专题5.11 用二次函数解决问题（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.11 用二次函数解决问题（专项练习） 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求) 1．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）李叔叔为了充分利用现有资源，计划用一块矩形空地种植两种蔬菜，如图，矩形的一面靠墙（墙的长度为）．另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个矩形，已知栅栏的总长度为，若，矩形的面积为，则关于的函数表达式及的取值范围正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）一副三角板（和）如图放置，点E在上滑动，交于，交于，且在滑动过程中始终保持．若，设，的面积为y，则y关于x的函数表达式是（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）苏州的古桥众多，形态各异，有单孔和多孔的，有半圆孔和椭圆孔的，也有长方孔的、抛物线孔的，富有韵味，每一座古桥都诉说着苏州千百年来的古老文化．如图1是某公园的一座抛物线形拱桥，按如图2所示建立平面直角坐标系，得函数的表达式为，在正常水位时，水面宽米，当水位上升3米后，则水面宽等于（　　） A．4米 B．8米 C．米 D．米 4．（23-24九年级下·全国·单元测试）市场调查表明：某种水果一周内的销售率y（销售率售出数量进货数量）与价格倍数x（价格倍数售出价格进货价格）的关系满足函数关系 （）．根据有关规定，该商品售价不得超过进货价格的2倍，同时，一周内未售出的水果直接废弃．某商场希望通过销售该种水果可获取的最大利润率是（     ） A． B． C． D． 5．（2024·山西忻州·三模）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“水火箭”的升空高度与飞行时间满足函数表达式．已知“水火箭”飞行和飞行时的升空高度相同，飞行时的升空高度为，则“水火箭”升空的最大高度为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）在圆形喷水池的中央竖直安装一根水管，其顶端安一喷头，喷出水流的高度与水平距离之间满足，如图所示，当时，水流达到最高点，当时，．若喷出的水流没有落在池外，则喷水池的半径不少于（   ）．    A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）地理学上把两翼指向上风方向，迎风坡平缓前进，背风坡陡呈弧线凸出，平面呈抛物线的沙丘叫做“抛物线型沙丘”．如图1是我国最大沙漠塔克拉玛干沙漠某处的抛物线型沙丘，以抛物线型沙丘最顶端为O点，建立如图2所示的坐标系，若点，点是图1中抛物线型沙丘的两个端点，则a的值为（    ） A．15 B．18 C．24 D．36 8．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）随着地铁和共享单车的发展，“地铁＋单车”已成为很多市民出行的选择，小敏从奥体中心站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：km），乘坐地铁的时间（单位：s）是关于x的一次函数，若小敏骑单车的时间（单位：s）也受x的影响，其关系可以用来描述，则小敏从文化宫回到家里所需的时间最短为（   ） A．34分钟 B．39分钟 C．34.5分钟 D．39.5分钟 9．（2024·安徽·三模）一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图2若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（   ） A． B． C． D． 10．（2021·河南开封·一模）小明周末前往游乐园游玩，他乘坐了摩天轮，摩天轮转一圈，他离地面高度与旋转时之间的关系可以近似地用来刻画．如图记录了该摩天轮旋转时和离地面高度的三组数据，根据上述函数模型和数据，可以推断出：当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（2023·四川成都·二模）如图是某小区大门上方拱形示意图，其形状为抛物线，测得拱形水平横梁宽度为8m，拱高为2m，在五一节到来之际，拟在该拱形上悬挂灯笼（高度为1m），要求相邻两盏灯笼的水平间距均为1m，挂满后不擦横梁且成轴对称分布，则最多可以悬挂 个灯笼． 12．（23-24九年级下·山东泰安·期中）2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可爱，活泼，某零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，销售期间发现，每天的销售利润（元）与售价（元）之间的函数解析式是，且售价的范围是，则销售“冰墩墩”每天的最大利润是 ． 13．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射出物体，已知发射出的物体离地面的高度（单位：）满足关系式，其中（单位：）是物体运动的时间，（单位：）是物体被发射时的初始速度．若发射小球时的初始速度，当小球离地面的高度为时，的值为 s． 