精品解析：重庆市渝高中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

渝高中学校高2027届高一上期期中考试 数学试题 （满分150分．考试用时120分钟．） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合与集合的关系、元素与集合的关系可得B、C错误，再根据为无理数可得正确的选项. 【详解】因为表示元素，表示集合，故B、C错误. 因为不是自然数，所以，且不成立，故A也错误，D正确， 故选：D. 【点睛】本题考查元素与集合的关系、集合与集合的关系的判断，一般地，集合与集合之间用包含或不包含， 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式得到，，根据交集概念求出答案. 【详解】，解得，故， 令，解得，则， 故. 故选：C 3. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式的变形形式直接求解即可. 【详解】由题意得，，即， 当且仅当，即或时等号成立， 所以ab的最大值为， 故选：B 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合已知条件，利用抽象函数的定义域求法且分式中分母不为0，即可得到的定义域. 【详解】由函数的定义域是，结合函数的特征可知， 解得， 故函数的定义域为. 故选：C. 5. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用配凑法求解析式即可. 【详解】，且，所以，. 故选：B. 6. 已知二次函数f(x)的图像开口向下，且对称轴方程是x＝3，则下列结论中错误的一个是(　　) A. f(6)＜f(4) B. f(2)＜f() C. f(3＋ )＝f(3－) D. f(0)＜f(7) 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象开口向下，对称轴为，则有，且在上递增，在上递减，根据单调性和对称性可得． 【详解】解：依题意，函数的图象开口向下，对称轴为，则有， 且在上递增，在上递减， ，即正确； 且 即，故正确； ，故正确； ，故错误； 故选： 【点睛】本题考查二次函数的单调性以及函数的对称性，属于中档题. 7. 已知函数的定义域为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抽象函数的求值可利用特殊值法. 【详解】解：函数的定义域为 令时，，可得 令，，，可得. 故选：C 8. 已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件分，和三种情况讨论，由，求出的取值范围． 【详解】解：显然当时，，不满足条件； 当时，易知，当时，，于是， 而由，可得，即，所以也不满足条件， 当时，函数， 因为关于的不等式的解集为，若，则在上，函数的图象应在函数的图象的下方， 如图所示，要使在上，函数的图象在函数的图象的下方， 只要即可，即， 化简可得，解得， 所以的取值范围为. 综上，的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或者3分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可. 【详解】对于A, 的定义域为, 的定义域为, 且两个函数的对应关系相同,所以是同一函数,故A正确; 对于B, 的定义域为, 的定义域为, 所以不是同一函数,故B错误; 对于C， 与对应关系不相同,故C错误; 且定义域为, 定义域为,所以两个函数是同一函数,故D正确. 故选:AD. 10. 已知：函数的定义域为，则的必要条件可以是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】的定义域为，因此恒成立，求出的取值范围.本题判断哪个选项是的必要条件，所以能推出选项，对应的取值范围是选项范围的子集. 【详解】由题，恒成立，易知时不满足， 时，有. 故选：AB 11. 若，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用作差法判断A，举反例判断B，利用基本不等式判断CD. 【详解】对于A，由，，， 所以，所以，成立； 对于B，当时，，所以B不正确； 对于C，由，，可得， 所以，所以，等号不成立，所以； 对于D,由，得， 所以 . 当且仅当，即时，取得最小值4， 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛，本题D的判断较为困难，利用展开后，利用基本不等式是解题的关键. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题否定形式：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是变量词否结论即可求解. 【详解】命题否定形式：， 故答案为：. 13. 已知，且，则的最小值是_________． 【答案】7 【解析】 【分析】先利用常数代换法求的最小值，继而即可求解. 【详解】因为， ， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 设函数存在最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意分四种情况，结合二次函数的性质讨论即可． 【详解】①当时，， 当时，单调递增，且， 当时，， 因此不存在最小值； ②当时，， 当时，，故函数存在最小值； ③当时，， 当时，单调递减，， 当时，， 而，故函数存在最小值； ④当时，， 当时，单调递减，， 当时，， 因为， 所以，因此不存在最小值． 综上，的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，，即可解决；（2）分，两种情况解决即可. 【小问1详解】 由题知，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 由题知， 因为， 所以 当时，解得，满足题意； 当时，或， 解得，或， 综上所述，的取值范围为， 16. 已知函数， （1）画出函数的图象； （2）求的值； （3）写出函数的单调区间． 【答案】（1） （2） （3）单调递减区间：和；单调递增区间为：和. 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式，直接画出函数的图象. （2）根据函数的解析式，判断直接代入计算即得. （3）根据分段函数图象，求出函数的单调区间. 【小问1详解】 如图所示： 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 由（1）得到的图象可知，的单调递减区间为和． 单调递增区间为：和. 17. 已知函数，且． （1）证明：在区间上单调递减； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 因为，，所以，解得，所以， 任取实数，且，则， 又，所以，， 所以，即，所以在区间上单调递减； （2）. 【解析】 【分析】(1)由条件列方程求，再根据减函数的定义证明在区间上单调递减； (2)由条件可得，解不等式求的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递减，所以， 因为对恒成立，所以， 即，化简得，解得， 即实数t的取值范围是． 18. 某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系式如图所示． （1）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数； （2）若该公司投资万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？ 【答案】（1）甲产品的利润函数为；乙产品的利润函数为； （2）当时，乙产品投资万元，甲产品不作投资，该公司可获得最大利润，最大利润为万元； 当时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元． 【解析】 【分析】（1）由题意设、，分别代入点的坐标即可得解； （2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元，由题意列出总利润的函数，换元后利用二次函数的图象与性质分类讨论即可得解. 【详解】（1）由题意设甲产品的利润函数为，乙产品的利润函数为． 由函数经过点，则即，所以； 函数经过点，则即，所以； （2）设乙产品的投资金额为万元，则甲产品的投资金额为万元， 所获得总利润为万元， 则，， 令，则， ， 该函数图象开口向下，对称轴为， 所以当即时，函数在上单调递增， 当即时，有最大值； 当即时，函数在上递增，在上递减， 当即时，有最大值． 综上可知，当时，乙产品投资万元，甲产品不作投资，该公司可获得最大利润，最大利润为万元； 当时，乙产品投资万元，甲产品投资万元，该公司可获得最大利润，最大利润为万元． 【点睛】本题考查了函数的应用，考查了二次函数性质的应用与分类讨论思想，解题的关键是根据实际问题建立适当的数学模型，属于中档题. 19. 若实数满足，则称x比y远离m． （1）解不等式 （2）若比远离，求实数x的取值范围； （3）若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）比x更远离m，理由如下： 因为，有， 因为，所以， 从而， ①当时， ，即； ②当时， ， 又，则， ∴，即， 综上，，即比x更远离m． 【解析】 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可求解； （2）根据题意列出，求解不等式即可； （3）利用基本不等式的变形得到，可将为题转化为研究的正负问题，然后根据绝对值的意义分类讨论，利用配方法可以得到结论 【小问1详解】 令，即有，所以x比3远离0， 从数轴上可得x的取值范围是； 【小问2详解】 由x比远离1，则，即， ∴或，解得或， ∴的取值范围是； 【小问3详解】 【点睛】关键点睛：本题考查含有绝对值的不等式的求解与证明，作差法比较大小，涉及消元思想和配方法，基本不等式的灵活应用，在第二问中还需分和两种情况进行讨论 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 渝高中学校高2027届高一上期期中考试 数学试题 （满分150分．考试用时120分钟．） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若集合，，则下面结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是( ) A. B. C. D. 5. 已知函数，则函数的解析式是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 已知二次函数f(x)的图像开口向下，且对称轴方程是x＝3，则下列结论中错误的一个是(　　) A. f(6)＜f(4) B. f(2)＜f() C. f(3＋ )＝f(3－) D. f(0)＜f(7) 7. 已知函数的定义域为，且满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，设关于的不等式的解集为，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得2分或者3分，有选错的得0分． 9. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知：函数的定义域为，则的必要条件可以是（ ） A. 或 B. C. D. 11. 若，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题否定形式：__________. 13. 已知，且，则的最小值是_________． 14. 设函数存在最小值，则的取值范围是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数， （1）画出函数的图象； （2）求的值； （3）写出函数的单调区间． 17. 已知函数，且． （1）证明：在区间上单调递减； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 18. 某公司销售甲、乙两种产品，根据市场调查和预测，甲产品的利润（万元）与投资额（万元）成正比，其关系如图所示；乙产品的利润（万元）与投资额（万元）的算术平方根成正比，其关系式如图所示． （1）分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数； （2）若该公司投资万元资金，并全部用于甲、乙两种产品的营销，问：怎样分配这万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少？ 19. 若实数满足，则称x比y远离m． （1）解不等式 （2）若比远离，求实数x的取值范围； （3）若，，试问：与哪一个更远离，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $