湖北省荆州市公安县第三中学2024-2025学年高一上学期数学周考（3）

公安三中2024级高一上学期数学周考（3） 命题：刘军 审题：张光雄 考试时间：2024年11月17日上午7:30~9:30 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 2．下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．已知函数的定义域是，函数，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．在一个展现人脑智力的综艺节目中，一位参加节目的少年能将圆周率π准确地记忆到小数点后面200位，更神奇的是，当主持人说出小数点后面的位数时，这位少年都能准确地说出该数位上的数字．已知圆周率，如果记圆周率π小数点后第n位数字为，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．，是一个函数 C． D． 5．已知函数，则下列关于函数的结论错误的是（   ） A． B．若，则的值是 C．的解集为 D．的值域为 6．“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 7．如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 8．已知，且，当取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。） 9．下列命题恒成立的是（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若，则 D．若，，且，则 10．下列说法正确的是（    ） A．若的定义域为，则的定义域为 B．关于x的不等式恒成立，则实数k的取值范围是 C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，．设函数，则下列说法正确的是（    ） A．在R上是增函数 B．的最小值为0，无最大值 C． D．当时， 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知在不等式的解集中，则实数的取值范围是 ． 13．函数的单调递增区间是 ． 14．表示与中的较大者，设，则函数的最小值是 . 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．（13分）已知函数，. (1)若，且，求的最小值； (2)若，求关于的不等式的解集. 16．（15分）已知函数 (1)用定义法证明函数在区间上是增函数； (2)函数的定义域为，若，求实数的取值范围. 17．（15分）进口博览会是一个展示各国商品和服务的盛会,也是一个促进全球贸易和交流的重要平台.某汽车生产企业想利用2023年上海进口博览会这个平台,计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析,全年需投入固定成本3000万元,每生产(百辆),需投入流动成本(万元),且其中.由市场调研知道,每辆车售价25万元,且全年内生产的车辆当年能全部销售完. (1)写出年利润(万元)关于年产量(百辆)的函数关系式； (2)年产量为多少百辆时,企业所获利润最大？并求出最大利润. (总利润总销售收入-固定成本-流动成本) 18．（17分）已知定义在R上的函数满足：． (1)求函数的解析式； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 19．（17分）定义在上的函数满足：对任意的，都有成立，且当时，． (1)求证：在上是单调递增函数 (2)解关于的不等式： (3)已知，若对所有的及恒成立，求实数的取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A A C C A D ABD AD 题号 11 答案 BD 1．A 【分析】由图像可知阴影部分对应的集合为，然后根据集合的基本运算求解即可． 【详解】由已知得，由图像可知阴影部分对应的集合为，． 故选：A. 2．B 【分析】根据函数的三个要素，判断函数是否是相同函数. 【详解】A.的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故A错误； B.，两个函数的相同函数，故B正确； C.的定义域为，函数的定义域为，不是相同函数，故C错误； D. 的定义域为，的定义域为，不是相同函数，故D错误. 故选：B 3．A 【分析】根据定义域列出不等式组求解即可. 【详解】函数的定义域是，由，得，且， 函数的定义域是， 故选：A. 4．A 【分析】由题意，结合圆周率小数点后的数字，依次判断选项即可. 【详解】A：当时，，故A错误； B：由题意可知圆周率小数点后第n位上的数字y是唯一确定的， 即任取一个正整数n都有唯一确定的y与之对应，因此y是n的函数，故B正确； C：，所以，故C正确； D：由题意知，函数的定义域为，值域为，故D正确. 故选：A 5．C 【分析】根据题意，由分段函数的性质，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为，则，故A正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故B正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 所以的解集为，故C错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是， 因此的值域为，故D正确； 故选：C 6．C 【分析】先求出一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根的充要条件，再求解即可. 【详解】由一元二次方程的两个根为， 又方程有一个正实数根和一个负实数根， ，， 即“一元二次方程有一个正实数根和一个负实数根”的充要条件为， 则其充分不必要条件的范围应为的真子集， 结合选项可得选项C符合题意， 故选：C. 7．