第2章 解直角三角形 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 · 7　 · 第 2 章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 在 Rt△ABC 中,cosA= 1 2 ,那么 sinA 的值是 (　 　 ) A. 2 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 1 2 2. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC ∶ AB= 5 ∶ 13,则下列等式正确的是 (　 　 ) A. tanA= 12 5 　 B. sinA= 5 12 　 C. cosA= 12 13 　 D. tanA= 5 13 3. 西周时期,丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器,称为圭表. 如图是一个根据某 市的地理位置设计的圭表,其中,立柱 AC 根部与圭表的冬至线之间的距离(即 BC 的长)为 a. 已知,冬 至时该市的正午日光入射角∠ABC 约为 28°,则光线 AB 约为 (　 　 ) A. a sin 28° B. a cos 28° C. a tan 28° D. acos 28° 第 3 题图 　 　 第 5 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 4. (新素养·运算能力)∵ cos 30° = 3 2 ,cos 210° = - 3 2 ,∴ cos 210° = cos(180°+30°)= -cos 30° = - 3 2 . 我 们发现:一般地,当 α 为锐角时,有 cos(180°+α)= -cosα,由此可知 cos 240°的值为 (　 　 ) A. - 1 2 B. - 2 2 C. - 3 2 D. - 3 5. 如图,圆规两脚 OA,OB 张开的角(即∠AOB)为 α,OA=OB= 10,则两脚张开的距离 AB 为 (　 　 ) A. 10sinα B. 10cosα C. 20sin α 2 D. 20cos α 2 6. 如图,在△ABC 中,∠C = 90°,AC = 32,AB 的垂直平分线交 AC 于点 D,交 AB 于点 M,连接 BD. 若 sin∠CBD= 7 9 ,则 BC 的长是 (　 　 ) A. 16　 B. 8 2 　 C. 4 2 　 D. 8 7. (新素养·应用意识)如图,港口 A 在观测站 O 的正东方向,OA= 4 km,某船从港口 A 出发,沿北偏东 15°方向航行一段距离后到达 B 处,此时从观测站 O 处测得该船位于北偏东 60°方向,则该船航行的 距离(即 AB 的长)为 (　 　 ) A. 4 km B. 2 3 km C. 2 2 km D. ( 3 +1)km 8. 如图,在正方形方格纸中,每个小正方形的边长都相等,点 A,B,C,D 都在格点处,AB 与 CD 相交于点 P,则 cos∠APC 的值为 (　 　 ) A. 3 5 B. 2 5 5 C. 2 5 D. 5 5 第 8 题图 　 　 　 　 　 第 9 题图 　 　 　 　 　 第 10 题图 9. 如图,AB 是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端 B 出发,先沿水平方向向右行走 20 m 到达 点 C,再经过一段坡度(或坡比)i= 1 ∶ 0. 75、坡长为 10 m 的斜坡 CD 到达点 D,然后再沿水平方向向右 行走 40 m 到达点 E(点 A,B,C,D,E 均在同一平面内) .在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24°,则建筑 物 AB 的高度约为(参考数据:sin 24°≈0. 41,cos 24°≈0. 91,tan 24°≈0. 45) (　 　 ) A. 21. 7 m B. 22. 4 m C. 27. 4 m D. 28. 8 m 10. 如图,撬钉子的工具是一个杠杆,动力臂 L1 = Lcosα,阻力臂 L2 = lcosβ,如果动力 F 的用力方向始终 保持竖直向下,当阻力不变时,杠杆向下运动时的动力变化情况是 (　 　 ) A. 越来越小　 B. 不变　 C. 越来越大　 D. 无法确定 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. 爬坡时坡面与水平面的夹角为 α,则每爬 1 m 耗能(1. 025-cosα) J. 若某人爬坡时,其垂直高度上升 了 500 m,坡面与水平面的夹角为 30°,则他耗能 J. (参考数据: 3 ≈1. 732, 2 ≈1. 414) 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 图 1 　 图 2 第 13 题图 12. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,BC= 15,tanA= 15 8 ,则 AB= . 13. 桔槔俗称“吊杆”“称杆”(如图 1),是我国古代农用工具,是一种取水机械. 桔槔示意图如图 2 所示, OM 是垂直于水平地面的支撑杆,OM = 3 m,AB 是杠杆,AB = 6 m,OA ∶ OB = 2 ∶ 1,当 A 位于最高点 时,∠AOM= 120°,此时,点 A 到地面的距离为 . 14. “二鸟饮泉”问题中记载:“两塔高分别为 30 步和 20 步. 两塔之间有喷泉,两鸟从两塔顶同时出发, 以相同速度沿直线飞往喷泉中心,同时抵达. 喷泉与两塔在同一平面内,求两塔之间的距离. ”如图, 已知 AC⊥AB,BD⊥AB,M 是 AB 上一点,CM=DM,在 C 处测得点 M 的俯角为 60°,AC= 30,BD= 20, 那么 AB= . 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在四边形 ABCD 中,∠B= ∠D= 90°,AB= 3,BC= 2,tanA= 4 3 ,则 CD 的长为　 　 　 　 . 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16. 市民小张积极响应“全民健身动起来”的号召,坚持在某环形步道上跑步. 已知 此步道外形近似于如图所示的 Rt△ABC,其中∠C = 90°,AB 与 BC 间另有步道 DE 相连,D 地在 AB 的正中位置,E 地与 C 地相距 1 km. 若 tan∠ABC = 3 4 , ∠DEB= 45°,小张某天沿路线 A→C→E→B→D→A 跑一圈,则他跑了　 　 　 　 　 km. 三、解答题(共 52 分) 17. (8 分)如图,在△ABC 中,AC= 13,BC= 21,tanC= 12 5 . 求 AB 的长和 sinB 的值. 18. (8 分)如图,热气球上的探测器显示,从热气球 A 看一栋楼顶部 B 的仰角为 45°,看这栋楼底部 C 的 俯角为 60°,热气球与楼的水平距离为 100 m. 求这栋楼的高度. (结果保留根号) 19. (8 分)动感单车是一种新型的运动器械. 图 1 是一辆动感单车的实物图,图 2 是其侧面示意图. △BCD 为主车架,AB 为调节管,点 A,B,C 在同一直线上. 已知 BC 为 70 cm,∠BCD 的度数为 58°. 当 AB 长度调至 34 cm 时,求点 A 到 CD 的距离 AE 的长度. (结果精确到 1 cm,参考数据:sin 58°≈ 0. 85,cos 58°≈0. 53,tan 58°≈1. 60) 图 1 　 　 图 2 20. (8 分)(新情景·项目式学习)某数学小组要测量学校路灯 P—M—N 的顶部到地面的距离,他们借 助皮尺、测角仪进行测量,测量结果如下: 测量项目 测量数据 从 A 处测得路灯顶部 P 的仰角 α α= 58° 从 D 处测得路灯顶部 P 的仰角 β β= 31° 测角仪到地面的距离 AB=DC= 1. 6 m 两次测量时测角仪之间的水平距离 BC= 2 m 计算路灯顶部到地面的距离 PE 约为多少米. (结果精确到 0. 1 m,参考数据:cos 31°≈0. 86,tan 31°≈ 0. 60,cos 58°≈0. 53,tan 58°≈1. 60) 　 　 21. (10 分)如图 1,在 Rt△ABC 中,以下是小亮探究 a sinA 与 b sinB 之间关系的方法: 　 　 图 1　 　 　 　 　 　 　 图 2 ∵ sinA= a c ,sinB= b c , ∴ c= a sinA ,c= b sinB . ∴ a sinA = b sinB . 根据你掌握的三角函数知识,在图 2 的锐角三角形 ABC 中,探究 a sinA , b sinB , c sinC 之间的关系,并写出 探究过程. 22. (10 分)(新素材·时事热点)2024 年 3 月 2 日,我国航天员首次完成在轨航天器舱外设施维修任 务. 如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图,OA 是垂直于工作台的移动基座,AB,BC 为机 械臂,OA= 1 m,AB= 5 m,∠ABC= 143°,A,C 两点之间的距离为 3 5 m,OD= 2 5 m. 求:(1)手臂机器人处于目前工作状态下时,点 C 到工作台的距离; (2)机械臂 BC 的长. (参考数据:sin 37°≈0. 60,cos 37°≈0. 80,tan 37°≈0. 75) 　 · 8·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·57　 · ∴ BC= 2CF≈1. 41×1. 82≈2. 6(m) . ∴ BC 的长度约为 2. 6 m. 22.解:(1)∵ 该截面图是轴对称图形,∴ CD= 2OD. 在 Rt△AOD 中,∠OAD= ∠α= 65°. ∵ sinα=OD AD , ∴ OD=AD·sinα= 2×sin 65°≈2×0. 91 = 1. 82(m) . ∴ CD= 2OD= 2×1. 82≈3. 6(m) . ∴ 遮阳宽度 CD 约为 3. 6 m. (2)如图,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H. ∴ ∠BHE= 90°. ∵ AB⊥BF,EF⊥BF, ∴ ∠ABF= ∠EFB= 90°. ∴ 四边形 BFEH 是矩形. ∴ EH=BF= 3 m. 在 Rt△AHE 中,tanα=EH AH ,∴ AH= EH tanα . 当∠α= 65°时,AH= 3 tan 65° ≈ 3 2. 14 ≈1. 4(m) . 当∠α= 45°时,AH= 3 tan 45° = 3 m. ∴ 点 E 下降的高度约为 3-1. 4 = 1. 6(m) . 第 2 章学业水平测试 1. B　 2. C　 3. B　 4. A　 5. C　 6. B　 7. C　 【解析】如图,过点 A 作 AD⊥ OB 于点 D. 由题意,知 ∠EOA = 90°,∠EOB= 60°,∴ ∠AOD= 30°. ∴ 在 Rt △AOD 中, AD = 1 2 OA = 2 km,∠OAD = 60°. ∵ ∠FAO = 90°, ∴ ∠FAD = 30°. ∴ ∠DAB = 45°. ∴ BD = AD = 2 km. ∴ AB = 2 AD = 2 2 km. 故选 C. 8. B　 【解析】如图,把 AB 向上平移一个单 位长 度 到 DE, 连 接 CE. ∴ DE ∥AB, ∴ ∠APC = ∠EDC. 在 △DCE 中, EC = 22 +1 = 5 ,DC = 42 +22 = 2 5 ,DE = 32 +42 = 5. ∵ EC2 +DC2 =DE2,∴ △DCE 为直角三角形, ∠DCE = 90°. ∴ cos ∠APC = cos ∠EDC = DC DE = 2 5 5 . 故选 B. 9. A 10. A　 【解析】∵ 动力×动力臂 = 阻力×阻力臂,∴ 当阻力 及阻力臂不变时,动力×动力臂为定值,且该值>0. ∴ 动 力随着动力臂的增大而减小. ∵ 杠杆向下运动时 α 的 度数越来越小,此时 cosα 的值越来越大,动力臂 L1 = Lcosα,∴ 此时动力臂也越来越大. ∴ 此时的动力越来 越小. 故选 A. 11. 159　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠B = 30°,AC = 500 m,则 AB= 2AC= 2×500 = 1 000(m) . ∵ 每爬 1 m 耗能 1. 025- cos 30° = 1. 025 - 3 2 ≈0. 159( J),∴ 爬 1 000 m 耗能 0. 159×1 000 = 159(J) . 12. 17 13. 5 m　 【解析】如图,过点O 作EF⊥OM,过点A 作AG⊥EF 于点 G. ∵ AB = 6 m,OA ∶ OB = 2 ∶ 1,∴ OA = 4 m. ∵ ∠AOM = 120°,∠EOM = 90°,∴ ∠AOE = 30°. ∴ AG = 1 2 OA = 1 2 × 4 = 2(m). ∴ 点 A 到地面的距离为 2+3=5(m). 14. 10 3 + 20 2 　 【解析】∵ 在 C 处测得点 M 的俯角为 60°,∴ ∠C= 90°-60° = 30°. 在 Rt△ACM 中,cosC = AC CM , AC= 30,∴ CM = 20 3 . ∴ AM = 1 2 CM = 10 3 . 又∵ CM = DM,∴ DM= 20 3 . 在 Rt△BMD 中,BM = DM2 -BD2 = (20 3 ) 2 -202 = 20 2 . ∴ AB=AM+BM= 10 3 +20 2 . 15. 6 5 　 【解析】如图,延长 AD,BC, 两线交于点 O. 在 Rt△ABO 中, ∵ ∠B= 90°,tanA= 4 3 =OB AB ,AB= 3,∴ OB=4. ∵ BC= 2,∴ OC=OB- BC= 4-2 = 2. 在 Rt△ABO 中,∠B = 90°,AB = 3,OB = 4, 由勾股定理,得 AO = 5. ∵ ∠ADC = 90°, ∴ ∠ODC = 90° =∠B. ∵ ∠DOC= ∠BOA,∴ △ODC∽△OBA. ∴ DC BA = OC OA ,即DC 3 = 2 5 . 解得 DC= 6 5 . 16. 24　 【解析】如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F. 设 EF = x km. ∵ ∠DEB = 45°,∴ DF = EF = x km. ∵ tan∠ABC = DF BF = 3 4 . ∴ BF = 4 3 x km. 在 Rt △BFD 中, BD = BF2 +DF2 = 5 3 x km. ∵ D 地在 AB 的正中位置,∴ AB = 2BD = 10 3 x km. ∵ tan ∠ABC = 3 4 , ∴ cos∠ABC= 4 5 . ∴ BC AB = 4 5 . ∴ EF +BF+EC AB = 4 5 , 即 x+ 4 3 x+1 10 3 x = 4 5 . 