同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件-2025届高三数学一轮复习

高考数学一轮复习 第22讲 同角三角函数 的基本关系式与诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系式:, . 2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式 (, 的正弦、余弦、正切 ). 复习目标 2 ◆ 知识聚焦 ◆ 1.同角三角函数的基本关系式 （1） 平方关系:_____________________. （2） 商数关系:_ ___________________________________. , 3 2.诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 角 与角 终边的 关系 相同 关于原点 对称 关于 轴对 称 关于 轴对 称 关于直线 对称 正弦 余弦 _________ 正切 _______ 4 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号 看象限 记忆规 律 奇变偶不变，符号看象限 续表 5 常用结论 1.同角三角函数关系式的常用变形 （1） ; ; . 6 （2）； . （3） ; ； . 其中 ， . 2.; . 7 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］ 已知，且 为第三象限角，则 _____， _ __. [解析] ，且 为第三象限角， ， . 8 2.［教材改编］ 已知,那么 的值为______. [解析] 由,知,等式左边分子分母同时除以 , 可得,解得 . 9 3.［教材改编］ 已知，则 _____. [解析] ， ， . 10 题组二 常错题 ◆ 索引：运用平方关系时不考虑角为第几象限角导致出错;运用诱导公式时没注意 符号导致出错;利用同角三角函数的基本关系式求值时,不能根据角的取值范围判 断出所求函数值的符号而出错. 4.若， 为钝角，则 _ _________. [解析] 因为， 为钝角，所以,，且 , 又,所以由①②可得 . 11 5.已知，则 _________. 2或 [解析] 当为偶数时，； 当 为奇数时，.故或 . 12 6.如果，,那么 ____. [解析] ，， ， ， ， . 13 探究点一 同角三角函数的基本关系 角度1 同角公式灵活应用 例1（1） 已知，则 ___. 0 ［思路点拨］（1）首先由所给条件判断出角是第几象限角，利用平方关系与商数关系求解即可. 14 [解析] 且， 是第二或第三象限角. 若 是第二象限角，则 ， ，此时 . 若 是第三象限角，则 ， ，此时 . 综上， . 15 （2） 化简 ___. 1 [解析] . ［思路点拨］（2）利用平方关系式，把分子、分母中的1代换为 整理化简即可. 16 [总结反思] （1）知一求二问题，注意判断角的范围，另外熟记以下常见勾股数，可以提高 解题速度：，，， ， ， . （2）利用可以实现角 的正弦、余弦的互化，注意公式的逆 用及变形应用. 17 变式题（1） 已知 ，则 ___. 1 [解析] 由 ，得 ，即 ， 则，即 ， 所以 . 18 （2） [2023·全国乙卷] 若,,则 _______. [解析] 方法一：因为，所以 ， 代入得， 因为，所以，则 ，所以 . 方法二： ， 因为，，所以，所以 ， 所以 . 19 角度2 切弦互化 例2（1） 已知，则 ( ) A A. B.2 C. D.6 [解析] 因为 ， 所以 .故选A. ［思路点拨］（1）把分子中 化为 ，整理得到关于 ， 的齐次式，再利用同角公式化为关于 的表达式求解. 20 （2） 已知，则 _ ______. [解析] 因为 ， 所以 . ［思路点拨］（2）利用同角三角函数的关系化的分母为 ，结合 即可求解. 21 [总结反思] 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同 时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求 出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如 ， 等类型可进行弦化切. 22 变式题（1） [2023·重庆一中月考] 已知第二象限角 的终边与单位圆交于 ，则 ( ) B A. B. C. D.1 [解析] 因为第二象限角 的终边与单位圆交于 ， 所以，可得，则 ， 所以 ，故选B. 23 （2） 已知，则_____， ____. [解析] 由得 ， 所以 . 