第3章 对圆的进一步认识 考点梳理与复习-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·11　 · 第 3 章考点梳理与复习 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 圆的对称性 1. 如图,☉O 的直径 CD= 10 cm,AB 是☉O 的弦,AB⊥CD,垂足为 M,OM ∶ OC= 3 ∶ 5,则 AB 的长为 (　 　 ) A. 9 cm　 B. 8 cm　 C. 6 cm D. 4 cm 第 1 题图 　 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 5 题图 2. 计算机处理任务时,经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比. 下面是同一个任务进行到 不同阶段时进度条的示意图: 　 　 　 　 　 　 　 　 　 当任务完成的百分比为 x 时,线段 MN 的长度记为 d(x) . 下列描述中一定正确的是 (　 　 ) A. 当 x1 >x2 时,d(x1) >d(x2) B. 当 d(x1) >d(x2)时,x1 >x2 　 C. 当 x1 = 2x2 时,d(x1)= 2d(x2) D. 当 x1 +x2 = 1 时,d(x1)= d(x2) 3. 如图是以点 O 为圆心的 MN ( ,点 C,D 三等分 MN ( ,连接 MN,CD. 下列结论错误的是 (　 　 ) A. ∠COM= ∠COD B. 若 OM=MN,则∠AOB= 20° C. MN∥CD D. MN= 3CD 4. 已知 ☉O 的弦 AB 把圆弧分成两部分, 这两部分的比为 1 ∶ 5. 若 AB = 3 cm, 则 ☉O 的半径 等于 cm. 5. 如图,已知☉O 的半径 OA= 4,B 为圆上一点,C 为劣弧 AB 上一动点,CD⊥OA,CE⊥OB,连接 DE. 要 使 DE 取得最大值,则∠AOB 等于　 　 　 　 . 6. (新素养·应用意识)一次综合实践主题为只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的 直径? 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直并紧贴杯口,纸条的上下边沿分 别与杯口相交于 A,B,C,D 四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 7 cm,AB= 8 cm,CD= 6 cm. 请你 帮忙计算纸杯的直径. → 考点二　 圆周角定理及其推论 7. 如图,AB 为☉O 的直径,C,D 是☉O 上的两点,连接 CA,CD,AD. 若∠CAB= 40°,则∠ADC 的度数是 (　 　 ) A. 110°　 B. 130°　 C. 140°　 D. 160° 第 7 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 8 题图 8. 如图,△ABC 内接于☉O,AH⊥BC 于点 H. 若 AC= 8,BH= 2 3 ,☉O 的半径 OC= 5,则弦 AB 的长为 (　 　 ) A. 10 3 3 　 B. 8 3 3 　 C. 6　 D. 9 3 2 9. (新情境·实际情境)如图,在足球比赛中,甲带球奔向对方球门 PQ,当他带球冲到点 A 时,同伴乙已 经助攻冲到点 B,此时有两种射门方式:第一种是甲直接射门;第二种是甲将球传给乙,由乙射门. 仅 从射门角度考虑,应选择第 种射门方式更好. 第 9 题图 　 　 　 　 　 　 第 10 题图 　 　 　 　 　 　 第 11 题图 10. 如图,在 4×4 的正方形网格图中,已知点 A,B,C,D,O 均在格点上,其中点 A,B,D 又在☉O 上,E 是 线段 CD 与☉O 的交点,则∠BAE 的正切值为　 　 　 　 . 11. 如图,半圆 O 的直径 AB= 10 cm,弦 AC= 6 cm,AD 平分∠BAC,则 AD 的长为 . 12. (新素养·推理能力)如图,四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形,连接 AC,BD,延长 CD 至点 E. (1)若 AB=AC,求证:∠ADB= ∠ADE; (2)若 BC= 3,☉O 的半径为 2,求 sin∠BAC 的值. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点三　 直线与圆的位置关系 13. (新考法·跨学科)“海上生明月,天涯共此时”,如图是记录的日出美景,图中太阳与海天交界处可 看成圆与直线,它们的位置关系是 (　 　 ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 平行 第 13 题图 　 　 　 　 　 　 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 14. 如图,PA 是☉O 的切线,A 为切点,OP 交☉O 于点 B,∠P = 10°,点 C 在☉O 上,OC∥AB,则∠BAC 等于 (　 　 ) A. 20°　 B. 25°　 C. 30°　 D. 50° 15. 如图,AB 为☉O 的直径,点 P 在 AB 的延长线上,PC,PD 与☉O 相切,切点分别为 C,D. 若 AB= 6,PC = 4,则 sin∠CAD 等于 (　 　 ) A. 3 5 B. 2 3 C. 3 4 D. 4 5 16. 如图,AB 是☉O 的直径,点 C 在☉O 上,过点 C 的切线与 BA 的延长线交于点 D,点 E 在 BC ( 上(不 与点 B,C 重合),连接 BE,CE. 若∠D= 40°,则∠BEC= °. 第 16 题图 　 　 　 　 　 　 第 17 题图 17. 如图,正方形 ABCD 的边长为 8,M 是 AB 的中点,P 是 BC 边上的动点,连接 PM,以点 P 为圆心,PM 长为半径作☉P. 当☉P 与正方形 ABCD 的边相切时,BP 的长为 . 18. 如图,AB 是☉O 的直径,点 D 在直径 AB 上(点 D 与点 A,B 不重合),CD⊥AB,且 CD=AB,连接 CB, 与☉O 交于点 F,在 CD 上取一点 E,使 EF=EC. (1)求证:EF 是☉O 的切线; (2)若 D 是 OA 的中点,AB= 4,求 CF 的长. 考点四　 三角形的外接圆与内切圆 19. 课下小亮和小莹讨论一道题目:“已知点 O 是△ABC 的外心,∠BOC= 132°,求∠A” . 小亮的解答:如 图,画△ABC 以及它的外接圆 O. 连接 OB,OC. 由∠BOC= 2∠A= 132°,得∠A= 66°. 而小莹说:“小亮 考虑得不周全,∠A 应该还有另一个不同的值. ”下列判断正确的是 (　 　 ) A. 小亮求的结果不对,∠A 应该是 48° B. 小莹说的不对,∠A 就是 66° C. 小莹说的对,∠A 的另一个值是 114° D. 两人说的都不对,∠A 的值有无数个 第 19 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 20 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 21 题图 20. 如图,四边形 ABCD 内接于☉O,点 I 是△ABC 的内心,∠AIC = 124°,点 E 在 AD 的延长线上,则 ∠CDE 的度数为 (　 　 ) A. 56°　 B. 62°　 C. 68°　 D. 78° 21. 如图,设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h,r,R,则下列结论不正 确的是 (　 　 ) A. h=R+r　 B. R= 2r　 C. r= 3 4 a　 D. R= 3 3 a 考点五　 与圆有关的计算 22. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3 ,BC= 2,以点 A 为圆心,AD 长为半径画弧交边 BC 于点 E,连接 AE, 则 DE ( 的长为 (　 　 ) A. 4π 3 　 B. π　 C. 2π 3 　 D. π 3 第 22 题图 　 　 　 图 1 　 图 2 第 23 题图 　 　 　 第一次转动前 　 第二次转动前 第 24 题图 23. 中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘也会让美食锦上添花,如图 1 中的摆盘,其形状是扇形的一部 分,图 2 是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到 AC=BD= 10 cm,OC=OD= 3 cm,圆心角 为 60°,则图 2 中摆盘的面积为 (　 　 ) A. 10 3 π cm2 B. 5 3 π cm2 C. 80 3 π cm2 D. 24 cm2 24. 某个正六边形螺帽需要拧 4 圈才能拧紧,小梧用扳手的卡口卡住螺帽,通过转动扳手的手柄来转动 螺帽(如图) . 以此方式把这个螺帽拧紧,他一共需要转动扳手的次数为 (　 　 ) A. 4 B. 16 C. 24 D. 32 · 12·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 即 1. 2 CD = 1 0. 8 . ∴ CD= 0. 96 m. 故选 C. 6. A　 【解析】A. 阴影正三角形与原正三角形的对应角相 等,对应边的比相等,符合相似多边形的定义,符合题 意;B. 阴影矩形与原正方形的对应角相等,但对应边的 比不相等,不符合相似多边形的定义,不符合题意;C. 阴 影五边形与原正五边形的对应角相等,但对应边的比不 相等,不符合相似多边形的定义,不符合题意;D. 阴影六 边形与原正六边形的对应角相等,但对应边的比不相 等,不符合相似多边形的定义,不符合题意. 故选 A. 7. D　 【解析】 ∵ AD,BC 是△AOB 的两条高,∴ ∠ADO = ∠BCO= 90°. 又∵ ∠AOD = ∠BOC,∴ △AOD∽△BOC. ∴ AD BC =OD OC = OA OB . ∴ BC OC = AD OD = 2. ∴ BC = 2OC. 故①正确; 由①可知,OA OB =OD OC . ∵ ∠AOB=∠DOC,∴ △AOB∽△DOC. 故②正确;∵ △AOB∽△DOC,∴ AB DC = AO DO . 设 OD = x,则 AD= 2x. ∴ AO = AD2 +OD2 = 5 x. ∴ AB CD = AO DO = 5 x x = 5 . 故③正确. 综上可知,正确的结论有 3 个. 故选 D. 8. A　 【解析】∵ ∠BCA = 90°,AB = 50 m,∠A = 24°,∴ sinA = BC AB =BC 50 . ∴ BC= 50sinA= 50sin 24° m. 故选 A. 9. C　 【解析】在 Rt△AOH 中,sin∠OAH = OH OA = 1 2 ,∴ OA = 2OH. 同理可得 OB = 3OH. ∵ AB = 4 m,∴ 2OH+3OH = 4. 解得 OH= 0. 8. 故选 C. 10. B 　 【解析】 ① 有两对相似三角形:△AEF∽ △CDF, △ABC∽△CDA,故该选项错误;②∵ AB∥CD,∴ AE ∶ CD=EF ∶ DF= 1 ∶ 2. ∴ EF ∶ ED= 1 ∶ 3. 故该选项错误; ③△AEF∽△CDF,相似比为 1 ∶ 2,∴ S1 ∶ S3 = 1 ∶ 4. 又 ∵ △AEF 与△AFD 同高,底的比是 1 ∶ 2,∴ S2 = 2S1 . 由 题意可知△ABC≌△CDA,∴ S1 +S4 = S2 +S3 . ∴ S4 = 5S1 . ∴ S1 ∶ S2 ∶ S3 ∶ S4 = 1 ∶ 2 ∶ 4 ∶ 5. 故选 B. 11. ∠ADE= ∠B(答案不唯一) 12. 60　 【解析】如图,过点 O 作 EF⊥AB 于点 E,交 CD 于 点 F,则 AB= 20 cm,OF= 15 cm,CD= 5 cm. ∵ AB∥CD, EF⊥AB,∴ EF⊥CD. ∴ △OAB∽△ODC. ∴ DC AB =OF OE ,即 5 20 = 15 OE . 解得 OE= 60. 13. 3 10 10 　 【解析】 如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D, ∴ △ACD 是直角三角形,∠ADC= 90°. 设正方形网格的 边长均为 1. 在 Rt△ACD 中,AD = 62 +32 = 3 5 ,AC = 72 +12 = 5 2 ,∴ sinC=AD AC = 3 5 5 2 = 3 10 10 . 14. 30( 3 +1) 　 【解析】如图,过点 B 作 BD⊥CA 交 CA 的延长线于点 D,设 BD= x m. 由题意,得∠BCD = 30°. 在 Rt△BDC 中,tan∠BCD = BD CD ,∴ CD = BD tan 30° = 3 x m. ∵ ∠BAD = = 90°-45° = 45°,∴ AD =BD = x m. ∴ AC=CD-AD = 3 x-x = 60 m. 解得 x = 30( 3 + 1) . ∴ 这段河的宽是 30( 3 +1)m. 15. -1,- 2 3( ) 　 【解析】∵ 以点 O 为位似中心,在第三象限 内作与△OAB 的相似比为 1 3 的位似图形△OCD,A(3, 2),∴ 点 C 的横坐标为 3× - 1 3( ) ,纵坐标为 2× - 1 3( ) , 即点 C 的坐标为 -1,- 2 3( ) . 16. 2 +1　 【解析】将如图所示的矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 E 处,∴ AB = BE,∠AEB= ∠EAB= 45°. 还原后,再沿过点 E 的直线折 叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,∴ AE =EF,∠EAF = ∠EFA = 45° 2 = 22. 5°. ∴ ∠DAF = 22. 5°. ∴ ∠FAB = 67. 5°. 设 AB= x,则 BE= x,AE=EF= 2 x,∴ tan 67. 5° = tan∠FAB=FB AB = 2 x+x x = 2 +1. 17.解:原式= 1- 1 2 × 1 2 - ( 22 ) 2 = 1- 1 4 - 1 2 = 1 4 . 18.解:(1)如图所示,△OA′B′即为所求作,点 A 的对应点 A′的坐标为( -6,2) . (2)S△OA′B′ = 10. 19.解:由题意,可知 CD=FE= 5 m,CF=DE= 6 m. ∴ sinA=DE AD = 6 12 = 1 2 . ∴ ∠A= 30°. ∵ cosA= AE AD ,∴ AE = AD·cosA = AD·cos 30° = 12× 3 2 = 6 3(m). ∵ CF ∶ BF= i= 1 ∶ 3, ∴ BF= 3CF= 18 m. ∴ AB=BF+EF+AE= 18+5+6 3 = (6 3 +23)m. ∴ 斜坡 AD 的坡角为 30°,坝底宽 AB 为(6 3 +23)m. 20. (1)证明:∵ AD,BE 是△ABC 的高, ∴ ∠ADC= ∠BEC= 90°. ∵ ∠ACD= ∠BCE,∴ △ACD∽△BCE. (2)解:∵ D 是 BC 的中点,AD 是△ABC 的高, ∴ AB=AC,CD= 1 2 BC. 在 Rt△BEC 中,∵ CE= 3,BE= 4, ∴ BC= CE2 +BE2 = 32 +42 = 5. ∴ CD= 1 2 BC= 5 2 . ∵ △ACD∽△BCE,∴ AD BE =CD CE . ∴ AD= 4× 5 2 3 = 10 3 . 在 Rt△ACD 中,AC = AD2 +CD2 = ( 103 ) 2 + ( 52 ) 2 = 25 6 . ∴ AB=AC= 25 6 . 21.解:如图,连接 MC,过点 M 作 HM⊥NM. 由题意,得∠DMC = 2 ∠CMH,∠MCD = ∠HMN = 90°, AB=MC= 8 m,AB∥MC. ∴ ∠CMN= 180°-∠MNB= 180°-118° = 62°. ∴ ∠CMH= ∠HMN-∠CMN= 90°-62° = 28°. ∴ ∠DMC= 2∠CMH= 56°. 在 Rt△CMD 中,CM=8 m,tan∠DMC=CD CM , ∴ CD=CM·tan 56°≈8×1. 48≈11. 8(m). ∴ 能看到的水平地面上最远处 D 到他的距离 CD 约是 11. 8 m. 22.解:△A′B′C′与△ABC 相似. 证明:∵ OA′ OA =OC′ OC = 3,∠AOC= ∠A′OC′, ∴ △AOC∽△A′OC′. ∴ A′C′ AC =OA′ OA = 3. 同理 B′C′ BC = 3,A′B′ AB = 3. ∴ A′C′ AC =B′C′ BC =A′B′ AB . ∴ △A′B′C′∽△ABC. 23.解:任务一:5. 5 任务二:设 EG= x m. 在 Rt△DEG 中,∠GDE= 31°,∠DEG= 90°, ∵ tan 31° =EG DE ,∴ DE= x tan 31° ≈ x 0. 60 = 5 3 x m. 在 Rt△CEG 中,∠GCE= 25. 7°,∠CEG= 90°, ∵ tan 25. 7° =EG CE ,∴ CE= x tan 25. 7° ≈ x 0. 48 = 25 12 x m. ∵ CD=AB= 5. 5 m,CD=CE-DE, ∴ 25 12 x- 5 3 x= 5. 5. ∴ x= 13. 2. ∴ GH=EG+EH= 13. 2+1. 5 = 14. 7(m),即学校旗杆 GH 的高度约为 14. 7 m. 任务三:原因可能是没有太阳光. (答案不唯一) 24.解:(1) 2 2 (2)∵ ∠BAC= 90°,AB=AC. ∴ △ABC 为等腰直角三角形,∠ABC= 45°. ∵ DE∥AB,∠DEC= ∠ABC= 45°,∠CDE= ∠BAC= 90°, ∴ △CDE 为等腰直角三角形. ∴ AC BC =DC EC = 2 2 . 又∵ ∠BCE= ∠ACD,∴ △BCE∽△ACD. ∴ AD BE = AC BC = 2 2 ,即AD BE = 2 2 . (3)7 或 1 第 3 章考点梳理与复习 考点一　 圆的对称性 1. B　 2. D 3. D　 【解析】如图,连接 MC,DN. ∵ 点 C,D 三等分 MN ( ,∴ CM ( =CD ( =DN ( . ∴ CM =CD=DN. ∵ MC+CD+DN>MN,∴ MN<3CD. 故 D 选项结论错误,符 合题意. 故选 D. 4. 3 5. 90° 　 【解析】如图,延长 CD 交☉O 于点 P,延长 CE 交☉O 于点 T,连接 OC,PT,OP,OT. ∵ CD ⊥ OA, CE ⊥ OB,∴ CD = DP, CE = TE. ∴ DE 是 △PCT 的中位线. ∴ DE = 1 2 PT. ∴ 当 PT 是直径时,DE 的长最大. ∵ OP = OC = OT,CD⊥OA, CE⊥OB,∴ ∠COD= ∠POA,∠COB = ∠BOT. ∴ ∠AOB = ∠COA+∠COB= 1 2 ∠POT= 90°. 6.解:如图,过点 O 作 OM⊥CD 于点 M,MO 的延长线交 AB 于点 N,连接 OD,OB. ∵ CD∥AB, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 58·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·59　 · ∴ MN⊥CD,MN= 7 cm. ∵ OM⊥CD,ON⊥AB, ∴ DM= 1 2 CD= 1 2 ×6= 3(cm),BN= 1 2 AB= 1 2 ×8=4(cm). 设 OM= x cm,∴ ON=MN-OM= (7-x)cm. ∵ OM2 +MD2 =OD2,ON2 +BN2 =OB2,OD=OB, ∴ OM2 +MD2 =ON2 +BN2,即 x2 +32 = (7-x) 2 +42 . 解得 x= 4. ∴ OM= 4 cm. ∴ OD= OM2 +MD2 = 42 +32 = 5(cm) . ∴ 纸杯的直径为 5×2 = 10(cm) . 考点二　 圆周角定理及其推论 7. B　 8. A　 【解析】如图,延长 CO 交☉O 于 点 D,连接 AD. ∵ CD 为 ☉O 的直 径,∴ CD= 2OC= 10,∠DAC= 90°. ∴ AD = CD2 -AC2 = 102 -82 = 6. ∵ ∠DAC = ∠BHA = 90°, ∠ADC = ∠ABC,∴ △ADC∽ △HBA. ∴ BH DA = AB CD ,即2 3 6 =AB 10 . ∴ AB= 10 3 3 . 故选 A. 9. 二 10. 1 2 　 【解析】根据“同弧所对的圆周角相等”可得∠BDC = ∠BAE. 在 Rt△BDC 中, tan∠BDC = BC BD = 2 4 = 1 2 ,则 tan∠BAE= 1 2 . 11. 4 5 cm 12. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是☉O 的内接四边形, ∴ ∠ADC+∠ABC= 180°. ∵ ∠ADE+∠ADC= 180°, ∴ ∠ADE= ∠ABC. ∵ AB=AC,∴ ∠ABC= ∠ACB. ∵ ∠ACB= ∠ADB,∴ ∠ADB= ∠ABC. ∴ ∠ADB= ∠ADE. (2)解:如图,连接 CO 并延长交☉O 于点 F,连接 BF, 则∠FBC= 90°. 在 Rt△BCF 中,CF= 2OC= 4,BC= 3, ∴ sinF=BC CF = 3 4 . ∵ ∠F= ∠BAC,∴ sin∠BAC= 3 4 . 考点三　 直线与圆的位置关系 13. B　 14. B 15. D　 【解析】如图,连接 OC,OD, CD,CD 交 PA 于点 E. ∵ PC,PD 与☉O 相切,切点分别为 C,D, ∴ OC⊥CP,OD⊥DP,PC = PD. ∵ OC = OD, ∴ △OCD ≌ △ODP ( SAS ) . ∴ ∠COB = ∠DOB = 1 2 ∠COD. ∵ ∠CAD = 1 2 ∠COD,∴ ∠COB = ∠CAD. ∵ AB= 6,∴ OC= 1 2 AB= 3. 在 Rt△OCP 中,OP= OC2 +PC2 = 32 +42 = 5, ∴ sin ∠COP = PC OP = 4 5 . ∴ sin∠CAD= 4 5 . 故选 D. 16. 115　 17. 3 或 4 3 18. (1)证明:如图,连接 OF. ∵ CD⊥AB,∴ ∠B+∠C= 90°. ∵ OB=OF,∴ ∠B= ∠OFB. ∵ EF=EC,∴ ∠C= ∠EFC. ∴ ∠OFB+∠EFC= 90°. ∴ ∠OFE= 180°-90° = 90°. ∴ OF⊥EF. ∵ OF 为☉O 的半径,∴ EF 是☉O 的切线. (2)解:如图,连接 AF. ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠AFB= 90°. ∵ AB= 4,∴ OA=OB= 1 2 AB= 2. ∵ D 是 OA 的中点, ∴ OD= 1 2 OA= 1. ∴ BD=OB+OD= 3. ∵ CD⊥AB,∴ ∠CDB= 90°. 由勾股定理,得 BC= BD2 +CD2 = 32 +42 = 5. ∵ ∠AFB= ∠CDB= 90°,∠FBA= ∠DBC, ∴ △FBA∽△DBC. ∴ BF BD = AB CB . ∴ BF=AB·BD BC = 4×3 5 = 12 5 . ∴ CF=BC-BF= 5-12 5 = 13 5 . 考点四　 三角形的外接圆与内切圆 19. C　 【解析】如图,当点 A 与点 O 在 BC 的两侧时,∵ 四边形 ABA′C 是圆内接四 边形, ∴ ∠A + ∠A′ = 180°. ∴ ∠A′ = 114°. ∴ ∠A 的 值 是 66° 或 114°. 故 选 C. 20. C　 21. C 考点五　 与圆有关的计算 22. C 23. C　 【解析】∵ AC =BD = 10 cm,OC =OD = 3 cm,∴ OA = OB = 13 cm. ∴ S阴影 = S扇形OAB - S扇形OCD = 60π×132 360 - 60π×32 360 = 80 3 π(cm2) . 故选 C. 24. C 第 3 章学业水平测试 1. D　 2. D　 3. C 4. C　 【解析】如图,连接 OC 交 AB 于 点 D. 由题意,得 OA = OC = 3 m, OC⊥AB, ∴ AD = 1 2 AB = 1 2 × 4 = 2(m) . ∵ OC⊥AB,∴ ∠ADO = 90°. ∴ OD= OA2 -AD2 = 32 -22 = 5 (m) . ∴ CD =OC-OD = (3- 5 )m,即点 C 到弦 AB 所在直线的距离为(3- 5)m. 故选 C. 5. C 6. C　 【解析】 ∵ 弦 AD 平分∠BAC,∴ ∠OAD = ∠EAD = 25°. ∴ ∠BOD= 2∠OAD= 50°. 故选项 D 正确,不符合题 意;∵ OA = OD,∴ ∠OAD = ∠ODA. ∵ ∠OAD = ∠CAD, ∴ ∠CAD=∠ODA. ∴ OD∥AC,即 AE∥OD. 故选项 B 正确, 不符合题意;∵ DE 是☉O 的切线,∴ OD⊥DE. ∵ AE∥ OD,∴ DE⊥AE. 故选项 A 正确,不符合题意;如图,过点 O 作 OF⊥AC 于点 F,则四边形 OFED 是矩形. ∴ OF = DE. 在Rt△AFO 中,OA>OF. ∵ OD =OA,∴ DE<OD. 