专项突破1 相似三角形的基本模型-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·69　 · 设直线 BA′的函数表达式为 y= kx+b. 把 A′(6,4),B(1,0)代入, 得 4 = 6k+b, 0 = k+b.{ 解得 k= 4 5 , b= - 4 5 . ì î í ï ï ï ï ∴ 直线 BA′的函数表达式为 y= 4 5 x- 4 5 . ∵ 点 P 的横坐标为 3, ∴ y= 4 5 ×3- 4 5 = 8 5 . ∴ 点 P 的坐标为 (3, 85 ) . (3)在直线 AC 下方的抛物线上存在一点 N,使△NAC 的面积最大. 设点 N 的横坐标为 t,此时点 N 的坐标为 ( t, 45 t 2 -24 5 t+ 4 ) (0<t<5) . 如图 2,过点 N 作 NG∥y 轴交 AC 于点 G,交 x 轴于点 F,过点 A 作 AD⊥NG 交 NG 的延长线于点 D. 图 2 由 A(0,4) 和 C(5,0) 可求出直线 AC 的函数表达式 为 y= - 4 5 x+4. 把 x= t 代入, 得 y= - 4 5 t+4. 则点 G 的坐标为 ( t,- 45 t+4 ) . 此时 NG= - 4 5 t+4- ( 45 t 2 -24 5 t+4 ) = - 45 t 2 +4t. ∵ AD+CF=CO= 5, ∴ S△NAC = S△ANG + S△CGN = 1 2 AD · NG + 1 2 CF · NG = 1 2 NG·OC= 1 2 × ( - 45 t 2 + 4t ) × 5 = - 2t2 + 10t = -2 ( t- 5 2 ) 2 +25 2 . ∴ 当 t= 5 2 时,△NAC 的面积最大. 由 t= 5 2 ,得 y= 4 5 t2 -24 5 t+4 = -3. ∴ 点 N 的坐标为 ( 52 ,-3 ) . 专项突破一　 相似三角形的基本模型 1. C 2. B　 【解析】由题意,得 AB⊥BP,EF⊥BP. ∴ ∠ABP = ∠EFP = 90°. ∵ ∠EPF = ∠APB, ∴ △EFP ∽ △ABP. ∴ EF AB =PF PB =PE PA . 故选 B. 3.解:(1)∵ DE∥BC,∴ AD AB =AE AC . 又∵ AD ∶ AB= 1 ∶ 3,AE= 3,∴ 1 3 = 3 AC . ∴ AC= 9. ∴ EC=AC-AE= 9-3 = 6. (2)证明:∵ DE∥BC,EF∥CG, ∴ AD AB =AE AC =AF AG . ∴ AD·AG=AF·AB. 4.证明:∵ AB∥EF,∴ EF AB =DF DB . ∵ EF∥CD,∴ EF CD =BF BD . ∴ EF AB +EF CD =DF DB +BF BD = 1. ∴ 1 AB + 1 CD = 1 EF . 5. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥CD,AB= CD. ∴ ∠FAB = ∠FED. ∵ ∠AFB = ∠EFD, ∴ △DEF ∽ △BAF. ∵ S△DEF ∶ S△ABF = 4 ∶ 25,∴ DE ∶ AB = 2 ∶ 5. ∵ AB = CD,∴ DE ∶ EC= 2 ∶ 3. 故选 C. 6. C　 【解析】∵ AB∥A′B′,∴ △ABO∽△A′B′O. ∴ AB A′B′ = 60 90 ,即AB 36 = 60 90 . ∴ AB= 24 mm. 故选 C. 7.解:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB∥CD,AB=CD,AD∥BC,AD=BC. ∴ △EAF∽△CDF. ∴ AE DC = AF DF =AE AB = 1 2 . ∴ AD DF = 3 2 =BC DF . ∵ AD∥BC,∴ △FDG∽△CBG. ∴ FG CG =DF BC = 2 3 ,即 FG ∶ CG= 2 ∶ 3. 8. C　 9. (1)证明:∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°. ∴ ∠B+∠BAD= 90°. ∵ AC 为☉O 的切线,∴ BA⊥AC. ∴ ∠BAC= 90°,即∠BAD+∠CAD= 90°. ∴ ∠B= ∠CAD. ∵ OB=OD,∴ ∠B= ∠ODB. ∵ ∠ODB= ∠CDE, ∴ ∠B= ∠CDE. ∴ ∠CDE= ∠CAD. ∵ ∠ECD= ∠DCA,∴ △CDE∽△CAD. (2)解:∵ AB= 2,∴ OA= 1. 在 Rt△AOC 中,AC= 2 2 ,∴ OC= OA2 +AC2 = 3. ∴ CD=OC-OD= 3-1 = 2. ∵ △CDE∽△CAD, ∴ CD CA =CE CD ,即 2 2 2 =CE 2 . ∴ CE= 2 . 10.解:(1) AE DE (2)①证明:∵ AB=AC,∴ ∠B= ∠C. ∵ ∠APC= ∠B+∠BAP,∠APC = ∠APD+∠CPD,∠APD = ∠B,∴ ∠BAP= ∠CPD. ∵ ∠B= ∠C,∴ △ABP∽△PCD. ②∵ BC= 12,P 为 BC 的中点,∴ BP=PC= 1 2 BC= 6. ∵ △ABP∽△PCD, ∴ AB PC =BP CD ,即10 6 = 6 CD . 解得 CD= 3. 6. (3)当 PA=PD 时,△ABP≌△PCD. ∴ PC=AB= 10. ∴ BP=BC-PC= 12-10 = 2. 当 AP=AD 时,∠ADP= ∠APD. ∵ ∠APD= ∠B= ∠C, ∴ ∠ADP= ∠C. 不符合题意. ∴ AP≠AD. 当 DA=DP 时,∠DAP= ∠APD= ∠B. ∵ ∠C= ∠C,∴ △BCA∽△ACP. ∴ BC AC = AC PC ,即12 10 = 10 CP . 解得 CP= 25 3 . ∴ BP=BC-CP= 12-25 3 = 11 3 . 综上所述,BP 的长为 2 或11 3 . 11. (1)证明:在△ABC 中,∵ ∠BAC= 90°,AB=AC, ∴ ∠B= ∠C= 45°. ∵ ∠B+∠BPE+∠BEP= 180°, ∴ ∠BPE+∠BEP= 135°. ∵ ∠EPF= 45°,∠BPE+∠EPF+∠CPF= 180°, ∴ ∠BPE+∠CPF= 135°. ∴ ∠BEP= ∠CPF. ∵ ∠B= ∠C,∴ △BPE∽△CFP. (2)解:△BPE 和△CFP 仍然相似. (3)解:△BPE 与△PFE 不相似. 动点 P 运动到 BC 的 中点时,△BPE 与△PFE 相似. 理由如下: 同(1),可证△BPE∽△CFP. 得 BE CP =PE PF . ∵ CP=BP, ∴ BE BP =PE PF ,即BE PE =BP PF . 又∵ ∠EBP= ∠EPF,∴ △BPE∽△PFE. 12.解:(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE. (2)①△ABC∽△ADE. 理由如下: ∵ ∠BAD= ∠CAE, ∴ ∠BAD +∠DAC=∠CAE+∠DAC,即∠BAC=∠DAE. 又∵ ∠ABC= ∠ADE,∴ △ABC∽△ADE. ②△ABD∽△ACE. 理由如下: ∵ △ABC∽△ADE,∴ AB AD =AC AE ,即AB AC =AD AE . 又∵ ∠BAD= ∠CAE,∴ △ABD∽△ACE. 13.解:(1) 2 　 45 (2)结论:CE BD 和 β 的大小无变化. 证明:如图,延长 CE 交 AB 于点 O,交 BD 于点 K. ∵ D,E 分别是边 AB,AC 的中点, ∴ AD= 1 2 AB,AE= 1 2 AC. ∵ ∠ABC= 90°,AB=BC,∴ AC= 2AB. ∴ AE= 2 2 AB= 2 2 ×2AD= 2AD. ∴ AE AD =AC AB = 2 . ∴ AE AC =AD AB ,即AB AC =AD AE . ∵ ∠DAE= ∠BAC,∴ ∠EAC= ∠DAB. ∴ △DAB∽△EAC. ∴ AB AC =DB EC = 2 2 ,∠ABD= ∠ACE. ∵ ∠BOK= ∠AOC, ∴ ∠BKO= ∠CAO= 45°. ∴ β= 45°. ∴ CE BD 和 β 的大小无变化. (3)当点 E 在线段 AB 上时, ∵ ∠CAE= ∠AED= 45°, ∴ DE∥AC. ∵ AC= 2AB,AB= 4,∴ AC= 4 2 . ∴ AE= 1 2 AC= 2 2 . ∴ S△CBE = 1 2 ×4×(4-2 2 )= 8-4 2 . 当点 E 在线段 BA 的延长线上时, ∵ ∠DAC= 180°-∠DAE-∠BAC = 180°-45°-45° = 90°, ∠ADE= 90°, ∴ ∠DAC= ∠ADE. ∴ DE∥AC. ∴ S△CBE = 1 2 ×4×(4+2 2 )= 8+4 2 . 