北京市重点中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024-2025学年10月质量检测试题 九年级数学 一、选择题：本题共8小题，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列形状分别为两个正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列命题中随机抽取一个，是假命题的概率为(    ) 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似 两个等边三角形一定相似 任意两个矩形一定相似 A. B. C. D. 3.二次函数的顶点坐标为(    ) A. B. C. D. 4.根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功的找到三角形内心的是(    ) A. B. C. D. 5.如图，点是的边上的一点，连接，则下列条件中不能判定的是(    ) A. B. C. D. 6.下列函数中，是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 7.如图，函数和是常数，且在同一平面直角坐标系的图象可能是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在边长为的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点连接，线段长的最小值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共7小题，共14分。 9.如果，那么           ． 10.如图，四边形和相似，已知，，，则           ． 11.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数的最大值是______． 12.如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则的正弦值是____． 13.如图，在中，，，点为中点，点在上，当为          时，与以点、、为顶点的三角形相似． 14.如图，在中，、分别是上的点，且，若，则          ． 15.年月，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： 小云参与了所有活动． 若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； 若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______． 三、解答题：本题共13小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 如图，已知与相切于点，点为上一点，，过点作于点，交于点，连接已知，求图中阴影部分的面积． 17.本小题分 如图，相交于的点，且求证：． 18.本小题5分 已知线段、、，且若线段、、满足，求的值． 19.本小题分 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，且于点，求的度数． 20.本小题分 已知二次函数． 补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象； 根据图象回答：时，的取值范围是______； 根据图象回答：当时，的取值范围是______． 21.本小题5分 如图，在中，，是斜边上的高． 求证：∽； 若，，求的长． 22.本小题分 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为的小正方形的格点上． ____________． 判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． 求． 23.本小题分 如图，是等边三角形，将绕点逆时针旋转角后得到，连接，，求． 下面给出了解决这个问题的方法，请补全证明过程． 是等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转角后得到， ， ． ，，三个点在以点______为圆心，以______为半径的圆上在图中画出圆， 所对的弧为，所对的弧为， ______依据是：______ ______． 24.本小题分 某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为米的地点，水柱距离湖面的高度为米． 米 米 请解决以下问题： 在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用 平滑的曲线连接； 结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度； 求所画图象对应的函数表达式； 从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏不考虑接头等其他因素 25.本小题5分 如图，在中，，点在上，，过点作，交的延长线于点．    求证：； 如果，，求的长． 26.本小题分 如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿运动；同时，点从点出发，以的速度沿运动．当点到达点时，、两点同时停止运动．设点、运动时间为当与相似时，的值是多少？ 27.本小题分 在中，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． 如图，求证：； 延长到点，使得，连接交于点，依题意补全图若点是的中点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 28.本小题分 在平面直角坐标系中，已知点和，对于点定义如下：以点为对称中心作点的对称点，再将对称点绕点逆时针旋转，得到点，称点为点的反转点． 如图，点，，点，点为点的反转点． 当时，在图中画出点，并写出点的坐标为______； 当时，求线段长的取值范围； 已知的半径为，点是上一点，点和是外两个点，点为点的反转点若点在第一象限内，点在第四象限内，当点在上运动时，直接写出线段长的最大值和最小值的差． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】根据相似图形的定义，形状相同，可得出答案． 【详解】解：、两个正方形形状相同，是相似图形，不符合题意； B、两个长方形形状不同，不是相似图形，符合题意； C、两个等边三角形形状相同，是相似图形，不符合题意； D、两圆形形状相同，是相似图形，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查相似图形的定义，掌握相似图形形状相同是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：有一个锐角相等，再加上一个直角相等可以利用两角对应相等的两三角形相似判定相似，故为真命题； 斜边和一直角边对应成比例满足直角三角形有一直角边和斜边对应成比例的两直角三角形相似；故为真命题； 两个等边三角形满足三边对应成比例，能判定相似，故为真命题； 任意的两个矩形满足对应角相等但不一定满足对应边的比相等，故不一定相似，故为假命题； 是假命题的概率为， 故选：． 