第1章 图形的相似 考点梳理与复习-【一课通】2024-2025学年九年级全一册数学同步大考卷全程复习（青岛版）

全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 · 1　 · 上册 第 1 章考点梳理与复习 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　考点一 相似多边形 1. 下列各组图形一定相似的是 (　 　 ) A. 各有一角是 70°的两个等腰三角形 B. 任意两个等边三角形 C. 任意两个矩形 D. 任意两个菱形 2. 如图,已知矩形 ABCD 的边 AD 长为 8 cm,边 AB 长为 6 cm,从中截去一个矩形(图中阴影部分),如果 所截矩形与原矩形相似,那么所截矩形的面积是 (　 　 ) A. 21 cm2 B. 24 cm2 C. 27 cm2 D. 30 cm2 3. 两个相似六边形的相似比为 3 ∶ 5,它们周长的差是 24 cm,那么较大的六边形的周长为 (　 　 ) A. 40 cm B. 50 cm C. 60 cm D. 70 cm 4. 如图,菱形 ABCD 的周长为 12,∠DAB= 60°,对角线 AC 上有两点 E 和 F(点 E 在点 F 的左侧) . 若四 边形 DEBF 与菱形 ABCD 相似,求 AE 的长. 考点二　 平行线分线段成比例 5. 如图,若 l1∥l2∥l3,则下列各式错误的是 (　 　 ) A. BC AC =EF DF B. AB AC =DE DF C. AB DE = AC DF D. AB AD =BC BE 第 5 题图 　 　 　 　 　 　 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 6. 如图,在△ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,BC 上的点,且 DE∥BC,EF∥AB,AD ∶ DB = 1 ∶ 2,BC = 30 cm,则 FC 的长为 (　 　 ) A. 10 cm B. 20 cm C. 5 cm D. 6 cm 7. 如图,直线 a∥b∥c,直线 AC 分别交 a,b,c 于点 A,B,C,直线 DF 分别交 a,b,c 于点 D,E,F. 若 DE = 2EF,AC= 6,则 AB 的长为　 　 　 　 . 考点三　 相似三角形的判定和性质 8. 如图是老师画出的△ABC,已标出三边的长度. 下面四位同学画出的三角形与老师画出的△ABC 不 一定相似的是 (　 　 ) A 　 　 　 　 B 　 　 　 　 C 　 　 　 　 D 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB= 90°,CD⊥AB 于点 D. 下列结论中错误的是 (　 　 ) A. ∠ACD= ∠B　 B. CD2 =AD·BD C. AC·BC=AB·CD　 D. BC2 =AD·AB 10. 如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,BC= 2AD,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,把△ABO,△BCO,△COD, △DOA 的面积分别记作 S1,S2,S3,S4 . 下列结论中不正确的是 (　 　 ) A. S2 = 2S1 　 B. S1 =S3 　 C. S2 = 2S4 　 D. S3 = 2S4 第 10 题图 　 　 　 　 　 　 　 第 11 题图 11. 如图,在△ABC 中,AB= 8 cm,AC= 16 cm,点 P 从点 B 出发沿 BA 边向点 A 以每秒 2 cm 的速度移动, 点 Q 从点 A 出发沿 AC 边向点 C 以每秒 4 cm 的速度移动. 如果点 P,Q 分别从点 B,A 同时出发,经 过　 　 　 　 s,△APQ 与△ABC 相似. 12. 如图,在△ABC 中,点 D,E 分别在边 AB,AC 上,DE,BC 的延长线相交于点 F,且FE FB =FC FD . (1)求证:△ADE∽△ACB; (2)当 AB= 12,AC= 9,AE= 8 时,求 BD 的长. 　 　 　 　 　 　 　 　 号 学 　 　 　 　 　 　 　 　 名 姓 　 　 　 　 　 　 　 　 级 班 　 　 　 　 　 　 　 　 校 学 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13. 如图,在△ABC 中,点 D,E,F 分别在边 AB,BC,AC 上,已知 DE∥AC,EF∥AB. (1)求证:△BDE∽△EFC; (2)设AF FC = 1 2 . ①若 BC= 12,求线段 BE 的长; ②若△EFC 的面积是 20,求四边形 ADEF 的面积. 