14．（23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习）如图，当一喷灌架为一农田喷水时，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线，则该喷灌架喷出的水可到达的最远距离 米．    15．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 16．（2024·吉林长春·三模）如图，为了提醒司机安全驾驶，要在隧道中安装电子显示屏．已知隧道截面为抛物线型，水平路面宽米，抛物线顶点到距离为12米．根据计划，安装矩形显示屏的高为1米，为了确保行车安全，显示屏底部距离地面至少8米，若距离左右墙壁各留至少1米的维修空间，则该矩形显示屏的宽的最大长度为 米．    17．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）某街道两侧路灯的灯杆由直杆与弯臂组成，弯臂下端连着直杆，上端安装射灯．弯臂可以近似地看成抛物线的一部分．如图所示， 以直杆所在直线为y 轴， 地面水平线为x 轴建立直角坐标系，测得直杆米， 抛物线段为弯臂，射灯B 距地面的高度米， 弯臂的最高点为 C，为射灯 B 发射的光线，若点 C，B ，D 在同一直 线上， 且米，，则弯臂最高点 C 离地面距离为 米．    18．（2023·四川成都·模拟预测）一个玻璃杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线，为同一抛物线的一部分，，都与水平地面平行，当杯子装满水后，，液体高度，将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动．如图2所示，此时液面宽度为 cm，液面到点所在水平地面的距离是 cm 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（23-24九年级上·广东广州·期末）2022年教育部正式印发《义务教育课程方案和课程标准（2022年版）》，《劳动》成为一门独立的课程. 某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. (1)当围成的矩形养殖园面积为108平方米时，求养殖园的边的长； (2)求矩形养殖园面积的最大值. 20．（本小题满分8分）（23-24九年级下·陕西渭南·阶段练习）蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它的出现使人们可以吃到反季节蔬菜．如图，某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，宽度为米，棚顶最高点距离地面高度为米．以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若借助横梁在大棚正中建一个米高的门（到地面的距离为米），求横梁的长度是多少米？（结果保留根号） 21．（本小题满分10分）（24-25九年级上·江苏南通·期中）海安大公千亩梨园硕果累累，大大提高了广大梨农的生活水平．每千克梨的成本为6元，每千克售价需超过成本，但不高于14元，已知日销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系，当每千克梨的售价为7元时，日销售量为220千克，每涨价1元日销售量减少20千克，设日销售利润为W元． (1)分别求出y与x，W与x之间的函数解析式； (2)若日销量不低于160千克，当售价定为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少元？ 22．（本小题满分10分）（2024·广东·模拟预测）素材一：秦、汉时期是中国古代桥梁的创建发展时期，此时期创造了以砖石为材料主体的拱券结构，为后来拱桥的出现创造了先决条件．如图（1）是位于某市中心的一座大桥，已知该桥的桥拱呈抛物线形．在正常水位时测得桥拱处水面宽度为40米，桥拱最高点到水面的距离为10米． 素材二：在正常水位时，一艘货船在水面上航行，已知货船的宽为16米，露出水面的高为7米．四边形为矩形，．现以点O为原点，以所在直线为x轴建立如图（2）所示的平面直角坐标系，将桥拱抽象为一条抛物线． (1)求此抛物线的解析式． (2)这艘货船能否安全过桥？ (3)受天气影响，水位上升0.5米，若货船露出水面的高度不变，此时该货船能否安全过桥？ 23．（本小题满分10分）（2024·河南南阳·二模）在“综合实践”活动课上，老师以“如何把实心球掷得更远？”为主题展开数学探究，下面是小林同学的探究过程，请帮助解决以下问题：    (1)小林第一次练习投掷实心球时，在点处将球（看成点）抛出，其运动路线是抛物线，示意图如图1所示．当球运动到距的水平距离为时，达到最大高度为． ①求抛物线的解析式； ②求投掷距离． (2)根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图2）架起距离地面高为的横线．球从点处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离． ①请求出小林此次投掷实心球的最大高度； ②结合小林两次投球的最大高度的变化量，及“如何把实心球掷得更远？”请给小林提出一条合理的训练建议． 24．