第2章 解直角三角形 考点梳理与复习-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

(2)B1(2,1),C1(0,7) . 18.证明:∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ ∠B= ∠C= 90°. ∴ ∠BEF+∠BFE= 90°. ∵ ∠EFG= 90°,∴ ∠BFE+∠CFG= 90°. ∴ ∠BEF= ∠CFG. ∴ △EBF∽△FCG. 19.解:如图,过点 D 作 DE∥BC 交 FC 于点 E. ∴ △ABC∽△CED. ∴ AB CE =BC ED . 设 AB= x m. 由题意,得 DE= 10-4 = 6(m),EC= (x-2. 2)m. ∴ x x-2. 2 = 10 6 . 解得 x= 5. 5. ∴ 两层楼之间的高约为 5. 5 m. 20. (1)证明:∵ AB=AC, ∴ ∠B= ∠C. ∵ AD 为 BC 的中线,AB=AC, ∴ BD=CD,AD⊥BC. ∴ ∠ADC= 90°. ∵ DE⊥AB,∴ ∠DEB= ∠ADC= 90°. ∴ △BDE∽△CAD. (2)解:∵ AB= 13,AD= 12,AD⊥BC, ∴ 在 Rt△ADB 中,BD= AB2 -AD2 = 132 -122 = 5. ∵ △BDE∽△CAD, ∴ S△BDE S△ADC = (BDCA ) 2 = (BDAB ) 2 = ( 513 ) 2 = 25 169 . 21. (1)证明:∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACD+∠BCD= 90°. ∵ CD 是高,∴ ∠ADC= 90°. ∴ ∠A+∠ACD= 90°. ∴ ∠A= ∠BCD. ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE= ∠CBE. ∴ △AEB∽△CFB. (2)证明:∵ ∠ABE= ∠CBE,∠A= ∠BCD, ∴ ∠CFE= ∠BCD+∠CBE= ∠A+∠ABE. ∵ ∠CEF= ∠A+∠ABE, ∴ ∠CEF= ∠CFE. ∴ CE=CF. ∵ △AEB∽△CFB, ∴ AE CF = AB CB . ∴ AE CE = AB CB . (3)解:如图,过点 C 作 CH⊥EF 于点 H. ∵ CE=CF,CH⊥EF, ∴ EH=FH= 1 2 EF= 5 . ∴ CH= CE2 -EH2 = 52 -( 5 ) 2 = 2 5 . ∵ ∠CFH= ∠BFD,∠CHF= ∠BDF, ∴ △BFD∽△CFH. ∴ DF HF =BD CH ,即DF 5 = 6 2 5 . ∴ DF= 3. ∴ CD=CF+DF=CE+DF= 8. ∵ ∠A= ∠BCD,∠ADC= ∠CDB, ∴ △ACD∽△CBD. ∴ AD CD =CD BD ,即AD 8 = 8 6 . ∴ AD= 32 3 . 22.解:(1)m (2)证明:∵ ∠ACB= ∠ECD= 90°, ∴ ∠ACB-∠BCE= ∠ECD-∠BCE,即∠ACE= ∠BCD. 又∵ AC BC =EC DC ,∴ △ACE∽△BCD. ∴ AE BD =EC DC =m= 1. ∴ AE=BD,CD=CE. ∴ DE= CD2 +CE2 = 2CD. ∵ 点 D 与点 F 重合,∴ AF=AE+DE=BD+ 2CD. (3)如图,过点 C 作 CG⊥CF 交 AF 于点 G. ∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACG+∠BCG= 90°. ∵ CG⊥CF,∴ ∠BCF+∠BCG= 90°. ∴ ∠ACG= ∠BCF. 由(2)可知,△ACE∽△BCD. ∴ ∠CAE= ∠CBD. ∴ △ACG∽△BCF. ∴ AG BF =CG CF = AC BC =m= 5 2 . ∴ AG= 5 2 BF= 5 2 ×2 5 = 5, CG= 5 2 CF= 5 2 ×6 = 3 5 . 在 Rt△CFG 中,由勾股定理, 得 GF= CG2 +CF2 = (3 5 ) 2 +62 = 9. ∴ AF=AG+GF= 5+9 = 14. 第 2 章考点梳理与复习 考点一　 锐角三角比 1. B　 2. C 3. C　 【解析】如图,延长 AC 到点 D,连接 BD. ∵ AD2 = 22 +42 = 20,BD2 = 12 +22 = 5, AB2 = 32 + 42 = 25, ∴ AD2 + BD2 = AB2 . ∴ ∠ADB= 90°. ∴ cos∠BAC=AD AB = 20 25 = 2 5 5 .故选 C. 4. 2 5 5 5.解:∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB= 90°. 