综上所述,△CBE 的面积为 8-4 2或 8+4 2 . 14.解:(1)BE= 2AF (2)线段 BE 与 AF 的数量关系无变化. 证明:在 Rt△ABC 中,AB=AC= 2, ∴ ∠ABC= ∠ACB= 45°. ∴ sin 45° =CA CB = 2 2 . 在正方形 CDEF 中,∠FEC= 1 2 ∠FED= 45°. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ∴ 在 Rt△CEF 中,sin 45° =CF CE = 2 2 . ∴ CF CE =CA CB . ∵ ∠FCE= ∠ACB= 45°, ∴ ∠FCE-∠ACE = ∠ACB-∠ACE,即∠FCA = ∠ECB. ∴ △ACF∽△BCE. ∴ AC BC = AF BE = 2 2 . ∴ BE= 2AF 2 = 2AF. ∴ 线段 BE 与 AF 的数量关系无变化. (3)当点 E 在线段 BF 上时,如图 1. ∵ AB=AC= 2,∠BAC= 90°, ∴ BC= AB2 +AC2 = 2 2 . ∵ CDEF 是正方形,∴ CF=EF=CD,∠ADC= 90°. ∴ CD= 1 2 BC= 2 . ∴ CF=EF=CD= 2 . 在 Rt△BCF 中,CF= 2 ,BC= 2 2 , 根据勾股定理,得 BF= 6 . ∴ BE=BF-EF= 6 - 2 . 由(2)知 BE= 2AF. ∴ AF= 6 - 2 2 = 3 -1. 图 1 　 　 图 2 当点 E 在线段 BF 的延长线上时,如图 2. 同理可得 BE=BF+EF= 6 + 2 . 由(2)知 BE= 2AF. ∴ AF= 6 + 2 2 = 3 +1. 综上所述,线段 AF 的长为 3 -1 或 3 +1. 专项突破二　 解直角三角形常见的数学模型 1. C　 【解析】如图,过点 A 作 AE⊥ BC,垂足为 E,则 EC = AD = 1. 5 m, AE = DC = 200 m. 在 Rt△ABE 中, BE=AE·tanα= 200tanα m. ∴ BC= EC+BE=(1. 5+200tanα)m. ∴ 高楼 的高 BC 为(1. 5+200tanα)m. 故选 C. 2.解:(1)∵ 53°≤α≤72°,∴ 当 α= 72°时,AO 取最大值. 在 Rt△AOB 中,sin∠ABO=AO AB , ∴ AO=AB·sin∠ABO= 4×sin 72°≈4×0. 95= 3. 8(m) . ∴ 梯子顶端 A 与地面的距离的最大值约为 3. 8 m. (2)在 Rt△AOB 中,cos∠ABO=BO AB = 1. 64 4 = 0. 41. ∵ cos 66°≈0. 41,∴ ∠ABO= 66°. ∵ 53°≤α≤72°, ∴ 人能安全使用这架梯子. 3.解:如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F. ∴ ∠CFB= 90°. ∵ 四边形 ABCD 是梯形,高 DE = 4 m, 上底宽 DC = 12. 51 m,下底为 AB, ∴ DC∥AB,DE∥CF. ∴ 四边形 DEFC 为矩形. ∴ CF=DE= 4 m,EF=DC= 12. 51 m. 在 Rt△ADE 中,tan 32° =DE AE ≈0. 62, ∴ AE= 4 0. 62 ≈6. 45(m) . 在 Rt△BCF 中,tan 28° =CF BF ≈0. 53, ∴ BF= 4 0. 53 ≈7. 55(m) . ∴ AB=AE+EF+FB= 6. 45+12. 51+7. 55≈26. 5(m) . ∴ 路基下底的宽 AB 约为 26. 5 m. 4.解:如图,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E,则 BE=OD= 3 m. 设 AE= x m,则 AB= (x+3)m,A′E= (x+6)m. ∵ ∠AOE= 45°, ∴ OE=AE= x m. ∵ ∠A′OE= 60°, ∴ tan 60° =A′E OE = 3 ,即x +6 x = 3 . 解得 x= 3+3 3 . ∴ AB= 3+3 3 +3 = (6+3 3 )m. ∴ 小山的高度 AB 为(6+3 3 )m. 5.解:(1)∵ ∠ADC= 84°,∠ABC= 37°, ∴ ∠BAD= ∠ADC-∠ABC= 47°. ∴ ∠BAD 的度数是 47°. (2)在 Rt△ABC 中,tan 37° = AC BC ,∴ BC= AC tan 37° . 在 Rt△ADC 中,tan 84° = AC CD ,∴ DC= AC tan 84° . ∵ DB= 4 m,∴ BC-DC= AC tan 37° - AC tan 84° = 4. ∴ 4 3 AC- 2 19 AC≈4. ∴ AC≈3. 3 m. ∴ 表 AC 的长约是 3. 3 m. 6.解:设 OA= x m,则 OB= (x+10)m. 在 Rt△AOP 中,tan∠OAP=PO OA = tan 56°≈1. 5, ∴ PO= 1. 5OA= 1. 5x(m) . 在 Rt△BOP 中,tan∠OBP=PO OB = tan 39°≈0. 8, ∴ PO= 0. 8OB= 0. 8(x+10)m. ∴ 1. 5x= 0. 8(x+10) . 解得 x= 80 7 . ∴ PO= 1. 5x= 1. 5×80 7 ≈17(m) . ∴ 城门楼 PO 的高度约为 17 m. 7.解:由题意,得 ED⊥CD,EB⊥AC,DC⊥AC,DE= 23 m. ∴ ∠ABE= ∠CBE= ∠C= ∠CDE= 90°. ∴ 四边形 BCDE 是矩形. ∴ BE=CD,BC=DE= 23 m. ∵ ∠AEB= 30°,∴ tan 30° = AB BE . ∴ BE= AB tan 30° = 3AB. 在 Rt△ACD 中,tan∠ADC= AC CD = tan 53°≈ 4 3 , ∴ AC= 4 3 CD. 设 AB= x m,则 CD=BE= 3 x m,AC= 4 3 3 x m. ∵ BC=AC-AB= 23 m, ∴ 4 3 3 x-x= 23. 解得 x= 23(4 3 +3) 13 ≈17. 6. ∴ AC=AB+BC= 17. 6+23≈41(m) . ∴ 塔帽与地面的距离 AC 的高度约为 41 m. 8.解:(1)由题意,得∠CAE= 15°,AB= 30 m. ∵ ∠CBE 是△ABC 的一个外角, ∴ ∠ACB= ∠CBE-∠CAE= 15°. ∴ ∠ACB= ∠CAE= 15°. ∴ AB=BC= 30 m. ∴ 斜坡 BC 的长为 30 m. (2)在 Rt△CBE 中,∠CBE= 30°,BC= 30 m, ∴ CE= 1 2 BC= 15 m,BE=BC·cos 30° = 15 3 m. 在 Rt△DEB 中,∠DBE= 53°,tan∠DBE=DE BE , ∴ DE=BE·tan 53°≈15 3 × 4 3 = 20 3 (m) . ∴ CD=DE-CE= 20 3 -15≈20(m) . ∴ 这棵大树 CD 的高度约为 20 m. 9.解:如图,延长 OC,交 AB 的延长线于点 P. ∵ ∠ABC= 120°, ∴ ∠PBC= 60°. ∵ ∠OCB= 90°, ∴ ∠P= 30°. ∵ AD= 20 m, ∴ OA= 1 2 AD= 10 m. 在 Rt△CPB 中,∵ BC= 2 m,∠P= 30°, ∴ PB= 2BC= 4 m. 在 Rt△OAP 中,∠P= 30°,tan 30° =OA PA , ∴ PA= OA tan 30° = 3OA= 10 3 (m) . ∴ AB=PA-PB= (10 3 -4)m. ∴ 路灯的灯柱 AB 应该设计为(10 3 -4)m. 专项突破三　 圆中常见的辅助线归类 1. C　 【解析】如图,过点 O 作 OH⊥CD 于点 H,连接 OC. ∵ OH⊥CD,∴ CH= DH. ∵ AP = 2, BP = 6, ∴ AB = 8. ∴ OA= 4. ∴ OP = OA - AP = 2. 在 Rt△OPH 中, ∵ ∠OPH = ∠APC = 30°,∴ OH= 1 2 OP = 1. 在 Rt△OHC 中,∵ OC= 4,OH = 1, ∴ CH= OC2 -OH2 = 15 . ∴ CD= 2CH= 2 15 . 故选 C. 2. D　 【解析】如图,延长 AO 交 BC 于点 D, 过点 O 作 OE⊥BC 于点 E,则 BC = 2BE. ∵ ∠A = ∠B = 60°, ∴ ∠ADB = 60°. ∴ △ADB 为等边三角形. ∴ BD=AD=AB= 12. ∴ OD = 4. ∵ ∠ADB = 60°,∠DOE = 30°,∴ DE=OD·cos 60° = 1 2 OD = 2. ∴ BE = 10. ∴ BC = 2BE= 20. 故选 D. 3. B　 【解析】如图,连接 OB,OC,过点 O 作 OG⊥BC 于点 G. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形, ∴ ∠BOC = 360° 6 = 60°. ∵ OB=OC,OG⊥BC,∴ ∠BOG = 30°. ∵ OB = OC,∠BOC = 60°, ∴ △BOC 是 等 边 三 角 形. ∴ BC = OB = 1. 在 Rt△BOG 中,cos 30° = OG OB ,∴ OG = OB· cos 30° = 3 2 . ∴ S正六边形ABCDEF =6× 1 2 ×1× 3 2 = 3 3 2 . ∴ π×12 = 3 3 2 . ∴ π = 3 3 2 . 故选 B. 4. 解:如图,连接 OA,过点 O 作 OD⊥ AB 于点 D,则 AB= 2AD. ∵ 小钢球的直径为 10 mm, ∴ 小钢球的半径是 5 mm,即 OA = 5 mm. ∵ 小钢球顶端离孔道外端的距离为 8 mm, ∴ OD= 3 mm. 在 Rt△AOD 中,∵ AD= OA2 -OD2 = 52 -32 = 4(mm), ∴ AB= 2AD= 2×4 = 8(mm) . ∴ 这个孔道的直径 AB 是 8 mm. 5. 解:如图,过点 O 作 OM⊥CD 于点 M,过点 O 作 ON⊥AB 于点 N. 连接 OA,OD. ∴ CM=DM= 1 2 CD,AN=BN= 1 2 AB. ∵ CP= 2,PD= 6,∴ CD= 2+6 = 8. ∴ CM=DM= 4. ∴ PM=CM-CP= 4-2 = 2. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 70·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·35　 · 专项突破一　 相似三角形的基本模型 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　类型一　 A 字型 1. 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,且AE AB =AD AC = 1 2 ,则 S△ADE ∶ S四边形BCED 的值为 (　 　 ) A. 1 ∶ 3 B. 1 ∶ 2 C. 1 ∶ 3 D. 1 ∶ 4 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 2. 小明利用中国古代“计里画方”(比例缩放和直角坐标网格体系)的方法测量涂岭镇下炉村的下炉石 佛(泉港景点打卡:玉笏朝天)的高度. 如图,“玉笏朝天”的高度记为 AB,“玉笏朝天”在照板“内芯” 上的高度记为 EF,小明的眼睛点 P 与 BF 在同一水平线上,则下列结论中正确的是 (　 　 ) A. EF AB =PF BF B. EF AB =PF BP C. PE AP =PF BF D. PE AE =PF BP 3. 如图,DE∥BC,EF∥CG,AD ∶ AB= 1 ∶ 3,AE= 3. (1)求 EC 的值; (2)求证:AD·AG=AF·AB. 4. 如图,AB∥EF∥CD,E 为 AD 与 BC 的交点,F 在 BD 上. 求证: 1 AB + 1 CD = 1 EF . 类型二　 8 字型 5. 如图,在▱ABCD 中,E 为 CD 上一点,连接 AE,BD,且 AE,BD 交于点 F,S△DEF ∶ S△ABF = 4 ∶ 25,则 DE ∶ EC 等于 (　 　 ) A. 2 ∶ 5 B. 3 ∶ 5 C. 2 ∶ 3 D. 3 ∶ 2 第 5 题图 　 　 　 　 第 6 题图 6. 利用相机的“微距模式”可以拍摄得到与实际物体等大或比实际物体稍大的图象,如图是一个微距拍 摄成像的示意图. 若拍摄 60 mm 远的物体 AB,其在底片上的图象 A′B′的宽为 36 mm,焦距为 90 mm, 则物体 AB 的宽为 (　 　 ) A. 6 mm B. 12 mm C. 24 mm D. 30 mm 7. 如图,在▱ABCD 中,点 E 在 BA 的延长线上,连接 EC,BD 交于点 G,EC 交 AD 于点 F. 已知 EA ∶ AB= 1 ∶ 2. 求 FG ∶ CG 的值. 类型三　 母子型 8. 如图,D 是△ABC 的边 BC 上任一点,已知 AB= 6,AD= 3,∠DAC= ∠B. 若△ABD 的面积为 a,则△ACD 的面积为 (　 　 ) A. a B. 1 2 a C. 1 3 a D. 1 4 a 9. 如图,AB 是☉O 的直径,过点 A 作☉O 的切线,并在其上取一点 C,连接 OC 交☉O 于点 D,连接 AD, BD,并延长 BD 交 AC 于点 E. (1)证明:△CDE∽△CAD; (2)若 AB= 2,AC= 2 2 ,求 CD 和 CE 的长. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型四　 一线三等角型 10. (新素养·模型观念)感知:(1)数学课上,老师给出了一个模型:如图 1,∠BAD = ∠ACB = ∠AED = 90°.由∠1+∠2+∠BAD= 180°,∠2+∠D+∠AED= 180°,可得∠1 = ∠D;又因为∠ACB= ∠AED= 90°, 可得△ABC∽△DAE,进而得到BC AC = 　 　 　 　 . 我们把这个模型称为“一线三等角”模型. 应用:(2)实践组受此模型的启发,将三等角变为非直角,如图 2,在△ABC 中,AB =AC = 10,BC = 12, P 是 BC 边上的一个动点(不与点 B,C 重合),D 是 AC 边上的一个动点,且∠APD= ∠B. ①求证:△ABP∽△PCD; ②当 P 为 BC 的中点时,求 CD 的长. 拓展:(3)在(2)的条件下,如图 2,当△APD 为等腰三角形时,请直接写出 BP 的长. 图 1 　 　 图 2 11. 在△ABC 中,AB=AC,∠BAC= 90°,P 为 BC 上的动点,小慧拿含 45°角的透明三角尺,使 45°角的顶 点落在点 P 处,三角尺可绕 P 点旋转. (1)如图 1,当三角尺的两边分别交 AB,AC 于点 E,F 时,求证:△BPE∽△CFP; (2)将三角尺绕点 P 旋转到图 2 情形时,三角尺的两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E,F. △BPE 与△CFP 还相似吗? (只需写出结论) (3)在(2)的条件下,连接 EF. △BPE 与△PFE 是否相似? 若不相似,则动点 P 运动到什么位置时, △BPE 与△PFE 相似? 说明理由. 图 1 　 　 图 2 类型五　 手拉手型 12. 如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAD= ∠CAE,∠ABC= ∠ADE. (1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线); (2)请分别说明两对三角形相似的理由. 13. 如图 1,在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB =BC = 4,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,连接 DE. 将△ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转,记旋转角为 α,BD,CE 所在直线相交所成的锐角为 β. (1)问题发现:当 α= 0°时,CE BD = 　 　 　 　 ,β= 　 　 　 　 °; (2)拓展探究:试判断,当 0°≤α<360°时,CE BD 和 β 的大小有无变化? 请仅就图 2 的情形给出证明; (3)在△ADE 旋转过程中,当 DE∥AC 时,直接写出此时△CBE 的面积. 图 1 　 　 图 2 14. 【问题发现】 (1)如图 1,在 Rt△ABC 中,AB=AC= 2,∠BAC= 90°,D 为 BC 的中点,以 CD 为一边作正方形 CDEF, 点 E 恰好与点 A 重合,则线段 BE 与 AF 的数量关系为　 　 　 　 　 　 ; 【拓展研究】 (2)在(1)的条件下,如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转,连接 BE,CE,AF. 线段 BE 与 AF 的数量关系有 无变化? 请仅就图 2 的情形给出证明; 【问题解决】 (3)当正方形 CDEF 旋转到 B,E,F 三点共线时,直接写出线段 AF 的长. 图 1 　 　 图 2 　 　 备用图 · 36·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册