第4章 一元二次方程 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·61　 · ∴ a-3+4+3 = 0. ∴ a= -4. (2)由题意,得 Δ≥0 且 a≠3. ∴ 16-12(a-3)≥0. 解得 a≤13 3 . ∵ a 是正整数,∴ a= 1 或 2 或 4. (3)当 a= 4 时,方程为 x2 -4x+3 = 0. 解得 x= 3 或 1. (答案不唯一) 考点五　 一元二次方程根与系数的关系 15. C　 16. A　 17. 20　 【解析】由题意,可知 x1 +x2 = -6,x1x2 = 4. ∴ ( x1 - x2) 2 =(x1 +x2) 2 -4x1x2 =(-6) 2 -4×4 = 36-16 = 20. 18. - 1 8 　 【解析】根据题意,得 x1 +x2 = -2m,x1x2 = m 2 . ∵ x21 + x22 = 3 16 ,∴ (x1 +x2) 2 -2x1x2 = 3 16 . ∴ 4m2 -m = 3 16 . ∴ m1 = - 1 8 ,m2 = 3 8 . ∵ Δ =(4m) 2 -4×2×m>0,∴ m> 1 2 或 m<0. ∴ m= 3 8 不符合题意,舍去. ∴ m= - 1 8 . 19. (1)证明:Δ = [ -(2k+1)] 2 -4×1× ( 12 k 2 -2 ) = 4k2 +4k+ 1-2k2 +8 = 2k2 +4k+9 = 2(k+1) 2 +7. ∵ 无论 k 为何实数,2(k+1) 2≥0, ∴ 2(k+1) 2 +7>0. ∴ 无论 k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根. (2)解:由根与系数的关系得出 x1 +x2 = 2k+ 1,x1x2 = 1 2 k2 -2. ∵ x1 -x2 = 3,∴ (x1 -x2) 2 = 9. ∴ (x1 +x2) 2 -4x1x2 = 9. ∴ (2k+1) 2 -4× ( 12 k 2 -2 ) = 9. 化简得 k2 +2k= 0. 解得 k= 0 或-2. ∴ k 的值为 0 或-2. 20.解:(1)∵ 一元二次方程 x2 -2x+k+2 = 0 有两个实数根, ∴ Δ = ( -2) 2 -4×1×(k+2)≥0. 解得 k≤-1. ∴ k 的取值范围为 k≤-1. (2)存在实数 k,使该等式成立. ∵ x1,x2 是一元二次方程 x2 - 2x + k + 2 = 0 的两个实 数根, ∴ x1 +x2 = 2,x1x2 = k+2. ∵ 1 x1 + 1 x2 = k-2,∴ x1 +x2 x1x2 = 2 k+2 = k-2. ∴ k2 -6 = 0. 解得 k1 = - 6 ,k2 = 6 . 又∵ k≤-1,∴ k= - 6 . ∴ 存在实数 k,使得等式 1 x1 + 1 x2 = k- 2 成立,k 的值为 - 6 . 考点六　 一元二次方程的实际应用 21. A　 【解析】设每个支干长出的小分支的数目为 x. 根据 题意列方程,得 x2 +x+1 = 157. 解得 x1 = 12,x2 = -13(不 符合题意,舍去) . ∴ x= 12. 故选 A. 22. B 23.解:设 AB 的长是 x m,则 BC 的长是54 -3x 3 = (18-x)m. 根据题意,得 x(18-x)= 72. 解得 x1 = 6,x2 = 12. 当 x= 6 时,18-x= 12>10,不符合题意,舍去. 当 x= 12 时,18-x= 6<10,符合题意. ∴ AB 的长是 12 m. 24.解:(1)△PQB 的面积不能等于 9 cm2 . 理由如下: ∵ 5÷1 = 5(s),8÷2 = 4(s), ∴ 运动时间 t 的取值范围为 0≤t≤4. 根据题意,可得 AP= t cm,BP= (5-t)cm,BQ= 2t cm. 假设△PQB 的面积等于 9 cm2, 则 1 2 BP·BQ= 1 2 (5-t) ×2t= 9. 