24 角度3 和积转换 例3（1） 已知，则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 由，平方得 ， 又，所以 ， 则 .故选B. ［思路点拨］（1）利用同角三角函数的关系式的变换求出结果. 25 （2） 已知,，则 ( ) D A. B. C. D. [解析] 由题意可得 ， 整理得，又，所以， 即, ，所以， 因为 ， 所以，所以 .故选D. ［思路点拨］（2）根据同角三角函数关系式分析运算，注意三角函数值的符号的判断. 26 [总结反思] 对于已知 的求值问题，一般应用三角恒等式，利用整体代入的方法 来解，涉及的三角恒等式有 ， ， 等. 27 变式题（1） [2023·吉林通化一模] 若， ，则 ( ) C A.1 B. C. D. [解析] 因为，所以，，， 又 ，所以，即 ， 所以 .故选C. 28 （2） 已知，则 ____. [解析] 因为 ， 所以 . 29 探究点二 诱导公式 例4（1） 的值为( ) B A. B. C.1 D.2 [解析] 原式 .故选B. ［思路点拨］（1）由已知利用诱导公式对分子、分母进行化简，进而求目标式的值. 30 （2） 已知，则 _____. [解析] ， ，所以原式 . ［思路点拨］（2）由已知利用诱导公式求， 的值， 进而求目标式的值. 31 [总结反思] （1）已知角求值问题,关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的 三角函数值，转化过程中注意口诀“奇变偶不变,符号看象限”的应用. （2）对给定的式子进行化简或求值时,要注意给定的角之间存在的特定关系,充分 利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化.特别要注意每一个角为第几象限角, 防止符号及三角函数名出错. （3）常见的互余的角: 与 , 与 , 与 等;常见的互 补的角: 与 , 与 , 与 等. 32 变式题（1） 的值为( ) A A. B. C. D. [解析] ，故选A. 33 （2） [2023·天津南开中学模拟] 已知 ，则 ____. [解析] 因为，所以 ， 得 ，所以 . 34 探究点三 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用 例5 已知，， . （1） 化简 ； 解： ， ，， . ［思路点拨］（1）根据诱导公式进行化简; 35 （2） 若 为第三象限角，且，求 的值. 解： ，， 为第三象限角， ，的值为 . ［思路点拨］（2）首先化简 ， 根据 为第三象限角及同角三角函数基本关系式求 , 确定 的值. 36 [总结反思] （1）利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、 结论间的联系，灵活使用公式进行变形. （2）注意角的范围对三角函数值符号的影响. 变式题（1） [2023·安徽黄山模拟] 已知，则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 由，得，即 ， 则，所以， 又，所以 ，故选B. 38 （2） 已知 为锐角，且 ， ，则 的值是( ) C A. B. C. D. [解析] 由已知得消去 ，得 ， ，又，. 为锐角， .故选C. 39 提升习题 40 【备选理由】例1考查平方关系、商数关系的灵活运用，考查了利用弦切互化求 值;例2考查和积互化、弦切互化求值，考查了化归转化及运算求解能力；例3考查 三角函数的定义、诱导公式与同角三角函数的基本关系式的综合应用；例4考查 平方关系及商数关系、诱导公式的综合应用. 41 例1 ［配例2使用］ 若，则 _ __. [解析] . 42 例2 ［配例2、例3使用］ [2023·安徽安庆三模] 已知 ，则 _ _____. 或 [解析] 将两边平方得，所以 ， 所以，分式上下同除以 得 ， 整理得，解得或 . 43 例3 ［配例4、例5使用］ 已知 是第四象限角，且角 的终边在直线 上. （1） 求 ， 和 的值； 解：因为点在直线 上，且位于第四象限， 所以点在角 的终边上，所以 ， ， . （2） 求 的值. 解： 原式 . 44 例4 ［配例1、例4、例5使用］ [2023·云南昆明模拟] 已知，且 是 第三象限角. （1） 求 的值； 解： 由，可得，即 ， 又，所以，因为 是第三象限角，所以 . （2） 求 的值. 解： 由（1）知，则 ， 所以 . 45 $$