在 Rt△ABD 中,tan∠BAD=BD AD = 3 4 , ∴ BD=AD·tan∠BAD= 3 4 AD= 9. ∵ BC= 14,∴ CD=BC-BD= 5. ∴ AC= AD2 +CD2 = 13. ∴ sinC=AD AC = 12 13 . 考点二　 特殊角的三角比 6. C　 7. A　 【解析】原式= 2× 3 2 -1-( 3 -1)= 3 -1- 3 +1 = 0. 故选 A. 8. C　 【解析】①sin(-30°)= -sin 30° = - 1 2 ,故此结论正确; ②cos2x=cos(x+x)= cosxcosx-sinxsinx = cos2x-sin2x,故此 结论正确;③cos(x-y)= cos[ x+( -y)] = cosxcos( -y) - sinxsin ( - y ) = cosxcosy + sinxsiny, 故 此 结 论 正 确; ④cos 15° = cos ( 45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 = 6 4 + 2 4 = 6 + 2 4 ,故此结论错 误. 所以正确的有 3 个. 故选 C. 9. 等边 　 【解析】∵ sinA- 3 2 + 1 2 -cosB( ) 2 = 0,∴ sinA = 3 2 ,cosB = 1 2 . ∴ ∠A = 60°, ∠B = 60°. ∴ CA = CB. ∴ △ABC 是等腰三角形. ∵ ∠A = 60°,∴ △ABC 是等边 三角形. 10.解:(1)原式= 2× 1 2 +3× 1 2 -2×1 = 1 2 . (2) 原式 = 2 × 2 2 × 2 2 - 2 × 1 2 × 1 + 6 × 3 = 1 - 1 + 3 2 = 3 2 . 考点三　 用计算器求锐角三角比 11. A　 12. A　 13. D 考点四　 解直角三角形 14. C　 15. B　 16. C 考点五　 解直角三角形的应用 17. B　 18. A　 【解析】如图,过点 C 作水平地面的平行线,交 AB 的延长线于点 D,则∠BCD=α. 在 Rt△BCD 中,BC = m, ∠BCD = α, sin ∠BCD = BD BC , cos∠BCD= CD BC ,则 BD = BC·sin∠BCD = msinα,CD = BC·cos∠BCD = mcosα. 在 Rt△ACD 中,∠ACD = 45°, 则 AD=CD = mcosα,∴ AB = AD-BD = mcosα-msinα = m (cosα-sinα) . 故选 A. 19. 20 3 　 【解析】如图,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F. ∵ 斜面的 坡度为 1 ∶ 3,∴ tan∠ABF = AF BF = 1 3 = 3 3 . ∴ ∠ABF = 30°. ∵ 在 P 处测得 A 处的俯角为 15°,B 处的俯角为 60°,∴ ∠HPB = 30°. ∴ ∠APB = 45°. ∴ ∠PBH = 60°. ∴ ∠PBA= 90°. ∴ ∠BAP= 45°. ∴ PB=AB. ∵ PH= 30 m, sin∠PBH=PH PB = 30 PB = 3 2 ,∴ PB=20 3 m.故 AB=20 3 m. 20.解:(1) 如图,过点 D 作 DE⊥BC,交 BC 的延长线于 点 E. ∵ 在 Rt△DCE 中,cosα=CE CD = 4 5 ,CD= 15 m, ∴ CE= 4 5 CD= 4 5 ×15 = 12(m) . ∴ DE= CD2 -CE2 = 152 -122 = 9(m) . ∴ C,D 两点的高度差为 9 m. (2)如图,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F. 由题意,可得 BF=DE,DF=BE. 设 AF= x m. 在 Rt△ADF 中,tan∠ADF= tan 30° = AF DF = x DF = 3 3 . 解得 DF= 3 x. AB=AF+FB =AF+DE = (x+9)m,BC =BE-CE =DF-CE = ( 3 x-12)m. 在 Rt△ABC 中,tan∠ACB= tan 60° = AB BC = x+9 3 x-12 = 3 , 解得 x= 6 3 + 9 2 . ∴ AB= 6 3 + 9 2 +9≈6×1. 7+13. 5 = 23. 7≈24(m) . ∴ 居民楼的高度 AB 约为 24 m. 21.解:如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F. 在 Rt △ACF 中, sin ∠CAB = sin(60°+5°)= sin 65° =CF AC , ∴ CF= AC·sin 65°≈2×0. 91 = 1. 82(m) . 在 Rt△BCF 中,∵ ∠FBC= 45°,∴ CF=BF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 56·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·57　 · ∴ BC= 2CF≈1. 41×1. 82≈2. 6(m) . ∴ BC 的长度约为 2. 6 m. 22.解:(1)∵ 该截面图是轴对称图形,∴ CD= 2OD. 在 Rt△AOD 中,∠OAD= ∠α= 65°. ∵ sinα=OD AD , ∴ OD=AD·sinα= 2×sin 65°≈2×0. 91 = 1. 82(m) . ∴ CD= 2OD= 2×1. 82≈3. 6(m) . ∴ 遮阳宽度 CD 约为 3. 6 m. (2)如图,过点 E 作 EH⊥AB 于点 H. ∴ ∠BHE= 90°. ∵ AB⊥BF,EF⊥BF, ∴ ∠ABF= ∠EFB= 90°. ∴ 四边形 BFEH 是矩形. ∴ EH=BF= 3 m. 在 Rt△AHE 中,tanα=EH AH ,∴ AH= EH tanα . 当∠α= 65°时,AH= 3 tan 65° ≈ 3 2. 14 ≈1. 4(m) . 当∠α= 45°时,AH= 3 tan 45° = 3 m. ∴ 点 E 下降的高度约为 3-1. 4 = 1. 6(m) . 第 2 章学业水平测试 1. B　 2. C　 3. B　 4. A　 5. C　 6. B　 7. C　 【解析】如图,过点 A 作 AD⊥ OB 于点 D. 由题意,知 ∠EOA = 90°,∠EOB= 60°,∴ ∠AOD= 30°. ∴ 在 Rt △AOD 中, AD = 1 2 OA = 2 km,∠OAD = 60°. ∵ ∠FAO = 90°, ∴ ∠FAD = 30°. ∴ ∠DAB = 45°. ∴ BD = AD = 2 km. ∴ AB = 2 AD = 2 2 km. 故选 C. 8. B　 【解析】如图,把 AB 向上平移一个单 位长 度 到 DE, 连 接 CE. ∴ DE ∥AB, ∴ ∠APC = ∠EDC. 在 △DCE 中, EC = 22 +1 = 5 ,DC = 42 +22 = 2 5 ,DE = 32 +42 = 5. ∵ EC2 +DC2 =DE2,∴ △DCE 为直角三角形, ∠DCE = 90°. ∴ cos ∠APC = cos ∠EDC = DC DE = 2 5 5 . 故选 B. 9. A 10. A　 【解析】∵ 动力×动力臂 = 阻力×阻力臂,∴ 当阻力 及阻力臂不变时,动力×动力臂为定值,且该值>0. ∴ 动 力随着动力臂的增大而减小. ∵ 杠杆向下运动时 α 的 度数越来越小,此时 cosα 的值越来越大,动力臂 L1 = Lcosα,∴ 此时动力臂也越来越大. ∴ 此时的动力越来 越小. 故选 A. 11. 159　 【解析】在 Rt△ABC 中,∠B = 30°,AC = 500 m,则 AB= 2AC= 2×500 = 1 000(m) . ∵ 每爬 1 m 耗能 1. 025- cos 30° = 1. 025 - 3 2 ≈0. 159( J),∴ 爬 1 000 m 耗能 0. 159×1 000 = 159(J) . 12. 17 13. 5 m　 【解析】如图,过点O 作EF⊥OM,过点A 作AG⊥EF 于点 G. ∵ AB = 6 m,OA ∶ OB = 2 ∶ 1,∴ OA = 4 m. ∵ ∠AOM = 120°,∠EOM = 90°,∴ ∠AOE = 30°. ∴ AG = 1 2 OA = 1 2 × 4 = 2(m). ∴ 点 A 到地面的距离为 2+3=5(m). 14. 10 3 + 20 2 　 【解析】∵ 在 C 处测得点 M 的俯角为 60°,∴ ∠C= 90°-60° = 30°. 在 Rt△ACM 中,cosC = AC CM , AC= 30,∴ CM = 20 3 . ∴ AM = 1 2 CM = 10 3 . 又∵ CM = DM,∴ DM= 20 3 . 在 Rt△BMD 中,BM = DM2 -BD2 = (20 3 ) 2 -202 = 20 2 . ∴ AB=AM+BM= 10 3 +20 2 . 15. 6 5 　 【解析】如图,延长 AD,BC, 两线交于点 O. 在 Rt△ABO 中, ∵ ∠B= 90°,tanA= 4 3 =OB AB ,AB= 3,∴ OB=4. ∵ BC= 2,∴ OC=OB- BC= 4-2 = 2. 在 Rt△ABO 中,∠B = 90°,AB = 3,OB = 4, 由勾股定理,得 AO = 5. ∵ ∠ADC = 90°, ∴ ∠ODC = 90° =∠B. ∵ ∠DOC= ∠BOA,∴ △ODC∽△OBA. ∴ DC BA = OC OA ,即DC 3 = 2 5 . 解得 DC= 6 5 . 16. 24　 【解析】如图,过点 D 作 DF⊥BC 于点 F. 设 EF = x km. ∵ ∠DEB = 45°,∴ DF = EF = x km. ∵ tan∠ABC = DF BF = 3 4 . ∴ BF = 4 3 x km. 在 Rt △BFD 中, BD = BF2 +DF2 = 5 3 x km. ∵ D 地在 AB 的正中位置,∴ AB = 2BD = 10 3 x km. ∵ tan ∠ABC = 3 4 , ∴ cos∠ABC= 4 5 . ∴ BC AB = 4 5 . ∴ EF +BF+EC AB = 4 5 , 即 x+ 4 3 x+1 10 3 x = 4 5 . 解得 x= 3. 则 BC=EF+BF+EC = 3+4+1 = 8(km),AB= 10 km. ∴ AC = 6 km. ∴ 他跑了 6+8+10 = 24(km) . 17.解:如图,过点 A 作 AD⊥BC,垂足为 D. 在 Rt△ACD 中,tanC= AD DC = 12 5 . 设 AD= 12x,DC= 5x, 则 AC = (12x) 2 +(5x) 2 = 13x = 13. ∴ x= 1. ∴ AD = 12,DC = 5. ∴ BD = BC - DC= 21-5 = 16. 在 Rt△ABD 中,AB= AD2 +BD2 = 122 +162 = 20. ∴ sinB=AD AB = 12 20 = 3 5 . 18.解:在 Rt△ADB 中,∠BAD= 45°, ∴ BD=AD= 100 m. 在 Rt△ADC 中,∠DAC= 60°,tan∠DAC=CD AD , ∴ CD=AD·tan∠DAC= 100 3 m. ∴ BC=BD+CD= (100+100 3 )m. ∴ 这栋楼的高度为(100+100 3 )m. 19.解:∵ AB= 34 cm,BC= 70 cm, ∴ AC=AB+BC= 34+70 = 104(cm) . 在 Rt△ACE 中,sin∠ACE=AE AC , ∴ AE = AC· sin ∠ACE = AC· sin 58° ≈ 104 × 0. 85 ≈ 88(cm) . ∴ 点 A 到 CD 的距离 AE 的长度约为 88 cm. 20.解:如图,延长 DA,交 PE 于点 F. 则 DF⊥PE,AD=BC= 2 m,AB=CD=EF= 1. 6 m. 设 AF= x m. ∴ DF=AF+AD= (x+2)m. 在 Rt△PFA 中,∠PAF= 58°,tan∠PAF=PF AF , ∴ PF=AF·tan 58°≈1. 6x m. 在 Rt△PDF 中,∠PDF= 31°, ∴ tan∠PDF= tan 31° =PF DF = 1. 6x x+2 ≈0. 6. ∴ x= 1. 2. ∴ PF= 1. 6×1. 2 = 1. 92(m) . ∴ PE=PF+EF= 1. 92+1. 6≈3. 5(m) . ∴ 路灯顶部到地面的距离 PE 约为 3. 5 m. 21.解: a sinA = b sinB = c sinC . 探究过程如下: 如图,过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,过点 B 作 BE⊥AC 于 点 E. 在 Rt△ABD 中,sin∠ABD=AD c , 即 AD= csin∠ABD. 在 Rt△ADC 中,sinC=AD b , 即 AD= bsinC. ∴ csin∠ABD= bsinC,即 b sin∠ABD = c sinC . 在 Rt△ABE 中,sin∠BAE=BE c ,即 BE= csin∠BAE. 在 Rt△CBE 中,sinC=BE a ,即 BE=asinC. ∴ csin∠BAE=asinC,即 a sin∠BAE = c sinC . 则 a sin∠BAE = b sin∠ABD = c sinC ,即 a sinA = b sinB = c sinC . 22.解:(1) 如图 1,过点 A 作 CD 的垂线,垂足为 M,连 接 AC. 图 1 ∵ CD⊥OD,OA⊥OD, ∴ 四边形 AMDO 是矩形. ∴ AM=OD= 2 5 m,DM=OA= 1 m. 在 Rt △ACM 中,CM = AC2-AM2 = (3 5)2-(2 5)2 = 5(m), ∴ CD=CM+DM= 6 m. ∴ 点 C 到工作台的距离为 6 m. (2)如图 2,连接 AC,过点 A 作 BC 的垂线,垂足为 N. 图 2 ∵ ∠ABC= 143°,∴ ∠ABN= 37°. 在 Rt△ABN 中,sin∠ABN=AN AB , ∴ AN=AB·sin 37°≈5×0. 