整理,得 t2 -5t+9 = 0. ∵ Δ = ( -5) 2 -4×1×9 = -11<0, ∴ 所列方程没有实数根. ∴ △PQB 的面积不能等于 9 cm2 . (2)∵ 四边形 APQC 的面积等于 16 cm2, ∴ S△ABC-S△PBQ = 1 2 AB·BC- 1 2 BP·BQ= 1 2 ×5×8- 1 2 (5- t) ×2t= 16. 整理,得 t2 -5t+4 = 0. 解得 t1 = 1,t2 = 4. 当 t= 4 时,C,Q 点重合,不符合题意,舍去, ∴ t= 1. ∴ 1 s 后,四边形 APQC 的面积等于 16 cm2 . 25.解:(1)设土豆平均亩产量的年增长率为 x. 根据题意,得 1 000(1+x) 2 = 1 440. 解得 x1 = 0. 2,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去) . ∴ 土豆平均亩产量的年增长率为 20% . (2)设该合作社增加 a 亩土豆的种植面积. 根据题意,得(100+a)(1 200-10a)= 1 200×100. 解得 a1 = 0(不符合题意,舍去),a2 = 20. ∴ 该合作社增加 20 亩土豆的种植面积,才能保证土豆 种植的总成本不变. 第 4 章学业水平测试 1. D　 2. D　 3. D　 4. C　 5. B　 6. B　 7. B　 【解析】设此方程的两个根是 α,β. 根据题意,得 α+β= -p= -4,αβ = q = -20,则以 α,β 为根的一元二次方程是 x2 +4x-20 = 0. 故选 B. 8. C　 9. C 10. A　 【解析】由勾股定理,得 BC2 +AC2 =AB2,∵ BD=BC= a 2 ,AC= b,AB = a 2 +AD,∴ ( a2 ) 2 +b2 = ( a2 +AD ) 2 . 整 理,得 AD2 +a·AD= b2 . ∵ x2 +ax = b2,∴ 线段 AD 的长是 方程 x2 +ax= b2 的一个正根. 故选 A. 11. -2　 3　 12. a≥1 且 a≠2　 13. 直角 14. (50-x-30)(300+20x)= 6 080 15. 1　 【解析】∵ 关于 x 的方程(a-1) x2 -2x+3 = 0 有实数 根,∴ 当 a= 1 时,方程为-2x+3 = 0. 解得 x = 3 2 . 符合题 意;当 a≠1 时,该方程为一元二次方程,则 Δ = (-2) 2 - 4(a-1) ×3 = 16-12a≥0. 解得 a≤ 4 3 . ∴ a 的取值范围 为 a≤ 4 3 且 a≠1. ∴ 整数 a 的最大值是 1. 16. 5 3 -5　 【解析】∵ 阴影部分的面积+四个小正方形的 面积= 大正方形的面积,∴ 大正方形的面积为 50+ 4 × ( 52 ) 2 = 75. ∴ 大 正 方 形 的 边 长 为 75 = 5 3 . ∴ 该方程的正数解 x 是 5 3 -2× 5 2 = 5 3 -5. 17.解:x(x-1) +(x-1)= 0, (x-1)(x+1)= 0, x-1 = 0 或 x+1 = 0, x1 = 1,x2 = -1. (2)x2 +2x+1 = 36, (x+1) 2 = 36, x+1 = ±6, x1 = -7,x2 = 5. (3)4x2 -12x-3 = 0, b2 -4ac= ( -12) 2 -4×4×( -3)= 192, x= 12± 192 2×4 = 3±2 3 2 , x1 = 3+2 3 2 ,x2 = 3-2 3 2 . 18.解:设竹竿的长度是 x 尺,则门的宽度是(x-4)尺,门的高 度是(x-2)尺. 依题意,得(x-4) 2 +(x-2) 2 = x2 . 整理,得 x2 -12x+20 = 0. 解得 x1 = 2(不符合题意,舍去),x2 = 10. ∴ x-2 = 10-2 = 8. ∴ 门的高度是 8 尺. 19.