 AB 为(6+3 3 )m. 5.解:(1)∵ ∠ADC= 84°,∠ABC= 37°, ∴ ∠BAD= ∠ADC-∠ABC= 47°. ∴ ∠BAD 的度数是 47°. (2)在 Rt△ABC 中,tan 37° = AC BC ,∴ BC= AC tan 37° . 在 Rt△ADC 中,tan 84° = AC CD ,∴ DC= AC tan 84° . ∵ DB= 4 m,∴ BC-DC= AC tan 37° - AC tan 84° = 4. ∴ 4 3 AC- 2 19 AC≈4. ∴ AC≈3. 3 m. ∴ 表 AC 的长约是 3. 3 m. 6.解:设 OA= x m,则 OB= (x+10)m. 在 Rt△AOP 中,tan∠OAP=PO OA = tan 56°≈1. 5, ∴ PO= 1. 5OA= 1. 5x(m) . 在 Rt△BOP 中,tan∠OBP=PO OB = tan 39°≈0. 8, ∴ PO= 0. 8OB= 0. 8(x+10)m. ∴ 1. 5x= 0. 8(x+10) . 解得 x= 80 7 . ∴ PO= 1. 5x= 1. 5×80 7 ≈17(m) . ∴ 城门楼 PO 的高度约为 17 m. 7.解:由题意,得 ED⊥CD,EB⊥AC,DC⊥AC,DE= 23 m. ∴ ∠ABE= ∠CBE= ∠C= ∠CDE= 90°. ∴ 四边形 BCDE 是矩形. ∴ BE=CD,BC=DE= 23 m. ∵ ∠AEB= 30°,∴ tan 30° = AB BE . ∴ BE= AB tan 30° = 3AB. 在 Rt△ACD 中,tan∠ADC= AC CD = tan 53°≈ 4 3 , ∴ AC= 4 3 CD. 设 AB= x m,则 CD=BE= 3 x m,AC= 4 3 3 x m. ∵ BC=AC-AB= 23 m, ∴ 4 3 3 x-x= 23. 解得 x= 23(4 3 +3) 13 ≈17. 6. ∴ AC=AB+BC= 17. 6+23≈41(m) . ∴ 塔帽与地面的距离 AC 的高度约为 41 m. 8.解:(1)由题意,得∠CAE= 15°,AB= 30 m. ∵ ∠CBE 是△ABC 的一个外角, ∴ ∠ACB= ∠CBE-∠CAE= 15°. ∴ ∠ACB= ∠CAE= 15°. ∴ AB=BC= 30 m. ∴ 斜坡 BC 的长为 30 m. (2)在 Rt△CBE 中,∠CBE= 30°,BC= 30 m, ∴ CE= 1 2 BC= 15 m,BE=BC·cos 30° = 15 3 m. 在 Rt△DEB 中,∠DBE= 53°,tan∠DBE=DE BE , ∴ DE=BE·tan 53°≈15 3 × 4 3 = 20 3 (m) . ∴ CD=DE-CE= 20 3 -15≈20(m) . ∴ 这棵大树 CD 的高度约为 20 m. 9.解:如图,延长 OC,交 AB 的延长线于点 P. ∵ ∠ABC= 120°, ∴ ∠PBC= 60°. ∵ ∠OCB= 90°, ∴ ∠P= 30°. ∵ AD= 20 m, ∴ OA= 1 2 AD= 10 m. 在 Rt△CPB 中,∵ BC= 2 m,∠P= 30°, ∴ PB= 2BC= 4 m. 在 Rt△OAP 中,∠P= 30°,tan 30° =OA PA , ∴ PA= OA tan 30° = 3OA= 10 3 (m) . ∴ AB=PA-PB= (10 3 -4)m. ∴ 路灯的灯柱 AB 应该设计为(10 3 -4)m. 专项突破三　 圆中常见的辅助线归类 1. C　 【解析】如图,过点 O 作 OH⊥CD 于点 H,连接 OC. ∵ OH⊥CD,∴ CH= DH. ∵ AP = 2, BP = 6, ∴ AB = 8. ∴ OA= 4. ∴ OP = OA - AP = 2. 在 Rt△OPH 中, ∵ ∠OPH = ∠APC = 30°,∴ OH= 1 2 OP = 1. 在 Rt△OHC 中,∵ OC= 4,OH = 1, ∴ CH= OC2 -OH2 = 15 . ∴ CD= 2CH= 2 15 . 故选 C. 2. D　 【解析】如图,延长 AO 交 BC 于点 D, 过点 O 作 OE⊥BC 于点 E,则 BC = 2BE. ∵ ∠A = ∠B = 60°, ∴ ∠ADB = 60°. ∴ △ADB 为等边三角形. ∴ BD=AD=AB= 12. ∴ OD = 4. ∵ ∠ADB = 60°,∠DOE = 30°,∴ DE=OD·cos 60° = 1 2 OD = 2. ∴ BE = 10. ∴ BC = 2BE= 20. 故选 D. 3. B　 【解析】如图,连接 OB,OC,过点 O 作 OG⊥BC 于点 G. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形, ∴ ∠BOC = 360° 6 = 60°. ∵ OB=OC,OG⊥BC,∴ ∠BOG = 30°. ∵ OB = OC,∠BOC = 60°, ∴ △BOC 是 等 边 三 角 形. ∴ BC = OB = 1. 在 Rt△BOG 中,cos 30° = OG OB ,∴ OG = OB· cos 30° = 3 2 . ∴ S正六边形ABCDEF =6× 1 2 ×1× 3 2 = 3 3 2 . ∴ π×12 = 3 3 2 . ∴ π = 3 3 2 . 故选 B. 4. 解:如图,连接 OA,过点 O 作 OD⊥ AB 于点 D,则 AB= 2AD. ∵ 小钢球的直径为 10 mm, ∴ 小钢球的半径是 5 mm,即 OA = 5 mm. ∵ 小钢球顶端离孔道外端的距离为 8 mm, ∴ OD= 3 mm. 在 Rt△AOD 中,∵ AD= OA2 -OD2 = 52 -32 = 4(mm), ∴ AB= 2AD= 2×4 = 8(mm) . ∴ 这个孔道的直径 AB 是 8 mm. 5. 解:如图,过点 O 作 OM⊥CD 于点 M,过点 O 作 ON⊥AB 于点 N. 连接 OA,OD. ∴ CM=DM= 1 2 CD,AN=BN= 1 2 AB. ∵ CP= 2,PD= 6,∴ CD= 2+6 = 8. ∴ CM=DM= 4. ∴ PM=CM-CP= 4-2 = 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 70·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册