第3章 对圆的进一步认识 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·13　 · 第 3 章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 如图,A,B,C 是☉O 上的三点,已知∠O= 60°,则∠ACB 的度数是 (　 　 ) A. 20°　 B. 25°　 C. 45°　 D. 30° 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 图 1 　 图 2 第 4 题图 2. 如图,A,B,C 三点在☉O 上. 若∠ACB= ∠AOB,则∠AOB 的度数是 (　 　 ) A. 60°　 B. 90°　 C. 100°　 D. 120° 3. 若正六边形的边心距为 3 ,则这个正六边形的周长为 (　 　 ) A. 6　 B. 9　 C. 12　 D. 18 4. (新素材·传统文化)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具,如图 1,筒车盛水桶的运行轨道是 以轴心 O 为圆心的圆,如图 2,已知圆心 O 在水面上方,且☉O 被水面截得的弦 AB 的长为 4 m,☉O 的半径为 3 m. 若 C 为运行轨道的最低点,则点 C 到弦 AB 所在直线的距离为 (　 　 ) A. 1 m B. 2 m C. (3- 5 )m D. (3+ 5 )m 5. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,AC 为☉O 的直径. 若 BC= 2,∠ADB 的度数为 60°,则☉O 的半径为 (　 　 ) A. 1　 B. 3 　 C. 2　 D. 2 3 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 6. 如图,AB 是☉O 的直径,弦 AD 平分∠BAC,过点 D 的切线交 AC 于点 E,∠EAD = 25°,则下列结论错 误的是 (　 　 ) A. AE⊥DE B. AE∥OD C. DE=OD D. ∠BOD= 50° 7. 如图,PA,PB 是☉O 的切线,切点分别为 A,B,点 C 在 AB ( 上,过点 C 作☉O 的切线分别交 PA,PB 于 点 E,D,连接 OD,OE. 若∠P= 50°,则∠DOE 的度数为 (　 　 ) A. 130°　 B. 50°　 C. 60°　 D. 65° 8. 尺规作图特有的魅力曾使无数人沉浸其中. 传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:①将半径为 r 的☉O 六等分,依次得到 A,B,C,D,E,F 六个分点;②分别以点 A,D 为圆心,AC 长为半径画弧,G 是 两弧的一个交点;③连接 OG. 问:OG 的长是多少? 大臣给出的正确答案应是 (　 　 ) A. 3 r B. 1+ 2 2( ) r C. 1+ 3 2( ) r D. 2 r 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,已知△OAC,点 O 在坐标原点上,OA 边在 x 轴上,OA= 8,AC= 4,把△OAC 绕点 A 按顺时针方向 旋转到△O′AC′,使得点 O′的坐标是(4,4 3 ),则在这次旋转过程中线段 OC 扫过部分(阴影部分)的 面积为 (　 　 ) A. 8π　 B. 2 3 π　 C. 2π　 D. 48π 10. 沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”,其主要思 路是局部以直代曲,给出一个比较实用的近似公式. 如图,AB ( 是以点 O 为圆心,OA 为半径的圆弧,C 是弦 AB 的中点,DC⊥AB,D 在 AB ( 上. “会圆术”给出 AB ( 的弧长的近似值 s 的计算公式:s = AB+ CD2 OA . 