解:(1)根据题意,得 Δ = 64-4(a-6) ×9≥0 且 a-6≠0. 解得 a≤70 9 且 a≠6. ∴ a 的最大整数值为 7. (2)①当 a= 7 时,原方程变形为 x2 -8x+9 = 0. Δ = 64-4×9 = 28, ∴ x= 8± 28 2 ,即 x1 = 4+ 7 ,x2 = 4- 7 . ②∵ x2 -8x+9 = 0,∴ x2 -8x= -9. 原式= 2x2 - 32x -7 -9+11 = 2x2 -16x+ 7 2 = 2( x2 -8x) + 7 2 = 2 × ( -9) + 7 2 = -29 2 . 20.解:依题意,得 100+(6-a) ×5a= 140. 整理,得 a2 -6a+8 = 0. 解得 a1 = 2,a2 = 4. ∵ a≥3,∴ a= 4. 设矩形材料的长为 3x m,则宽为 2x m. 依题意,得 3x·2x-(3x-0. 5×2)(2x-0. 5×2)= 49. 解得 x= 10. ∴ 3x·2x= 600. ∴ 600-49 = 551(m2) . ∵ 551>4,∴ 100+5×4×(551-4)= 11 040(元) . ∴ 这张广告的费用是 11 040 元. 21. 解: ( 1) 根据材料,可知第 n 个三角形数可以表示 为 n(n+1) 2 . 当 n(n+1) 2 = 78 时,化简,得 n2 +n-156 = 0. 解得 n1 = 12,n2 = -13. ∵ n 是正整数,∴ n= -13 舍去. ∴ 78 是第 12 个三角形数. (2)设较小的三角形数是n(n +1) 2 ,则较大的三角形数 是 (n+1)(n+2) 2 . 由题意,得n(n +1) 2 +(n+1)(n+2) 2 = 121. 解得 n1 = 10,n2 = -12(舍去) . 当 n= 10 时,n(n +1) 2 = 55,(n +1)(n+2) 2 = 66. ∴ 这两个三角形数是 55 和 66. 22.解:(1)令 y= x2,则有 y2 -5y+6 = 0. ∴ (y-2)(y-3)= 0. ∴ y1 = 2,y2 = 3. ∴ x2 = 2 或 3. ∴ x1 = 2 ,x2 = - 2 ,x3 = 3 ,x4 = - 3 . (2)令 m=a2,n= b2,则实数 m,n 满足 2m2 -7m+1 = 0, 2n2 -7n+1 = 0. a≠b 可分为两种情况. ①当 a2≠b2,即 m≠n 时, m,n 是方程 2x2 -7x+1 = 0 的两个不相等的实数根. ∴ m+n= 7 2 , mn= 1 2 . ì î í ï ï ï ï 此时 a4+b4 =m2+n2 =(m+n)2-2mn= ( 72 ) 2 -2× 1 2 =45 4 . ②当 a2 = b2,即 a = -b,m = n 时,m(或 n) 是方程 2x2 - 7x+1 = 0 的其中一个实数根. m=n= 7± 7 2 -4×2×1 2×2 = 7± 41 4 , 此时 a4 +b4 =m2 +n2 = 2m2 = 2× ( 7± 414 ) 2 = 45±7 41 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 综上所述,a4 +b4 的值为45 4 或 45±7 41 4 . (3)令 1 m2 =a,-n= b. 则实数 a,b 满足 a2 +a-7 = 0,b2 +b-7 = 0. ∵ n>0,∴ 1 m2 ≠-n,即 a≠b. ∴ a,b 是方程 x2 +x-7 = 0 的两个不相等的实数根. ∴ a+b= -1, ab= -7.{ ∴ 1 m4 +n2 =a2 +b2 = (a+b) 2 -2ab= 15. 九年级上册学业水平测试 1. C　 【解析】方程整理,得 9x2 -8x-2 = 0,则二次项、一次 项、常数项分别为 9x2,-8x,-2. 故选 C. 2. C　 【解析】∵ AC 与 BD 相交于点 O,DC∥AB,∴ BO OD = AO CO . ∵ BO OD = 3 4 ,CO = 8,∴ 3 4 = AO 8 . ∴ AO = 6. ∴ AC = AO+ CO= 6+8 = 14. 故选 C. 3. B 4. D　 【解析】设 Rt△ABC 内切圆的圆心为点 I,半径为 r, 三边上的切点分别为 D,E,F,连接 ID,IE,IF,得正方形, 则正方形的边长即为内切圆的半径 r. 如图 1,当 BC 为 直角边时,AC = AB2 +BC2 = 10. 根据切线长定理,得 AF=AD= AB-BD = 6-r,CF = CE = BC-BE = 8- r. ∵ AC = AF+FC= 10,∴ 6-r+8-r= 10. 解得 r= 2. 图 1　 　 　 　 　 　 　 　 图 2 如图 2,当 BC 为斜边时,AC = BC2 -AB2 = 2 7 . 根据切 线长定理,得 BF=BD= 6-r,CF=CE = 2 7 -r. ∴ BC =BF+ CF= 6-r+2 7 -r = 8. 解得 r = 7 -1. 故这个三角形的内 切圆的半径是 2 或 7 -1. 故选 D. 5. C　 【解析】如图,连接B′D′,设B′D′的中点为 O.∵ 正方形ABCD∽正方形 A′B′C′D′,相似 比为 1 ∶ 2,正方形 ABCD 的面积为 1, ∴ 正方形 A′B′C′D′的面积为 4. ∴ A′B′= A′D′ = 2. ∵ ∠B′A′D′ = 90°,∴ B′D′ = 2A′B′ = 2 2 . ∴ 四边形 A′B′C′D′的外接圆的周长为 2 2 π. 故选 C. 6. B　 【解析】∵ sinA = 10 50 = 0. 2,∴ 用科学计算器按键的顺 序为 2ndF sin 0 . 2 = . 故选 B. 7. B　 【解析】如图,各点用字母表示,连接 AB,OA,OC,OC 交 AB 于点 E. ∵ CD 是☉O 的切线, C 为切点, ∴ OC ⊥ CD. ∵ AB∥CD, ∴ OC ⊥ AB. ∴ AE = 1 2 AB = 4 cm. ∵ OA= OC, CE = AD = 2 cm, ∴ 在 Rt△OAE 中,OA2 = AE2 +(OC-CE) 2,即 OA2 = 42 +(OA- 2) 2 . 解得 OA = 5. ∴ 该铁球的直径为 2OA = 10 cm. 故 选 B. 8. D　 【解析】∵ ∠CAB = 90°,AD⊥BC 于点 D,∴ ∠B+∠C = 90°,∠B+∠BAD = 90°. ∴ ∠BAD = ∠C. 在 Rt△ABD 中, ∠ADB= 90°,BD = 2,∵ tan∠BAD=BD AD = 1 2 ,∴ AD = 2BD = 4. ∴ AB = BD2 +AD2 = 2 5 . 在 Rt△BAC 中, ∠CAB = 90°,AB= 2 5 ,tanC=AB AC = 1 2 ,∴ AC= 2AB= 4 5 . 故选 D. 9. C　 【解析】如图,连接 OA,OB,BF 与 OA 交于点 G. ∵ 六边形 ABCDEF 是☉O 的 内接正六边形,∴ AB = AF = 6,∠AOB = 360° 6 = 60°. ∴ OA⊥BF. ∴ BG =FG. ∵ OA = OB,∴ △OAB 是等边三角形. ∴ OB = AB = 6. 在Rt△BOG 中,∠O = 60°,OB = 6, sin ∠GOB = BG OB ,∴ BG = 3 2 OB = 3 3 . ∴ BF= 2BG= 6 3 . 故选 C. 10. B　 【解析】设正方形的边长 MN 为 a. ∵ AD 为△ABC 的高,∴ ∠ADB = 90°. ∵ MN∥BC,∴ ∠APM = ∠ADB = 90°. ∵ MN∥BC,∴ △AMN∽△ABC. ∴ MN BC =AP AD ,即 a 120 = 120-4a 120 . ∴ a= 24,即正方体的棱长为 24. 故选 B. 11. 4　 【解析】∵ m,n 是关于 x 的一元二次方程 x2 -2ax+ a2 +a-2 = 0 的两实根,∴ Δ = 4a2 -4(a2 +a-2)= 8-4a≥ 0. ∴ a≤2. 