精品解析：福建省福州市福建师范大学附属中学2024-2025学年九年级上学期期中考数学试卷

福建师范大学附属中学2023-2024学年第一学期九年级半期考试 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 友情提示：所有答案都必须填写在答题卡相应位置 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 3. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 4. 抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（ ） A. 开口向下，顶点坐标为 B. 开口向下，顶点坐标为 C. 开口向上，顶点坐标为 D. 开口向上，顶点坐标为 5. 方程x（x+2）＝0的根是（　　） A. x＝2 B. x＝0 C. x1＝0，x2＝﹣2 D. x1＝0，x2＝2 6. 据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°,到△OCD的位置，若∠AOB=45°，则∠AOD等于( )． A. 35° B. 90° C. 45° D. 50° 9. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 10. 已知实数、、满足，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 12. 一元二次方程有两个_______实根（填“相等”或“不等”）． 13. 圆锥凝聚着时间和空间的美学，它不仅仅是一个简单的几何图形，更是一种象征，代表着从一点到无限延伸的可能性．圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为__________（结果用带的数的形式表示）． 14. 反比例函数关于轴对称的函数的解析式为______． 15. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________． 16. 如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值为_________． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程x2﹣4x+1=0． 18. 如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、． （1）在图中找出对称中心（保留画图痕迹）； （2）若，，，求周长． 19. 不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同． （1）若从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为______． （2）若从袋子中随机摸出2个球，请用列表或画树状图的方法，求摸出的2个球颜色不同的概率． 20. 如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． （1）的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； （2）在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 21. 在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． （1）依题意补全图形； （2）求直线与图形的公共点的个数． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 23. 如图，在中，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接交于点，且． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 24. 在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中，设抛物线的对称轴为直线． （1）若，，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 25. （1）问题提出 如图①，在与中，，，点在边上，连接，点在边上，点为的中点，连接，，，则的形状是 ； （2）问题探究 如图②，将图①中的绕点按逆时针方向旋转，当点在线段上时，求证：； （3）拓展延伸 在图②中，若，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建师范大学附属中学2023-2024学年第一学期九年级半期考试 数学试卷 （考试时间：120分钟，满分150分） 友情提示：所有答案都必须填写在答题卡相应位置 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（　　） A. 投掷一枚硬币时，硬币的正面朝上 B. 投掷飞镖一次，命中靶心 C. 从只装有白球的盒子里摸出一个球，摸到一个白球 D. 玩“石头， 剪刀， 布”， 对方出“剪刀” 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、属于随机事件，故本选项不符合题意； B、属于随机事件，故本选项不符合题意； C、属于必然事件，故本选项符合题意； D、属于随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C 3. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：D． 4. 抛物线的开口方向、顶点坐标分别是（ ） A. 开口向下，顶点坐标为 B. 开口向下，顶点坐标为 C. 开口向上，顶点坐标为 D. 开口向上，顶点坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的知识，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．二次项系数，函数图像开口向上；，函数图像开口向下；结合抛物线的解析式即可得到它的顶点坐标，据此解答即可． 【详解】解：∵对于物线，， ∴该抛物线开口向上，顶点坐标为． 故选：D． 5. 方程x（x+2）＝0的根是（　　） A. x＝2 B. x＝0 C. x1＝0，x2＝﹣2 D. x1＝0，x2＝2 【答案】C 【解析】 【分析】本题可根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】解：x（x+2）＝0， ∴x＝0或x+2＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣2． 故选：C． 【点睛】此题考查解一元二次方程，正确掌握解方程的方法及能依据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键． 6. 据某品牌新能源汽车经销商10月份至12月份统计，该品牌新能源汽车10月份销售1000辆，12月份销售1690辆．设月平均增长率为．根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用之增长率问题，根据月平均增长率的增长规律列出方程即可． 【详解】解：设月平均增长率为， 根据题意得，． 故选：B． 7. 