专题05 一次函数与常见几何模型专项训练（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

专题05 一次函数与常见几何模型专项训练（8大题型+15道拓展培优） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，． (1)直接写出点，点的坐标； (2)求的面积； (3)如果点在一次函数的图象上，且的面积为3，求点的坐标． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且， (1)求的面积； (2)求经过点且平分面积的直线解析式． 2．（18-19八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图（1），点为平面直角坐标系中两点，过点作交于，交轴于点．且． (1)求直线解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接． ①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②当面积最小时，求点的坐标和面积． 【经典例题二 一次函数中的动点问题】 【例2】（23-24八年级下·重庆江北·期末）如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． (1)求直线的解析式； (2)若点P为线段上一动点，且，求点P的坐标； 4．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点A，直线经过点和点，且直线交于点．    (1)求点A，点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，求的最小值； (3)点分别是直线上的两点，且不与点重合． 当时，直接写出每一组点和点的坐标． 5．（22-23八年级上·广东清远·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O是坐标原点，点A，B，C的坐标分别是．有一动点P（不与点O重合）沿折线运动，到达点C时停止运动． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当点P在线段上运动时，求线段长度的最小值． 6．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，已知点，点，直线经过点． (1)请计算的面积． (2)求直线的解析式． (3)若在x轴上有一动点，当线段的长度最小时，求此时点的坐标． 【经典例题三 一次函数中的最值问题】 【例3】（山东省济南市高新区2024—2025学年上学期八年级期中考试数学卷）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 7．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 8．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图1 ， 在平面直角坐标系中， 一次函数与轴交于点， 与轴交于点， 点为线段的中点， 过点作轴， 垂足为． (1)求两点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点， 连接交轴于点， 且， 在直线上有一点， 使得最小， 求点坐标； (3)如图2， 直线上是否存在点 使得，若存在， 请求出点的坐标， 若不存在， 请说明理由． 9．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接． (1)求点的坐标及线段的长度； (2)将线段沿轴向下平移个单位至，连接． 当为直角三角形时，求的值； 当周长最小时，的值是 ；此时，最小周长等于 ． 【经典例题四 一次函数中的存在性问题】 【例4】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 10．（22-23八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． (1)直线的函数表达式． (2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标． (3)若为直角三角形，求点D的坐标． 11．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与直线交于点，点E为x轴上一个动点． (1)求直线的解析式； (2)若点E的坐标为，过点E作直线轴，分别交直线，于点F，G．求的面积； (3)若以点C、A、E为顶点的三角形为直角三角形，求点E的坐标． 12．（2022九年级下·浙江·专题练习）在平面直角坐标系上，点A为直线OA第一象限上一点，AB垂直x轴于B，OB＝4，AB＝2， (1)求直线OA的解析式； (2)直线y＝2x上有一点C（x轴上方），若AOC为直角三角形，求点C坐标． 【经典例题五 一次函数中的新定义问题】 【例5】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图1中的两点即为“等和点”． 已知点的坐标为， (1)在点，，中，与点为“等和点”的是______（只填字母）； (2)若点在函数的图象上，且两点为“等和点”，求点的坐标． 13．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 14．（23-24八年级下·浙江台州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 15．（22-23八年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为，则称点Q为点P的“n倍点”． (1)①若点，点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为___________； ②当P是直线与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为___________． (2)已知点，，，． ①若对于直线上任意一点Q，在直线上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值； ②点P是直线上任意一点，若在四边形的边上存在点P的“n倍点”，且，直接写出k的取值范围． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 16．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线l的函数表达式为（b为常数），点，点，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连结，将沿直线l翻折，得，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)求点C的坐标． (2)当点F在y轴上时，求b的值． (3)当与y轴有交点时，求b的取值范围． 17．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标． 18．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点．过点C作y轴平行的射线，交直线与点D，点P是射线上的一个动点．    (1)求点A，B的坐标． (2)如图2，将沿着翻折，当点C的对应点落在直线上时，求点P的坐标． (3)若直线与直线有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接，是否存在点P，使得，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型】 【例7】（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若点A恰好落在点处．则： ①OA的长为______； ②点B的坐标为______； 感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线AB的函数表达式； 拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，过点B作轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点．当是以点P为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【经典例题八 一次函数中的平移模型】 【例8】（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点向上平移5个单位长度得到点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与线段有公共点，结合函数图象，求的取值范围． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，正方形的顶点，，点B在点A的右侧，点C，点D在的下方． (1)直接写出的长度（用含m的式子表示）； (2)若三角形的面积为3． ①求m的值； ②在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．记二元一次方程（）的图象为直线l，直线l与正方形的边，分别交于点E，点F，如图所示，且三角形的面积为．现将正方形进行平移，使得直线l与正方形的边分别交于点P，点Q，在平移过程中，是否存在三角形的面积也为的情形？若存在，请探究如何平移；若不存在，请说明理由． 2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中；点为坐标原点，点，点、在坐标轴上，点在边上，直线交轴于点.对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移.现将直线经过2次斜平移，得到直线. (1)求直线与两坐标轴围成的面积； (2)求直线与的交点坐标； (3)在第一象限内，在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，平分交轴于点，，垂足为D． (1)求的面积； (2)求点C、D的坐标； (3)若点E是线段上的一点，点F是线段上的一点，求的最小值． 2．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，且． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 3．