由一元二次方程根与系数的关系可得 m+n = 2a. ∴ m+n= 2a≤4. ∴ m+n 的最大值是 4. 12. PA= 3 (答案不唯一) 【解析】如图,连接 OA. ∵ ∠ABC= 30°,∴ ∠AOC = 2∠ABC = 60°. ∵ AP 是☉O 的切线,∴ ∠OAP = 90°. ∵ OA=OC = 1,tan∠AOP = AP OA ,∴ AP =OA·tan 60° = 1× 3 = 3 . 13. - 4 3 　 【解析】如图,过点 A 作 AE⊥ x 轴于点 E. 由题意,得 tanα = AE EO = 3 2 . ∵ 点 A( t,2),∴ AE = 2,OE = - t. ∴ 2-t = 3 2 . ∴ t= - 4 3 . 14. 300π cm2 　 【解析】 ∵ AB = 30 cm,BD = 20 cm,∴ AD = 10 cm. ∵ ∠BAC=135°,∴ 扇面的面积为 S扇形BAC -S扇形DAE = 135π×(302 -102) 360 = 300π(cm2) . 15. 10 cm　 【解析】∵ l∥BC,CG⊥l,BO⊥l,∴ 四边形 OBCG 是矩形. ∴ OB = CG = 8 cm. ∵ AH∥OB,∴ △AHF1 ∽ △BOF1 . ∴ AH BO = HF1 OF1 = 5 4 ,即AH 8 = 5 4 . ∴ AH = 10 cm,即 物体的高为 10 cm. 16. 10- 2 5 　 【解析】如图,连接 AG. 由 作图步骤,可知 OA = 2,OH = 1,AH = 22 +12 = 5 . ∵ AH=HG= 5 ,∴ OG = GH-OH = 5 - 1. ∴ AB2 = AG2 = OA2 + OG2 = 4+( 5 -1) 2 = 10-2 5 . 17.解:(1)( 2 x-1) 2 = 0, 2 x-1 = 0, x1 = x2 = 2 2 . (2)x2 +4x+4-2x-4 = 0, x2 +2x= 0, x(x+2)= 0, x= 0 或 x+2 = 0, x1 = 0,x2 = -2. 18. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 内接于一圆, ∴ ∠DAB+∠DCB= 180°. ∵ ∠DCE+∠DCB= 180°,∴ ∠DAB= ∠DCE. (2)解:∵ ∠ACB= 70°,∴ ∠ADB= ∠ACB= 70°. 在△ABD 中,∠DAB= 60°,∠ADB= 70°, ∴ ∠ABD= 180°-60°-70° = 50°. 19. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形, ∴ AD∥BC. ∴ ∠DBC= ∠BDA. ∵ ∠BDA= ∠BAE,∴ ∠DBC= ∠BAE. ∵ ∠BEF= ∠AEB,∴ △EBF∽△EAB. ∴ BE AE =EF EB . ∴ BE2 =EF·AE. (2)解:∵ BE2 =EF·AE,BE= 4,EF= 2, ∴ AE=BE 2 EF = 4 2 2 = 8. ∴ AF=AE-EF= 8-2 = 6. ∵ BE∥AD,∴ BF DF =EF AF ,即BF 9 = 2 6 . 解得 BF= 3. ∵ △EBF∽△EAB,∴ BF AB =EF EB ,即 3 AB = 2 4 . ∴ AB= 6. 20. 解:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,过点 C 作 CF⊥DE 于点 F,则四边形 BCFE 是矩形. 由题意,得 AB = 57 m,DE = 30 m,∠DAB = 37°,∠DCF = 45°. 在 Rt△ADE 中,∠AED=90°, ∴ tan∠DAE=DE AE ,即30 AE ≈0. 75. ∴ AE= 40 m. ∵ AB= 57 m, ∴ BE=AB-AE= 17 m. ∵ 四边形 BCFE 是矩形, ∴ CF=BE= 17 m,BC=EF. 在 Rt△DCF 中,∠DFC = 90°, ∠DCF= 45°, ∴ ∠CDF= ∠DCF= 45°. ∴ DF=CF= 17 m. ∴ EF=DE-DF= 30-17 = 13(m) . ∴ BC=EF= 13 m. ∴ 教学楼 BC 的高度约为 13 m. 21.解:(1)DE 与☉O 相切. 理由如下: 如图 1,连接 BD. 图 1 ∵ 四 边 形 ABCD 内 接 于 ☉O, ∠BAD= 90°, ∴ ∠BAD + ∠BCD = 180°, BD 是 ☉O 的直径,即点 O 在 BD 上. ∴ ∠BCD= 90°. ∴ ∠CED+∠CDE= 90°. ∵ ∠CED=∠BAC,∠BAC=∠BDC, ∴ ∠CED= ∠BDC. ∴ ∠BDC+∠CDE= 90°,即∠BDE= 90°. ∴ DE⊥BD. ∵ BD 是☉O 的直径,∴ DE 与☉O 相切. (2)如图 2,设 BD 与 AC 交于点 H. 图 2 ∵ DE∥AC, ∴ ∠BHC= ∠BDE= 90°. ∴ BD⊥AC. ∴ AH=CH. ∴ BC=AB= 4,CD=AD= 2. ∵ ∠FAD=∠FCB=90°,∠F=∠F, ∴ △FAD∽△FCB. ∴ AF CF =AD CB = 2 4 . ∴ CF= 2AF. 设 AF= x,则 DF=CF-CD= 2x-2. 在 Rt△ADF 中,DF2 =AD2 +AF2, ∴ (2x-2) 2 = 22 +x2 . 解得 x1 = 8 3 ,x2 = 0(舍去) . ∴ AF 的长为 8 3 . 22.解:(1)由题意,得 Δ = [2(m-3)] 2 -4(m2 +1)= 32-24m. 要使方程有两个不相等的实数根,则 Δ>0,即 32-24m> 0. 解得 m< 4 3 . ∴ 当 m< 4 3 时,方程有两个不相等的实数根. (2)∵ x1,x2 是关于 x 的一元二次方程 x2 +2(m-3)x+m2 + 1 = 0 的两个根, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 62·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·17　 · 第 4 章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 下列方程中一定是关于 x 的一元二次方程的是 (　 　 ) A. x2 -y= 2　 B. 2x2 - 2 x = x　 C. ax2 -3x+3 = 0　 D. 3x2 -2x= 2x2 2. 方程 4x2 +5x= 81 化成一般形式后,它的二次项系数和常数项分别是 (　 　 ) A. 4,5　 B. 4,-5　 C. 4,81　 D. 4,-81 3. 方程(x+2)(x+4)= x+2 的解是 (　 　 ) A. x= -2 B. x= -4 C. x1 = -2,x2 = -4 D. x1 = -2,x2 = -3 4. 用配方法解下列方程时,配方有错误的是 (　 　 ) A. 2m2 +m-1 = 0 化为 (m+ 14 ) 2 = 9 16 B. x2 -6x+4 = 0 化为(x-3) 2 = 5 C. 2t2 -3t-2 = 0 化为 ( t- 32 ) 2 = 25 16 D. 3y2 -4y+1 = 0 化为 (y- 23 ) 2 = 1 9 5. 关于 x 的方程(a-3)x2 -4x-1 = 0 有两个不相等的实数根,则 a 的取值范围是 (　 　 ) A. a≥-1 且 a≠3 B. a>-1 且 a≠3 C. a≥-1 D. a>-1 6. 已知一元二次方程 x2 -8x-c= 0 有一个根为 2,则另一个根为 (　 　 ) A. 10　 B. 6　 C. 8　 D. -2 7. 在解一元二次方程 x2 +px+q= 0 时,小亮看错了常数项 q,得到方程的两个根是-3,-1;小莹看错了一 次项系数 p,得到方程的两个根是 5,-4,则原来的方程是 (　 　 ) A. x2 +4x-3 = 0 B. x2 +4x-20 = 0 C. x2 -4x-20 = 0 D. x2 -4x-3 = 0 8. 若关于 x 的一元二次方程 ax2 +bx+5 = 0(a≠0)有一根为 2 025,则方程 a(x+1) 2 +b(x+1)= -5 必有一 根为 (　 　 ) A. 2 026　 B. 2 025　 C. 2 024　 D. 2 023 9. 对于向上抛的物体,在没有空气阻力的条件下,有如下的表达式:h = vt- 1 2 gt2,其中 h 是上升高度,v 是初速度,g 是重力加速度(为方便起见,本题目中的 g 取 10 m / s2 ),t 是抛出后所经过的时间. 若将 一物体以 25 m / s 的初速度向上抛,则它在离抛出点 20 m 高的地方时经过了 (　 　 ) A. 1 s　 B. 4 s　 C. 1 s 或 4 s　 D. 非以上答案 10. (核心素养·几何直观)欧几里得的《几何原本》记载,对于形如 x2 +ax = b2 的方程,可用如图解法: 作 Rt△ABC,其中∠ACB= 90°,AC= b,BC = a 2 ,在斜边 AB 上截取 BD = BC,则该方程的其中一个正 根是 (　 　 ) A. 线段 AD 的长 B. 线段 BC 的长 C. 线段 AC 的长 D. 线段 AB 的长 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. 设 x1,x2 是一元二次方程 x2 -mx-6 = 0 的两个根,且 x1 +x2 = 1,则 x1 = 　 　 　 ,x2 = 　 　 　 . 12. 关于 x 的方程(a-2)x2 + a-1 x+1 = 0 是一元二次方程,则 a 的取值范围是 　 . 13. 在△ABC 中,AB= 3,AC = 5,第三边 BC 的长为一元二次方程 x2 -6x+8 = 0 的一个根,则该三角形为 　 　 　 　 三角形. 14. 毛主席在《水调歌头·重上井冈山》上写道“可上九天揽月,可下五洋捉鳖”,为我们描绘了科技发 展的美好蓝图. 如今,我国的航天航海事业飞速发展,取得了举世瞩目的成就. 2024 年 4 月 25 日神 舟十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功. 某商家抓住这一商机,购进了某种航天模型玩 具,每件进价 30 元. 经市场预测,销售定价为 50 元时,每周可卖出 300 件;每降低 1 元,每周可多卖 出 20 件. 如果商家想在一周时间获利 6 080 元,设每件玩具降价 x 元,则可列方程为 　 . 15. 关于 x 的方程(a-1)x2 -2x+3 = 0 有实数根,则整数 a 的最大值是　 　 　 　 . 16. 《代数学》中记载,形如 x2 +8x= 33 的方程,求正数解的几何方法是“如图 1,先构造一个面积为 x2 的 正方形,再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为 2x 的矩形,得到大正方形的面积为 33+16 = 49,则该方程的正数解为 7-4 = 3. ”小聪按此方法解关于 x 的方程 x2 +10x+m= 0 时,构造出如图 2 所 示的图形,已知阴影部分的面积为 50,则该方程的正数解 x 是　 　 　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 　 　 　 图 2 三、解答题(共 52 分) 17. (9 分)解下列方程: (1)x(x-1)= 1-x;　 　 　 　 　 　 (2)x2 +2x-35 = 0;　 　 　 　 　 　 (3)4x2 -3 = 12x. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18. (6 分)(新考法·数学文化)《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》,是晋商数学家王文素的数 学著作. 书中研究了一元高次方程的数值解法,内容详实可贵,代表了我国明代数学的最高水平. 《算学宝鉴》卷 28 中记载了这样一个问题“门厅一座,高广难知. 长竿横进,门狭四尺. 竖进过去,竿 长二尺. 两阴斜进,恰好方齐. ”译文:现在有一座门,不知道宽度和高度. 如果拿支长竹竿横着过,门 的宽度比竹竿的长度少四尺;拿竹竿竖着过,竹竿的长度比门的高度多二尺;沿对角线斜着进,恰好 通过,门的高度是多少尺? (列方程解应用题) 19. (10 分)关于 x 的一元二次方程(a-6)x2 -8x+9 = 0 有实根. (1)求 a 的最大整数值; (2)当 a 取最大整数值时,①求出该方程的根;②求 2x2 - 32x -7 x2 -8x+11 的值. 20. (9 分)一个广告公司制作广告的收费标准是以面积为单位,在不超过规定面积 a(m2 )的范围内,每 张广告收费 100 元;若超过 a(m2),则除了要交 100 元的基本广告费以外,超过部分还要按每平方 米 5a 元收费. 下表是该公司对两家用户广告的面积及相应收费情况的记录: 单位 广告的面积 / m2 收费金额 / 元 烟草公司 6 140 食品公司 3 100 红星公司要制作一张大型公益广告,其材料形状是矩形,它的四周是空白,并且四周各空 0. 5 m,空 白部分的面积为 49 m2 . 已知矩形材料的长与宽之比为 3 ∶ 2,并且空白部分不收广告费,那么这张 广告的费用是多少? 21. (8 分)(新考法·阅读理解)阅读下列材料,并完成相应学习任务: 古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现,一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形, 他们把这样的数称为三角形数. 如用 1,3,6,10,15,21,…数目的石子就可以排成如图 1 所示的等边 三角形,因而这样的数就是三角形数. 所有的三角形数都具有如图 2 所示的规律. 图 1 　 　 　 1 = 1 ×2 2 ,3 = 2 ×3 2 , 6 = 3 ×4 2 ,10 = 4 ×5 2 , 15 = 5 ×6 2 ,… 图 2 　 　 毕达哥拉斯:约公元前 580 年—前 500 年,古 希腊哲学家、数学家. 学习任务:请用一元二次方程的有关知识,解决下列问题: (1)请判断 78 是第几个三角形数? 写出判断过程; (2)若相邻两个三角形数的和是 121,求这两个三角形数. 22. (10 分)(新考法·拓展应用)阅读材料,解答问题: 材料 1　 为了解方程(x2) 2 -13x2 +36 = 0,如果我们把 x2 看作一个整体,然后设 y = x2,则原方程可化 为 y2 -13y+36 = 0,经过运算,原方程的解为 x1,2 = ±2,x3,4 = ±3. 我们通常把以上这种解决问题的方法 叫做换元法. 材料 2　 已知实数 m,n 满足 m2 -m-1 = 0,n2 -n-1 = 0,且 m≠n,显然 m,n 是方程 x2 -x-1 = 0 的两个 不相等的实数根,由一元二次方程根与系数的关系可知 m+n= 1,mn= -1. 根据上述材料,解决以下问题: (1)直接应用:方程 x4 -5x2 +6 = 0 的解为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (2)间接应用:已知实数 a,b 满足 2a4 -7a2 +1 = 0,2b4 -7b2 +1 = 0 且 a≠b,求 a4 +b4 的值; (3)拓展应用:已知实数 m,n 满足 1 m4 + 1 m2 = 7,n2 -n= 7 且 n>0,求 1 m4 +n2 的值. · 18·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册