解得 x= 3. 则 BC=EF+BF+EC = 3+4+1 = 8(km),AB= 10 km. ∴ AC = 6 km. ∴ 他跑了 6+8+10 = 24(km) . 17.解:如图,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D. 在 Rt△ACD 中,tanC= AD DC = 12 5 . 设 AD= 12x,DC= 5x, 则 AC = (12x) 2 +(5x) 2 = 13x = 13. ∴ x= 1. ∴ AD = 12,DC = 5. ∴ BD = BC - DC= 21-5 = 16. 在 Rt△ABD 中,AB= AD2 +BD2 = 122 +162 = 20. ∴ sinB=AD AB = 12 20 = 3 5 . 18.解:在 Rt△ADB 中,∠BAD= 45°, ∴ BD=AD= 100 m. 在 Rt△ADC 中,∠DAC= 60°,tan∠DAC=CD AD , ∴ CD=AD·tan∠DAC= 100 3 m. ∴ BC=BD+CD= (100+100 3 )m. ∴ 这栋楼的高度为(100+100 3 )m. 19.解:∵ AB= 34 cm,BC= 70 cm, ∴ AC=AB+BC= 34+70 = 104(cm) . 在 Rt△ACE 中,sin∠ACE=AE AC , ∴ AE = AC· sin ∠ACE = AC· sin 58° ≈ 104 × 0. 85 ≈ 88(cm) . ∴ 点 A 到 CD 的距离 AE 的长度约为 88 cm. 20.解:如图,延长 DA,交 PE 于点 F. 则 DF⊥PE,AD=BC= 2 m,AB=CD=EF= 1. 6 m. 设 AF= x m. ∴ DF=AF+AD= (x+2)m. 在 Rt△PFA 中,∠PAF= 58°,tan∠PAF=PF AF , ∴ PF=AF·tan 58°≈1. 6x m. 在 Rt△PDF 中,∠PDF= 31°, ∴ tan∠PDF= tan 31° =PF DF = 1. 6x x+2 ≈0. 6. ∴ x= 1. 2. ∴ PF= 1. 6×1. 2 = 1. 92(m) . ∴ PE=PF+EF= 1. 92+1. 6≈3. 5(m) . ∴ 路灯顶部到地面的距离 PE 约为 3. 5 m. 21.解: a sinA = b sinB = c sinC . 探究过程如下: 如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥AC 于 点 E. 在 Rt△ABD 中,sin∠ABD=AD c , 即 AD= csin∠ABD. 在 Rt△ADC 中,sinC=AD b , 即 AD= bsinC. ∴ csin∠ABD= bsinC,即 b sin∠ABD = c sinC . 在 Rt△ABE 中,sin∠BAE=BE c ,即 BE= csin∠BAE. 在 Rt△CBE 中,sinC=BE a ,即 BE=asinC. ∴ csin∠BAE=asinC,即 a sin∠BAE = c sinC . 则 a sin∠BAE = b sin∠ABD = c sinC ,即 a sinA = b sinB = c sinC . 22.解:(1) 如图 1,过点 A 作 CD 的垂线,垂足为 M,连 接 AC. 图 1 ∵ CD⊥OD,OA⊥OD, ∴ 四边形 AMDO 是矩形. ∴ AM=OD= 2 5 m,DM=OA= 1 m. 在 Rt △ACM 中,CM = AC2-AM2 = (3 5)2-(2 5)2 = 5(m), ∴ CD=CM+DM= 6 m. ∴ 点 C 到工作台的距离为 6 m. (2)如图 2,连接 AC,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 N. 图 2 ∵ ∠ABC= 143°,∴ ∠ABN= 37°. 在 Rt△ABN 中,sin∠ABN=AN AB , ∴ AN=AB·sin 37°≈5×0. 60 = 3(m) . 在 Rt△ABN 中,BN= AB2 -AN2 = 52 -32 = 4(m) . 在 Rt△ACN 中,CN= AC2-AN2 = (3 5)2-32 =6(m), ∴ BC=CN-BN= 6-4 = 2(m) . ∴ 机械臂 BC 的长为 2 m. 阶段性检测 1. D　 2. A　 3. D 4. C　 【解析】∵ 直线 l1∥l2∥l3,∴ AB BC =DE EF . ∴ 5 6 =DE 4 . ∴ DE= 10 3 . ∴ DF=DE+EF= 10 3 +4 = 22 3 . 故选 C. 5. C　 【解析】∵ AB∥CD,∴ △AOB∽△DOC. ∴ AB DC = 1 0. 8 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