第1章 图形的相似 学业水平测试-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 · 3　 · 第 1 章学业水平测试 (时间:60 分钟 满分:100 分) 题序 一 二 三 总分 得分 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 1. 如图是杭州第 19 届亚运会的吉祥物“琮琮”,代表的是世界遗产良渚古城遗址,名字来源于文物玉 琮. 琮琮全身以黄色调为主,头部刻有“饕餮纹”,展示给人们一种不屈不挠、坚强刚毅的精神. 文旅部 门将选定的“琮琮”形象图通过放大或缩小放置于不同的宣传版面上,这体现了数学中的 (　 　 ) A. 图形的平移 B. 图形的轴对称 C. 图形的相似 D. 图形的旋转 第 1 题图 　 　 　 　 第 2 题图 　 　 　 　 第 3 题图 　 　 　 　 2. 如图,两个三角形是以点 P 为位似中心的位似图形,则点 P 的坐标是 (　 　 ) A. ( -3,2)　 B. ( -3,1)　 C. (2,-3)　 D. ( -2,3) 3. 如图,△ABC∽△DCA,∠B= 33°,∠D= 117°,则∠BAD 的度数是 (　 　 ) A. 150°　 B. 147°　 C. 135°　 D. 120° 4. 如图,小康利用复印机将一张长为 5 cm,宽为 3 cm 的矩形图片放大,其中放大后的长为 10 cm,则放 大后的宽为 (　 　 ) A. 3 2 cm B. 5 cm C. 10 cm D. 6 cm 第 4 题图 　 　 　 第 5 题图 　 　 　 　 　 第 6 题图 5. 如图,平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分,则BD AD 的值为 (　 　 ) A. 1 B. 2 2 C. 2 -1 D. 2 +1 6. 如图,在△ABC 中,已知 MN∥BC,DN∥MC. 小莹同学由此得出了以下四个结论:①AN CN = AM AB ;② AD DM = AM MB ;③AM MB = AN CN ;④AD AM =AN AC . 其中正确结论的个数为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足为 D. 如果△ACD 与△BCD 的面积之比为 3 ∶ 2,AC = 3,那么 BC 的长是 (　 　 ) A. 2　 B. 6　 C. 6 　 D. 3 10 第 7 题图 　 　 第 8 题图 　 　 第 9 题图 　 　 第 10 题图 8. 如图,在正三角形 ABC 中,点 D,E 分别在 AC,AB 上,且AD AC = 1 3 ,AE=BE,则有 (　 　 ) A. △AED∽△BED B. △AED∽△CBD C. △AED∽△ABD D. △BAD∽△BCD 9. 如图,在▱ABCD 中,∠ABC 的平分线交 AC 于点 E,交 AD 于点 F,交 CD 的延长线于点 G. 若 AF = 2FD,则BE EG 的值为 (　 　 ) A. 1 2 　 B. 1 3 　 C. 2 3 　 D. 3 4 10. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC= 10,点 E 在 BC 边上,DF⊥AE,垂足为 F. 若 DF= 6,则线段 EF 的 长为 (　 　 ) A. 2　 B. 3 C. 4　 D. 5 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 11. 如图,已知点 B,E,C,F 在同一条直线上,∠A = ∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添 加的条件是 (只需写一个条件,不添加辅助线和字母) . 第 11 题图 　 　 　 　 　 第 12 题图 　 　 　 　 　 第 13 题图 12. 如图,在矩形 ABCD 中,E 为 AD 边的中点,BD 和 CE 相交于点 F. 如果 DF = 2,那么线段 BF 的长 度为 . 13. (新情境·实际情境)如图,小明和妹妹为家人制作亲子 T 恤,主要的图案是在一个矩形基础上设计 的,每件 T 恤上的矩形都是相似的. 妹妹 T 恤上矩形的面积为 50 cm2,妈妈 T 恤上矩形的长是妹妹 T 恤上矩形长的 2 倍,则妈妈 T 恤上矩形的面积为 cm2 . 14. 在平面直角坐标系中,△ABC 和△A1B1C1 的相似比等于 1 2 ,并且是关于原点 O 的位似图形. 若点 A 的坐标为(2,4),则其对应点 A1 的坐标是　 　 　 　 　 　 　 　 . 15. 如图 1,用形状相同、大小不等的三块直角三角形木板,恰好能拼成如图 2 所示的四边形 ABCD. 若 AE= 4,CE= 3BE,那么这个四边形的面积是　 　 　 　 . 图 1 　 　 图 2 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 16. 如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,AB = 2,点 E 在 AB 的延 长线上,且 AE = AC,EF⊥AC 于点 F,连接 BF 并延长交 CD 于点 G,则 DG = 　 　 　 　 　 . 三、解答题(共 52 分) 17. (6 分)如图,在 10×10 的网格图中,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(-4,1),B(-1,1),C(-2,4) . (1)以点 A 为位似中心,将△ABC 放大为原来的 2 倍得到△AB1C1,请在网格图中画出△AB1C1; (2)直接写出(1)中点 B1,C1 的坐标. 18. (7 分)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F,G 分别在 AB,BC,CD 上,且∠EFG= 90°. 求证:△EBF∽△FCG. 19. (7 分)如图,某超市在一楼至二楼之间安装有电梯,天花板与地面平行. 张强扛着箱子(人与箱子的 总高度约为 2. 2 m)乘电梯刚好安全通过,请你根据图中数据,求两层楼之间的高. 20. (8 分)如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 为边 BC 的中线,DE⊥AB 于点 E. (1)证明:△BDE∽△CAD; (2)若 AB= 13,AD= 12,求 S△BDE S△ADC 的值. 21. (12 分)如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,CD 是高,BE 平分∠ABC,BE 分别与 AC,CD 相交于点 E,F. (1)求证:△AEB∽△CFB; (2)求证:AE CE = AB CB ; (3)若 CE= 5,EF= 2 5 ,BD= 6,求 AD 的长. 22. (12 分)(新考法·拓展探究)【问题提出】如图 1,在△ABC 中,∠ACB = 90°,D,E 分别是边 BC,AC 上的点,AC BC =EC DC =m,将△DEC 绕点 C 顺时针旋转,点 E 在△ABC 内部,直线 AE 与 BD 交于点 F. 【问题探究】 (1)如图 2,探究AE BD 的值为　 　 　 　 (用含 m 的式子表示); (2)如图 3,当 m= 1 时,求证:AF=BD+ 2CD; 【问题拓展】 (3)如图 4,当 m= 5 2 时,BF= 2 5 ,CF= 6. 求 AF 的长. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 　 　 图 4 · 4·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·55　 · 参考答案及解析 (部分答案不唯一) 第 1 章考点梳理与复习 考点一　 相似多边形 1. B　 2. C　 【解析】∵ AD = 8 cm,AB = 6 cm,矩形 AEFB 与矩形 ABCD 相 似, ∴ AE AB = AB AD , 即 AE 6 = 6 8 . ∴ AE = 9 2 cm. ∴ S矩形AEFB =AE·AB= 9 2 ×6 = 27(cm2) . 故选 C. 3. C 4.解:如图,连接 BD 交 AC 于点 O. ∵ 菱形 ABCD 的周长为 12, ∴ AD= 3,AC 平分∠DAB,BD⊥AC. ∵ ∠DAB= 60°, ∴ ∠DAO= 1 2 ∠DAB= 30°. ∴ OD= 1 2 AD= 3 2 . 在 Rt△AOD 中,∠AOD= 90°,AD= 3,OD= 3 2 , ∴ AO= AD2 -OD2 = 32 - ( 32 ) 2 = 3 3 2 . ∵ 四边形 DEBF 与菱形 ABCD 相似, ∴ ∠FDE= ∠DAB= 60°. ∴ ∠EDO= 1 2 ∠FDE= 30°. 设 OE= x,则 DE= 2x. ∵ DE2 -OE2 =OD2,即(2x) 2 -x2 = ( 32 ) 2 . ∴ x= 3 2 ,即 OE= 3 2 . ∴ AE=OA-OE= 3 3 2 - 3 2 = 3 . 考点二　 平行线分线段成比例 5. D　 6. B　 7. 4　 【解析】∵ 直线 a∥b∥c,∴ AB BC =DE EF . ∵ DE= 2EF,∴ DE EF = 2. ∴ AB BC = 2. ∴ BC= 1 2 AB. ∵ AC= 6,∴ AB+BC=AB+ 1 2 AB= 6. ∴ AB= 4. 考点三　 相似三角形的判定和性质 8. C　 9. D　 10. C 11. 4 5 或 2　 【解析】设经过 t s,△APQ 与△ABC 相似,则 AP=AB-BP=(8-2t) cm,AQ = 4t cm. ①当 AP 与 AB 是 对应边时,△APQ∽△ABC,∴ AP AB = AQ AC ,即8 -2t 8 = 4t 16 . 解 得 t = 2. ②当 AP 与 AC 是对应边时,△APQ∽ △ACB, ∴ AP AC =AQ AB ,即8 -2t 16 = 4t 8 . 解得 t= 4 5 . 综上所述,经过 4 5 或 2 s,△APQ 与△ABC 相似. 12. (1)证明:∵ FE FB =FC FD ,且∠EFC= ∠BFD, ∴ △FEC∽△FBD. ∴ ∠FEC= ∠FBD. 又∵ ∠AED= ∠FEC,∴ ∠AED= ∠FBD. 又∵ ∠EAD= ∠BAC,∴ △ADE∽△ACB. (2)解:∵ △ADE∽△ACB,∴ AD AC =AE AB ,即AD 9 = 8 12 . ∴ AD= 6. ∴ BD=AB-AD= 12-6 = 6. 13. (1)证明:∵ DE∥AC,∴ ∠DEB= ∠FCE. ∵ EF∥AB,∴ ∠DBE= ∠FEC. ∴ △BDE∽△EFC. (2)解:①∵ EF∥AB,∴ BE EC = AF FC = 1 2 . ∵ EC=BC-BE= 12-BE, ∴ BE EC = BE 12-BE = 1 2 . 解得 BE= 4. ②∵ AF FC = 1 2 ,∴ FC AC = 2 3 . ∵ ∠FEC= ∠ABC,∠FCE= ∠ACB,∴ △EFC∽△BAC. ∴ S△EFC S△BAC = FC AC( ) 2 = 2 3( ) 2 = 4 9 . ∴ S△BAC = 9 4 S△EFC = 9 4 ×20 = 45. ∵ DE∥AC,EF∥AB,∴ 四边形 ADEF 是平行四边形. ∴ DE=AF. ∵ △BDE∽△EFC, ∴ S△BDE S△EFC = DE FC( ) 2 = AF FC( ) 2 = 1 4 . ∴ S△BDE = 1 4 ×20 = 5. ∴ S四边形ADEF =S△BAC-S△EFC-S△BDE = 45-20-5 = 20. 考点四　 相似三角形的应用 14. C　 15. A　 【解析】如图,连接 BD. 由题意,得 EF∥BD. ∴ △AEF∽△ABD. ∴ AE AB = EF BD ,即 28 28+35 = 20 BD . ∴ BD = 45 mm. ∴ 点 B,D 之间的距离减少 了 45-20 = 25(mm) . 故选 A. 16. C　 【解析】∵ AB⊥BD,CD⊥BD,∴ ∠ABO = ∠CDO = 90°. 又∵ ∠AOB = ∠COD,∴ △ABO∽△CDO. ∴ AO CO = AB CD . ∵ AO= 4 m,AB= 1. 6 m,CO= 1 m,∴ 4 1 = 1. 6 CD . 解得 CD= 0. 4. 故选 C. 17. B　 【解析】如图,过点 A 作 AM⊥BC 交 DE 于点 N,交 BC 于点 M. ∵ ∠BAC = 90°, AB = 6 cm, AC = 8 ( cm ), ∴ BC = AB2 +AC2 = 62 +82 = 10(cm) . ∵ S△ABC = 1 2 AB·AC = 1 2 AM·BC,∴ AM=AB·AC BC = 6×8 10 = 4. 8(cm) . ∵ 四边形 DEFG 是平行四边形, ∴ DE∥BC, DE = FG = 5 cm. ∴ △ADE∽△ABC. ∴ AN AM =DE BC = 5 10 = 1 2 . ∴ AN = 1 2 AM = MN= 2. 4 cm. ∴ S▱DEFG = FG·MN = 5×2. 4 = 12( cm2) . 故选 B. 18. C　 【解析】 由题意,得 EF∥CH. ∴ △AFE∽ △AHC. ∴ EF CH = AF AH ,即 30 CH = 60 800 . ∴ CH = 400 cm = 4 m. ∵ AB⊥ BD,AH⊥CD,HD⊥BD,∴ 四边形 AHDB 是矩形. ∴ DH =AB = 1. 6 m. ∴ CD = CH+DH = 4 + 1. 6 = 5. 6(m) . 故 选 C. 考点五　 图形的位似 19. A　 20. A 21. 解:(1)如图,△ABC 即为所求作. (2)如图,△A1B1C1 即为所求作. 　 ( -3,3) (3)如图,△A2B2C2 即为所求作. 　 (6,6) 第 1 章学业水平测试 1. C　 2. A　 3. B　 4. D　 5. C　 6. C　 【解析】∵ MN∥BC,∴ AN CN = AM BM . 故①错误,③正确; ∵ DN∥MC,∴ AD DM = AN NC ,AD AM =AN AC . 故④正确;∴ AD DM = AM MB . 故②正确. 综上所述,正确的有②③④,共 3 个. 故选 C. 7. C 8. B　 【解析】∵ AD AC = 1 3 ,∴ AD ∶ DC = 1 ∶ 2. ∵ △ABC 是正 三角形,∴ ∠A=∠C,AB=BC. ∵ AE=BE,∴ AE ∶ BC=AE ∶ AB=1 ∶ 2. ∴ AD ∶ DC = AE ∶ BC. ∵ ∠A = ∠C,∴ △AED∽ △CBD. 故选 B. 9. C　 【解析】∵ AF= 2FD,∴ 设 FD= k,则 AF = 2k,AD= 3k. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AB∥CD,AB= CD. ∴ ∠AFB = ∠FBC,∠ABF = ∠G. ∵ BE 平分∠ABC, ∴ ∠ABF = ∠CBG. ∴ ∠ABF = ∠AFB = ∠DFG = ∠G. ∴ AF=AB = CD = 2k,DF = DG = k. ∴ CG = CD+DG = 3k. ∵ AB∥DG,∴ △ABE∽ △CGE. ∴ BE GE = AB CG = 2k 3k = 2 3 . 故 选 C. 10. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AB =CD = 3,BC = AD= 10,AD∥BC. ∴ ∠AEB= ∠DAF. ∴ △AFD∽△EBA. ∴ AF EB = AD EA = DF AB . ∵ DF = 6,DF⊥AE,AD = 10,∴ AF = AD2-DF2 = 102-62 = 8. ∴ 10 EA = 6 3 . ∴ EA = 5. ∴ EF = AF-EA= 8-5 = 3. 故选 B. 11. ∠B= ∠DEF(答案不唯一)　 12. 4 13. 200　 14. (4,8)或( -4,-8) 15. 16 3 　 【解析】∵ 三块直角三角形木板形状相同、大小 不等,∴ △ABE∽△ECD∽△DEA,∠B = ∠C = ∠AED = 90°. ∴ BE ∶ CD = AB ∶ EC,∠AEB = ∠DAE. ∴ ∠BAD = ∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠AEB=90°. ∴ 四边形 ABCD 为矩 形. ∴ AB = CD. ∴ AB2 = BE·EC. ∵ CE = 3BE,∴ AB = 3BE. ∵ AE = 4,∴ ( 3 BE) 2 +BE2 = 42 . ∴ BE = 2,AB = 2 3 . ∴ BC = BE+CE = 4BE = 8. ∴ S四边形ABCD = AB·BC = 2 3 ×8 = 16 3 . 16. 4-2 2 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC = CD = 2,∠BDC = ∠EAF = 45°,AC⊥BD. ∴ BD = AC = 2 2 . ∴ BE = AE-AB = 2 2 -2. ∵ ∠EFA = ∠CBA,∠EAF = ∠CAB,AE = AC, ∴ △AEF ≌ △ACB ( AAS) . ∴ ∠E = ∠ACB= 45°,EF = BC = 2. ∴ ∠E = ∠BDG. ∵ EF⊥AC, AC⊥BD,∴ EF∥BD. ∴ ∠EFB = ∠DBG. ∴ △EBF ∽ △DGB. ∴ BE GD =EF DB ,即2 2 -2 GD = 2 2 2 . ∴ DG= 4-2 2 . 17.解:(1)如图,△AB1C1 即为所求作. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (2)B1(2,1),C1(0,7) . 18.证明:∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ ∠B= ∠C= 90°. ∴ ∠BEF+∠BFE= 90°. ∵ ∠EFG= 90°,∴ ∠BFE+∠CFG= 90°. ∴ ∠BEF= ∠CFG. ∴ △EBF∽△FCG. 19.