当 CD= 1,AB= 6 时,s 的值为 (　 　 ) A. 3 B. 5 C. 6 D. 31 5 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. (新素材·传统文化)小云从正面观察三星堆青铜太阳轮(如图),发现它的正面图形可近似地看作 是将圆五等分得到的. 图中∠α 的度数为 . 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 图 1 　 图 2 第 13 题图 　 　 　 第 14 题图 12. 如图,小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为 2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相 切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16” (单位:cm),请你帮小华算出圆盘的半 径是 cm. 13. 如图 1,宁波城区最大摩天轮“芯动北仑”已成为北仑地标性建筑. 已知“芯动北仑”摩天轮的半径约 为 26 m,每个轿厢安装在摩天轮圆周 30 等分的分点处,如图 2 所示,则相邻轿厢之间的弧长为 m. (结果保留 π) 14. 如图,在△ABC 中,∠A=60°,BC=5 cm.能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是　 　 　 　 cm. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15. 如图,☉O 的直径 AB⊥CD,∠1 = 2∠2,则 tanD= 　 　 　 　 . 第 15 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 16 题图 16. 如图,在平面直角坐标系中,直线 AB 经过点 A(-4,0),B(0,3),☉O 的半径为 1(O 为坐标原点),点 P 在 直线 AB 上,过点 P 作☉O 的一条切线 PQ,Q 为切点,则切线长 PQ 的最小值为　 　 　 　 　 . 三、解答题(共 52 分) 17. (6 分)如图,AB 是☉O 的直径,弦 CD 与 AB 相交于点 E,∠ACD = 52°,∠ADC = 26°. 求∠CEB 的 度数. 18. (6 分)如图,在☉O 的内接三角形 ABC 中,AB=AC,D 是☉O 上一点,AD 的延长线交 BC 的延长线于 点 P. 求证:AB2 =AD·AP. 19. (8 分)如图,四边形 ABCD 是菱形,∠A= 60°,AB= 6,扇形 BEF 的半径为 6,圆心角为 60°. (1)连接 DB. 求证:∠DBF= ∠ABE; (2)求图中阴影部分的面积. 20. (10 分)如图,AB 为☉O 的直径,点 C 在☉O 上,AD 与过点 C 的切线互相垂直,垂足为 D. 连接 BC 并延长,交 AD 的延长线于点 E. (1)求证:AE=AB; (2)若 AB= 10,BC= 6,求 CD 的长. 21. (11 分)如图,O 是△ABC 的边 AC 上一点,以点 O 为圆心,OA 长为半径作☉O,与 BC 相切于点 E,交 AB 于点 D,连接 OE,连接 OD 并延长交 CB 的延长线于点 F,∠AOD= ∠EOD. (1)连接 AF. 求证:AF 是☉O 的切线; (2)若 FC= 10,AC= 6,求 FD 的长. 22. (11 分)阿基米德折弦定理:如图 1,AB 和 BC 是☉O 的两条弦(即折线 ABC 是圆的一条折弦),BC> AB,M 是 ABC ( 的中点,则从点M 向 BC 所作垂线的垂足D 是折弦 ABC 的中点,即 CD=AB+BD. 小明同 学运用“截长法”和三角形全等来证明 CD=AB+BD,过程如下: 证明:如图 2,在 CB 上截取 CG=AB,连接 MA,MB,MC 和 MG. ∵ M 是 ABC ( 的中点,∴ MA=MC…… 任务: (1)请按照上述思路,写出该证明的剩余部分; (2)如图 3,在☉O 中,BD ( =CD ( ,DE⊥AC. 