（本小题满分12分）（2024·湖北恩施·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴上，点是抛物线上一动点，已知抛物线过点和． (1)求该抛物线的解析式； (2)过点作轴，垂足为，试证明：； (3)基于（2）的结论，试探究： ①如图2，点是抛物线上一动点，点在轴上，过点作轴，垂足为，且，求的值． ②当系数与满足怎样的条件时，抛物线上的动点到的距离与到轴上点的距离也相等？请直接写出你的结论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C C C B D D C 1．B 【分析】根据题意，，靠墙处墙的长度为，可求出的取值范围，再根据矩形的性质可得，，可求出的取值范围，根据矩形的面积的计算方法即可求解． 【详解】解：已知栅栏的总长度为，若， ∴， ∵靠墙处墙的长度为， ∴，即，解得，， ∵中间再用栅栏把它分成两个矩形， ∴ ∵， ∴，解得，， ∴的取值范围为， ∴矩形的面积关于的函数表达式为， 故选：． 【点睛】本题主要考查用函数解实际问题，理解图示，掌握几何图形面积的计算方法，运用函数解实际问题的方法是解题的关键． 2．D 【分析】根据题意可以分别用含的代数式表示出点到边的高和的长，从而可以表示出的面积． 本题考查根据实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：作于点，如图所示，    则， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 的面积为是：， 即， 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，理解题意，确定水位上升后的水面高度的是解题关键．根据题意，正常水位时，水面宽米，可求出当时可有，再根据水位上升3米后可知，将其代入二次函数解析式并求出的值，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，， ∴当时，可有， 当水位上升3米后，可有， 将代入， 可得，解得， ∴米． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为，根据“利润率出货价格进货价格售出数量进货价格进货数量进货价格进货数量”列出关于的函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解题的关键是熟练掌握利润率的计算公式，并根据利润率公式设出所需量及二次函数的性质． 【详解】解：设这种水果的进货价格为，则售出价格为，进货数量为，则售出数量为，利润率为， 则， ∵商品售价不得超过进货价格的2倍， ∴， ∵当时，利润率随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为， 故选：C． 5．C 【分析】本题考查了二次函数的应用，先利用待定系数法求出函数表达式为：，再将其化为顶点式，问题随之得解． 【详解】根据题意有：， 解得：， ∴函数表达式为：， 将化为顶点式为：， 当时，函数有最大值，且为：， 即则“水火箭”升空的最大高度为， 故选：C． 6．C 【分析】由题意可知该抛物线的对称轴为直线，即得出．再将，代入，得：，从而可求出抛物线解析式．最后令，求出x的值即可得解． 【详解】解：∵当时，水流达到最高点， ∴． 将，代入，得：， 联立，解得：， ∴． 令，则， 解得：，（舍）， ∴喷水池的半径不少于． 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确求出二次函数解析式是解题关键． 7．B 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式．根据题意，可设抛物线的解析式为，将点A坐标代入求出m的值即可得出其解析式，再求出时x的值即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可设抛物线的解析式为， 将点代入得， 解得， 则抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∵点B在第四象限， ∴， 故选：B． 8．D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，二次函数的最值问题，设小敏从文化宫回到家里所需的时间为，则，根据题意，确定二次函数的解析式，根据二次函数的性质，即可得出最短时间． 【详解】解：设小敏从文化宫回到家里所需的时间为， 则， 当时，， 故选：B． 9．D 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先以的中点为原点建立平面直角坐标系，求解抛物线为，再进一步的解答即可． 【详解】解：以的中点为原点建立平面直角坐标系， ∴，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴ ∵， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线： 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为， 故选：D． 10．C 【分析】把已知点的坐标代入函数解析式，求得b，c的值，可得函数解析式，再由二次函数求最值． 【详解】解：把（160，60），（190，67.5）分别代入， 可得， 解得：， 则， ∵， ∴当时，有最大值， ∴当小明乘坐此摩天轮离地面最高时，需要的时间为s， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决问题，是基础题． 11．6 【分析】以抛物线状拱形的顶点为原点，建立直角坐标系，即设抛物线的解析式为：，结合图象求出抛物线解析式为：，当时，可得，如图，，问题随之得解． 【详解】如图，以抛物线状拱形的顶点为原点，建立直角坐标系，即设抛物线的解析式为：， 根据题意可知：， 将代入中，有， 解得：， 则抛物线解析式为：， 当时，，解得：， 如图，， ∵相邻两盏灯笼的水平间距均为1m，且按轴对称的方式摆放， ∴共计最多可以挂6盏灯笼， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，构造合适的直角坐标系，求出二次函数的解析式，是解答本题的关键． 12．900元 【分析】本题考查二次函数的实际应用．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 将二次函数一般式改为顶点式．再结合题意可知当时，y有最大值，求出最大值即可． 【详解】解：∵，且， 又∵售价x的范围是， ∴当时，y有最大值，最大值为900， ∴最大利润是900元． 故答案为：900元． 13．或 【分析】本题考查了实际问题与二次函数，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 根据题意可得，整理得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得： ， 整理，得： ， 分解因式，得：， 解得：或， 故答案为：或． 14．11 【分析】求出抛物线与x轴的交点A的坐标即可解答． 【详解】解：对于，令，则， 解得：，（舍）， ∴， ∴米． 故答案为：11． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用．求出抛物线与x轴的交点A的坐标是解题关键． 15．能 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 16．6 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意建立平面直角坐标系，结合顶点为设出抛物线解析式为，代入得出抛物线解析式为，由显示屏底部距离地面至少8米，则可令，求出的值判断即可，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：由题意建立平面直角坐标系如图所示：   ， 由顶点为， 可设抛物线解析式为， ， ， 解得：， 抛物线的解析式为， 显示屏底部距离地面至少8米， 令，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， 距离左右墙壁各留至少1米的维修空间， （米），此时是最大值， 故答案为：． 17．9 【分析】此题考查了二次函数和一次函数综合题，数形结合是解题的关键．设抛物线的解析式为，求出点A的坐标是，则，设，，作交于点F，交于点E，证得和是等腰直角三角形，则，得到，，求出直线的解析式为，把点B的坐标代入得，整理得，设点C的坐标为，则，，进一步即可得到弯臂最高点 C 离地面距离． 【详解】解：由题意可知，弯臂近似地看成抛物线的一部分， ∴可设抛物线的解析式为， ∵， ∴点A的坐标是， ∴， ∵，，， ∴可设，， 作交于点F，交于点E，    ∵， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵点 C，B ，D 在同一直 线上， 设直线的解析式为，把，代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点B在抛物线上，代入抛物线的解析式得到 ， 整理得到， 设点C的坐标为，在直线上， ∴，， 解得或 当时，，， ∴点C的坐标为，与重合，矛盾，不合题意舍去， 当时，，， ∴点C的坐标是， 即弯臂最高点C离地面距离为米． 故答案为：9 18． 【分析】本题考查了二次函数，一次函数在实际生活中的应用，建立合适的直角坐标系和待定系数法求解析式是解题的关键． 以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，得出，，，的坐标用待定系数法求抛物线的解析式；将杯子绕倾斜倒出部分液体，当倾斜角时停止转动，所以旋转前与水平方向的夹角为，即，求出与轴的交点坐标，把点、代入求出直线的解析式，水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，过点作的垂线交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，根据题意可得 是等腰直角三角形，由此可得出点的坐标，用两点间的距离公式求出点到的距离． 【详解】解：如图1，以的中点为原点，直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意得：，，，， 设抛物线的解析式为：， 将，，代入得：， 解得：， ； 根据题意可知，， 设与轴的交点坐标， 是等腰直角三角形， ， ， 直线的解析式为：， 令， 解得（舍）或， ． ， 水面到平面的距离实际就是点到直线的距离，如图1，过点作的垂线交于点， 过点作轴的平行线，交直线于点， 是等腰直角三角形， ， ． ． 过点作于点， 是的中点，且， ， ． ． 故答案为：，． 19．(1)12米 (2)平方米 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用： （1）设养殖园的边的长为，则，根据围成的矩形养殖园面积为108平方米，即可列式计算作答． （2）设矩形养殖园面积为，建立关于x的式子表达，化为顶点式，再结合开口方向，即可作答． 【详解】（1）解：∵用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖园（靠墙的一边不需用篱笆），墙长为16米. ∴设养殖园的边的长为， 则， 那么 解得 ∵墙长为16米. ∴ ∴养殖园的边的长为米； （2）解：设矩形养殖园面积为， ∴ ∵ ∴开口向下，在时，有最大值，且为平方米． 20．(1) (2)横梁的长度是米为米 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键． （1）根据题意可得，，顶点坐标为，设二次函数解析式为：，由此即可求解； （2）当时计算对应的横坐标，由此即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，，顶点坐标为， ∴设二次函数解析式为：，把代入得， 即， 解得，， ∴； （2）解：到地面的距离为米，且二次函数解析式为， ∴当时，， 解得，， ∴， ∴横梁的长度是米为米． 21．(1)， (2)当售价定为10元时，每天获取的利润最大，最大利润是640元 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数与利润问题，二次函数的最值问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求得与的函数关系式，根据利润（售价进价）销量，可表示出； （2）根据日销量不低于160千克，可得，由，可知，该图象开口向下，对称轴为直线，从而判断出时，有最大值，将代入，可求得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，当时，，当时，， 设，则，得， ∴； 则日销售利润； （2）∵， ∴，即， ， 则，对称轴为直线，该图象开口向下， ∴当时，随增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时，（元）， 即：当售价定为10元时，每天获取的利润最大，最大利润是640元． 22．(1) (2)该船能安全通过 (3)此时该货船能安全过桥 【分析】本题考查了二次函数的应用，平移的性质，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据经过，设抛物线的解析式为，再把代入进行计算，即可作答． （2）先求出点D的横坐标，再代入，得出，即可作答． （3）依题意，得平移后抛物线的解析式为，把代入，进行计算，即可作答． 【详解】（1）由题易知，，抛物线的顶点为点 设抛物线的解析式为， 将分别代入， 得 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）由题易知，点D的横坐标为， 把代入， 得 ∵， ∴该船能安全通过． （3）由题易知，水位上升米，相当于将抛物线向下平移个单位长度， ∴平移后抛物线的解析式为 把代入， 得． ∵， ∴此时该货船能安全过桥 23．(1)①；② (2)①；②建议小林投掷实心球时应该尽量提高掷出点的高度（答案不唯一） 【分析】本题考查二次函数的应用，掌握用待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． （1）①用待定系数法即可求解；②把代入，得，求解即可； （2）①用待定系数法求得抛物线的解析式为，再化成顶点式即可求解；②根据小林两次投球的最大高度的变化量为；因此建议小林投掷实心球时应该尽量提高掷出点的高度． 【详解】（1）解：①由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ②把代入，得 ， 解得 ，（舍去） ∴投掷距离为4m； （2）解：①设抛物线的解析式为，把点代入，得 ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为 配方，得 ∴该抛物线的顶点坐标为， 即小林此次投掷实心球的最大高度为； ②， ∴小林两次投球的最大高度的变化量为； 因此建议小林投掷实心球时应该尽量提高掷出点的高度． （答案不唯一，符合题意即可，如建议：尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角．） 24．(1) (2)见解析 (3)①，② 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）设点的坐标为，则点的坐标是，，，即可求解； （3）①由，，即可求解； ②设点，，则，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点和， ，解得：， 抛物线的解析式为：； （2）证明：如图，过点作轴于， 设点的坐标为，则点的坐标是， 由题意可得，， ，， ； （3）解；①过点作轴于， 设点的坐标为，则点的坐标是， 由题意可得，， ，， ， ， ； ②设点， ， 则， 整理得：． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$