故选 项 C 错误,符合题意. 故选 C. 7. D　 【解析】如图,连接 OA,OB, OC. ∵ PA,PB 是☉O 的切线,切 点分别为 A,B,∴ OA⊥PA,OB⊥ PB. ∴ ∠OAP = ∠OBP = 90°. ∵ ∠P= 50°,∴ ∠AOB = 360°-90°- 90°- 50° = 130°. ∵ DE 切 ☉O 于 点 C, ∴ OC ⊥ DE. ∴ ∠DCO= ∠ECO= 90°. ∵ PA,DE 是☉O 的切线,切点 分别为 A,C,∴ ∠OAE = ∠OCE = 90°. ∵ OA = OC,OE = OE,∴ Rt△OAE = Rt△OCE(HL) . ∴ ∠AOE = ∠COE. 同 理可证 ∠COD = ∠BOD. ∴ ∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = 1 2 ∠AOB= 1 2 ×130° = 65°. 故选 D. 8. D　 【解析】如图,连接 AD,CD,AC,DG, AG. ∵ AD 是☉O 的直径,∴ ∠ACD= 90°. 由 题 意, 可 得 CD ( 的 度 数 为 60°, ∴ ∠DAC = 30°. 在 Rt △ACD 中,AD = 2r,∠DAC = 30°,∴ AC = AD·cos 30° = 3 r. ∴ AG = AC = 3 r. ∵ DG = AG = CA,OD = OA,∴ OG⊥ AD. ∴ ∠GOA = 90°. ∴ OG = AG2 -OA2 = ( 3 r)2 -r2 = 2 r. 故选 D. 9. A 　 【解析】 如 图,过 点 O′作 O′M⊥OA 于点 M,则 ∠O′MA = 90°. ∵ 点 O′ 的 坐 标 是 (4,4 3 ),∴ O′M = 4 3 ,OM = 4. ∵ AO = 8,∴ AM = 8 - 4 = 4. ∴ tan∠O′AM=O′M AM = 4 3 4 = 3 . ∴ ∠O′AM= 60°,即旋转角为 60°. ∴ ∠CAC′ = ∠OAO′ = 60°. ∵ △O′AC′为△OAC 绕点 A 按顺时针方向旋转所得, ∴ S△OAC =S△O′AC′ . ∴ 阴影部分的面积 S = S扇形OAO′+S△O′AC′- S△OAC-S扇形CAC′ = S扇形OAO′ -S扇形CAC′ = 60π×(82 -42) 360 = 8π. 故 选 A. 10. D　 【解析】如图,连接 OC. ∵ C 是弦 AB 的中点,DC⊥AB,∴ OC⊥AB. ∴ C, D,O 三点共线. ∵ AB= 6,∴ AC= 1 2 AB= 3. 设圆的半径为 r,则 OC= r-1. 在 Rt△AOC 中,根据勾 股定理,得 OA2 =AC2 +OC2,即 r2 = 32 +( r-1) 2 . 解得 r = 5. ∴ OA= 5. ∴ s= 6+ 1 5 = 31 5 . 故选 D. 11. 72°　 12. 10　 13. 26π 15 14. 10 3 3 　 【解析】设圆的圆心为点 O,能够 将△ABC 完全覆盖的最小圆是△ABC 的 外接圆. 根据题意作图,如图,过点 O 作 OD⊥BC 于点 D. ∵ ∠A = 60°,∴ ∠BOC = 120°. ∵ OB = OC,OD⊥BC,∴ ∠ODB = 90°,∠BOD = 1 2 ∠BOC = 60°, BD= 1 2 BC = 5 2 cm. ∵ sin∠BOD = BD OB ,∴ OB = BD sin 60° = 5 2 3 2 = 5 3 3 ( cm) . ∴ △ABC 外 接 圆 的 直 径 是 2OB = 10 3 3 cm. 15. 1+ 2 16. 119 5 　 【解析】如图,连接 OP,OQ. ∵ PQ 是☉O 的切线,∴ OQ⊥PQ. 根 据勾股定理,知 PQ2 = OP2 -OQ2 = OP2 -1. ∴ 当 OP 最小时,PQ 最小. ∴ 当 OP⊥AB 时,切线长 PQ 最短. ∵ A( - 4, 0), B ( 0, 3), ∴ OA = 4, OB = 3. ∴ AB = OA2 +OB2 = 5. ∵ S△AOB = 1 2 AB·OP= 1 2 OA·OB,∴ OP= 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