解:如图,过点 D 作 DE∥BC 交 FC 于点 E. ∴ △ABC∽△CED. ∴ AB CE =BC ED . 设 AB= x m. 由题意,得 DE= 10-4 = 6(m),EC= (x-2. 2)m. ∴ x x-2. 2 = 10 6 . 解得 x= 5. 5. ∴ 两层楼之间的高约为 5. 5 m. 20. (1)证明:∵ AB=AC, ∴ ∠B= ∠C. ∵ AD 为 BC 的中线,AB=AC, ∴ BD=CD,AD⊥BC. ∴ ∠ADC= 90°. ∵ DE⊥AB,∴ ∠DEB= ∠ADC= 90°. ∴ △BDE∽△CAD. (2)解:∵ AB= 13,AD= 12,AD⊥BC, ∴ 在 Rt△ADB 中,BD= AB2 -AD2 = 132 -122 = 5. ∵ △BDE∽△CAD, ∴ S△BDE S△ADC = (BDCA ) 2 = (BDAB ) 2 = ( 513 ) 2 = 25 169 . 21. (1)证明:∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACD+∠BCD= 90°. ∵ CD 是高,∴ ∠ADC= 90°. ∴ ∠A+∠ACD= 90°. ∴ ∠A= ∠BCD. ∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠ABE= ∠CBE. ∴ △AEB∽△CFB. (2)证明:∵ ∠ABE= ∠CBE,∠A= ∠BCD, ∴ ∠CFE= ∠BCD+∠CBE= ∠A+∠ABE. ∵ ∠CEF= ∠A+∠ABE, ∴ ∠CEF= ∠CFE. ∴ CE=CF. ∵ △AEB∽△CFB, ∴ AE CF = AB CB . ∴ AE CE = AB CB . (3)解:如图,过点 C 作 CH⊥EF 于点 H. ∵ CE=CF,CH⊥EF, ∴ EH=FH= 1 2 EF= 5 . ∴ CH= CE2 -EH2 = 52 -( 5 ) 2 = 2 5 . ∵ ∠CFH= ∠BFD,∠CHF= ∠BDF, ∴ △BFD∽△CFH. ∴ DF HF =BD CH ,即DF 5 = 6 2 5 . ∴ DF= 3. ∴ CD=CF+DF=CE+DF= 8. ∵ ∠A= ∠BCD,∠ADC= ∠CDB, ∴ △ACD∽△CBD. ∴ AD CD =CD BD ,即AD 8 = 8 6 . ∴ AD= 32 3 . 22.解:(1)m (2)证明:∵ ∠ACB= ∠ECD= 90°, ∴ ∠ACB-∠BCE= ∠ECD-∠BCE,即∠ACE= ∠BCD. 又∵ AC BC =EC DC ,∴ △ACE∽△BCD. ∴ AE BD =EC DC =m= 1. ∴ AE=BD,CD=CE. ∴ DE= CD2 +CE2 = 2CD. ∵ 点 D 与点 F 重合,∴ AF=AE+DE=BD+ 2CD. (3)如图,过点 C 作 CG⊥CF 交 AF 于点 G. ∵ ∠ACB= 90°, ∴ ∠ACG+∠BCG= 90°. ∵ CG⊥CF,∴ ∠BCF+∠BCG= 90°. ∴ ∠ACG= ∠BCF. 由(2)可知,△ACE∽△BCD. ∴ ∠CAE= ∠CBD. ∴ △ACG∽△BCF. ∴ AG BF =CG CF = AC BC =m= 5 2 . ∴ AG= 5 2 BF= 5 2 ×2 5 = 5, CG= 5 2 CF= 5 2 ×6 = 3 5 . 在 Rt△CFG 中,由勾股定理, 得 GF= CG2 +CF2 = (3 5 ) 2 +62 = 9. ∴ AF=AG+GF= 5+9 = 14. 第 2 章考点梳理与复习 考点一　 锐角三角比 1. B　 2. C 3. C　 【解析】如图,延长 AC 到点 D,连接 BD. ∵ AD2 = 22 +42 = 20,BD2 = 12 +22 = 5, AB2 = 32 + 42 = 25, ∴ AD2 + BD2 = AB2 . ∴ ∠ADB= 90°. ∴ cos∠BAC=AD AB = 20 25 = 2 5 5 .故选 C. 4. 2 5 5 5.解:∵ AD⊥BC,∴ ∠ADB= 90°. 在 Rt△ABD 中,tan∠BAD=BD AD = 3 4 , ∴ BD=AD·tan∠BAD= 3 4 AD= 9. ∵ BC= 14,∴ CD=BC-BD= 5. ∴ AC= AD2 +CD2 = 13. ∴ sinC=AD AC = 12 13 . 考点二　 特殊角的三角比 6. C　 7. A　 【解析】原式= 2× 3 2 -1-( 3 -1)= 3 -1- 3 +1 = 0. 故选 A. 8. C　 【解析】①sin(-30°)= -sin 30° = - 1 2 ,故此结论正确; ②cos2x=cos(x+x)= cosxcosx-sinxsinx = cos2x-sin2x,故此 结论正确;③cos(x-y)= cos[ x+( -y)] = cosxcos( -y) - sinxsin ( - y ) = cosxcosy + sinxsiny, 故 此 结 论 正 确; ④cos 15° = cos ( 45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° = 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 = 6 4 + 2 4 = 6 + 2 4 ,故此结论错 误. 所以正确的有 3 个. 故选 C. 9. 等边 　 【解析】∵ sinA- 3 2 + 1 2 -cosB( ) 2 = 0,∴ sinA = 3 2 ,cosB = 1 2 . ∴ ∠A = 60°, ∠B = 60°. ∴ CA = CB. ∴ △ABC 是等腰三角形. ∵ ∠A = 60°,∴ △ABC 是等边 三角形. 10.解:(1)原式= 2× 1 2 +3× 1 2 -2×1 = 1 2 . (2) 原式 = 2 × 2 2 × 2 2 - 2 × 1 2 × 1 + 6 × 3 = 1 - 1 + 3 2 = 3 2 . 考点三　 用计算器求锐角三角比 11. A　 12. A　 13. D 考点四　 解直角三角形 14. C　 15. B　 16. C 考点五　 解直角三角形的应用 17. B　 18. A　 【解析】如图,过点 C 作水平地面的平行线,交 AB 的延长线于点 D,则∠BCD=α. 在 Rt△BCD 中,BC = m, ∠BCD = α, sin ∠BCD = BD BC , cos∠BCD= CD BC ,则 BD = BC·sin∠BCD = msinα,CD = BC·cos∠BCD = mcosα. 在 Rt△ACD 中,∠ACD = 45°, 则 AD=CD = mcosα,∴ AB = AD-BD = mcosα-msinα = m (cosα-sinα) . 故选 A. 19. 20 3 　 【解析】如图,过点 A 作 AF⊥BC 于点 F. ∵ 斜面的 坡度为 1 ∶ 3,∴ tan∠ABF = AF BF = 1 3 = 3 3 . ∴ ∠ABF = 30°. ∵ 在 P 处测得 A 处的俯角为 15°,B 处的俯角为 60°,∴ ∠HPB = 30°. ∴ ∠APB = 45°. ∴ ∠PBH = 60°. ∴ ∠PBA= 90°. ∴ ∠BAP= 45°. ∴ PB=AB. ∵ PH= 30 m, sin∠PBH=PH PB = 30 PB = 3 2 ,∴ PB=20 3 m.故 AB=20 3 m. 20.解:(1) 如图,过点 D 作 DE⊥BC,交 BC 的延长线于 点 E. ∵ 在 Rt△DCE 中,cosα=CE CD = 4 5 ,CD= 15 m, ∴ CE= 4 5 CD= 4 5 ×15 = 12(m) . ∴ DE= CD2 -CE2 = 152 -122 = 9(m) . ∴ C,D 两点的高度差为 9 m. (2)如图,过点 D 作 DF⊥AB 于点 F. 由题意,可得 BF=DE,DF=BE. 设 AF= x m. 在 Rt△ADF 中,tan∠ADF= tan 30° = AF DF = x DF = 3 3 . 解得 DF= 3 x. AB=AF+FB =AF+DE = (x+9)m,BC =BE-CE =DF-CE = ( 3 x-12)m. 在 Rt△ABC 中,tan∠ACB= tan 60° = AB BC = x+9 3 x-12 = 3 , 解得 x= 6 3 + 9 2 . ∴ AB= 6 3 + 9 2 +9≈6×1. 7+13. 5 = 23. 7≈24(m) . ∴ 居民楼的高度 AB 约为 24 m. 21.解:如图,过点 C 作 CF⊥AB 于点 F. 在 Rt △ACF 中, sin ∠CAB = sin(60°+5°)= sin 65° =CF AC , ∴ CF= AC·sin 65°≈2×0. 91 = 1. 82(m) . 在 Rt△BCF 中,∵ ∠FBC= 45°,∴ CF=BF. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 · 56·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册