（23-24八年级上·辽宁·期中）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为1． (1)求k的值； (2)若点B的坐标为，点C在直线上，连接交线段于点D，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动，试解决下列问题： (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使的面积是的面积的，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 5、（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点A，并与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为___．点E的坐标为___；（均用含t的式子表示） (3)在（2）的条件下，当点P在线段上时，探究是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的面积；若不存在说明理由． 6．（23-24八年级下·全国·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴负半轴交于点C，且．直线与直线交于点D，点P在x轴上． (1)求直线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若，求点P的坐标． 7．（2023九年级下·山东青岛·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点B 和点C，与直线相交于点． (1)求 的面积． (2)在线段 或射线上是否存在点 N，使 的面积是 面积的 ？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，是线段上一点（不与点，重合），以为边作如图所示的，且，，连接． (1)请判断线段与的关系，并说明理由； (2)当时，求点的坐标． 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点A． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点在x轴正半轴，点D是第一象限内一点，连接，，，P是射线上一点，P点的纵坐标为t，过点P作轴交直线于点N，线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，点P在线段的延长线上，，连接交于点Q，求t的值及Q点坐标． 10．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，已知一条直线上三个点，其坐标分别是，，，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求的值； (2)若在轴上有一点P，使，求的面积． 11．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，B为x轴正半轴上一点，且． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)将直线平移，平移后的直线经过点B，交y轴于点Q，求点Q的坐标． 12．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点．    (1)求直线的解析式； (2)点G是线段上一点，若，请求点G的坐标； (3)已知D点是x轴上一点，且是等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 13．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，且，点C的坐标为，点P在线段上． (1)求直线l的函数表达式； (2)连接和，当点P的横坐标为4时，求的面积． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线分别交x轴，y轴于点A，E，点在直线上，点E关于x轴的对称点为，连接． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点为第一象限内一动点，点P在x轴上，连接，若的面积与的面积相等，求的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数与常见几何模型专项训练（8大题型+15道拓展培优） 题型一 一次函数中的面积计算 题型二 一次函数中的动点问题 题型三 一次函数中的最值问题 题型四 一次函数中的存在性问题 题型五 一次函数中的新定义问题 题型六 一次函数中的翻折模型 题型七 一次函数中的旋转模型（45度等） 题型八 一次函数中的平移模型 【经典例题一 一次函数中的面积计算】 【例1】（24-25八年级上·全国·期中）已知一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，． (1)直接写出点，点的坐标； (2)求的面积； (3)如果点在一次函数的图象上，且的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)9 (3)或 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）分别求出时，的值和时，的值，由此即可得； （2）先求出的长，再利用直角三角形的面积公式求解即可得； （3）设点的坐标为，则点到轴的距离为，根据三角形的面积公式求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：对于一次函数， 当时，，解得， 当时，， ∵一次函数的图象与轴，轴的交点分别为，， ∴点的坐标为，点的坐标为． （2）解：由题意，画出图形如下： ∵，， ∴， ∴的面积为． （3）解：由题意，画出图形如下： 设点的坐标为，则点到轴的距离为， ∵的面积为3，， ∴，即， 解得或， 当时，， 当时，， 综上，点的坐标为或． 1．（24-25八年级上·浙江宁波·开学考试）在平面直角坐标系中，直线上有一点，其横坐标为1，经过点的直线交轴负半轴于一点，且， (1)求的面积； (2)求经过点且平分面积的直线解析式． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、求一次函数的解析式、三角形的中线性质、坐标与图形等知识，熟知三角形的中线平分该三角形的面积是解答的关键． （1）先求得点A的坐标，再根据坐标与图形和三角形的面积公式求解即可； （2）先求得点P坐标，然后根据三角形的中线平分该三角形的面积得过点P的直线经过线段的中点，利用中点坐标公式求得中点坐标，然后利用待定系数法求直线解析式即可． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，点P在x轴的负半轴， ∴； ∵经过点的直线平分面积， ∴该直线经过线段的中点， ∵， ∴线段的中点坐标为， 设该直线的解析式为， 将、代入，得，解得， ∴经过点且平分面积的直线解析式为． 2．（18-19八年级上·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动． (1)求直线所对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)或或 【分析】本题主要考查了一次函数综合题，用待定系数法求函数的解析式以及三角形面积求法等知识，熟练掌握坐标与图形的性质是解题关键． （1）由点C和点A的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式即可求解； （3）当时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标． 【详解】（1）解：设直线的解析式是， 根据题意得：， 解得：． 则直线的解析式是：； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：设的解析式是，则， 解得：． 则直线的解析式是：， ∵当时， ∴M到y轴的距离是， ∴点M的横坐标为1或； 当M的横坐标是1时，在中， 当时，，则M的坐标是； 在中，当时，，则M的坐标是． M的坐标是或． 当M的横坐标是时， 在中，当时，，则M的坐标是． 综上所述：M的坐标是或或． 3．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图（1），点为平面直角坐标系中两点，过点作交于，交轴于点．且． (1)求直线解析式； (2)如图2，点是线段上一动点（不与点、重合），交于点，连接． ①点移动过程中，线段与数量关系是否不变，并证明； ②当面积最小时，求点的坐标和面积． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①线段与数量关系是保持不变，证明见解析；②点，面积是 【分析】（1）根据求出点E的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）①先证明，根据全等三角形的判定和性质得出；②根据三角形的面积公式可得面积=，从而得到当最小时，的面积最小，则当时，最小，此时的面积最小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． 设解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴解析式为； （2）解：①线段与数量关系不变，，证明如下： ∵， ， ∴， ， ∴， ， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； ②由①得：， ∵， ∴的面积， ∴当最小时，的面积最小， ∴当时，最小，此时的面积最小， ∵， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 联立得：，解得， ∴； ∴， ∴的面积． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系，以及全等三角形的判定与性质，勾股定理，坐标与图形，熟练掌握一次函数图像的交点与二元一次方程组解的关系是解答本题的关键． 【经典例题二 一次函数中的动点问题】 【例2】（23-24八年级下·重庆江北·期末）如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． (1)求直线的解析式； (2)若点P为线段上一动点，且，求点P的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法，三角形面积，坐标与图形的面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）由待定系数法可得出答案； （2）设点，根据三角形面积关系可得出答案． 【详解】（1）直线交轴和轴于点和点， 点，点， 设直线的解析式为， 由题意可得：， 解得：， 直线的解析式为； （2）点，点，点， ，， ， 设点， ， ， ， 解得， 点 4．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，直线的函数表达式为，与轴交于点A，直线经过点和点，且直线交于点．    (1)求点A，点的坐标； (2)点是轴上的一个动点，求的最小值； (3)点分别是直线上的两点，且不与点重合． 当时，直接写出每一组点和点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)当时，，；，；，；， 【分析】（1）把代入求出点A的坐标；先求出直线n的解析式为，联立，求出； （2）作点C关于x轴的对称点E，连接交轴于点P，连接，根据对称性得，根据，结合两点之间线段最短，得出此时最小，最小，即最小，求出最小值即可； （3）先证明为直角三角形，，证明，得出当点M在点E处，点N在点C处时，，此时，；然后再根据对称性求出另外的三种情况即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴； 设直线n的解析式为，把点和点代入得： ， 解得：， ∴直线n的解析式为， 联立， 解得：， ∴； （2）解：作点C关于x轴的对称点E，连接交轴于点P，连接，如图所示：    ∵点C关于x轴的对称点E， ∴，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，最小， 即最小， 最小值为： ． （3）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，， ∴， 把代入得：， ∴， ∴，， ， ∴，，， ∴， ∴当点M在点E处，点N在点C处时，， 此时，； 在直线m上取点E关于点D的对称点F， 根据中点坐标公式可得：此时点F的坐标为， ∵，，， ∴， ∴当点M在点F处，点N在点C处时，， 此时，； 在直线n上取点C关于点D的对称点G， 根据中点坐标公式可得：此时点G的坐标为， ∵，，， ∴， ∴当点M在点F处，点N在点G处时，， 此时，； ∵，，， ∴， ∴当点M在点E处，点N在点G处时，， 此时，； 综上分析可知：当时，，；，；，；，．    【点睛】本题主要考查了求一次函数解析，一次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，勾股定理及其逆定理，轴对称的性质，中点坐标公式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 5．（22-23八年级上·广东清远·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点O是坐标原点，点A，B，C的坐标分别是．有一动点P（不与点O重合）沿折线运动，到达点C时停止运动． (1)求所在直线的函数表达式； (2)当点P在线段上运动时，求线段长度的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）过A点作轴于M，过B点作轴于N点，连接，先求出，再由当时，长度的值最小，可得，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把分别代入得， 解得， ∴AB所在直线的函数表达式为； （2）解：过A点作轴于M，过B点作轴于N点，连接，如图， 根据题意得：， ， 当时，长度的值最小， 此时， 解得， 即长度的最小值为． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，勾股定理的应用，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用数形结合思想解答是解本题的关键． 6．（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，已知点，点，直线经过点． (1)请计算的面积． (2)求直线的解析式． (3)若在x轴上有一动点，当线段的长度最小时，求此时点的坐标． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题是一次函数的综合题，涉及最短路径问题，待定系数法求函数解析式，坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求一次函数的解析式． （1）由点得，由点得的边上的高为，利用三角形的面积公式即可求解； （2）利用待定系数法可求得直线的解析式； （3）作点关于轴的对称点，则点的坐标，连接与轴交于点，根据最短路径问题得：此时，线段的长度最小，由直线经过点得点，利用待定系数法可求得直线的解析式，根据轴上点的坐标特征求出点的坐标． 【详解】（1）解：，点． ，的边上的高为， ； （2）直线与轴交于点，与轴交于点，已知点，点， ， 解得， 直线的解析式为； （3）作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，此时，线段的长度最小， ， 点的坐标， 直线经过点． ， 点， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 点在轴上，当时，， 点的坐标为． 【经典例题三 一次函数中的最值问题】 【例3】（山东省济南市高新区2024—2025学年上学期八年级期中考试数学卷）如图1，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点．直线交于点，交轴于点． (1)求直线的解析式和点坐标； (2)设点是轴上一动点，是否存在点使的值最小？若存在，请求出的最小值． (3)如图2，点坐标为，则的面积是 ． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，写出点的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为，点坐标 (2)存在， (3) (4)满足条件的点C的坐标为或 【分析】本题为一次函数与几何综合，其中涉及到了一次函数的图象性质，待定系数法求函数解析式，轴对称的性质，三角形面积的运算，等腰三角形的性质及判定，全等三角形的判定及性质等知识点，利用数形结合思想作出图象是解题的关键． （1）利用待定系数法运算求出解析式即可，把代入函数式子即可得到点的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小，列式运算即可； （3）利用三角形面积公式列式运算即可； （）分类讨论点的位置，利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把、代入得到， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在直线上，横坐标为， 把代入可得：， ∴点坐标； （2）存在．如图1中，作点关于轴的对称点，连接交于，此时最小， ∵，，， ∴的最小值； （3）如图2中， ∵点坐标为，， ∴， ． 故答案为18； （4）如图3中， ①当是等腰直角三角形时，作轴于， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴，， ∴， ②当是等腰直角三角形时，同理可得等， 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 7．（23-24八年级上·浙江衢州·期末）如图，直线与和与x轴分别交于A、B两点，两直线交于点，G是与y轴的交点，点D为的中点，点E是线段上一个动点（不与点A和C重合），连接，并过点D作交于点F． (1)判断的形状，并说明理由． (2)当点E的横坐标为时，在x轴上找到一点P使得的周长最小，请求出点P的坐标． (3)当是等腰三角形时，求E点的坐标． 【答案】(1)为等腰直角三角形；理由见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）分别求出A、B、C三点坐标以及、、的长，即可得出的形状； （2）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，证明，得出，证明，得出，求出，，得出，说明要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接，求出的解析式为，求出即可； （3）连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，设点E的坐标为，点H的坐标为：，求出点F的坐标为：，得出，，，分三种情况：当时，当时，，当时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在上， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴， 则， ， ， 则，且， ∴为等腰直角三角形． （2）解：由题意知，即，连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴要使周长最小，即只需时最小， 作点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，连接， ∵， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴最小， 设的解析式为，把、代入得： ， 解得：， ∴的解析式为，令，， ∴． （3）解：连接，过点作于，于，过点E作于点K，过点F作于点H，如图所示： 根据解析（2）可知，，， 设点E的坐标为， ∴， ∴， ∴点H的坐标为：， ∴点F的坐标为：， 把代入代入得：， ∴， ∴， ， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：或（舍去）； ∴； 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 综上分析可知，点E的坐标为：或或． 【点睛】本题是一次函数的综合题目，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，轴对称最短问题等知识，两点间距离公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．（22-23八年级上·浙江宁波·期中）如图1 ， 在平面直角坐标系中， 一次函数与轴交于点， 与轴交于点， 点为线段的中点， 过点作轴， 垂足为． (1)求两点的坐标； (2)若点为轴负半轴上一点， 连接交轴于点， 且， 在直线上有一点， 使得最小， 求点坐标； (3)如图2， 直线上是否存在点 使得，若存在， 请求出点的坐标， 若不存在， 请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）已知一次函数与轴交于点， 与轴交于点，利用点在坐标轴上的特点，代数求值即可； （2）已知点为线段的中点，轴，可求出，且，得到，进而，要求最小，则根据最短路径原理，作对称点连线求值即可； （3）直线上存在点使得，分两种情况，点分别在轴的上方和下方，画图找点证明即可． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，即时，，点， 与轴交于点，即时，，点 （2）解：点为线段的中点, 由（1）得、，所以根据中点坐标为，即， ，轴， ， ， ， 作点关于直线的对称点，坐标为，连接，与直线交于点，根据最短路径原理，此时最小， 设直线为一次函数，将、代入得： ，解得， ， 当时，， 即点坐标为； （3）解：如图1 当点在轴上方时，，过点作,交于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形， , , , , , , 设直线为一次函数，将、代入得： ，解得， 当时，， 即点坐标为； 如图2，当点在轴下方时，， 过点作,交于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，同理可得, , 设直线为一次函数，将、代入得： ，解得， 当时，， 即点坐标为； 所以坐标或 【点睛】本题主要考查了一次函数与等腰三角形结合，如何构造等腰直角三角形是解题的关键． 9．（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于两点，点坐标为，连接． (1)求点的坐标及线段的长度； (2)将线段沿轴向下平移个单位至，连接． 当为直角三角形时，求的值； 当周长最小时，的值是 ；此时，最小周长等于 ． 【答案】(1)， (2)1或；， 【分析】（1）求出点坐标，再由勾股定理求的长即可； （2）先求平移后的点，分别可求，分三种情况讨论：当时，当时，当时，利用勾股定理建立方程，求出的值即可； 作点关于直线的对称点，连接，当三点共线时，的值最小，此时周长最小，由对称性求出，用待定系数法求出直线的解析式将点代入解析式即可求，从而确定，，再用两点间距离公式求出，则周长最小值为． 【详解】（1）解：令，则， ， 点坐标为， ； （2）解：令，则， ， 线段沿轴向下平移个单位至， ， ， 当时，， 解得， 当时，， 此时不存在实数根， 当时，， 解得， 综上所述：的值为1或； 作点关于直线的对称点，连接， ， ， 当三点共线时，的值最小，此时周长最小， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 将点代入，， ， ， 周长最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，直角三角形的性质，轴对称求最短距离的方法，线段平移的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 【经典例题四 一次函数中的存在性问题】 【例4】（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与 x轴以及的图象分别交于点C，D，且点D的坐标为． (1)求k，b，n的值． (2)求四边形的面积． (3)在x轴上是否存在点P，使得以点P，C，D为顶点的三角形是直角三角形?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）对于直线，令求出的值，确定出的坐标，把坐标代入中求出的值，再将坐标代入求出的值，进而将坐标代入求出的值即可； （2）过作垂直于轴，如图1所示，四边形面积等于梯形面积减去三角形面积，求出即可； （3）在轴上存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形，理由为：分两种情况考虑：①；②，分别求出坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，令，得到，即， 把代入中，得：， 把代入得：，即， 把坐标代入中得：，即； （2）解：过作轴，垂足为，如图1所示， 由（1）可知：一次函数的解析式为， ∴令，则有，解得：， ∴， ， ； （3）解：如图2所示，设， ， ， ， 分两种情况考虑： ①当时，， ， ， ； ②当时，由横坐标为1，得到横坐标为1， 在轴上， 的坐标为， 综上，的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，坐标与图形性质，待定系数法确定一次函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握一次函数的性质是解本题的关键． 10．（22-23八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线:与直线：交于点，与x轴分别交于点和点C．点D为线段上一动点，将沿直线翻折得到，线段交x轴于点F． (1)直线的函数表达式． (2)当点D在线段上，点E落在y轴上时，求点E的坐标． (3)若为直角三角形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于M，轴于N，则，由折叠得，利用勾股定理列得，代入计算即可得到的长，由此得到答案； （3）分两种情况：①当时，过A作轴于G，得到，从而得到答案；当时，由折叠得，，设，则，利用勾股定理得到，求出m，再求OD即可得到答案． 【详解】（1）解：将代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为， 将点A的坐标代入，得， ∴， 将点A的坐标代入直线中， 解得， ∴直线的解析式为： （2）（3）过点A作轴于M，轴于N，则， 由折叠得， ∴， ∴， 解得（负值已舍去）， 又E在y轴负半轴， ∴； （3）分两种情况： ①当时，如图， 由折叠得， ， 过A作AG⊥x轴于G， ， ， ， ∴； ②当时，如图， 由折叠得，， ∴， 由A、B两点坐标可得：， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上，或． 【点睛】此题考查一次函数的综合知识，待定系数法求函数解析式，折叠的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟记各知识点并综合运用是解题的关键． 11．（21-22八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与直线交于点，点E为x轴上一个动点． (1)求直线的解析式； (2)若点E的坐标为，过点E作直线轴，分别交直线，于点F，G．求的面积； (3)若以点C、A、E为顶点的三角形为直角三角形，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）首先求出点的坐标，再将、代入，解方程即可； （2）求出，的坐标，从而得出的长度，代入三角形面积公式； （3）分或或，分别画图进行计算即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ， ， 将、代入得， ， 解得， 直线的解析式； （2）解：如图，当时，， ， 当时，， ， ， ； （3）解：当时，， 当时， ， ， ， ， ， 由题意知不可能为， 综上，或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了两直线的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，直角三角形的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． 12．（2022九年级下·浙江·专题练习）在平面直角坐标系上，点A为直线OA第一象限上一点，AB垂直x轴于B，OB＝4，AB＝2， (1)求直线OA的解析式； (2)直线y＝2x上有一点C（x轴上方），若AOC为直角三角形，求点C坐标． 【答案】(1)y＝x (2)(，5)或(，) 【分析】（1）由题意得A（4，2），利用待定系数法即可求解； （2）设点C坐标为（x，2x），求出OA2、OC2、AC2，分三种情况根据勾股定理可得点C坐标． 【详解】（1）解：∵AB垂直x轴于B，OB=4，AB=2， ∴A（4，2）， 设直线OA的解析式为y=kx， 则2=4k，解得k=， ∴直线OA的解析式为y=x； （2）解：设点C坐标为（x，2x）， ∵A（4，2）， ∴OA2=42+22=20，OC2=x2+（2x）2=5x2，AC2=（4-x）2+（2x-2）2=5x2-16x+20， 当OA2+OC2=AC2时， 20+5x2=5x2-16x+20， 解得x=0（舍去）， 当OA2+AC2=OC2时， 20+5x2-16x+20=5x2， 解得x=， ∴点C坐标为（，5）， 当OC2+AC2=OA2时， 5x2+5x2-16x+20=20， 解得x=或x=0（舍去）， ∴点C坐标为（，）， 综上，点C坐标为（，5）或（，）． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理等，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【经典例题五 一次函数中的新定义问题】 【例5】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在平面直角坐标系中，对于两点给出如下定义：若点的横纵坐标的绝对值之和等于点的横纵坐标的绝对值之和，则称两点为“等和点”，如图1中的两点即为“等和点”． 已知点的坐标为， (1)在点，，中，与点为“等和点”的是______（只填字母）； (2)若点在函数的图象上，且两点为“等和点”，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了坐标与图形，理解“等和点”的定义是解此题的关键． （1）由“等和点”的定义一一验证即可； （2）设，由“等和点”的定义列出方程求出或，即可得出答案． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， 在点，，中，，，， 与点为“等和点”的是， 故答案为：； （2）解：点在函数的图象上，且两点为“等和点”， 设， ， 解得：或， 或． 13．（23-24八年级上·浙江金华·期末）定义：我们把形如（）的函数称为一次函数的“相反函数”．比如：函数是一次函数的“相反函数”． (1)如图1，一次函数的图象交轴、轴于点、，请在图中画出该一次函数的“相反函数”的图象； (2)写出一次函数与“相反函数”（）之间的性质（至少两条）； (3)在（1）中，如果函数、的图象交点为，、与轴分别交于点、．求的角平分线与对边的交点坐标． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【分析】（1）依据题意，设一次函数的解析式为，从而，即可求得一次函数的解析式为，故可得该一次函数的“相反函数”为的解析式，从而可以作图； （2）依据题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质，进而判断得解； （3）依据题意，根据图形先可得平分的角平分线与对边的交点坐标为，再求出当平分时，的坐标，最后由对称性可得另外一点，进而得解． 【详解】（1）解：由题意，设一次函数的解析式为， ， ． 一次函数的解析式为． 该一次函数的“相反函数”为． 作图如下． ； （2）解：由题意，结合（1）图象，可以发现一次函数与“相反函数”之间的性质： ①两个函数的图象关于轴对称； ②两个函数的图象都过点．（答案不唯一） （3）解：由题意，作图如下． 由题意，是等腰三角形． 平分． 此时角平分线与对边的交点坐标为． 当平分时，作于， 又， ． ． ． ． 设， ． 又在中，， ． ． ． 直线为：． 又为， ． 过的角平分线与对边交点坐标为． 又根据对称性， 过的角平分线与对边交点坐标为． 