考点四　 相似三角形的应用 14. 如图,顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“ ×” (作业本中的横格线都平行,且相邻两条横 格线间的距离都相等),点 A,B,C,D,O 都在横格线上,且线段 AD,BC 交于点 O. 若线段 AB = 4 cm, 则线段 CD 长为 (　 　 ) A. 4 cm　 B. 5 cm　 C. 6 cm　 D. 8 cm 第 14 题图 　 　 　 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 第 15 题图 15. (新素养·抽象能力)一种燕尾夹如图 1 所示,图 2 是在闭合状态时的示意图,图 3 是在打开状态时 的示意图(数据如图,单位:mm),从图 2 闭合状态到图 3 打开状态,点 B,D 之间的距离减少了 (　 　 ) A. 25 mm B. 20 mm C. 15 mm D. 8 mm 16. 学校门口的栏杆如图所示,栏杆从水平位置 BD 绕 O 点旋转到 AC 位置,已知 AB⊥BD,CD⊥BD,垂 足分别为 B,D,AO= 4 m,AB= 1. 6 m,CO= 1 m,则栏杆 C 端应下降的垂直距离 CD 为 (　 　 ) A. 0. 2 m B. 0. 3 m C. 0. 4 m D. 0. 5 m 第 16 题图 　 　 　 　 　 第 17 题图 17. 如图,有一块形状为 Rt△ABC 的斜板余料. 已知∠A = 90°,AB = 6 cm,AC = 8 cm,要把它加工成一个 形状为▱DEFG 的工件,使 GF 在 BC 上,D,E 两点分别在 AB,AC 上,且 DE = 5 cm,则▱DEFG 的面 积为 (　 　 ) A. 24 cm2 　 B. 12 cm2 　 C. 9 cm2 D. 6 cm2 18. (新考法·数学文化)如图 1,“矩”在古代指两条边成直角的曲尺,它的两边长分别为 a,b. 中国古老 的天文和数学著作《周髀算经》中简明扼要地阐述了“矩”的功能:“平矩以正绳,偃矩以望高,覆矩以 测深,卧矩以知远,环矩以为圆,合矩以为方” .其中“偃矩以望高”的意思就是把“矩”仰立放置可测物 体的高度.如图 2,从“矩”AFE 的一端 A 望向树顶端的点 C,使视线通过“矩”的另一端 E,测得 BD = 8 m,AB= 1. 6 m.若“矩”的边 EF=a= 30 cm,边 AF=b= 60 cm,则树高 CD 为 (　 　 ) 图 1 　 图 2 A. 4 m B. 5. 3 m C. 5. 6 m D. 16 m 考点五　 图形的位似 19. 如图,在平面直角坐标系中,两个大小不一的某城市标识图案是位似图形,原点 O 是位似中心,点 A,B 的对应点分别是点 C,D. 已知点 A 的坐标为(12,6),AB CD = 3,则点 C 的坐标为 (　 　 ) A. (4,2) B. (2,4) C. (6,3) D. (3,6) 第 19 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 20 题图 20. 如图,四边形 ABCD 和 A′B′C′D′是以点 O 为位似中心的位似图形. 若 OA ∶ OA′ = 2 ∶ 3,则四边形 ABCD 与四边形 A′B′C′D′的面积比为 (　 　 ) A. 4 ∶ 9 B. 2 ∶ 5 C. 2 ∶ 3 D. 2 ∶ 3 21. 在如图所示的平面直角坐标系中,已知点 A( -3,-3),B( -1,-3),C( -1,-1) . (1)画出△ABC; (2)画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1,并写出点 A1 的坐标: ; (3)以点 O 为位似中心,在第一象限内把△ABC 扩大到原来的两倍,得到△A2B2C2,画出△A2B2C2 并写出点 A2 的坐标: . · 2·　 　 　 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册 全程复习大考卷·数学·QD·九年级全一册　 　 　 ·55　 · 参考答案及解析 (部分答案不唯一) 第 1 章考点梳理与复习 考点一　 相似多边形 1. B　 2. C　 【解析】∵ AD = 8 cm,AB = 6 cm,矩形 AEFB 与矩形 ABCD 相 似, ∴ AE AB = AB AD , 即 AE 6 = 6 8 . ∴ AE = 9 2 cm. ∴ S矩形AEFB =AE·AB= 9 2 ×6 = 27(cm2) . 故选 C. 3. C 4.解:如图,连接 BD 交 AC 于点 O. ∵ 菱形 ABCD 的周长为 12, ∴ AD= 3,AC 平分∠DAB,BD⊥AC. ∵ ∠DAB= 60°, ∴ ∠DAO= 1 2 ∠DAB= 30°. ∴ OD= 1 2 AD= 3 2 . 在 Rt△AOD 中,∠AOD= 90°,AD= 3,OD= 3 2 , ∴ AO= AD2 -OD2 = 32 - ( 32 ) 2 = 3 3 2 . ∵ 四边形 DEBF 与菱形 ABCD 相似, ∴ ∠FDE= ∠DAB= 60°. ∴ ∠EDO= 1 2 ∠FDE= 30°. 设 OE= x,则 DE= 2x. ∵ DE2 -OE2 =OD2,即(2x) 2 -x2 = ( 32 ) 2 . ∴ x= 3 2 ,即 OE= 3 2 . ∴ AE=OA-OE= 3 3 2 - 3 2 = 3 . 考点二　 平行线分线段成比例 5. D　 6. B　 7. 4　 【解析】∵ 直线 a∥b∥c,∴ AB BC =DE EF . ∵ DE= 2EF,∴ DE EF = 2. ∴ AB BC = 2. ∴ BC= 1 2 AB. ∵ AC= 6,∴ AB+BC=AB+ 1 2 AB= 6. ∴ AB= 4. 考点三　 相似三角形的判定和性质 8. C　 9. D　 10. C 11. 4 5 或 2　 【解析】设经过 t s,△APQ 与△ABC 相似,则 AP=AB-BP=(8-2t) cm,AQ = 4t cm. ①当 AP 与 AB 是 对应边时,△APQ∽△ABC,∴ AP AB = AQ AC ,即8 -2t 8 = 4t 16 . 解 得 t = 2. ②当 AP 与 AC 是对应边时,△APQ∽ △ACB, ∴ AP AC =AQ AB ,即8 -2t 16 = 4t 8 . 解得 t= 4 5 . 综上所述,经过 4 5 或 2 s,△APQ 与△ABC 相似. 12. (1)证明:∵ FE FB =FC FD ,且∠EFC= ∠BFD, ∴ △FEC∽△FBD. ∴ ∠FEC= ∠FBD. 又∵ ∠AED= ∠FEC,∴ ∠AED= ∠FBD. 又∵ ∠EAD= ∠BAC,∴ △ADE∽△ACB. (2)解:∵ △ADE∽△ACB,∴ AD AC =AE AB ,即AD 9 = 8 12 . ∴ AD= 6. ∴ BD=AB-AD= 12-6 = 6. 13. (1)证明:∵ DE∥AC,∴ ∠DEB= ∠FCE. ∵ EF∥AB,∴ ∠DBE= ∠FEC. ∴ △BDE∽△EFC. (2)解:①∵ EF∥AB,∴ BE EC = AF FC = 1 2 . ∵ EC=BC-BE= 12-BE, ∴ BE EC = BE 12-BE = 1 2 . 解得 BE= 4. ②∵ AF FC = 1 2 ,∴ FC AC = 2 3 . ∵ ∠FEC= ∠ABC,∠FCE= ∠ACB,∴ △EFC∽△BAC. ∴ S△EFC S△BAC = FC AC( ) 2 = 2 3( ) 2 = 4 9 . ∴ S△BAC = 9 4 S△EFC = 9 4 ×20 = 45. ∵ DE∥AC,EF∥AB,∴ 四边形 ADEF 是平行四边形. ∴ DE=AF. ∵ △BDE∽△EFC, ∴ S△BDE S△EFC = DE FC( ) 2 = AF FC( ) 2 = 1 4 . ∴ S△BDE = 1 4 ×20 = 5. ∴ S四边形ADEF =S△BAC-S△EFC-S△BDE = 45-20-5 = 20. 考点四　 相似三角形的应用 14. C　 15. A　 【解析】如图,连接 BD. 由题意,得 EF∥BD. ∴ △AEF∽△ABD. ∴ AE AB = EF BD ,即 28 28+35 = 20 BD . ∴ BD = 45 mm. ∴ 点 B,D 之间的距离减少 了 45-20 = 25(mm) . 故选 A. 16. C　 【解析】∵ AB⊥BD,CD⊥BD,∴ ∠ABO = ∠CDO = 90°. 又∵ ∠AOB = ∠COD,∴ △ABO∽△CDO. ∴ AO CO = AB CD . ∵ AO= 4 m,AB= 1. 6 m,CO= 1 m,∴ 4 1 = 1. 6 CD . 解得 CD= 0. 4. 故选 C. 17. B　 【解析】如图,过点 A 作 AM⊥BC 交 DE 于点 N,交 BC 于点 M. ∵ ∠BAC = 90°, AB = 6 cm, AC = 8 ( cm ), ∴ BC = AB2 +AC2 = 62 +82 = 10(cm) . ∵ S△ABC = 1 2 AB·AC = 1 2 AM·BC,∴ AM=AB·AC BC = 6×8 10 = 4. 8(cm) . ∵ 四边形 DEFG 是平行四边形, ∴ DE∥BC, DE = FG = 5 cm. ∴ △ADE∽△ABC. ∴ AN AM =DE BC = 5 10 = 1 2 . ∴ AN = 1 2 AM = MN= 2. 4 cm. ∴ S▱DEFG = FG·MN = 5×2. 4 = 12( cm2) . 故选 B. 18. C　 【解析】 由题意,得 EF∥CH. ∴ △AFE∽ △AHC. ∴ EF CH = AF AH ,即 30 CH = 60 800 . ∴ CH = 400 cm = 4 m. ∵ AB⊥ BD,AH⊥CD,HD⊥BD,∴ 四边形 AHDB 是矩形. ∴ DH =AB = 1. 6 m. ∴ CD = CH+DH = 4 + 1. 6 = 5. 6(m) . 故 选 C. 考点五　 图形的位似 19. A　 20. A 21. 解:(1)如图,△ABC 即为所求作. (2)如图,△A1B1C1 即为所求作. 　 ( -3,3) (3)如图,△A2B2C2 即为所求作. 　 (6,6) 第 1 章学业水平测试 1. C　 2. A　 3. B　 4. D　 5. C　 6. C　 【解析】∵ MN∥BC,∴ AN CN = AM BM . 故①错误,③正确; ∵ DN∥MC,∴ AD DM = AN NC ,AD AM =AN AC . 故④正确;∴ AD DM = AM MB . 故②正确. 综上所述,正确的有②③④,共 3 个. 故选 C. 7. C 8. B　 【解析】∵ AD AC = 1 3 ,∴ AD ∶ DC = 1 ∶ 2. ∵ △ABC 是正 三角形,∴ ∠A=∠C,AB=BC. ∵ AE=BE,∴ AE ∶ BC=AE ∶ AB=1 ∶ 2. ∴ AD ∶ DC = AE ∶ BC. ∵ ∠A = ∠C,∴ △AED∽ △CBD. 故选 B. 9. C　 【解析】∵ AF= 2FD,∴ 设 FD= k,则 AF = 2k,AD= 3k. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥BC,AB∥CD,AB= CD. ∴ ∠AFB = ∠FBC,∠ABF = ∠G. ∵ BE 平分∠ABC, ∴ ∠ABF = ∠CBG. ∴ ∠ABF = ∠AFB = ∠DFG = ∠G. ∴ AF=AB = CD = 2k,DF = DG = k. ∴ CG = CD+DG = 3k. ∵ AB∥DG,∴ △ABE∽ △CGE. ∴ BE GE = AB CG = 2k 3k = 2 3 . 故 选 C. 10. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ AB =CD = 3,BC = AD= 10,AD∥BC. ∴ ∠AEB= ∠DAF. ∴ △AFD∽△EBA. ∴ AF EB = AD EA = DF AB . ∵ DF = 6,DF⊥AE,AD = 10,∴ AF = AD2-DF2 = 102-62 = 8. ∴ 10 EA = 6 3 . ∴ EA = 5. ∴ EF = AF-EA= 8-5 = 3. 故选 B. 11. ∠B= ∠DEF(答案不唯一)　 12. 4 13. 200　 14. (4,8)或( -4,-8) 15. 16 3 　 【解析】∵ 三块直角三角形木板形状相同、大小 不等,∴ △ABE∽△ECD∽△DEA,∠B = ∠C = ∠AED = 90°. ∴ BE ∶ CD = AB ∶ EC,∠AEB = ∠DAE. ∴ ∠BAD = ∠BAE+∠DAE=∠BAE+∠AEB=90°. ∴ 四边形 ABCD 为矩 形. ∴ AB = CD. ∴ AB2 = BE·EC. ∵ CE = 3BE,∴ AB = 3BE. ∵ AE = 4,∴ ( 3 BE) 2 +BE2 = 42 . ∴ BE = 2,AB = 2 3 . ∴ BC = BE+CE = 4BE = 8. ∴ S四边形ABCD = AB·BC = 2 3 ×8 = 16 3 . 16. 4-2 2 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC = CD = 2,∠BDC = ∠EAF = 45°,AC⊥BD. ∴ BD = AC = 2 2 . ∴ BE = AE-AB = 2 2 -2. ∵ ∠EFA = ∠CBA,∠EAF = ∠CAB,AE = AC, ∴ △AEF ≌ △ACB ( AAS) . ∴ ∠E = ∠ACB= 45°,EF = BC = 2. ∴ ∠E = ∠BDG. ∵ EF⊥AC, AC⊥BD,∴ EF∥BD. ∴ ∠EFB = ∠DBG. ∴ △EBF ∽ △DGB. ∴ BE GD =EF DB ,即2 2 -2 GD = 2 2 2 . ∴ DG= 4-2 2 . 17.解:(1)如图,△AB1C1 即为所求作. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