第4章 一元二次方程 考点梳理与复习-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·15　 · 第 4 章考点梳理与复习 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 一元二次方程的定义 1. 下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是 (　 　 ) A. x2 + 1 x2 = 0 B. ax2 +bx+c= 0 C. x2 = 0 D. 2x2 -3x+2 = 2(x2 -1) 2. 一元二次方程(3x-1) 2 = 5x 化简成一般形式后,二次项系数为 9,其一次项系数为 (　 　 ) A. 1 B. -1 C. -11 D. 11 3. 若 mx2 +3 = 2x(x-2)是关于 x 的一元二次方程,则 m 的取值范围是　 　 　 　 . 考点二　 方程的解 4. 方程(x+3) 2 = 4 的根是 (　 　 ) A. x1 = -1,x2 = -5　 B. x1 = 1,x2 = -5　 C. x1 = x2 = -1 D. x1 = -1,x2 = 5 5. 已知 a 是方程 x2 +x-1 = 0 的一个根,则 2 a2 -1 - 1 a2 -a 的值为 (　 　 ) A. -1+ 5 2 B. -1± 5 2 C. -1 D. 1 6. 已知关于 x 的一元二次方程 mx2 +5x+m2 -2m= 0 有一个根为 0,则 m= . 考点三　 一元二次方程的解法 7. 用适当的方法解下列一元二次方程: (1)x2 -2x-2 027 = 0; (2)2x2 -3x-2 = 0; (3)4x2 -4x+1 = 0; (4)6x2 +2 = 7x; (5)(2x-1) 2 = (3-x) 2; (6)(x+1)(x-1) +2(x+3)= 8. 8. 阅读例题,解答下题: 例:解方程 x2 - | x-1 | -1 = 0. 解:①当 x-1≥0,即 x≥1 时,x2 -(x-1)-1 = 0,x2 -x= 0. 解得 x1 = 0(不符合题意,舍去),x2 = 1; ②当 x-1<0,即 x<1 时,x2 +(x-1)-1 = 0,x2 +x-2 = 0. 解得 x1 = 1(不符合题意,舍去),x2 = -2. 综上所述,原方程的解是 x= 1 或-2. 依照上例解法,解方程:x2 +2 | x+2 | -4 = 0. 考点四　 一元二次方程根的判别式 9. 一元二次方程 2x2 -x+1 = 0 根的情况是 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 10. 关于 x 的一元二次方程 x2 -2 3 x+m= 0 有两个不相等的实数根,则实数 m 的取值范围是 (　 　 ) A. m<3 B. m>3 C. m≤3 D. m≥3 11. 关于 x 的一元二次方程 x2-(k-3)x-k+1= 0 的根的情况,下列说法正确的是 (　 　 ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 12. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 +(2k+1)x+k2 -2 = 0 的两根为 x1 和 x2,且(x1 -2)(x1 -x2 )= 0,则 k 的 值是　 　 　 　 　 　 . 13. 定义新运算“a∗b”:对于任意实数 a,b,都有 a∗b = (a+b) (a-b) -1,其中等式右边是通常的加法、 减法、乘法运算,例如 4∗3 = (4+3) ×(4-3) -1 = 7-1 = 6. 若 x∗k = x(k 为实数)是关于 x 的方程,则 它的根的情况为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 14. 已知关于 x 的一元二次方程(a-3)x2 -4x+3 = 0. (1)若方程的一个根为 x= -1,求 a 的值; (2)若方程有实数根,求满足条件的正整数 a 的值; (3)请为 a 选取一个合适的整数,使方程有两个整数根,并求这两个根. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点五　 一元二次方程根与系数的关系 15. 关于 x 的一元二次方程 x2 +(a2 -3a)x+a= 0 的两个实数根互为倒数,则 a 的值为 (　 　 ) A. -3　 B. 0　 C. 1　 D. -3 或 0 16. 关于 x 的一元二次方程 2x2 +kx-4 = 0 的一个根为 x1 = -2,则方程的另一个根 x2 和 k 的值为 (　 　 ) A. x2 = 1,k= 2　 　 B. x2 = 2,k= 2　 C. x2 = 1,k= -1　 D. x2 = 2,k= -1 17. 设 x1 与 x2 为一元二次方程 1 2 x2 +3x+2 = 0 的两个根,则(x1 -x2) 2 的值为　 　 　 　 . 18. 关于 x 的一元二次方程 2x2 +4mx+m= 0 有两个不同的实数根 x1,x2,且 x21 +x22 = 3 16 ,则 m= 　 　 　 　 . 19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 -(2k+1)x+ 1 2 k2 -2 = 0. (1)求证:无论 k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根; (2)若方程的两个实数根 x1,x2 满足 x1 -x2 = 3,求 k 的值. 20. 已知 x1,x2 是一元二次方程 x2 -2x+k+2 = 0 的两个实数根. (1)求 k 的取值范围; (2)是否存在实数 k,使得等式 1 x1 + 1 x2 = k- 2 成立? 如果存在,请求出 k 的值;如果不存在,请说明 理由. 考点六　 一元二次方程的实际应用 21. 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的 总数是 157. 每个支干长出的小分支的数目为 (　 　 ) A. 12 B. 11 C. 8 D. 7 22. (原创题)“淄博烧烤”火出圈,淄博市政府为方便游客出行,开通了多条公交专线,其中 13 号专线 的站点设置依次为齐鲁医药学院—联通路—姜萌路……周村古商城(大街) . 已知齐鲁医药学院和 周村古商城(大街)这两个站点之间一共有 90 种往返乘车方案,求这条线路一共有多少个站点. 设 这条线路一共有 x 个站点. 根据题意,下列方程正确的是 (　 　 ) A. x(x+1)= 90 B. x(x-1)= 90 C. 1 2 x(x+1)= 90 D. 1 2 x(x-1)= 90 23. 如图,有一道长为 10 m 的墙,计划用总长为 54 m 的篱笆,靠墙围成由六个小长方形组成的矩形花 圃 ABCD. 若花圃 ABCD 的面积为 72 m2,求 AB 的长. 24. 如图,在△ABC 中,∠B= 90°,AB= 5 cm,BC= 8 cm. 点 P 从点 A 出发沿 AB 边向点 B 以 1 cm / s 的速 度移动,同时点 Q 从点 B 出发沿 BC 边向点 C 以 2 cm / s 的速度移动,当其中一点到达终点时,另外 一点也随之停止运动. 运动时间为 t s. (1)△PQB 的面积能否等于 9 cm2? 请说明理由; (2)几秒后,四边形 APQC 的面积等于 16 cm2? 请写出计算过程. 25. (新素养·应用意识)山西土豆(马铃薯)色泽光鲜,含淀粉高,不容易腐烂,比其他地方土豆有更多 的淀粉、蛋白质、维生素 C 等营养成分. 某合作社 2021 年到 2023 年每年种植土豆 100 亩,2021 年土 豆的平均亩产量为 1 000 千克,2022 年到 2023 年引进先进的种植技术,2023 年土豆的平均亩产量 达到 1 440 千克. (1)若 2022 年和 2023 年土豆的平均亩产量的年增长率相同,土豆平均亩产量的年增长率为多少? (2)2024 年该合作社计划在保证土豆种植的总成本不变的情况下,增加土豆的种植面积,经过统计 调查发现,2023 年每亩土豆的种植成本为 1 200 元. 若土豆的种植面积每增加 1 亩,每亩土豆的种 植成本下降 10 元,则该合作社增加多少亩土豆的种植面积,才能保证土豆种植的总成本不变? · 16·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 OA·OB AB = 12 5 . ∴ PQ= ( 125 ) 2 -12 = 119 5 . 17.解:如图,连接 BD. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB= 90°. ∵ ∠ADC= 26°, ∴ ∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-26°=64°. ∴ ∠CAB= 64°. ∴ ∠CEB= ∠CAE+∠ACD= 64°+52° = 116°. 18.证明:由题意,得四边形 ABCD 为☉O 的内接四边形, ∴ ∠ADC+∠ABC= 180°. ∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB. ∵ ∠ACP+∠ACB= ∠ACP+∠ABC= 180°, ∴ ∠ADC= ∠ACP. 又∵ ∠CAD= ∠PAC,∴ △ADC∽△ACP. ∴ AD AC =AC AP . ∵ AB=AC,∴ AD AB =AB AP ,即 AB2 =AD·AP. 19. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=AB,AD∥BC. ∵ ∠A= 60°,∴ △ABD 是等边三角形. ∴ ∠ABD= 60°. ∵ ∠EBF= 60°, ∴ ∠EBF= ∠ABD. ∴ ∠DBF= ∠ABE. (2)解:如图,过点 B 作 BQ⊥ AD 于点 Q,设 BE 与 AD 交于 点 M,BF 与 CD 交于点 N,则 ∠BQA= 90°. ∴ △ABD 是等边三角形, ∴ AB=DB. 在△ABM 和△DBN 中, ∠A= ∠BDN, AB=DB, ∠ABM= ∠DBN, ì î í ï ï ïï ∴ △ABM≌△DBN(ASA) . ∴ S△ABM =S△DBN . ∴ 四边形 DMBN 的面积等于△ABD 的面积. ∵ △ABD 是等边三角形,BQ⊥AD, ∴ AD=AB= 6,∠ABD= 60°,BQ 平分∠ABD. ∴ ∠ABQ= 1 2 ∠ABD= 30°. ∴ BQ=AB·cos∠ABQ= 6× 3 2 = 3 3 . ∴ S阴影部分 = S扇形EBF -S△DBA = 60π×62 360 - 1 2 × 6 × 3 3 = 6π - 9 3 . 20. (1)证明:如图,连接 OC. ∵ CD 为☉O 的切线,∴ OC⊥CD. ∵ CD⊥AD,∴ OC∥AD. ∴ ∠OCB= ∠E. ∵ OB=OC,∴ ∠OCB= ∠B. ∴ ∠B= ∠E. ∴ AE=AB. (2)解:如图,连接 AC. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°. ∴ AC= AB2 -BC2 = 102 -62 = 8. ∵ AB=AE,∠ACB= 90°, ∴ CE=BC= 6. ∵ 1 2 CD·AE= 1 2 AC·CE,∴ CD=AC·CE AE = 8×6 10 = 24 5 . 21. (1)证明:在△AOF 和△EOF 中, OA=OE, ∠AOF= ∠EOF, OF=OF, ì î í ïï ï ∴ △AOF≌△EOF(SAS) . ∴ ∠OAF= ∠OEF. ∵ BC 与☉O 相切于点 E,∴ OE⊥FC. ∴ ∠OAF= ∠OEF= 90°,即 OA⊥AF. ∵ OA 是☉O 的半径,∴ AF 是☉O 的切线. (2)解:在 Rt△CAF 中,∠CAF= 90°,FC= 10,AC= 6, ∴ AF= FC2 -AC2 = 8. ∵ ∠OCE= ∠FCA,∠OEC= ∠FAC= 90°, ∴ △OEC∽△FAC. ∴ EO AF =OC FC . 设☉O 的半径为 r. ∴ r 8 = 6-r 10 . 解得 r= 8 3 . 在 Rt△FAO 中,∠FAO= 90°,AF= 8,AO= 8 3 , ∴ OF= AF2 +AO2 = 82 + ( 83 ) 2 = 8 3 10 . ∴ FD=OF-OD= 8 3 10 - 8 3 . 22. (1)证明:如图,在 CB 上截取 CG = AB,连接 MA,MB, MC 和 MG. ∵ M 是 ABC ( 的中点,∴ MA=MC. ∵ MB ( =MB ( ,∴ ∠A= ∠C. 在△MBA 和△MGC 中, MA=MC, ∠A= ∠C, AB=CG, ì î í ïï ï ∴ △MBA≌△MGC(SAS) . ∴ MB=MG. ∵ MD⊥BC,∴ BD=GD. ∴ CG+GD=AB+BD,即 CD=AB+BD. (2)解:如图 1,连接 BD,CD,在 AC 上截取 CM = AB,连 接 AD,DM. ∵ AD ( =AD ( ,∴ ∠B= ∠C. ∵ BD ( =CD ( ,∴ BD=CD. 在△ABD 和△MCD 中, AB=MC, ∠B= ∠C, BD=CD, ì î í ïï ï ∴ △ABD≌△MCD(SAS) . ∴ AD=MD. ∵ DE⊥AC,∴ AE=ME. ∴ AB+AE=CM+ME=CE=AC-AE. ∵ AB= 4,AC= 10,∴ AE= 3. 图 1 (3)解:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC,BC=AB= 8. ∴ AB ( =AC ( . 由阿基米德折弦定理,可得 BE=ED+CD. ∵ ∠ABD= 45°,AB= 8,∠AEB= 90°, ∴ BE=AB·cos 45° = 2 2 AB= 4 2 . ∴ △BDC 的周长为 BC+BD+CD = BC+BE+ED+CD = BC+2BE= 8+8 2 . 第 4 章考点梳理与复习 考点一　 一元二次方程的定义 1. C　 2. C　 【解析】一元二次方程(3x-1) 2 = 5x 的一般形式为 9x2 -11x+1 = 0,其中一次项系数为-11. 故选 C. 3. m≠2 考点二　 方程的解 4. A　 5. D　 【解析】∵ a 是方程 x2+x-1=0 的一个根,∴ a2+a-1=0. ∴ a2 + a = 1, 即 a ( a + 1 ) = 1. ∴ 2 a2 -1 - 1 a2 -a = 2a-(a+1) a(a+1)(a-1) = 1 a(a+1) = 1. 故选 D. 6. 2 考点三　 一元二次方程的解法 7.解:(1)x2 -2x= 2 027, x2 -2x+1 = 2 027+1, (x-1) 2 = 2 028, x-1 = ±2 507 , ∴ x1 = 1+2 507 ,x2 = 1-2 507 . (2)∵ Δ = b2 -4ac= ( -3) 2 -4×2×( -2)= 25, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 3±5 4 . ∴ x1 = - 1 2 ,x2 = 2. (3)(2x-1) 2 = 0, 2x-1 = 0, x1 = x2 = 1 2 . (4)原式= 6x2 -7x+2 = 0. ∵ Δ = b2 -4ac= ( -7) 2 -4×6×2 = 1, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 7±1 12 . ∴ x1 = 2 3 ,x2 = 1 2 . (5)(2x-1) 2 -(3-x) 2 = 0, (2x-1+3-x)(2x-1-3+x)= 0, (x+2)(3x-4)= 0, x+2 = 0 或 3x-4 = 0. ∴ x1 = -2,x2 = 4 3 . (6)x2 -1+2x+6 = 8, x2 +2x-3 = 0, x2 +2x+1-4 = 0, (x+1) 2 = 4, x+1 = ±2, ∴ x1 = -3,x2 = 1. 8.解:①当 x+2≥0,即 x≥-2 时, x2 +2(x+2) -4 = 0, x2 +2x= 0. 解得 x1 = 0,x2 = -2; ②当 x+2<0,即 x<-2 时, x2 -2(x+2) -4 = 0, x2 -2x-8 = 0. 解得 x1 = 4(不符合题意,舍去),x2 = - 2(不符合题意, 舍去) . 综上所述,原方程的解是 x= 0 或-2. 考点四　 一元二次方程根的判别式 9. C　 10. A　 11. A　 【解析】Δ = [-(k-3)] 2 -4(-k+1)= k2 -6k+9+4k- 4 = k2 -2k+5 =(k-1) 2 +4. ∵ (k-1) 2 ≥0,∴ (k-1) 2 +4> 0,即 Δ>0. ∴ 方程有两个不相等的实数根. 故选 A. 12. -2 或- 9 4 　 【解析】∵ (x1 -2)(x1 -x2)= 0,∴ x1 -2 = 0 或 x1 -x2 = 0. ①如果 x1 -2 = 0,那么 x1 = 2. 将 x = 2 代入 x2 + (2k+1)x+k2 -2 = 0,得 4+2(2k+1)+k2 -2= 0. 整理,得 k2 + 4k+4 = 0. 解得 k= -2. 此时方程为 x2 -3x+2 = 0,Δ>0,符 合题意. ②如果 x1 -x2 = 0,则 Δ = (2k+1) 2 -4(k2 -2)= 0. 解得 k= - 9 4 . ∴ k 的值是-2 或- 9 4 . 13. 有两个不相等的实数根　 【解析】∵ x∗k= x(k 为实数) 是关于 x 的方程,∴ (x+k)(x-k)-1 = x. 整理,得 x2 -x- k2 -1 = 0. ∵ Δ =(-1) 2 -4(-k2 -1)= 4k2 +5>0,∴ 方程有 两个不相等的实数根. 14.解:(1)∵ 方程的一个根为 x= -1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 60·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·61　 · ∴ a-3+4+3 = 0. ∴ a= -4. (2)由题意,得 Δ≥0 且 a≠3. ∴ 16-12(a-3)≥0. 解得 a≤13 3 . ∵ a 是正整数,∴ a= 1 或 2 或 4. (3)当 a= 4 时,方程为 x2 -4x+3 = 0. 解得 x= 3 或 1. (答案不唯一) 考点五　 一元二次方程根与系数的关系 15. C　 16. A　 17. 20　 【解析】由题意,可知 x1 +x2 = -6,x1x2 = 4. ∴ ( x1 - x2) 2 =(x1 +x2) 2 -4x1x2 =(-6) 2 -4×4 = 36-16 = 20. 18. - 1 8 　 【解析】根据题意,得 x1 +x2 = -2m,x1x2 = m 2 . ∵ x21 + x22 = 3 16 ,∴ (x1 +x2) 2 -2x1x2 = 3 16 . ∴ 4m2 -m = 3 16 . ∴ m1 = - 1 8 ,m2 = 3 8 . ∵ Δ =(4m) 2 -4×2×m>0,∴ m> 1 2 或 m<0. ∴ m= 3 8 不符合题意,舍去. ∴ m= - 1 8 . 19. (1)证明:Δ = [ -(2k+1)] 2 -4×1× ( 12 k 2 -2 ) = 4k2 +4k+ 1-2k2 +8 = 2k2 +4k+9 = 2(k+1) 2 +7. ∵ 无论 k 为何实数,2(k+1) 2≥0, ∴ 2(k+1) 2 +7>0. ∴ 无论 k 为何实数,方程总有两个不相等的实数根. (2)解:由根与系数的关系得出 x1 +x2 = 2k+ 1,x1x2 = 1 2 k2 -2. ∵ x1 -x2 = 3,∴ (x1 -x2) 2 = 9. ∴ (x1 +x2) 2 -4x1x2 = 9. ∴ (2k+1) 2 -4× ( 12 k 2 -2 ) = 9. 化简得 k2 +2k= 0. 解得 k= 0 或-2. ∴ k 的值为 0 或-2. 20.解:(1)∵ 一元二次方程 x2 -2x+k+2 = 0 有两个实数根, ∴ Δ = ( -2) 2 -4×1×(k+2)≥0. 解得 k≤-1. ∴ k 的取值范围为 k≤-1. (2)存在实数 k,使该等式成立. ∵ x1,x2 是一元二次方程 x2 - 2x + k + 2 = 0 的两个实 数根, ∴ x1 +x2 = 2,x1x2 = k+2. ∵ 1 x1 + 1 x2 = k-2,∴ x1 +x2 x1x2 = 2 k+2 = k-2. ∴ k2 -6 = 0. 解得 k1 = - 6 ,k2 = 6 . 又∵ k≤-1,∴ k= - 6 . ∴ 存在实数 k,使得等式 1 x1 + 1 x2 = k- 2 成立,k 的值为 - 6 . 考点六　 一元二次方程的实际应用 21. A　 【解析】设每个支干长出的小分支的数目为 x. 根据 题意列方程,得 x2 +x+1 = 157. 解得 x1 = 12,x2 = -13(不 符合题意,舍去) . ∴ x= 12. 故选 A. 22. B 23.解:设 AB 的长是 x m,则 BC 的长是54 -3x 3 = (18-x)m. 根据题意,得 x(18-x)= 72. 解得 x1 = 6,x2 = 12. 当 x= 6 时,18-x= 12>10,不符合题意,舍去. 当 x= 12 时,18-x= 6<10,符合题意. ∴ AB 的长是 12 m. 24.解:(1)△PQB 的面积不能等于 9 cm2 . 理由如下: ∵ 5÷1 = 5(s),8÷2 = 4(s), ∴ 运动时间 t 的取值范围为 0≤t≤4. 根据题意,可得 AP= t cm,BP= (5-t)cm,BQ= 2t cm. 假设△PQB 的面积等于 9 cm2, 则 1 2 BP·BQ= 1 2 (5-t) ×2t= 9. 整理,得 t2 -5t+9 = 0. ∵ Δ = ( -5) 2 -4×1×9 = -11<0, ∴ 所列方程没有实数根. ∴ △PQB 的面积不能等于 9 cm2 . (2)∵ 四边形 APQC 的面积等于 16 cm2, ∴ S△ABC-S△PBQ = 1 2 AB·BC- 1 2 BP·BQ= 1 2 ×5×8- 1 2 (5- t) ×2t= 16. 整理,得 t2 -5t+4 = 0. 解得 t1 = 1,t2 = 4. 当 t= 4 时,C,Q 点重合,不符合题意,舍去, ∴ t= 1. ∴ 1 s 后,四边形 APQC 的面积等于 16 cm2 . 25.解:(1)设土豆平均亩产量的年增长率为 x. 根据题意,得 1 000(1+x) 2 = 1 440. 解得 x1 = 0. 2,x2 = -2. 2(不符合题意,舍去) . ∴ 土豆平均亩产量的年增长率为 20% . (2)设该合作社增加 a 亩土豆的种植面积. 根据题意,得(100+a)(1 200-10a)= 1 200×100. 解得 a1 = 0(不符合题意,舍去),a2 = 20. ∴ 该合作社增加 20 亩土豆的种植面积,才能保证土豆 种植的总成本不变. 第 4 章学业水平测试 1. D　 2. D　 3. D　 4. C　 5. B　 6. B　 7. B　 【解析】设此方程的两个根是 α,β. 根据题意,得 α+β= -p= -4,αβ = q = -20,则以 α,β 为根的一元二次方程是 x2 +4x-20 = 0. 故选 B. 8. C　 9. C 10. A　 【解析】由勾股定理,得 BC2 +AC2 =AB2,∵ BD=BC= a 2 ,AC= b,AB = a 2 +AD,∴ ( a2 ) 2 +b2 = ( a2 +AD ) 2 . 整 理,得 AD2 +a·AD= b2 . ∵ x2 +ax = b2,∴ 线段 AD 的长是 方程 x2 +ax= b2 的一个正根. 故选 A. 11. -2　 3　 12. a≥1 且 a≠2　 13. 直角 14. (50-x-30)(300+20x)= 6 080 15. 1　 【解析】∵ 关于 x 的方程(a-1) x2 -2x+3 = 0 有实数 根,∴ 当 a= 1 时,方程为-2x+3 = 0. 解得 x = 3 2 . 符合题 意;当 a≠1 时,该方程为一元二次方程,则 Δ = (-2) 2 - 4(a-1) ×3 = 16-12a≥0. 解得 a≤ 4 3 . ∴ a 的取值范围 为 a≤ 4 3 且 a≠1. ∴ 整数 a 的最大值是 1. 16. 5 3 -5　 【解析】∵ 阴影部分的面积+四个小正方形的 面积= 大正方形的面积,∴ 大正方形的面积为 50+ 4 × ( 52 ) 2 = 75. ∴ 大 正 方 形 的 边 长 为 75 = 5 3 . ∴ 该方程的正数解 x 是 5 3 -2× 5 2 = 5 3 -5. 17.解:x(x-1) +(x-1)= 0, (x-1)(x+1)= 0, x-1 = 0 或 x+1 = 0, x1 = 1,x2 = -1. (2)x2 +2x+1 = 36, (x+1) 2 = 36, x+1 = ±6, x1 = -7,x2 = 5. (3)4x2 -12x-3 = 0, b2 -4ac= ( -12) 2 -4×4×( -3)= 192, x= 12± 192 2×4 = 3±2 3 2 , x1 = 3+2 3 2 ,x2 = 3-2 3 2 . 18.解:设竹竿的长度是 x 尺,则门的宽度是(x-4)尺,门的高 度是(x-2)尺. 依题意,得(x-4) 2 +(x-2) 2 = x2 . 整理,得 x2 -12x+20 = 0. 解得 x1 = 2(不符合题意,舍去),x2 = 10. ∴ x-2 = 10-2 = 8. ∴ 门的高度是 8 尺. 19.解:(1)根据题意,得 Δ = 64-4(a-6) ×9≥0 且 a-6≠0. 解得 a≤70 9 且 a≠6. ∴ a 的最大整数值为 7. (2)①当 a= 7 时,原方程变形为 x2 -8x+9 = 0. Δ = 64-4×9 = 28, ∴ x= 8± 28 2 ,即 x1 = 4+ 7 ,x2 = 4- 7 . ②∵ x2 -8x+9 = 0,∴ x2 -8x= -9. 原式= 2x2 - 32x -7 -9+11 = 2x2 -16x+ 7 2 = 2( x2 -8x) + 7 2 = 2 × ( -9) + 7 2 = -29 2 . 20.解:依题意,得 100+(6-a) ×5a= 140. 整理,得 a2 -6a+8 = 0. 解得 a1 = 2,a2 = 4. ∵ a≥3,∴ a= 4. 设矩形材料的长为 3x m,则宽为 2x m. 依题意,得 3x·2x-(3x-0. 5×2)(2x-0. 5×2)= 49. 解得 x= 10. ∴ 3x·2x= 600. ∴ 600-49 = 551(m2) . ∵ 551>4,∴ 100+5×4×(551-4)= 11 040(元) . ∴ 这张广告的费用是 11 040 元. 21. 解: ( 1) 根据材料,可知第 n 个三角形数可以表示 为 n(n+1) 2 . 当 n(n+1) 2 = 78 时,化简,得 n2 +n-156 = 0. 解得 n1 = 12,n2 = -13. ∵ n 是正整数,∴ n= -13 舍去. ∴ 78 是第 12 个三角形数. (2)设较小的三角形数是n(n +1) 2 ,则较大的三角形数 是 (n+1)(n+2) 2 . 由题意,得n(n +1) 2 +(n+1)(n+2) 2 = 121. 解得 n1 = 10,n2 = -12(舍去) . 当 n= 10 时,n(n +1) 2 = 55,(n +1)(n+2) 2 = 66. ∴ 这两个三角形数是 55 和 66. 22.解:(1)令 y= x2,则有 y2 -5y+6 = 0. ∴ (y-2)(y-3)= 0. ∴ y1 = 2,y2 = 3. ∴ x2 = 2 或 3. ∴ x1 = 2 ,x2 = - 2 ,x3 = 3 ,x4 = - 3 . (2)令 m=a2,n= b2,则实数 m,n 满足 2m2 -7m+1 = 0, 2n2 -7n+1 = 0. a≠b 可分为两种情况. ①当 a2≠b2,即 m≠n 时, m,n 是方程 2x2 -7x+1 = 0 的两个不相等的实数根. ∴ m+n= 7 2 , mn= 1 2 . ì î í ï ï ï ï 此时 a4+b4 =m2+n2 =(m+n)2-2mn= ( 72 ) 2 -2× 1 2 =45 4 . ②当 a2 = b2,即 a = -b,m = n 时,m(或 n) 是方程 2x2 - 7x+1 = 0 的其中一个实数根. m=n= 7± 7 2 -4×2×1 2×2 = 7± 41 4 , 此时 a4 +b4 =m2 +n2 = 2m2 = 2× ( 7± 414 ) 2 = 45±7 41 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