若 AB= 4,AC= 10,则 AE 的长度为　 　 　 　 ; (3)如图 4,已知等边三角形 ABC 内接于☉O,AB= 8,D 为 AC ( 上一点,∠ABD= 45°,AE⊥BD 于点 E. 求△BDC 的周长. 图 1 　 图 2 　 图 3 　 图 4 · 14·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·59　 · ∴ MN⊥CD,MN= 7 cm. ∵ OM⊥CD,ON⊥AB, ∴ DM= 1 2 CD= 1 2 ×6= 3(cm),BN= 1 2 AB= 1 2 ×8=4(cm). 设 OM= x cm,∴ ON=MN-OM= (7-x)cm. ∵ OM2 +MD2 =OD2,ON2 +BN2 =OB2,OD=OB, ∴ OM2 +MD2 =ON2 +BN2,即 x2 +32 = (7-x) 2 +42 . 解得 x= 4. ∴ OM= 4 cm. ∴ OD= OM2 +MD2 = 42 +32 = 5(cm) . ∴ 纸杯的直径为 5×2 = 10(cm) . 考点二　 圆周角定理及其推论 7. B　 8. A　 【解析】如图,延长 CO 交☉O 于 点 D,连接 AD. ∵ CD 为 ☉O 的直 径,∴ CD= 2OC= 10,∠DAC= 90°. ∴ AD = CD2 -AC2 = 102 -82 = 6. ∵ ∠DAC = ∠BHA = 90°, ∠ADC = ∠ABC,∴ △ADC∽ △HBA. ∴ BH DA = AB CD ,即2 3 6 =AB 10 . ∴ AB= 10 3 3 . 故选 A. 9. 二 10. 1 2 　 【解析】根据“同弧所对的圆周角相等”可得∠BDC = ∠BAE. 在 Rt△BDC 中, tan∠BDC = BC BD = 2 4 = 1 2 ,则 tan∠BAE= 1 2 . 11. 4 5 cm 12. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠ADC+∠ABC= 180°. ∵ ∠ADE+∠ADC= 180°, ∴ ∠ADE= ∠ABC. ∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB. ∵ ∠ACB= ∠ADB,∴ ∠ADB= ∠ABC. ∴ ∠ADB= ∠ADE. (2)解:如图,连接 CO 并延长交☉O 于点 F,连接 BF, 则∠FBC= 90°. 在 Rt△BCF 中,CF= 2OC= 4,BC= 3, ∴ sinF=BC CF = 3 4 . ∵ ∠F= ∠BAC,∴ sin∠BAC= 3 4 . 考点三　 直线与圆的位置关系 13. B　 14. B 15. D　 【解析】如图,连接 OC,OD, CD,CD 交 PA 于点 E. ∵ PC,PD 与☉O 相切,切点分别为 C,D, ∴ OC⊥CP,OD⊥DP,PC = PD. ∵ OC = OD, ∴ △OCD ≌ △ODP ( SAS ) . ∴ ∠COB = ∠DOB = 1 2 ∠COD. ∵ ∠CAD = 1 2 ∠COD,∴ ∠COB = ∠CAD. ∵ AB= 6,∴ OC= 1 2 AB= 3. 在 Rt△OCP 中,OP= OC2 +PC2 = 32 +42 = 5, ∴ sin ∠COP = PC OP = 4 5 . ∴ sin∠CAD= 4 5 . 故选 D. 16. 115　 17. 3 或 4 3 18. (1)证明:如图,连接 OF. ∵ CD⊥AB,∴ ∠B+∠C= 90°. ∵ OB=OF,∴ ∠B= ∠OFB. ∵ EF=EC,∴ ∠C= ∠EFC. ∴ ∠OFB+∠EFC= 90°. ∴ ∠OFE= 180°-90° = 90°. ∴ OF⊥EF. ∵ OF 为☉O 的半径,∴ EF 是☉O 的切线. (2)解:如图,连接 AF. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠AFB= 90°. ∵ AB= 4,∴ OA=OB= 1 2 AB= 2. ∵ D 是 OA 的中点, ∴ OD= 1 2 OA= 1. ∴ BD=OB+OD= 3. ∵ CD⊥AB,∴ ∠CDB= 90°. 由勾股定理,得 BC= BD2 +CD2 = 32 +42 = 5. ∵ ∠AFB= ∠CDB= 90°,∠FBA= ∠DBC, ∴ △FBA∽△DBC. ∴ BF BD = AB CB . ∴ BF=AB·BD BC = 4×3 5 = 12 5 . ∴ CF=BC-BF= 5-12 5 = 13 5 . 考点四　 三角形的外接圆与内切圆 19. C　 【解析】如图,当点 A 与点 O 在 BC 的两侧时,∵ 四边形 ABA′C 是圆内接四 边形, ∴ ∠A + ∠A′ = 180°. ∴ ∠A′ = 114°. ∴ ∠A 的 值 是 66° 或 114°. 故 选 C. 20. C　 21. C 考点五　 与圆有关的计算 22. C 23. C　 【解析】∵ AC =BD = 10 cm,OC =OD = 3 cm,∴ OA = OB = 13 cm. ∴ S阴影 = S扇形OAB - S扇形OCD = 60π×132 360 - 60π×32 360 = 80 3 π(cm2) . 故选 C. 24. C 第 3 章学业水平测试 1. D　 2. D　 3. C 4. C　 【解析】如图,连接 OC 交 AB 于 点 D. 由题意,得 OA = OC = 3 m, OC⊥AB, ∴ AD = 1 2 AB = 1 2 × 4 = 2(m) . ∵ OC⊥AB,∴ ∠ADO = 90°. ∴ OD= OA2 -AD2 = 32 -22 = 5 (m) . ∴ CD =OC-OD = (3- 5 )m,即点 C 到弦 AB 所在直线的距离为(3- 5)m. 故选 C. 5. C 6. C　 【解析】 ∵ 弦 AD 平分∠BAC,∴ ∠OAD = ∠EAD = 25°. ∴ ∠BOD= 2∠OAD= 50°. 故选项 D 正确,不符合题 意;∵ OA = OD,∴ ∠OAD = ∠ODA. ∵ ∠OAD = ∠CAD, ∴ ∠CAD=∠ODA. ∴ OD∥AC,即 AE∥OD. 故选项 B 正确, 不符合题意;∵ DE 是☉O 的切线,∴ OD⊥DE. ∵ AE∥ OD,∴ DE⊥AE. 故选项 A 正确,不符合题意;如图,过点 O 作 OF⊥AC 于点 F,则四边形 OFED 是矩形. ∴ OF = DE. 在Rt△AFO 中,OA>OF. ∵ OD =OA,∴ DE<OD. 故选 项 C 错误,符合题意. 故选 C. 7. D　 【解析】如图,连接 OA,OB, OC. ∵ PA,PB 是☉O 的切线,切 点分别为 A,B,∴ OA⊥PA,OB⊥ PB. ∴ ∠OAP = ∠OBP = 90°. ∵ ∠P= 50°,∴ ∠AOB = 360°-90°- 90°- 50° = 130°. ∵ DE 切 ☉O 于 点 C, ∴ OC ⊥ DE. ∴ ∠DCO= ∠ECO= 90°. ∵ PA,DE 是☉O 的切线,切点 分别为 A,C,∴ ∠OAE = ∠OCE = 90°. ∵ OA = OC,OE = OE,∴ Rt△OAE = Rt△OCE(HL) . ∴ ∠AOE = ∠COE. 同 理可证 ∠COD = ∠BOD. ∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = 1 2 ∠AOB= 1 2 ×130° = 65°. 故选 D. 8. D　 【解析】如图,连接 AD,CD,AC,DG, AG. ∵ AD 是☉O 的直径,∴ ∠ACD= 90°. 由 题 意, 可 得 CD ( 的 度 数 为 60°, ∴ ∠DAC = 30°. 在 Rt △ACD 中,AD = 2r,∠DAC = 30°,∴ AC = AD·cos 30° = 3 r. ∴ AG = AC = 3 r. ∵ DG = AG = CA,OD = OA,∴ OG⊥ AD. ∴ ∠GOA = 90°. ∴ OG = AG2 -OA2 = ( 3 r)2 -r2 = 2 r. 