综上，的角平分线与对边的交点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，“相反函数”的定义．解题时要熟练掌握并能读懂题意是关键． 14．（23-24八年级下·浙江台州·期末）定义：在平面直角坐标系中，对于一次函数，我们把的函数称为一次函数的反射函数． (1)写出一次函数的反射函数y'的关系式，并在坐标系中画出y'的图象． (2)若，都在（1）中y'图象上，，若，求a的取值范围． (3)已知点C（p，q）是（1）中y图象上的动点，点是同一坐标平面上的一个动点，当时，求p的取值范围． 【答案】(1)，画图见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到函数作图，解不等式、新定义等，数形集合是解题的关键. （1）由题意即可求出函数表达式，取点、描点、连线绘制图象即可； （2）同理可得：即可求解； （3）联立上式和得: 解得：联立和 同理可得： 当 时, 即 即可求解. 【详解】（1）由题意得: 当,, 当,, 当, 将上述点描点、连线绘制图象如下： （2）则, , 就点、在和上, 则, 同理可得:, ∵, 即, 解得: , 即； （3）由点的坐标知，点在直线 (下图,虚线)上, 联立上式和得: 解得： 联立和 同理可得： 当时, 即 即 15．（22-23八年级下·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，对于点和点Q给出如下定义：若点Q的坐标为，则称点Q为点P的“n倍点”． (1)①若点，点Q为点P的“倍点”，则点Q的坐标为___________； ②当P是直线与x轴的交点时，点P的“n倍点”的坐标为___________． (2)已知点，，，． ①若对于直线上任意一点Q，在直线上都有点P，使得点Q为点P的“n倍点”，求n的值； ②点P是直线上任意一点，若在四边形的边上存在点P的“n倍点”，且，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)①  ② 【分析】（1）①直接根据题中定义求解即可；②先求得与x轴的交点坐标，再根据定义求解即可； （2）①先利用待定系数法求得直线的表达式为．则，又，利用题中定义可求得n值； ②先得出轴，，再求得直线的表达式为，设，则点P的“n倍点”，分点Q在边上时、 点Q在边上时、点Q在边上时、点Q在边上时，求得，进而可求解． 【详解】（1）解：①根据定义，点Q的坐标为， 故答案为：； ②由得，∴， ∴点P的“n倍点”的坐标为， 故答案为：； （2）解：①设过点，的直线为，         解得 ∴直线的表达式为． ． 点P在直线上，． ． ②∵点，，，． ∴轴，， 设直线的表达式为， 将代入，得， ∴直线的表达式为． 设，则点P的“n倍点”， 若点Q在边上时，则，即， ∴，则； 若点Q在边上时，则，即， ∴，则； 若点Q在边上时，则，即， ∴，则； 若点Q在边上时，则，即， ∴，则 综上， ，又， ∴． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、坐标与图形、解不等式、算术平方根等知识，理解题中定义并正确求解是解答的关键． 【经典例题六 一次函数中的翻折模型】 【例6】（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处． (1)求点E的坐标； (2)设，写出y关于x的函数表达式，并指出是不是y关于x的一次函数． 【答案】(1) (2)，是关于x的一次函数 【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理． （1）根据折叠的性质得到，在中利用勾股定理求得，据此即可求得点E的坐标； （2）由折叠得到，有，在中利用勾股定理列式，整理即可解． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，，， 由勾股定理，得， 则， ∴； （2）解：在中，由勾股定理，得， 又∵，，， ∴， 整理得， 是关于x的一次函数． 16．（23-24八年级上·浙江金华·期末）已知直线l的函数表达式为（b为常数），点，点，将线段绕点A顺时针旋转得线段，连结，将沿直线l翻折，得，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． (1)求点C的坐标． (2)当点F在y轴上时，求b的值． (3)当与y轴有交点时，求b的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）本题考查旋转的性质与全等三角形的判定与性质，过B作，过C作，根据旋转得到，证明即可得到答案； （2）本题考查轴对称的性质，设点根据轴对称的性质对称轴垂直平分对应点的连线，得到中点在直线上，用表示出，结合折叠相等列式求解即可得到答案； （3）本题考查轴对称的性质，不等式组的应用，及一次函数的应用，分别表示出，的坐标，结合有交点列不等式组求解即可得到答案； 【详解】（1）解：过B作，过C作， ∵绕点A顺时针旋转得线段， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵点F在y轴上， ∴设点， ∵沿直线l翻折，得， ∴点在上，且， ∴， 解得：， 当时，， ∴， ∴ 解得：； （3）解：∵与y轴有交点， ， ∴当点在y轴上时，设点， ∵沿直线l翻折，得， ∴点在上，且， ∴， 解得：， ∴， 解得：， 当点D在y轴上时，设点， ∵沿直线l翻折，得， ∴点在上，且， ∴， 解得：， ∴， 解得：， ∴． 17．（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B． (1)求直线的解析式； (2)若直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E，求面积； (3)如图2，在（2）的条件下，点F为线段上一动点，将沿直线翻折得到，交x轴于点M．当为直角三角形时，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点N的坐标为或 【分析】（1）把代入可得答案； （2）先求解点B的坐标为，、，联立与可得，则，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）如图2，当时，过点E作轴于H，证明，可得，由翻折得，从而可得答案，如图3，当时，由翻折得，求解，，，从而可得答案． 【详解】（1）解：把代入得， ∴， ∴直线：； （2）∵直线：， ∴点B的坐标为， ∵直线 ：与x轴、y轴、直线分别交于点C、D、E， 当时，，当时，，解得， ∴、， 联立与得，解得， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）如图2，当时，过点E作轴于H， 由翻折得， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 由翻折得， ∴点N的坐标为； 如图3，当时， 由翻折得， ∵，， ∴，， ∴， ∴点N的坐标为； 综上，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，坐标与图形面积，一次函数的交点坐标问题，勾股定理的应用，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 18．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数交x轴于点A，交y轴于点B，点C是点A关于y轴对称的点．过点C作y轴平行的射线，交直线与点D，点P是射线上的一个动点．    (1)求点A，B的坐标． (2)如图2，将沿着翻折，当点C的对应点落在直线上时，求点P的坐标． (3)若直线与直线有交点，不妨设交点为Q（不与点D重合），连接，是否存在点P，使得，若存在，请求出对应的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）利用坐标轴上点的特点建立方程即可得出结论； （2）先求出，进而求出，由折叠知，，再用勾股定理即可得出结论； （3）利用三角形面积关系求出点P坐标，再联立直线解析式求出交点坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：令，则， ， 令，则， ， ； （2）解：∵点C是点A关于y轴对称的点， ， 轴， 时，， ， ， 由折叠知，， ， 设， ， 在中，， ， ； （3）解：设， ， ， ， ， 或， 或， ∵直线的解析式为①， 当时，直线的解析式为②， 联立①②解得， ， 当时，直线解析式为③， 联立①③解得，， ， 即：满足条件的Q点的坐标为或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称性，勾股定理，待定系数法，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 【经典例题七 一次函数中的旋转模型】 【例7】（2023八年级下·全国·专题练习）如图1，已知直线交x轴于点A，交轴y于点B，直线交x轴于点C，交y轴于点D，交直线l1于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求证：； (3)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，求证：点F在某条直线上运动，并求的最小值． 【答案】(1)点 (2)见解析 (3)见解析，的最小值为：． 【分析】（1）令，即可求解； （2）由点，得到点，求出,得到，即可求解； （3）证明，得到点F的坐标为：，即可求解． 【详解】（1）令， 解得：， 则点 （2）证明：对于，令，则，则点， ∵点B为线段的中点，则点， 将点E的坐标代入得：， 解得：， 则直线 则点 由点A、C的坐标知，其中点坐标为该点和点E的横坐标相同， 即点E在的中垂线上， ∴； （3）证明：过点F作轴于点T，如图， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则点F的坐标为：， 则点F在直线上， 则 ∴的最小值为： 【点睛】本题为一次函数综合应用题，涉及到三角形全等、等腰三角形的性质、一次函数的性质，掌握数形结合以及一次函数的性质是关键 . 1．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与探究 如图1，已知直线交轴于点，交轴于点，直线交x轴于点，交y轴于点D，交直线于点E． (1)求点A的坐标； (2)若点B为线段的中点，求； (3)在（2）的条件下，若点在直线上，是平面内一点，是否存在以A，E，M，N为顶点的正方形？若存在，求出所有满足条件的N点坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，已知，将线段绕点P逆时针方向旋转至，连接，，则的最小值是__________． 【答案】(1) (2)100 (3)存在、． (4) 【分析】（1）令解方程得出，即可得解， （2）如图，作轴于H，轴于K，先用含n的代数式表示出点E的坐标，将E的坐标代入得出n值，进而即可得解； （3）先证为等腰直角三角形，分以A，E，M，N为顶点的正方形，共有两种情况讨论即可得解； （4）先确定F点的运动轨迹，然后作A点关于直线的对称点，连，得出最小值即为的长，求出的长即可得解； 【详解】（1）令得， 解得， ∴； （2）如图，作轴于H，轴于K， 设， 令得， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴,， 将,代入得： ， ∴， ∴直线， 令得， 解得， ∴， ∴，， ∴； （3）存在，理由如下： 由（2）知，， ∴， ∴， ∴，， ∴，, 又∵， ∴和都为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴以A，E，M，N为顶点的正方形，共有下列两种情况，①如图所示，过作轴交x轴于点F， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②如图所示， ∵四边形为正方形， ∴点E和点N关于x轴对轴，， ∴； （4）如图所示，过点F作轴交x轴于点G， ∵线段绕点P逆时针方向旋转至， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴F点在直线上运动， ∴令得，，令得， ∴，， 作A点关于直线的对称点，连， ∵，，， ∴，， ∴， ∴线段过点R， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，即 ∴， ∵， ∴最小值即为的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正方形的性质，最短距离问题,勾股定理等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图象与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2．当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出　 　，　　； ②求点的坐标； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否为定值，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系内，当时，设直线l与y轴交于点P，与x轴交于点Q，将直线绕P点沿逆时针方向旋转后，所得的直线交x轴于点R．求点R的坐标． 【答案】（1）①2，3；②；（2）的面积是定值，，理由见解析； （3）． 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解； ②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解； （2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）先求出，由得，进而得出，，再判断出，即可判断出，，进而求出直线的解析式，即可得出结论． 【详解】解：（1）①若， 则直线为直线， 当时，， ， 当时，， ， ，， 故答案为：2，3； ②作于， ， ， 是以为直角顶点的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）当变化时，的面积是定值，， 理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动时， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， ，， ． ， ， 变化时，的面积是定值，； （3）如图4，过点作，交于，过点作轴于， 当时，设直线l函数关系式为， 对于直线，由得 ， 由得， ，， 由（1）得， ， ， 设直线为，则， 解得 直线为 由得， ． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·吉林长春·期中）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，将其绕着点O旋转，若点A恰好落在点处．则： ①OA的长为______； ②点B的坐标为______； 感悟应用：如图2，在平面直角坐标系中，将等腰如图放置，直角顶点，点，试求直线AB的函数表达式； 拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，点，过点B作轴，垂足为点A，过点B作轴，垂足为点C，点P是线段BC上的一个动点，点Q是直线上一动点．当是以点P为直角顶点的等腰三角形时，请直接写出点P的坐标． 【答案】①的长为； ② 点B的坐标为 感悟应用及拓展研究答案见解析 【分析】①根据勾股定理求解；②作垂线，构造全等三角形，运用全等的性质，根据线段长确定点的坐标；感悟应用：过点B作，交x轴于点D，判定，进而求得点B的坐标，已知点A，B两点坐标，运用待定系数法求解直线的函数表达式；拓展研究：分两种情况，点Q在下方和上方，求证，设点，由全等三角形得出,，进而结合点坐标，由构建方程求解． 【详解】解：①； ② 如图，分别过点A，点B作，，垂足分别为点D，点E， 则  ， ∵ ,， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴点B的坐标为； 感悟应用: 如图，过点B作，交x轴于点D，则， ∴， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴  ， ∴点B的坐标为， 设直线的函数表达式为，把代入，得： ， 解得，， ∴直线的函数表达式为． 拓展研究： 设点,分两种情况（1）点Q在下方；（2）点Q在上方； （1）点Q在下方，如图，       过点Q作，交延长线于点D,则, ∵， ∴， ∴， ∴,， ∵，   ， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为． （2）点Q在上方，如图， 过点Q作，交延长线于点D,则, ∵ ,， ∴， ∴， ∴,， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质、待定系数法求解函数解析式及利用点坐标求解线段长；能够运用数形结合思想，根据点的坐标表示直角坐标系中线段的长，构建方程是解题的关键． 【经典例题八 一次函数中的平移模型】 【例8】（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）在平面直角坐标系中，点是直线上一点，点向上平移5个单位长度得到点． (1)求点的坐标； (2)若一次函数与线段有公共点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、一次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合是解题的关键． （1）将点代入，求出，得到点的坐标，再根据平移的法则即可得出、的坐标； （2）分别求出直线过点、时的值，再结合函数图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点是直线上一点， ∴． ∴点的坐标为， ∴点向上平移5个单位长度得到点的坐标为； （2）解：当直线过点时，得， 解得． 当直线过点时，得， 解得． 如图，若一次函数与线段有公共点，则的取值范围是且． 1．（23-24七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系xOy中，正方形的顶点，，点B在点A的右侧，点C，点D在的下方． (1)直接写出的长度（用含m的式子表示）； (2)若三角形的面积为3． ①求m的值； ②在平面直角坐标系中，二元一次方程的图象都是一条直线，直线上每个点的坐标（x，y）都是这个方程的一个解．记二元一次方程（）的图象为直线l，直线l与正方形的边，分别交于点E，点F，如图所示，且三角形的面积为．现将正方形进行平移，使得直线l与正方形的边分别交于点P，点Q，在平移过程中，是否存在三角形的面积也为的情形？若存在，请探究如何平移；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，上下平移距离与左右平移距离之差为定值2 【分析】（1）根据两坐标横坐标作差即可； （2）①根据三角形的面积为3，列式计算即可；②分别表示出的长，代入到面积公式中求出的坐标，表示出，求出，再利用面积公式求出最终结果即可； 本题主要考查一次函数与几何的实际应用，坐标与图形的知识，采用数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：． （2）①因为 所以，       所以． ②因为正方形中，轴，轴，且E在上，F在上， 所以． 因为E、F在二元一次方程的图象上， 所以将代入方程， 得：， 将代入方程， 得： ， 所以，即， 所以，即 所以， 因为 所以， 因为， 所以 ，       所以 所以 设点C平移后的坐标， 所以， 因为P，Q两点都在二元一次方程的图象上， 所以，， 所以． 因为， 所以 所以     上下平移距离与左右平移距离之差为定值2． 2．（23-24八年级下·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系中，将直线向下平移2个单位长度得到直线l，且直线l与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求直线l的解析式及点A，B的坐标． (2)M是x轴上的一个动点，要使以A，B，M为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形，请求出符合条件的所有点M的坐标． 【答案】(1)，， (2)或或 【分析】（1）根据平移的规律得出直线l的解析式，由函数解析式令求A点坐标，求B点坐标； （2）分，两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移2个单位长度得到直线l， ∴直线l的解析式为， 当时，，解得， 当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， 当时，， 解得或， ∴M的坐标为或； 当时， ∵， ∴， ∴M的坐标为； 综上，M的坐标为或或． 3．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在矩形中；点为坐标原点，点，点、在坐标轴上，点在边上，直线交轴于点.对于坐标平面内的直线，先将该直线向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，这种直线运动称为直线的斜平移.现将直线经过2次斜平移，得到直线. (1)求直线与两坐标轴围成的面积； (2)求直线与的交点坐标； (3)在第一象限内，在直线上是否存在一点，使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)直线L1与两坐标轴围成的面积 (2)直线与的交点坐标 (3)存在，点的坐标：或 【分析】（1）确定直线的解析式，分别求出直线与坐标轴的交点坐标即可求解； （2）左右平移改变自变量的值：左加右减；上下平移改变因变量的值：上加下减．