3.2.2双曲线的简单几何性质四维限时练-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.2双曲线的简单几何性质-四维限时练 (考察范围： 实虚轴、等轴、共轭双曲线、离心率、渐近线等 ) 【1】知识总览（1-2分钟，快速阅读，重点查看不熟悉的知识点） 标准方程 焦点坐标 左焦点，右焦点 上焦点，下焦点 焦距 ，其中叫做半焦距，且 图形 ≤或≥∈ ≤或≥，∈R 范围 对称性 关于轴、轴、原点对称 实轴端点(顶点) (±0) (0，±) 虚轴端点 (0，±) (±，0) 实轴长 2其中叫做实半轴长 虚轴长 2其中叫做虚半轴长 渐近线 离心率 ******************************************************************************* 【2】限时练习（约30分钟，全心投入，旨在检测自己的解题能力） 一、单选题 1．等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 2．若一条双曲线的实轴及虚轴分别为另一条双曲线的虚轴及实轴，则它们互为共轭双曲线．已知双曲线的标准方程为，则的共轭双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 3．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，某拱桥的截面图可以看作双曲线的图象的一部分，当拱顶M到水面的距离为米时，水面宽为米，则此双曲线的虚轴长为（    ）    A． B．2 C．3 D．6 5．已知双曲线的方程为，则不因m的变化而变化的是（    ） A．顶点坐标 B．渐近线方程 C．焦距 D．离心率 6．已知分别为双曲线的左､右焦点，为双曲线右支上任一点，则最小值为（    ） A．19 B．23 C．25 D．85 二、多选题 7．已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（    ） A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率不相等 8．已知分别是双曲线的左、右焦点，第二象限的点在上，则（    ） A．的虚轴长为 B．的焦距为 C．的渐近线方程为 D． 三、填空题 9．我们把离心率为的双曲线称为“黄金双曲线”．已知“黄金双曲线”，则的虚轴长为 ． 10．双曲线的实轴长为4，则 . 四、解答题 11．已知双曲线C：（，）与双曲线有相同的渐近线，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)求双曲线的实轴长，焦点坐标，离心率． 12．已知双曲线C的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点． (1)求双曲线C的方程； (2)已知，P是C上的任意一点，求的最小值． ******************************************************************************* 【3】核对解析（5-10分钟，筛选需看题目，变“不会”为“会”） 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A A D B B CD BC 1．【详解】由题意，设等轴双曲线方程为：， 注意到双曲线的焦点在轴上，则，双曲线方程可化为， 由焦点可知，，则， 于是实半轴为，于是实轴长是. 故选：D 2．【详解】由题意可知，双曲线的标准方程为， 所以共轭双曲线为，所以共轭双曲线的离心率为. 故选：A. 3．【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：A. 4．【详解】由题意得，代入得，解得， 即，因此虚轴长为， 故选：D． 5．【详解】将双曲线方程化为标准式可得， 当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，且， 此时顶点坐标为，渐近线方程为， 焦距，离心率； 当时，双曲线表示焦点在轴的双曲线，且， 此时顶点坐标为，渐近线方程为， 焦距，离心率； 综上可得，不因m的变化而变化的是渐近线方程. 故选：B 6．【详解】令且，则，而， 所以，令， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以，即最小值为23. 故选：B 二、多选题 7．【详解】椭圆：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； 双曲线：长轴半，短半轴，焦半距，离心率； ∵，∴选项A不正确； ∵，∴选项B不正确； ∵，∴选项C正确； ∵，∴选项D正确； 故选：CD 8．【详解】由双曲线，可得，则， 对于A中，双曲线的虚轴长为，所以A错误； 对于B中，双曲线的焦距为，所以B正确； 对于C中，双曲线的渐近线方程为，所以C正确； 对于D中，因为点在第二象限，根据双曲线的定义，可得，所以D不正确. 故选：BC. 三、填空题 9．【答案】 【详解】因为，即，解得，所以的虚轴长为， 10．【答案】1 【详解】显然恒成立，则双曲线的焦点在x轴上， 于是，所以. 四、解答题 11．【详解】（1）在双曲线中，，， 则渐近线方程为， ∵双曲线与双曲线有相同的渐近线， ， ∴方程可化为， 又双曲线经过点，代入方程， ，解得，， ∴双曲线的方程为. （2）由（1）知双曲线中， ，，， ∴实轴长，离心率为， 双曲线的焦点坐标为. 12．【详解】（1）双曲线的焦点为， 所以设双曲线C的方程为， 所以，解得， 所以双曲线C的方程为. （2）由可得，或， 设，或，则， 所以， 所以当时，有最小值为. ******************************************************************************* 【4】反思总结（3-5分钟，重在做好错因分析和查漏补缺，但不一定都写出来） 解题点睛: 个人感悟： 1 学科网（北京）股份有限公司 $$