故选 D. 9. A 　 【解析】 如 图,过 点 O′作 O′M⊥OA 于点 M,则 ∠O′MA = 90°. ∵ 点 O′ 的 坐 标 是 (4,4 3 ),∴ O′M = 4 3 ,OM = 4. ∵ AO = 8,∴ AM = 8 - 4 = 4. ∴ tan∠O′AM=O′M AM = 4 3 4 = 3 . ∴ ∠O′AM= 60°,即旋转角为 60°. ∴ ∠CAC′ = ∠OAO′ = 60°. ∵ △O′AC′为△OAC 绕点 A 按顺时针方向旋转所得, ∴ S△OAC =S△O′AC′ . ∴ 阴影部分的面积 S = S扇形OAO′+S△O′AC′- S△OAC-S扇形CAC′ = S扇形OAO′ -S扇形CAC′ = 60π×(82 -42) 360 = 8π. 故 选 A. 10. D　 【解析】如图,连接 OC. ∵ C 是弦 AB 的中点,DC⊥AB,∴ OC⊥AB. ∴ C, D,O 三点共线. ∵ AB= 6,∴ AC= 1 2 AB= 3. 设圆的半径为 r,则 OC= r-1. 在 Rt△AOC 中,根据勾 股定理,得 OA2 =AC2 +OC2,即 r2 = 32 +( r-1) 2 . 解得 r = 5. ∴ OA= 5. ∴ s= 6+ 1 5 = 31 5 . 故选 D. 11. 72°　 12. 10　 13. 26π 15 14. 10 3 3 　 【解析】设圆的圆心为点 O,能够 将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的 外接圆. 根据题意作图,如图,过点 O 作 OD⊥BC 于点 D. ∵ ∠A = 60°,∴ ∠BOC = 120°. ∵ OB = OC,OD⊥BC,∴ ∠ODB = 90°,∠BOD = 1 2 ∠BOC = 60°, BD= 1 2 BC = 5 2 cm. ∵ sin∠BOD = BD OB ,∴ OB = BD sin 60° = 5 2 3 2 = 5 3 3 ( cm) . ∴ △ABC 外 接 圆 的 直 径 是 2OB = 10 3 3 cm. 15. 1+ 2 16. 119 5 　 【解析】如图,连接 OP,OQ. ∵ PQ 是☉O 的切线,∴ OQ⊥PQ. 根 据勾股定理,知 PQ2 = OP2 -OQ2 = OP2 -1. ∴ 当 OP 最小时,PQ 最小. ∴ 当 OP⊥AB 时,切线长 PQ 最短. ∵ A( - 4, 0), B ( 0, 3), ∴ OA = 4, OB = 3. ∴ AB = OA2 +OB2 = 5. ∵ S△AOB = 1 2 AB·OP= 1 2 OA·OB,∴ OP= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 OA·OB AB = 12 5 . ∴ PQ= ( 125 ) 2 -12 = 119 5 . 17.解:如图,连接 BD. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠ADB= 90°. ∵ ∠ADC= 26°, ∴ ∠CDB=∠ADB-∠ADC=90°-26°=64°. ∴ ∠CAB= 64°. ∴ ∠CEB= ∠CAE+∠ACD= 64°+52° = 116°. 18.证明:由题意,得四边形 ABCD 为☉O 的内接四边形, ∴ ∠ADC+∠ABC= 180°. ∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB. ∵ ∠ACP+∠ACB= ∠ACP+∠ABC= 180°, ∴ ∠ADC= ∠ACP. 又∵ ∠CAD= ∠PAC,∴ △ADC∽△ACP. ∴ AD AC =AC AP . ∵ AB=AC,∴ AD AB =AB AP ,即 AB2 =AD·AP. 19. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ AD=AB,AD∥BC. ∵ ∠A= 60°,∴ △ABD 是等边三角形. ∴ ∠ABD= 60°. ∵ ∠EBF= 60°, ∴ ∠EBF= ∠ABD. ∴ ∠DBF= ∠ABE. (2)解:如图,过点 B 作 BQ⊥ AD 于点 Q,设 BE 与 AD 交于 点 M,BF 与 CD 交于点 N,则 ∠BQA= 90°. ∴ △ABD 是等边三角形, ∴ AB=DB. 在△ABM 和△DBN 中, ∠A= ∠BDN, AB=DB, ∠ABM= ∠DBN, ì î í ï ï ïï ∴ △ABM≌△DBN(ASA) . ∴ S△ABM =S△DBN . ∴ 四边形 DMBN 的面积等于△ABD 的面积. ∵ △ABD 是等边三角形,BQ⊥AD, ∴ AD=AB= 6,∠ABD= 60°,BQ 平分∠ABD. ∴ ∠ABQ= 1 2 ∠ABD= 30°. ∴ BQ=AB·cos∠ABQ= 6× 3 2 = 3 3 . ∴ S阴影部分 = S扇形EBF -S△DBA = 60π×62 360 - 1 2 × 6 × 3 3 = 6π - 9 3 . 20. (1)证明:如图,连接 OC. ∵ CD 为☉O 的切线,∴ OC⊥CD. ∵ CD⊥AD,∴ OC∥AD. ∴ ∠OCB= ∠E. ∵ OB=OC,∴ ∠OCB= ∠B. ∴ ∠B= ∠E. ∴ AE=AB. (2)解:如图,连接 AC. ∵ AB 为☉O 的直径, ∴ ∠ACB= 90°. ∴ AC= AB2 -BC2 = 102 -62 = 8. ∵ AB=AE,∠ACB= 90°, ∴ CE=BC= 6. ∵ 1 2 CD·AE= 1 2 AC·CE,∴ CD=AC·CE AE = 8×6 10 = 24 5 . 21. (1)证明:在△AOF 和△EOF 中, OA=OE, ∠AOF= ∠EOF, OF=OF, ì î í ïï ï ∴ △AOF≌△EOF(SAS) . ∴ ∠OAF= ∠OEF. ∵ BC 与☉O 相切于点 E,∴ OE⊥FC. ∴ ∠OAF= ∠OEF= 90°,即 OA⊥AF. ∵ OA 是☉O 的半径,∴ AF 是☉O 的切线. (2)解:在 Rt△CAF 中,∠CAF= 90°,FC= 10,AC= 6, ∴ AF= FC2 -AC2 = 8. ∵ ∠OCE= ∠FCA,∠OEC= ∠FAC= 90°, ∴ △OEC∽△FAC. ∴ EO AF =OC FC . 设☉O 的半径为 r. ∴ r 8 = 6-r 10 . 解得 r= 8 3 . 在 Rt△FAO 中,∠FAO= 90°,AF= 8,AO= 8 3 , ∴ OF= AF2 +AO2 = 82 + ( 83 ) 2 = 8 3 10 . ∴ FD=OF-OD= 8 3 10 - 8 3 . 22. (1)证明:如图,在 CB 上截取 CG = AB,连接 MA,MB, MC 和 MG. ∵ M 是 ABC ( 的中点,∴ MA=MC. ∵ MB ( =MB ( ,∴ ∠A= ∠C. 在△MBA 和△MGC 中, MA=MC, ∠A= ∠C, AB=CG, ì î í ïï ï ∴ △MBA≌△MGC(SAS) . ∴ MB=MG. ∵ MD⊥BC,∴ BD=GD. ∴ CG+GD=AB+BD,即 CD=AB+BD. (2)解:如图 1,连接 BD,CD,在 AC 上截取 CM = AB,连 接 AD,DM. ∵ AD ( =AD ( ,∴ ∠B= ∠C. ∵ BD ( =CD ( ,∴ BD=CD. 在△ABD 和△MCD 中, AB=MC, ∠B= ∠C, BD=CD, ì î í ïï ï ∴ △ABD≌△MCD(SAS) . ∴ AD=MD. ∵ DE⊥AC,∴ AE=ME. ∴ AB+AE=CM+ME=CE=AC-AE. ∵ AB= 4,AC= 10,∴ AE= 3. 图 1 (3)解:∵ △ABC 是等边三角形, ∴ AB=AC,BC=AB= 8. ∴ AB ( =AC ( . 由阿基米德折弦定理,可得 BE=ED+CD. ∵ ∠ABD= 45°,AB= 8,∠AEB= 90°, ∴ BE=AB·cos 45° = 2 2 AB= 4 2 . ∴ △BDC 的周长为 BC+BD+CD = BC+BE+ED+CD = BC+2BE= 8+8 2 . 第 4 章考点梳理与复习 考点一　 一元二次方程的定义 1. C　 2. C　 【解析】一元二次方程(3x-1) 2 = 5x 的一般形式为 9x2 -11x+1 = 0,其中一次项系数为-11. 故选 C. 3. m≠2 考点二　 方程的解 4. A　 5. D　 【解析】∵ a 是方程 x2+x-1=0 的一个根,∴ a2+a-1=0. ∴ a2 + a = 1, 即 a ( a + 1 ) = 1. ∴ 2 a2 -1 - 1 a2 -a = 2a-(a+1) a(a+1)(a-1) = 1 a(a+1) = 1. 故选 D. 6. 2 考点三　 一元二次方程的解法 7.解:(1)x2 -2x= 2 027, x2 -2x+1 = 2 027+1, (x-1) 2 = 2 028, x-1 = ±2 507 , ∴ x1 = 1+2 507 ,x2 = 1-2 507 . (2)∵ Δ = b2 -4ac= ( -3) 2 -4×2×( -2)= 25, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 3±5 4 . ∴ x1 = - 1 2 ,x2 = 2. (3)(2x-1) 2 = 0, 2x-1 = 0, x1 = x2 = 1 2 . (4)原式= 6x2 -7x+2 = 0. ∵ Δ = b2 -4ac= ( -7) 2 -4×6×2 = 1, ∴ x= -b± b2 -4ac 2a = 7±1 12 . ∴ x1 = 2 3 ,x2 = 1 2 . (5)(2x-1) 2 -(3-x) 2 = 0, (2x-1+3-x)(2x-1-3+x)= 0, (x+2)(3x-4)= 0, x+2 = 0 或 3x-4 = 0. ∴ x1 = -2,x2 = 4 3 . (6)x2 -1+2x+6 = 8, x2 +2x-3 = 0, x2 +2x+1-4 = 0, (x+1) 2 = 4, x+1 = ±2, ∴ x1 = -3,x2 = 1. 8.解:①当 x+2≥0,即 x≥-2 时, x2 +2(x+2) -4 = 0, x2 +2x= 0. 解得 x1 = 0,x2 = -2; ②当 x+2<0,即 x<-2 时, x2 -2(x+2) -4 = 0, x2 -2x-8 = 0. 解得 x1 = 4(不符合题意,舍去),x2 = - 2(不符合题意, 舍去) . 综上所述,原方程的解是 x= 0 或-2. 考点四　 一元二次方程根的判别式 9. C　 10. A　 11. A　 【解析】Δ = [-(k-3)] 2 -4(-k+1)= k2 -6k+9+4k- 4 = k2 -2k+5 =(k-1) 2 +4. ∵ (k-1) 2 ≥0,∴ (k-1) 2 +4> 0,即 Δ>0. ∴ 方程有两个不相等的实数根. 故选 A. 12. -2 或- 9 4 　 【解析】∵ (x1 -2)(x1 -x2)= 0,∴ x1 -2 = 0 或 x1 -x2 = 0. ①如果 x1 -2 = 0,那么 x1 = 2. 将 x = 2 代入 x2 + (2k+1)x+k2 -2 = 0,得 4+2(2k+1)+k2 -2= 0. 整理,得 k2 + 4k+4 = 0. 解得 k= -2. 此时方程为 x2 -3x+2 = 0,Δ>0,符 合题意. ②如果 x1 -x2 = 0,则 Δ = (2k+1) 2 -4(k2 -2)= 0. 解得 k= - 9 4 . ∴ k 的值是-2 或- 9 4 . 13. 有两个不相等的实数根　 【解析】∵ x∗k= x(k 为实数) 是关于 x 的方程,∴ (x+k)(x-k)-1 = x. 整理,得 x2 -x- k2 -1 = 0. ∵ Δ =(-1) 2 -4(-k2 -1)= 4k2 +5>0,∴ 方程有 两个不相等的实数根. 14.解:(1)∵ 方程的一个根为 x= -1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 60·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册