据此即可求解； （3）分类讨论、、，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 将代入得：， ∴ ∴ 令，则， ∴直线与两坐标轴围成的面积为： （2）解：由题意得：直线的解析式为：， 令，则， ∴直线与的交点坐标为 （3）解：由（2）得：直线的解析式为：， 令，则， 令，则， 时，如图所示： 此时点，点与点重合，故； ，如图所示：     此时点，不在第一象限内，舍去； ，如图所示：     作轴，， 则， ∴ ∵ ∴ ∴ 设点 ∴ 解得： ∴ 综上所述：或 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合问题，涉及了一次函数与坐标轴的交点问题、一次函数的平移、特殊三角形的存在性问题．掌握分类讨论的数学思想是解决第三问的关键． 1．（23-24八年级下·福建三明·期中）一次函数的图象与坐标轴交于点A，B，平分交轴于点，，垂足为D． (1)求的面积； (2)求点C、D的坐标； (3)若点E是线段上的一点，点F是线段上的一点，求的最小值． 【答案】(1)24 (2)， (3) 【分析】（1）将，，分别代入求解，得到，即可求解； （2）通过角平分线的性质证明，通过勾股定理求出，及的长度，即可得到点坐标，再由，即可求出点纵坐标； （3）由平分，可得，关于对称，即，由此可得到轴距离即为所求． 【详解】（1）解：将代入得， ，即， 将代入得， ，即， ； （2）解：如图，    设长为，则， 平分，， ， 在和中， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 在中，，即， 解得， ， ； ， ，， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， ． （3）解：如图，连接，   平分，， 点，关于对称， ， ， 即到轴距离为最小值， 的最小值为． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，对称的性质，解题关键是熟练掌握一次函数的性质，掌握角平分的性质及求线段和最值的方法． 2．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）如图，一次函数的图象与轴交于点，与正比例函数的图象相交于点，且． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，且是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)10 (3)或或或 【分析】此题考查一次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、坐标与图形、等腰三角形的定义、勾股定理，解题关键在于作辅助线． （1）根据点A坐标，可以求出正比例函数解析式，再求出点B坐标即可求出一次函数解析式． （2）如图1中，过A作轴于D，求出即可解决问题． （3）分、、三种情形，根据等腰三角形的定义讨论即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴正比例函数解析式为； 如图1中，过作轴于， 在中，， ∴， ∴， ∴， 将A、B坐标代入中，得，解得 ∴一次函数解析式为； （2）解：如图1中，过作轴于， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图2中，当时，，；    当时，； 当时，如图2，过A作轴于C， 则，，则 由勾股定理得， 解得， ∴， 综上，满足条件的点P的坐标或或或． 3．（23-24八年级上·辽宁·期中）如图，一次函数的图象与正比例函数的图象相交于点A，已知点A的纵坐标为1． (1)求k的值； (2)若点B的坐标为，点C在直线上，连接交线段于点D，且与的面积相等，求直线的解析式； (3)平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形，直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)直线的解析式 (3)或 【分析】（1）点一次函数的图象与正比例函数的图象交点，由点的纵坐标为1，代入，得出点的坐标，在代入求出的值． （2）由，则，所以，然后求出点的坐标，在代入，求出值，从而得出解析式． （3）由等腰直角三角形的性质，结合两点间的距离，得出，得出值，从而得出点 的坐标． 本题考查了一次函数解析式的确定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决本题的关键． 【详解】（1）解：将代入，得． 把代入， ， ∴． （2）解：如图 ∵， ∴当时，则， 记与轴交于点， ∵与的面积相等 即 ∵ ∴， 即， ∴． 把代入 得 ∴ 把代入直线中， 得． 解得：， 直线的解析式． （3）解：依题意，平行于y轴的直线分别与正比例函数和一次函数的图象相交于点E、F，P是y轴上一动点，使得是以为斜边的等腰直角三角形， ∴与交于，与交于， ，过点作，如图所示： 则，． 是以为边的等腰直角三角形，， ∴点P的纵坐标与的中点的纵坐标是相等的， ， ． ∵， ， ， 解得或． 或． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，动点M在线段和射线上运动，试解决下列问题： (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)是否存在点M，使的面积是的面积的，若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在，或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． （1）设直线的解析式是，把A、C的坐标代入求出k、b即可； （2）直接利用三角形面积公式求解即可； （3）利用待定系数法求出的解析式，然后利用题中面积的关系求出M的横坐标，再分别代入直线、的解析式即可求解． 【详解】（1）解∶设直线的解析式是． 根据题意，得解得 则直线的解析式是； （2）解：； （3）解：设的解析式是，则，解得 则直线的解析式是 ∵的面积是的面积的 ∴M到y轴的距离是， ∴点M的横坐标为1或． 当M在线段上时， 在中，当时，，则M的坐标是； 当M在射线上时， 在中，当时，，则M的坐标是； 在中，当时，，则M的坐标是． 综上所述，M的坐标是或或． 5、（23-24八年级下·全国·单元测试）如图1，平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过点A，并与y轴交于点C． (1)求A，B两点的坐标及b的值； (2)如图2，动点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动．过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E．设点P运动的时间为t．点D的坐标为___．点E的坐标为___；（均用含t的式子表示） (3)在（2）的条件下，当点P在线段上时，探究是否存在某一时刻，使？若存在，求出此时的面积；若不存在说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为．点B的坐标为， (2)， (3)存在时，使，此时 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用．正确的求出一次函数与坐标轴的交点，以及利用待定系数法求出函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）令，代入，求出的坐标，再把点A坐标代入，求出即可； （2）设点，根据过点P作x轴的垂线，分别交直线，于点D，E，可知D，E的横坐标为，分别代入解析式，即可得到D，E的坐标 （3）利用，求出t，进而求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：， ∴点A的坐标为． 将代入，并解得：， ∴点B的坐标为． 将代入，得， 解得， ∴点A的坐标为．点B的坐标为，； （2）由（1）知，直线的表达式为， ∵点， ∴D，E的横坐标为， ∴当时，，即； 同理可得：， 故答案为：，； （3）存在，理由： ∵，， ∵点P在线段上 ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 解得：． ∴， ∴． 综上，存在时，使，此时． 6．（23-24八年级下·全国·期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B，直线与x轴负半轴交于点C，且．直线与直线交于点D，点P在x轴上． (1)求直线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，连接，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）先根据已知求出点和点的坐标，再用待定系数法求直线的关系式． （2）根据线段垂直平分线的性质作辅助线，确定点的位置，用面积法列方程，求得点的坐标． （3）作直线，根据相似三角形的性质求出相应线段长，进而求解． 本题考查了用待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，线段垂直平分线的性质，利用辅助线构造相似的直角三角形是解题的关键，本题综合性较强． 【详解】（1）解：将代入， 解得， ， 将代入得 ， 解得， ， ， ， 设，将，代入得， ， 解得， 直线的解析式为：． （2）解：如图1，作的垂直平分线，垂足为点，交轴于点，连接、，作于点， 则， 直线与直线交于点， ， 解得， ， 点为的中点， ， 设点的坐标为，则， ， ， 即， ， 在中，，，， ， 即， 解得， ∴， 当时，点的坐标为． （3）解：如图2，作交于点， ，， ， ，， 点坐标为， 设解析式为， 把，分别代入， 得， ∴， 解析式为， 当时，， ， 利用对称性可另一个坐标为． 7．（2023九年级下·山东青岛·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x轴、y轴分别交于点B 和点C，与直线相交于点． (1)求 的面积． (2)在线段 或射线上是否存在点 N，使 的面积是 面积的 ？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)12 (2)点 N的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数的性质和坐标轴的交点， (1)根据一次函数求得点B和点 C 的坐标，利用面积公式即可求得答案； (2)设点 N的坐标为，求得直线 的表达式为 根据已知即可求得结合点N的位置分别求得其坐标即可． 【详解】（1）解：对于 令，则，令，则 ， ∴点B的坐标为，点 C 的坐标为， （2）解：设点 N的坐标为，直线 的表达式为． ∵直线 经过点， ∴，解得 ∴直线的表达式为 当 时， 当点 N 在线段 上时， ， ， 此时点 N 的坐标为 当点 N 在射线 上时， 若 则，此时点 N 的坐标为 若 则，此时点 N 的坐标为 综上，点 N的坐标为或或 8．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，是线段上一点（不与点，重合），以为边作如图所示的，且，，连接． (1)请判断线段与的关系，并说明理由； (2)当时，求点的坐标． 【答案】(1)，，理由见解析； (2)点的坐标为． 【分析】（）先根据直线求出点的坐标和的坐标，进而得出，，利用勾股定理求出即可，证明，根据全等三角形的性质得到，，得到得到答案； （）过点作于，过点作于，设，在 中，根据勾股定理求出，可得，证明 ，根据全等三角形的性质求解即可； 本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 猜想：，， 证明：∵，， ∴， ∵点，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴； （2）解：过点作于，过点作于，如图所示： 设， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 在中，， ∴，解得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴点的坐标为． 9．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点A． (1)求直线的解析式； (2)如图1，点在x轴正半轴，点D是第一象限内一点，连接，，，P是射线上一点，P点的纵坐标为t，过点P作轴交直线于点N，线段的长度为d，求d与t之间的函数关系式； (3)在（2）的条件下，点P在线段的延长线上，，连接交于点Q，求t的值及Q点坐标． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）运用点坐标代入求解，即运用待定系数法求解析式即可； （2）先待定系数法求直线的解析式，再表示出点的坐标，则，即可作答． （3）先证明，再证明，可得点坐标，再联立直线与的解析式即可求出交点坐标． 本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，勾股定理，三角形内角和，等腰三角形的性质与判定，两直线交点坐标，本题综合性较强，难度较大． 【详解】（1）解：∵直线交x轴于点 ∴把代入，得 ∴ ∴直线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 代入，， 得， 解得， 直线的解析式为， ∵是射线上一点，点的纵坐标为， 点坐标为， 轴交直线于点， ， ∴ ∴d与t之间的函数关系式： （3）解：点在线段的延长线上，如图所示： 设， ， ， ，，， ，，， 根据勾股定理，得， ， ， ， ， ， ， ， ， 点坐标为， ， 设直线的解析式为， 代入点，点， 得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 点坐标为． 10．（23-24八年级下·江西宜春·期末）如图，已知一条直线上三个点，其坐标分别是，，，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求的值； (2)若在轴上有一点P，使，求的面积． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与几何综合，运用待定系数法解一次函数解析式，正确求出一次函数解析式是解题的关键． （1）先设，把，代入，解出，再把代入，进行计算，即可作答． （2）先得出，，然后分类讨论即，再结合三角形的面积进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：， 把，代入， 得， 解得， ∴直线解析式为：； ∵坐标为的点在直线上， 把代入， 得， ∴； （2）解：∵， ∴当，即， ∴当，即 ∴， ∴， ∵在轴上有一点P， ∴， 则或者， ， 或， ∴或． 11．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，B为x轴正半轴上一点，且． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)将直线平移，平移后的直线经过点B，交y轴于点Q，求点Q的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数图象的平移问题： （1）先求出A、C坐标得到，再根据三角形面积公式求出即可得到答案； （2）根据一次函数图象平移的性质和待定系数法求出直线解析式即可求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：设直线解析式为， ∵将直线平移，平移后的直线经过点B，交y轴于点Q， ∴， 把代入中得， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 12．（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，C，经过点C的直线与x轴交于点．    (1)求直线的解析式； (2)点G是线段上一点，若，请求点G的坐标； (3)已知D点是x轴上一点，且是等腰三角形时，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】对于（1），先求出点C的坐标，再设直线的关系式，根据待定系数法求出答案； 对于（2），根据点A，B，C的坐标求出，进而求出，再设点G的坐标，根据可得答案； 对于（3），分三种情况讨论，即当时，根据等腰三角形的性质可得答案；当时，根据勾股定理求出，可得答案；当时，设，再根据勾股定理求出答案． 【详解】（1）由得，，， ∵，设直线的解析式为， ， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∴， ∴； （3）若是等腰三角形可分三种情况： ①若，    ∵， ∴， ∴点． ②若，    ∵，， ∴， ∴， ∴点D为或． ③若，    设，则， 在中，根据勾股定理可得：， 解得：，∴点D为， 综上所述：点D的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，求直线与坐标轴交点坐标，等腰三角形的性质，勾股定理等，注意分情况讨论，不能丢解． 13．（23-24八年级下·福建厦门·期中）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，且，点C的坐标为，点P在线段上． (1)求直线l的函数表达式； (2)连接和，当点P的横坐标为4时，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与几何综合： （1）根据可得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据直线的解析式求出点的纵坐标，从而可得的边上的高，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：， ， 将点代入得：， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：是直线上一点，点的横坐标为4， ∴点的纵坐标为， ， ， ∴的面积为． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图，直线：交y轴交于点，交x轴于点B；直线：过点，且交x轴于点C，x轴有一动点，过P点作x轴垂线交直线于点N，交直线于点M． (1)求直线：解析式及B、C点坐标； (2)是否存在P点，使得？若存在，求出P点坐标．若不存在，请说明理由． (3)当时，直接写出P点坐标是______； (4)已知平面内有一点，当为直角三角形，直接写出Q点坐标是______． 【答案】(1)直线：，，； (2)P点坐标为或； (3)或 (4)或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式，继而求得直线与x轴的交点坐标； （2）由题意得，，则，，由，列式计算即可求解； （3）由（2）得，，根据，得到，据此列式计算即可求解； （4）先求得，，，分三种情况讨论，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：过点和， ∴， 解得， ∴直线：， 令，则， 解得， ∴， 同理； （2）解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， 当时，， 解得； 当时，， 解得； ∴P点坐标为或； （3）解：由（2）得，， ∵， ∴， ∴， 同理，解得或； ∴P点坐标为或； 故答案为：或； （4）解：∵，，， ∴，，， 分情况讨论， 当时，则， ∴， 解得或， ∴Q点坐标是或； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 当时，则， 解得， ∴Q点坐标是； 综上，Q点坐标是或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，求两个函数的交点坐标，三角形的面积公式，线段的长度的表达式，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 15．（24-25八年级上·全国·期末）如图，直线分别交x轴，y轴于点A，E，点在直线上，点E关于x轴的对称点为，连接． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点为第一象限内一动点，点P在x轴上，连接，若的面积与的面积相等，求的最小值． 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，待定系数法求函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据一次函数解析式得到A、E的坐标，再利用轴对称得到E'坐标，最后利用待定系数法即可得到函数解析式； （2）过点作轴，根据平面直角坐标系内点的坐标特征得到的值，进而得到的面积； （3）根据三角形面积相等得到a的值，再利用最短路径及平面直角坐标系内两点之间的距离得到的值，进而得到的最小值． 【详解】（1）解：∵直线分别交x轴，y轴于点A，E， ∴， ∵点E关于x轴的对称点为， ∴点， 设直线的解析式为： ∴， ∴， ∴直线的解析式为：； （2）解：过点作轴，交直线于点C，过点B作，过点A作，如图， ∵， ∴点C的纵坐标为：6， ∵点C在直线上， ∴点， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴ ∴点， ∴， ∴，， ∴， （3）解：过点B作关于x轴的对称点，连接，过点Q作直线轴交直线于点M， ∵， ∴， ∵，直线的解析式为：， ∴ ∴点， ∴， ∵的面积与的面积相等，， ∴， ∴， ∴解得（舍去），， ∴， ∴． ∴的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$