A 【分析】根据分段函数的单调性即可求解. 【详解】若函数对于任意的实数，都有成立， 则在上单调递增， 则有：，解得：， 故选：A． 8．D 【分析】利用基本不等式得到时，取最小值，此时消元得到，配方得到最大值； 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以 ， 当时，取得最大值，最大值为. 故选：D. 9．ABD 【分析】利用不等式的基本性质可判断AB；举例可判断C；结合基本不等式可判断D. 【详解】对于A，由，则，所以，故A正确； 对于B，因为，， 所以，则， 所以， 又，则，故B正确； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，由于，，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 故选：ABD. 10．AD 【分析】由抽象函数的定义域即可判断A，由一元二次不等式恒成立即可判断B，由换元法求函数值域即可判断C，由二次函数的单调性即可判断D 【详解】对于A，因为的定义域为，则，解得， 所以的定义域为，故A正确； 对于B，当时，不等式，符合要求； 当时，关于x的不等式恒成立， 则满足，解得， 综上，实数k的取值范围是，故B错误； 对于C，令，则，即， 所以， 因为，所以函数在上单调递减， 当时，，所以，则函数的值域为，故C错误； 对于D，由函数在区间上单调递减， 可得，解得，故D正确； 故选：AD 11．BD 【分析】，使得，即可运算判断；由结合函数单调性即可判断，根据高斯函数定义及周期函数计算可判断；根据高斯函数定义计算可判断. 【详解】，使得，此时， 从而，即，故错误； 对于，有，故错误， 由，可知是以1为周期的周期函数， 故只需讨论在上的值域即可， 当时，， 即函数的值域为，故正确； 当时，，故正确； 故选：. 12． 【分析】将代入不等式求解即可． 【详解】因为在不等式的解集中， 所以把代入不等式得：4（，解得， 故答案为：． 13． 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 14．0 【分析】画出的图象，数形结合得到的最小值. 【详解】令，解得或-1， 令，解得或-1， 画出的图象，如下： 显然的最小值为0. 故答案为：0 15．(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值； （2）由已知可得，可得出，由题意可得，利用二次不等式的解法解原不等式即可. 【详解】（1）解：因为，，， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. （2）解：，可得，则， ，则，解不等式可得或. 因此，不等式的解集为. 16．(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果； （2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解. 【详解】（1）任取，且， 则， 又，，则，所以， 得到，即，所以函数在区间上是增函数. （2）因为函数的定义域为，且在区间上是增函数， 由，得到，解得或， 所以实数的取值范围为或. 17．(1) (2)当年产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为3250万元 【分析】(1)根据总利润总销售收入-固定成本-流动成本,代入相关数据运算化简即可. (2)当时,利用一元二次函数知识,在对称轴处取得最值;当时,利用基本不等式知识,通过变形得再求最值即可.然后通过比较得到利润最大值. 【详解】（1）当时,. 当时,. 综上, （2）当时,， 当时,万元. 当时,,当且仅当时,等号成立. 所以当年产量为25百辆时,企业所获利润最大,最大利润为3250万元. 18．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用方程组法求函数解析式即可； （2）整理不等式为，再根据含参一元二次不等式的解法求解即可； （3）转化问题为在上恒成立，即，进而结合函数单调性求解即可. 【详解】（1）由， 得， 两式联立解得，. （2）由（1）知，， 则不等式，即为， 整理得，，即， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式解得； 当时，不等式解得. 综上所述，当时，不等式的解集， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （3）由（1）知，， 由不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，即， 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 所以时，，即，解得， 所以实数a的取值范围为． 19．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据函数单调性的定义及所给函数的性质证明即可； （2）利用函数的单调性及定义域解不等式即可； （3）转化为恒成立，即恒成立，构造函数，建立不等式组求解即可. 【详解】（1）任取，且， 设，则， 则， 即， 所以在上是单调递增函数. （2）由（1）知，， 解得， 所以不等式的解集为. （3）因为， 所以由对所有的成立， 可得对恒成立，即恒成立， 令， 则不等式恒成立只需满足， 解得或， 即实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：第一问证明抽象函数的单调性关键在于函数单调性的定义证明格式与抽象函数所给性质的结合，第三问恒成立问题关键在于转化，首先转化为恒成立，再利用构造关于的函数，由函数性质建立不等关系是关键所在. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$