60 = 3(m) . 在 Rt△ABN 中,BN= AB2 -AN2 = 52 -32 = 4(m) . 在 Rt△ACN 中,CN= AC2-AN2 = (3 5)2-32 =6(m), ∴ BC=CN-BN= 6-4 = 2(m) . ∴ 机械臂 BC 的长为 2 m. 阶段性检测 1. D　 2. A　 3. D 4. C　 【解析】∵ 直线 l1∥l2∥l3,∴ AB BC =DE EF . ∴ 5 6 =DE 4 . ∴ DE= 10 3 . ∴ DF=DE+EF= 10 3 +4 = 22 3 . 故选 C. 5. C　 【解析】∵ AB∥CD,∴ △AOB∽△DOC. ∴ AB DC = 1 0. 8 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 · 5　 · 第 2 章考点梳理与复习 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 锐角三角比 1. 在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AC= 2 ,AB= 10 ,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. sinB= 2 5 5 　 B. cosA= 5 5 　 C. tanB= 2　 D. tanA= 1 2 2. △ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为 1),AD⊥BC 于点 D. 下列四个选项中,错 误的是 (　 　 ) A. sinα= cosα B. tanC= 2 C. sinβ= cosβ D. tanα= 1 第 2 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 3 题图 3. 如图,在 4×4 的正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,顶点为格点. 若△ABC 的顶点均是格点,则 cos∠BAC 的值是 (　 　 ) A. 5 5 B. 10 5 C. 2 5 5 D. 4 5 4. 在△ABC 中,∠C= 90°,若 tanA= 1 2 ,则 sinB= . 5. 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,垂足是 D. 若 BC= 14,AD= 12,tan∠BAD= 3 4 . 求 sinC 的值. 考点二　 特殊角的三角比 6. 已知 sinA= 1 2 ,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. cosA= 2 2 B. tanA= 1 C. cosA= 3 2 D. tanA= 3 7. 2cos 30°-tan 45°- (1-tan 60°) 2 的值是 (　 　 ) A. 0 B. 2 3 C. 2 D. -2 8. (新素养·运算能力)规定:sin( -x) = -sinx,cos( -x) = cosx,cos(x+y) = cosxcosy-sinxsiny. 给出以下 四个结论:①sin( - 30°) = - 1 2 ;②cos2x = cos2x-sin2x;③cos( x-y) = cosxcosy+sinxsiny;④cos 15° = 6 - 2 4 . 其中正确的有 (　 　 ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 在△ABC 中,若 sinA- 3 2 + 1 2 -cosB( ) 2 = 0,∠A,∠B 都是锐角,则△ABC 是　 　 　 　 三角形. 10. 计算: (1)2cos 60°+3sin 30°-2tan 45°; (2)2cos 45°·sin 45°-2sin 30°·tan 45°+ 6 tan 60°. 考点三　 用计算器求锐角三角比 11. 利用科学计算器计算 2 sin 50°,下列按键顺序正确的是 (　 　 ) A. 　 2 sin 5 0 = B. 2 　 sin 5 0 = C. 　 2 5 0 sin = D. 2 　 5 0 sin = 12. 用科学计算器求 sin 15°,sin 25°,sin 35°,sin 45°,sin 55°,sin 65°,sin 75°,sin 85°的值,研究 sinα 的 值随锐角 α 变化的规律. 根据这个规律判断:若 1 2 <sinα< 3 2 ,则 (　 　 ) A. 30°<α<60° B. 30°<α<90° C. 0°<α<60° D. 60°<α<90° 13. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,BC= 2,AC= 3,若用科学计算器求∠A 的度数,并以“度、分、秒”为单 位表示出这个度数,则下列按键顺序正确的是 (　 　 ) A. tan 2 ÷ 3 = B. tan 2 ÷ 3 DMS = C. 2ndF tan ( 2 ÷ 3 ) = D. 2ndF tan ( 2 ÷ 3 ) = DMS 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 考点四　 解直角三角形 14. 如图,在△ABC 中,∠A= 30°,tanB= 3 2 ,AC= 2 3 ,则 AB 的长是 (　 　 ) A. 4 B. 3+ 3 C. 5 D. 2+2 3 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 　 　 　 第 16 题图 15. 如图,在△ABC 中,sinB= 1 3 ,tanC= 2,AB= 3,则 AC 的长为 (　 　 ) A. 2 　 B. 5 2 　 C. 5 　 D. 2 16. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,点 D 在 AC 上,∠DBC= ∠A. 若 AC= 4,cosA= 4 5 ,则 BD 的长度为 (　 　 ) A. 9 4 　 B. 12 5 　 C. 15 4 　 D. 4 考点五　 解直角三角形的应用 17. 如图,为了测量一条河流的宽度,一测量员在河岸边相距 200 m 的 P,Q 两点处分别测定对岸一棵树 T 的位置,T 在 P 的正北方向,且 T 在 Q 的北偏西 70°方向,则河宽(PT 的长)可以表示为 (　 　 ) A. 200tan 70° m B. 200 tan 70° m C. 200sin 70° m D. 200 sin 70° m 18. 如图,坡角为 α 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树 AB,当太阳光线与水平线成 45°角沿斜坡照 下时,在斜坡上的树影 BC 长为 m,则大树 AB 的高为 (　 　 ) A. m(cosα-sinα) B. m(sinα-cosα) C. m(cosα-tanα) D. m sinα - m cosα 第 18 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 19 题图 19. 如图,小明在距离地面 30 m 的 P 处测得 A 处的俯角为 15°,B 处的俯角为 60°. 若斜面的坡度为 1 ∶ 3 ,则斜坡 AB 的长是　 　 　 　 　 m. 20. (新素养·应用意识)如图,小文在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识测量居民楼的高度 AB,在居民楼前方有一斜坡,坡长 CD = 15 m,斜坡的倾斜角为 α,cosα= 4 5 . 小文在 C 点处测得楼顶 端 A 的仰角为 60°,在 D 点处测得楼顶端 A 的仰角为 30°(点 A,B,C,D 在同一平面内) . 求:(1)C,D 两点的高度差; (2)居民楼的高度 AB(结果精确到 1 m,参考数据: 3 ≈1. 7) . 21. 如图 1 是自动卸货汽车卸货时的状态图,图 2 是其示意图. 汽车的车厢采用液压结构,车厢的支撑 顶杆 BC 的底部支撑点 B 在水平线 AD 的下方,AB 与水平线 AD 之间的夹角是 5°,卸货时,车厢 AC 与水平线 AD 成 60°夹角,此时 AB 与支撑顶杆 BC 的夹角为 45°. 若 AC= 2 m,求 BC 的长度. (结果保 留一位小数,参考数据:sin 65°≈0. 91,cos 65°≈0. 42, 2 ≈1. 41) 图 1　 　 　 　 　 　 　 图 2　 　 　 22. “五一”期间,许多露营爱好者在某市郊区露营,为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”,其截面示意图如 图所示,该截面图是轴对称图形,对称轴是垂直于地面的支杆 AB,用绳子拉直 AD 后系在树干 EF 上 的点 E 处,使得点 A,D,E 在一条直线上,通过调节点 E 的高度可控制“天幕”的开合,AC=AD= 2 m, BF= 3 m. (1)天晴时打开“天幕”,若∠α= 65°,求遮阳宽度 CD; (2)下雨时收拢“天幕”,∠α 从 65°减少到 45°,求点 E 下降的高度. (结果精确到 0. 1 m,参考数据:sin 65°≈0. 91,cos 65°≈0. 42,tan 65°≈2. 14, 2 ≈1. 41) · 6·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册