利用相似三角形的判定定理对前三个命题进行判定，根据相似图形的定义对第四个命题进行判定，然后利用概率公式求解即可． 本题考查了相似三角形的判定及相似多边形的判定及概率的计算，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理及相似多边形的定义． 3.【答案】  【解析】解：， 二次函数顶点坐标为， 故选：． 利用函数顶点式解答即可． 本题考查了二次函数性质，转化成二次函数顶点式是关键． 4.【答案】  【解析】解：三角形内心为三角形内角平分线的交点，选项B中作了两个角的平分线． 故选：． 利用基本作图和三角形内心的定义进行判断． 本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了线段垂直平分线的性质． 5.【答案】  【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．和有公共角，然后根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：， 当或，可根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断，故 A，不符合题意； 当时，可根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断，故 D不符合题意． 当时，不能判定，故 C符合题意． 故选：． 6.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地形如的函数叫做二次函数，据此求解即可． 【详解】解：、当时，函数是二次函数，不符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、不是二次函数，不符合题意； D、是二次函数，符合题意； 故选：． 7.【答案】  【解析】解：、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向下，故该选项错误； B、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项正确； C、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴为直线，故该选项错误； D、由一次函数的图象可得，此时二次函数的图象应该开口向上，故该选项错误． 故选B． 本题考查二次函数以及一次函数的图象． 可先根据一次函数的图象判断的正负，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可． 8.【答案】  【解析】解：在边长为的正方形中，，分别是边，上的动点，且始终满足，，交于点， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 取的中点，连接，则定值， 根据两点之间线段最短得、、三点共线时线段的值最小， 在中，由勾股定理得， 的最小值， 故选：． 根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得、、三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可． 本题考查了正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，确定出点到的中点的距离是定值是解题的关键． 9.【答案】  【解析】【分析】根据比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，将此性质逆运用，即可得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了比例的意义和基本性质．解答此题的关键是比例基本性质的逆运用． 10.【答案】  【解析】【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是掌握相似图形对应角相等． 根据相似图形的性质得出，，即可解答． 【详解】解：四边形和相似， ，， ， ， 故答案为：． 11.【答案】  【解析】解：根据题意得， 解得， 所以整数的最大值是． 故答案为：． 先根据根的判别式的意义得到，再解不等式得到的取值范围，然后确定整数的最大值． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是勾股定理的逆定理以及锐角三角函数，关键是熟知：在一个三角形中，如果两条边的平方之和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 先根据勾股定理的逆定理判断出的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】 解：、、， ， 为直角三角形，且， 则， 故答案为：． 13.【答案】或  【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是分或两种情况运用相似三角形的判定定理解题即可． 【详解】解：当时， ， ， ， 当时， ， ， ， 综上，或， 故答案为：或． 14.【答案】  【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质、三角形的面积公式等知识点，灵活运用相似三角形的判定及其性质是解题的关键． 如图：过点作于点，证明得到；证明，得到，由，求得，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点作于点， ， 为、的公共高， ， ， 设，则； ， ， ， ， ， ， ． 故答案为． 15.【答案】鲁班锁  枚或枚或枚  【解析】解：小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个， 小云用活动前发放的一枚“币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得枚“币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功， 故答案为：鲁班锁； 小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， 小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是枚、枚或枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“币”数量可能是枚、枚或枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“币”数量可能是枚或枚， 故答案为：枚、枚或枚． 因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得枚“币”，足够她参与其余四个活动； 小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“币”数量的可能． 本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论． 16.【答案】解：连接， 与相切于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ， 由圆周角定理得：， ．  【解析】连接，根据切线的性质得到，证明，得到，根据扇形面积公式计算，得到答案． 本题考查的是切线的性质、扇形面积的计算，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 17.【答案】证明：相交于的点， ， 又， ．   【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 18.【答案】解：设， 则， ， ， 解得：， ， ．   【解析】【分析】本题考查了比例的性质，设，则，求出的值，进而得出、、的值，即可解答． 19.【答案】解：由旋转的性质可知：，， ， ， ． ， 故的度数为．  【解析】根据三角形内角和定理求出即可解决问题． 本题考查旋转的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 20.【答案】    【解析】解：， 时，，时，，时，， 填表如下： 描点、连线、绘制函数图象如下： 观察函数图象知：时，； 故答案为：； 观察函数图象知，当时，的取值范围是； 故答案为：． 将的值代入解析式，求出值，填表，进而画出函数图象即可； 图象法进行求解即可； 图象法进行求解即可． 本题考查二次函数的图象和性质，正确的画出函数图象，是解题的关键． 21.【答案】证明：， ， ， ，， ， ∽． 解：∽， ， ， ，， ， ， ．   【解析】【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可． 利用相似三角形的性质证明，可得结论． 【点睛】本题考查射影定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型． 22.【答案】解：， ， ， 故答案为：． 证明：由同理可得， ， ， 又 ； 解：， ．   【解析】【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质． 先求出，即可解答； 先得出，再得出，即可求证； 分别求出与的面积，即可解答． 23.【答案】     一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半    【解析】解：是等边三角形， ，， 绕点逆时针旋转角后得到， ， ． ，，三个点在以点为圆心，以为半径的圆上， 所对的弧为，所对的弧为， 依据是：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半， ； 故答案为：；；；一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半；． 根据等边三角形的性质可得，，再根据旋转的性质可得从而可得，进而可得，，三个点在以点为圆心，以为半径的圆上，然后利用圆周角定义进行计算，即可解答． 本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，圆的认识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 24.【答案】解：如图， 由和可知，抛物线的对称轴为， 当时，， 水柱最高点距离湖面的高度是米； 由图象可得，顶点， 设二次函数的关系式为， 把代入可得， ； 当时，即， 解得舍去或， 正方形的周长为米， 至少需要准备栏杆米， 公园至少需要准备米的护栏．  【解析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据对应点画图象即可； 由图象可得答案； 利用待定系数法可得关系式； 求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长． 25.【答案】证明：在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ，，， ， ， ， ， ， 解得．   【解析】【分析】由等角的余角相等得到，又由即可得到； 由勾股定理求得，得到，由得到，则，即可求得答案． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 26.【答案】解：当∽时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， 当∽时， ， 即， 解得， 经检验：是方程的解， 的值是或．   【解析】【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质，列出等式，即可求解． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 27.【答案】证明：延长交于点，连接，如图． ，， 是等边三角形． ，． 点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上． ． ． ． 依题意补全图，如图．数量关系：． 证明：延长交的延长线于点，连接，如图． ，， ． ． ， ． 又，， ≌． ． 在中，， 可得． 在中，， 可得． ． ， ． 方法二：延长交延长线于，则得全等设，则，延长交于， ． 一互，  【解析】依据题意，延长交于点，连接，如图先证明是等边三角形，进而可得，，故点在线段的垂直平分线上，再结合，可得点在线段的垂直平分线上，从而，即，进而可以得解； 依据题意，补全图，如图可得数量关系：再延长交的延长线于点，连接又，，从而，故可得，再由，故，又，，从而可得≌，则，进而在中，，可得，又在中，，可得，故可得，又，进而可以得解． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质，解题时要熟练掌握并能构造三角形全等是关键． 28.【答案】  【解析】解：当时，点，画图如下： 记点关于点的对称点为，而， ， 由旋转得，， ， 过点，分别作轴的垂线，垂足为，， ， ， ， ≌， ，， ， ； 故答案为：； 由≌得， 点的轨迹为一条线段， 而，则， 由≌得， ， ， ， 而， 令，抛物线开口向上， 当，，即， 当时，，时，， ， 的取值范围为：； 如图，固定变量，假设点为第一象限定点，  过点作点的对称点记为，连接，，则点为定点， 则为的中位线， ， 点轨迹为以为圆心，为半径的圆， 连接，将绕点逆时针旋转得到，则，，点为定点， 由题意得，， ， ≌， ， 点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， 连接， 由，可得． 记点关于点的对称点为，则，过点，分别作轴的垂线，垂足为，，可证明≌，继而可求，由≌得，故点的轨迹为一条线段，而，则，由≌得，可求，则，而，令，抛物线开口向上，当，，即，当时，，时，，，即可求解； 若点为第一象限定点，过点作点的对称点记为，连接，，则为的中位线，则，故点轨迹为以为圆心，为半径的圆，连接，将绕点逆时针旋转得到，则，，点为定点，可证明≌，故，则点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，连接，由得． 本题考查了新定义，旋转的不变性，全等三角形的判定与性质，二次函数求最值，三角形的中位线定理，正确理解题意，对于多变量问题采取固定变量法，将问题进行转化思考，难点在于找到动点的轨迹． 第14页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$