若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据反比例函数图象所在的象限，进行求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， ∴； 故选D． 8. 如图，把△OAB绕点O逆时针旋转80°,到△OCD的位置，若∠AOB=45°，则∠AOD等于( )． A. 35° B. 90° C. 45° D. 50° 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°， 所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=80°﹣45°=35°． 故选A． 考点：旋转的性质． 9. 如图，四边形内接于，连接．若，，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接 根据圆周角定理求出，，进而即可求解． 【详解】解：连接如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，解题的关键是掌握：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等． 10. 已知实数、、满足，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，设，根据，得到当时，，即抛物线与轴的一个交点为：，根据，分两种情况，确定对称轴的位置，判断的符号，进行判断即可． 【详解】解：设二次函数，由题意， 当时，， ∴抛物线与轴有一个交点为， 当时，抛物线的开口向下，当抛物线与轴只有一个交点时，，对称轴为直线， ∴， 当抛物线与轴有两个交点时，， ∵， ∴另一个交点的位置在点的右边， ∴对称轴在轴的右侧， ∴， 当时， ∵， ∴抛物线与轴必要两个交点，，且另一个交点在点的左边， ∴对称轴在轴的左侧， ∴， 综上：，； 故选C． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了中心对称，关于原点对称的两点，其横、纵坐标均互为相反数，熟记相关结论即可． 【详解】解：由题意得：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为： 12. 一元二次方程有两个_______实根（填“相等”或“不等”）． 【答案】不等 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当 时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根．上述结论反过来也成立．利用根的判别式进得判断即可． 【详解】解：∵， ∴ 该方程有两个不相等的实数根． 故答案为：不等 13. 圆锥凝聚着时间和空间的美学，它不仅仅是一个简单的几何图形，更是一种象征，代表着从一点到无限延伸的可能性．圆锥母线长为6，底面半径为2，则该圆锥的侧面积为__________（结果用带的数的形式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记圆锥的侧面积的计算方法． 圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：圆锥的侧面积， 故答案为：． 14. 反比例函数关于轴对称的函数的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数性质．根据题意可知由于两反比例函数关于y轴对称，则比例系数互为相反数． 【详解】解：∵反比例函数中比例系数为， ∴关于y轴对称比例系数互为相反数，即， ∴反比例函数关于轴对称的函数的解析式为：， 故答案为：． 15. 如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小兔子），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域内掷点，通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.6左右，由此她估计此不规则图案的面积大约为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了频率和概率之间的关系，根据频率和概率之间的关系解答该题即可． 【详解】解：∵小点落在不规则图案内的频率趋近于0.6， 故小点落在不规则图案内的概率为0.6， 估计此不规则图案的面积大约为， 故答案为：36． 16. 如图，在中，，，，经过点且与边相切的动圆与，分别相交于点，，则线段长度的最小值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】如图所示，设的外接圆圆心为O，过点O作于E，连接，利用垂径定理，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质证明，可以得到要使最小，则的直径要最小，过点C作于点，以为直径作圆与分别相交于点，连接，此时，线段的长度最小，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，设的外接圆圆心为O，过点O作于E，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要使最小，则的直径要最小， 过点C作于点，以为直径作圆与分别相交于点，连接，此时，线段的长度最小， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确确定最小值时的情形是解题的关键． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 解方程x2﹣4x+1=0． 【答案】x1=2+，x2=2-. 【解析】 【分析】根据完全平方公式和配方法解出方程即可． 【详解】解：移项得，x2﹣4x=﹣1， 配方得，x2﹣4x+4=﹣1+4， ∴（x﹣2）2=3， ∴x﹣2=±， ∴x1=2+，x2=2-. 18. 如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、． （1）在图中找出对称中心（保留画图痕迹）； （2）若，，，求周长． 【答案】（1） 解：如图，点即为所求； （2）18 【解析】 【分析】本题考查成中心对称，熟练掌握成中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据成中心对称的性质，对应点连线的交点即为对称中心作图即可； （2）根据成中心对称的两个图形全等，求出的周长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵，，， ∴的周长为：， ∵和关于点成中心对称， ∴， ∴周长为18． 19. 不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外完全相同． （1）若从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为______． （2）若从袋子中随机摸出2个球，请用列表或画树状图的方法，求摸出的2个球颜色不同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率计算公式进行求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再根据题意找到出的2个球颜色不同的结果数，最后依据概率计算公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3个球，其中有2个红球，且摸到每个球的概率相同， ∴从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设用A、B表示两个红球，C表示白球， 列表如下： A B C A （B，A） （C，A） B （A，B） （C，B） C （A，C） （B，C） 由表示可知一共有6种等可能性的结果数，其中摸出的2个球颜色不同的结果数有4种， ∴摸出的2个球颜色不同的概率为． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率和简单的概率计算，正确列出表格或画出树状图是解题的关键． 20. 如图，它是反比例函数（为常数，且）图象的一支． （1）的取值范围为 ；画出图象另一支的示意图； （2）在这个函数图象上任取点和．若，判断和的大小关系，并说明． 【答案】（1）， 画图如下： （2） 由图象可知：在每一个象限内，随的增大而增大， ∵和在反比例函数图象上， ∴当在同一象限内时，， 当不在同一象限内时，； 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数图象所在的象限，判断的取值范围，利用对称性画出另一支的示意图即可； （2）分在同一象限内，和不在同一象限内两种情况进行讨论说明即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，反比例函数图象过第二象限，则另一支在第四象限， ∴， ∴， 【小问2详解】 略 21. 在中，，，点为线段上一动点，当点运动到某一位置时，它到点，的距离都等于，到点的距离等于的所有点组成的图形为，点为线段延长线上一点，且点到点的距离也等于． （1）依题意补全图形； （2）求直线与图形的公共点的个数． 【答案】（1） 根据题意补全图形如图所示， （2）直线与图形的公共点的个数为个 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，垂直平分线的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，证明为的切线，即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵点到点，的距离都等于， ∴点为的中垂线与的交点， ∵到点的距离等于的所有点组成图形W， ∴图形是以点为圆心，为半径的圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在上，即点在图形， 【小问2详解】 解：直线与图形的公共点的个数为个； 连接，如图： ∵， ∵点到点的距离也等于， ∴为的切线， ∴直线与图形的公共点的个数为个． 22. 如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律如下表： x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … （1）①______，______； ②小球的落点是A，求点A的坐标． （2）小球飞行高度y（米）与飞行时间t（秒）满足关系． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v的值． 【答案】（1）①3，6；②； （2）①8，② 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用以及从图象和表格中获取数据， （1）①由抛物线的顶点坐标为可建立过于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可；②联立两函数解析式求解，可求出交点A的坐标； （2）①根据第一问可知最大高度为8米； ②将小球飞行高度与飞行时间的函数关系式化简为顶点式即可求得v值． 【小问1详解】 解：①根据小球飞行的水平距离x（米）与小球飞行的高度y（米）的变化规律表可知：抛物线顶点坐标为， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为， 当时，， 解得：或（舍去）， ∴， 当时，， 故答案为：3，6． ②联立得：， 解得：或 ， ∴点A的坐标是， 【小问2详解】 ①由题干可知小球飞行最大高度为8米， 故答案为：8； ②， 则， 解得（负值舍去）． 23. 如图，在中，以边为直径作，交边于点，延长交于点，连接交于点，且． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， 为直径， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆周角定理证明即可； （2）连接，由垂径定理可得，由三角函数分别求出，，再由求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ，， 在中，， ， ， 在中， ， ， ， . 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，扇形面积，三角函数，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用以上知识求解． 24. 在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中，设抛物线的对称轴为直线． （1）若，，求的值； （2）若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，将，代入解析式，得，从而得到，即可求解； （2）根据题意，，连线的中垂线与轴的交点坐标大于，根据二次函数的性质即可判断． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解： 当时，都有 ， ∴满足条件的值为：． 25. （1）问题提出 如图①，在与中，，，点在边上，连接，点在边上，点为的中点，连接，，，则的形状是 ； （2）问题探究 如图②，将图①中的绕点按逆时针方向旋转，当点在线段上时，求证：； （3）拓展延伸 在图②中，若，，求线段的长． 【答案】（1）等边三角形 （2）延长到点，使，连接， 在中，∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵，为的中点， ∴，， ∴ ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理，得：， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得，再由等边对等角和三角形外角性质得，然后由等边三角形的判定定理得出结论． （2）延长到点，使，连接，根据含30度角的直角三角形的性质，推出，根据中点，推出，证明，得到，推出，斜边上的中线，得到，勾股定理求出，即可得证； （3）根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求出的长，进而求出的长，即可求出的长． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （2）略 （3）延长到点，使，连接， 在中，∵，， ∴，． ∵， ∴ 在中，∵，， ∴，， ∴在中，． 由（2）知：， ∵， ∴． 【点睛】本题考查斜边上的中线，等边三角形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $