微专题02 方程思想解决动点问题通关专练-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（北师大版2024）

微专题02 方程思想解决动点问题通关专练 一、单选题 1．一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（ ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，在数轴上表示有理数，一元一次方程的应用．分类讨论，根据对折得到是解题的关键． 设点表示的数为，由题意知，分当在线段的延长线上和线段上，两种情况分别求解即可． 【详解】解：设点表示的数为，分点在线段的延长线上，点在线段上两种情况求解； ①当在线段的延长线上时， ， 点表示的数为， ， ， 解得：； ②当在线段上时， ， 点表示的数为， ， ， 解得：； ∴点表示的数是或． 故选：D． 2．数轴上一动点向右移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点，若表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．5 C．0 D．1 【答案】D 【分析】设数轴上的动点表示的数是，根据数轴上的点向左移动时，点表示的数减去移动的长度，向右移动时，点表示的数加上移动的长度，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点表示数是，推出，解之即可． 【详解】解：设数轴上的动点A表示的数是， 由于右移动7个单位长度到点， ∴点表示的数是， 再向左移动5个单位长度到， ∴点表示的数是． ∵点表示数是， ∴，即， ∴点A表示的数是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数“左减右加”． 3．已知数轴上点A，B表示的数分别为和30，现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A出发，沿数轴正方向运动，当时，运动的时间为（    ） A．10秒 B．15秒 C．15秒或25秒 D．15秒或30秒 【答案】D 【分析】设运动的时间为x，则点P表示的数为，，根据题意列出时间t的绝对值方程，解方程即可求解． 【详解】解：当时，设运动的时间为x， 则点P表示的数为，， 由题意得， 即或， 解得或， 即：运动的时间为15秒或30秒时． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，根据数量关系列出关于时间t的绝对值方程是解题的关键． 4．在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（    ） ①当时，； ②当时，若a为奇数，且，则或5； ③若，，则； ④当，时，将点B水平右移3个单位至点，再将点水平右移3个单位至点，以此类推，…且满足，则数轴上与对应的点表示的数为． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据，可得，从而得到，可得①正确；当时，，根据，可得，再由a为奇数，可得②错误；根据，可得，再分两种情况，可得或2，故③错误；根据题意得：点B向右移动n次时，点对应的数为，从而得到，可得点对应的数为，从而得到④正确，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴当时，，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵a为奇数， ∴，故②错误； ∵， ∴， 当点M在原点右侧时，，即， ∵， ∴，即； 当点M在原点左侧时，，即， ∵， ∴，即； ∴或2，故③错误； 当，时，， 根据题意得：点B向右移动n次时，点对应的数为， ∴， ∵， ∴， ∴点对应的数为， ∴点表示的数为 ，故④正确； ∴正确的有①④，共2个． 故选：B 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 5．数轴上一个动点A，先向右移动5个单位长度达到点B，再向左移动8个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（    ） A． B． C．1 D．11 【答案】C 【分析】设数轴上的动点A表示的数是，根据数轴上的点向左移动时，点表示的数减去移动的长度，向右移动时，点表示的数加上移动的长度，得到点表示的数是，点表示的数是，根据点表示数是，推出，解之即可． 【详解】解：设数轴上的动点A表示的数是， 由于右移动5个单位长度到点， ∴点表示的数是， 再向左移动8个单位长度到， ∴点表示的数是． ∵点表示数是， ∴，即， ∴点A表示的数是． 故选C． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握数轴上的点表示的数“左减右加”． 6．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，满足．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点P、Q同时出发，点P与点Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键．根据绝对值和偶次方的非负性，得到点A表示的数为，点B表示的数为，进而得出点表示的数为，点表示的数为，根据题意列一元一次方程，求出的值即可． 【详解】解：， ，， ，， 点A表示的数为，点B表示的数为， 由题意可知，点表示的数为，点表示的数为， 由题意得：， 即， 当，解得：； 当，解得：； 综上可知，点P与点Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为2或， 故选：D． 7．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了数轴， ①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，分别求出的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况：当点在点右边时，当点在点左边时，利用线段的中点性质分别进行计算即可． 【详解】解：设点对应的数是， 点A对应的数为，且， ， ， 点对应的数是， 故①正确； 由题意得：（秒）， 点到达点时，， 故②正确； 当点在点右边时， ，， ， （秒）， 当点在点左边时， ，， ， （秒）， 综上，时，或； 故③错误； ，始终为，的中点， ，， 当点在点右边时， ， 当点在点左边时， ， 在点的运动过程中，线段的长度不变， 故④正确； 所以，上列结论中正确的有个， 故选：D． 8．如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ） A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 【答案】D 【分析】根据点A，B表示的数，分两种情况：P、Q相遇前，P、Q相遇后，结合即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设运动的时间为t 秒， P、Q相遇前， 依题意有 ， 解得； P、Q相遇后， 依题意有 ， 解得． 故运动的时间为15秒或20秒． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，根据数量关系列出关于时间t的一元一次方程是解题的关键． 9．如图所示的数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 若一动点 从点 以每秒 个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为 秒，当 之间的距离为 个单位长度时， 的值为（　　）    A． 秒 B． 秒 C． 秒或 秒 D． 秒或 秒 【答案】D 【分析】根据数轴上点的运动规律及数轴上两点之间的距离公式即可解答． 【详解】解：设运动的时间为 秒, ∵点 表示的数为 ，点 表示的数为 ， ∴根据题意可得：点表示的数为；点表示的数为， ∵的距离为个单位长度， ∴， ∴或； 故选． 【点睛】本题考查了数轴上点的运动规律，数轴上两点之间的距离公式，掌握数轴上点的运动规律是解题的关键． 10．点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】由题意，先求出AB的长度，然后对P、Q两点的运动方向进行分析：当P、Q相向运动时可判断①；当点P在前，点Q在后运动可判断②；当点Q在前，点P在后可判断③；当P、Q反向运动或相向运动相遇后时，可判断④． 【详解】解：根据题意， ∵点A表示4，点B表示2， ∴， 当点P、Q相向运动时，设t秒后P、Q重合， ∴， ∴；故①正确； 当点P在前，点Q在后运动时，设t秒后P、Q重合， ， ∴；故②正确； 当点Q在前，点P在后时，设t秒后， ∴， ∴；故③正确； 当P、Q反向运动时，设t秒后， ∴， ∴； 当P、Q两点相遇后再相距18，则 ， ∴； ∴④的说法错误； ∴正确的说法有①②③； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，解题的关键是把各个距离用含有t的代数式表示和列方程是解决问题的两项重要任务． 二、填空题 11．如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．由点A，B，C位置间的关系，可求出点C在数轴上表示的数为4，当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为，根据，可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且， ， ， ， ∴点C在数轴上表示的数为． 当运动时间为t秒时，点P在数轴上表示的数为， ， ， 即或， 解得：或， 点P运动秒或秒，， 故答案为：或． 12．如图，在数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为．在数轴上有两动点和，它们同时向右运动，点从点出发，速度为每秒个单位长度，点从点出发，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当点，，中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴上的两点之间的距离，先将经过秒后点和点表示的数表示出来，再分为三种情况进行讨论：当点为中点时；当点为中点时；当点为中点时． 【详解】解：根据题意得： 经过秒后，点表示的数为：，点表示的数为：； 当点为中点时：，解得：， 当点为中点时：，解得：， 当点为中点时：，解得：（舍）， 故答案为：或． 13．已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 【答案】或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离．根据题意易得动点表示的数为，动点表示的数为，则，，列出方程求解即可得出答案． 【详解】解：根据题意得，动点表示的数为，动点表示的数为， ∵， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上分析可知：或． 故答案为：或． 14．如图，数轴上点A和点B表示的数分别是2和，动点P从B点出发，以每秒4个单位长度的速度匀速向右移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向右移动，设移动时间为t秒，当动点Q到点A的距离等于动点P到点A的距离时，t的值为 ． 【答案】或 【分析】分两种情况：当点P在点A左侧时，当点P在点A右侧时，分别列方程解答即可． 【详解】解：设移动时间为t秒，则点P表示的数是，点Q表示的数是， 当点P在点A左侧时，， ∴ 解得； 当点P在点A右侧时，， ∴， 解得， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了数轴上动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解数轴上两点之间的距离是解题的关键． 15．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为． （1）点M对应的数为 （用含t的式子表示）； （2）当t为 时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】 或 【分析】（1）根据点C表示的数和，得出点B表示的数，再根据得出点A表示的数，结合点P运动情况表示出点P，根据M为的中点可得结果； （2）求出点Q表示的数，根据题意列出方程，解之可得． 【详解】解：（1）∵点C对应的数为6，， ∴点B对应的数为， ∵， ∴点A对应的数为， 由运动可知：点P表示的数为：， ∴点M表示的数为； 故答案为：； （2）由运动可知：点Q表示的数为：， ∵P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上两点间的距离．根据数量关系列出方程是解题的关键． 16．如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 【答案】12或36 【分析】本题考查了数轴上两点距离，一元一次方程的应用，数形结合，分类讨论是解题的关键．分，，讨论，列出方程求解即可． 【详解】解：设时间为秒， ∵A、B两定点对应的数是，40， ∴， ∴M到达B需要的时间为秒， N到达B需要的时间为秒， M从到A出发，然后返回到A需要的时间为秒， 当时，， 解得， 当时，， 解得（不符合题意，舍去）， 当时，， 解得， 综上，经过12秒或36秒，点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 故答案为：12或36． 17．如图，已知数轴上的点A表示的数为－10，点C表示的数为8，点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒（t＞0），另一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点2之间的距离为5个单位长度． 【答案】4或14/14或4 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴，先根据线段中点坐标公式求出点表示的数，再分别表示出运动秒时、两点表示的数，然后分在的左边与在的右边两种情况进行讨论，根据列方程，求解即可． 【详解】解：点表示的数为8，点表示的数为，点是的中点， 点表示的数是， 依题意可知，运动秒时，表示的数为：，表示的数为：， 点与点之间的距离为5个单位长度时，分两种情况： ①在的左边， ， ， 解得； ②在的右边， ， ， 解得， 综上所述：当为4或14秒时，点与点之间的距离为5个单位长度． 故答案为：4或14． 18．已知数轴上A、B、C三个点表示的数分别是，，12．动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P运动到点B时，点Q才从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动．若点Q到达点C后不再运动，点P继续运动，则点P从开始运动后的第 秒时，P、Q两点之间的距离为4． 【答案】4或7或11或17 【分析】本题的解题关键是根据点P和点Q在数轴上的运动方式进行分类讨论，分别列出方程式求解．将P、Q两点之间的距离为4的情况分为三种：点Q未运动，点Q未到达点C、点Q到达点C后点P未经过点C；假设点P开始运动时间为t秒，根据三种情况分别列出方程式，求出t的值即可． 【详解】解：根据题目可得，，，， 当点Q未运动时，（秒），，P、Q两点之间的距离为4； 当点Q未到达点C时，（秒）， ，， ，， P、Q两点之间的距离为4； 当点Q到达点C后点P未经过点C时，（秒）， ，， P、Q两点之间的距离为4； 综上所述，当点P从开始运动后的第4秒、第7秒、第11秒、第17秒时，P、Q两点之间的距离为4． 故答案为：4或7或11或17． 19．对于数轴上的一点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，数轴上两点A，B对应的数分别为，4，原点O是点A，B的2倍点，点P为数轴上一动点，若点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，设出发t秒后，点P恰好是点A，O的“2倍点”，则t的值为 ．    【答案】或或或 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，由点P表示的数为，可得，根据“2倍点”的定义可得或，再建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意可得点P表示的数为， ∵数轴上点A表示，点O表示0， ∴， ∵点P恰好是点A，O的“2倍点”， ∴或， ∴或， 当时， ∴或， 解得：或； 当时， ∴或， ∴或 综上所述，的值为或或或； 故答案为；或或或． 20．如图，点A和点B在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点B表示的数是6，用表示点O与点A之间的距离，用表示点O与点B之间的距离，用表示点A和点B之间的距离，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从原点O出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动；当动点P到达点A时立即以原速沿数轴的正方向返回，当点P第一次返回点B时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，用表示点O与点P之间的距离，用表示点O与点Q之间的距离，当时，t的值为 ． 【答案】或2或6 【分析】此题考查一元一次方程解应用题、数轴上的动点问题，正确的用代数式表示的长和的长是解题的关键．分四种情况讨论，一是点P到达点A前，且点P在点O右侧时；二是点P到达点A前，且点P在点O左侧时；三是点P从点A返回，且点P在点O左侧时；四是点P从点A返回，且点P在点O右侧时，列方程求解即可． 【详解】∵，点B表示的数是6， ∴， ∴， ∴点A表示的数是，线段的值是18． 当点P回到点B时，则， 解得， 当点P到达点A前，且P在点O右侧时， 根据题意得， 解得； 当点P到达点A前，且点P在点O左侧时， 根据题意得， 解得； 当点P从点A返回，且点P在点O左侧时， 根据题意得， 解得； 当点P从点A返回，且点P在点O右侧时， 根据题意得， 解得（舍去）． 综上所述，满足条件的时间t的值为或2或6． 故答案为：或或 三、解答题 21．已知a是最大的负整数，b是的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数． (1)求a、b的值，并在数轴上标出点A、B． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值？ 【答案】(1)，，见解析 (2)运动3秒后，点P可以追上点Q 【分析】本题主要考查了相反数的定义，用数轴上点表示有理数，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，根据题意列出方程． （1）根据有理数的分类求出，根据相反数的定义可得，进而根据数轴上的点所表示数的特点在数轴上标出即可； （2）根据数轴上点所表示数的特点分别表示出点P、Q运动t秒后所表示的数，进而根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵ a是最大的负整数，b是的相反数 ， ∴，， ∵a、b分别是点A、B在数轴上对应的数， ∴将点A、B标注在数轴上如下图： （2）解：由题意易得t秒后点P所表示的数为：，点Q所表示的数为， 根据点P追上点Q，则两点所表示的数相同，可得， 解得， 即运动3秒后，点P可以追上点Q． 22．数轴上，两点之间的距离可以用这两点中右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数来计算，例如：数轴上M、N两点表示的数分别是和2，那么M、N两点之间的距离就是． 如图，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度． (1)求点B表示的数是 ，并在数轴上将点B表示出来； (2)动点P从点B出发，沿着数轴的正方向，以每秒2个单位长度的速度运动，求经过多少秒，点P与点A的距离是2个单位长度？ (3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q从点A出发，沿着数轴的负方向，以每秒4个单位长度的速度运动．当点Q运动到点B的左侧，且点Q与点B的距离是6个单位长度时，求此时点P与点Q的距离． 【答案】(1)，作图见解析 (2)秒或秒 (3)14 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴，数轴上两点之间的距离，运用了分类讨论的思想．根据数量关系得到一元一次方程是解题的关键． （1）设点表示的数为，根据题意得到关于的一元一次方程，求解即可； （2）设经过秒，点与点的距离是个单位长度，则点所表示的数为，分当点在点左侧和当点在点右侧两种情况，列出方程求解即可得到结论； （3）设经过秒，点与点的距离是个单位长度，则点所表示的数为，点所表示的数为，当点在点左侧时，列出方程求解即可得到结论． 【详解】（1）解：设点表示的数为， ∵在数轴上点表示的数是，点位于点的左侧，与点的距离是个单位长度， ∴， 解得：， ∴点表示的数是，在数轴上表示点如图所示． （2）解：设经过秒，点与点的距离是个单位长度， ∵动点从点出发，沿着数轴的正方向，以每秒个单位长度的速度运动， ∴经过秒，点所表示的数为， 当点在点左侧时，可得： ， 解得：； 当点在点右侧时，可得： ， 解得：； 综上所述，经过秒或秒，点与点的距离是个单位长度； （3）解：设经过秒，点与点的距离是个单位长度， ∵在（2）的条件下，点出发的同时，点从点出发，沿着数轴的负方向，以每秒个单位长度的速度运动， ∴经过秒，点所表示的数为，点所表示的数为， 当点在点左侧时，可得： ， 解得：； 此时点所表示的数为，点所表示的数为， ∴点与点的距离是：； 23．数轴上两个动点A、B所对应的数为、4，A、B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒． (1)点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度； (2)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时点A会追上B； (3)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，求经过多少时间后，A、O、B三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点． 【答案】(1)B点的运动速度为1个单位/秒； (2)秒后点A会追上B； (3)经过4秒或秒后，A、O、B三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点． 【分析】本题考查了两点间的距离和一元一次方程的应用． （1）根据速度=路程÷时间，即可解决问题； （2）设秒后点A会追上B，秒后点A对应的数为，点B对应的数为，依题意列方程求解即可； （3）设运动时间为秒，点A对应的数为，点B对应的数为，分点O是中点、点A是中点和点B是中点时，三种情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：B点的运动速度为： 个单位/秒； （2）解：设秒后点A会追上B， 秒后点A对应的数为，点B对应的数为， 由题意得， 解得， 答：秒后点A会追上B； （3）解：设运动时间为秒，点A对应的数为，点B对应的数为， ①当点O是中点时， 由题意得， 解得； ②当点A是中点时， 由题意得， 解得； ③当点B是中点时， 由题意得， 此情况不存在； 综上，经过4秒或秒后，A、O、B三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点． 24．已知数轴上两点、对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到点的距离是点到点的距离的3倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点P在A、B之间，且点P是关于的“好点”，求点P表示的数； (2)若点P以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点P是关于的“好点”时，求点P运动的时间． 【答案】(1) (2)点运动的时间为1秒或10秒． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，好点的定义，解题的关键是掌握数轴上两点的距离公式：若点表示，点表示时，． （1）根据好点的定义即可求解； （2）根据题意可得，，再根据好点的定义即可求解． 【详解】（1）解：点在、之间，且点是关于的“好点”， 点表示的数是； （2）解：设点运动的时间为秒， 根据题意可知：，， ， 解得或． 故点运动的时间为1秒或10秒． 25．已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 【答案】(1) (2)D 点对应的数为 (3)，E 点对应的数为 (4)存在，运动时间为 【分析】（1）由绝对值及偶次方的非负性可求出，，的值； （2）先设点对应的数为，根据数轴上两点间的距离可以用分别表示出，，，再根据求出即可； （3）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，然后根据三点到达同一点得出方程求解即可； （4）设运动时间为，则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：，再根据，是中点，根据中点坐标公式求出，，根据、两点到原点的距离相等，列方程，求解即可． 此题考查一元一次方程的应用，数轴及两点间的距离，解题的关键是利用数轴的特点能求出两点间的距离． 【详解】（1）解：， 且且， 解得：，，， ，，； （2）解：设点对应的数为， 在之间，则， ，，， ， 解得：， 点对应的数为； （3）解：存在，设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 三点到达同一点时，有， 解得，， 点对应的数为； （4）解：存在， 设运动时间为， 则点对应的数为：；点对应的数为：；点对应的数为：， 为中点， 对应的数为， 为的中点， 对应的数为， 、两点到原点的距离相等， 则， 解得或（舍去）， 存在某时刻，、两点到原点的距离相等，此时刻是运动到第秒． 26．阅读：如果代数式（均为常数且不等于0）与（均为常数且不等于0），满足，则称两个代数式为“平美代数式”． 应用：已知数轴上两点、对应的数分别为、，且与是“平美代数式”，动点从点出发沿匀速向终点运动，动点从点出发沿匀速向终点运动，两点同时出发，当一个点到达终点停止运动另一点随之停止运动． (1)______，______； (2)当动点运动秒钟时与动点相遇，此时点比点多走的路程占此时点运动路程的，求动点、的运动速度； (3)在（2）的条件下，当时，求点运动的时间． 【答案】(1)， (2)， (3)或 【分析】本题考查数轴、一元一次方程、“平美代数式”的知识，解题的关键是掌握数轴动点问题，一元一次方程的应用，“平美代数式”的定义，即可． （1）根据“平美代数式”的定义，求出，，即可； （2）由（1）得，代表的值，设点的运动速度为，点的运动速度为， 列出方程，即可； （3）根据点、点的运动轨迹，分类讨论：点在点的左侧；点在点的右侧，即可． 【详解】（1）∵，，， ∴数轴上两点、对应的数分别为、，且与是“平美代数式”， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）由（1）得， ∴，代表的数分别为，； 设点的运动速度为，点的运动速度为， ∵动点运动秒钟时与动点相遇，此时点比点多走的路程占此时点运动路程的， ∴， 解得：， ∴动点、的运动速度分别为，． （3）∵动点、的运动速度分别为，， ∴，， 点在点的左侧， ∴， 当时， ∴， 解得：； 点在点的右侧， ∴， 当时， ∴， 解得：； 综上所述：当时，求点运动的时间为或． 27．如图点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为，例如：，，已知点P为数轴上一动点，其对应的数为x，请回答F列问题：    (1)填空：________． (2)当时，直接写出对应的x的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)6； (2)6或0； (3)10或6． 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离可得结果； （2）根据题意列出方程求解即可； （3）首先根据求出或6，然后根据数轴上两点之间的距离求解即可． 【详解】（1）∵点A对应的数为，点C对应的数为5， ∴； （2）∵点B对应的数为3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x， ∴，解得或6； （3）∵点C对应的数为5，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，， ∴，解得或6 ∴当时，； 当时，． ∴的值为10或6． 【点睛】本题考查了数轴的问题，一元一次方程的应用，绝对值的意义，解题的关键是掌握分类讨论的思想方法． 28．如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度．已知动点、的速度比为（速度单位：1个单位长度秒）．    (1)求两个动点运动的速度； (2)在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置； (3)若表示数0的点记为，、两点分别从（2）中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，． 【答案】(1)动点A的速度是2单位长度/秒，动点B的速度是6单位长度/秒 (2)见解析 (3)再经过0.4秒或10秒时． 【分析】此题主要考查了一元一方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． （1）设动点的速度是单位长度秒，那么动点的速度是单位长度秒，然后根据2秒后，两点相距16个单位长度即可列出方程解决问题； （2）根据（1）的结果和已知条件即可得出． （3）此问分两种情况讨论：设经过时间为后，当在的右侧，若当在的左侧，列出等式解出即可． 【详解】（1）解：设动点的速度是单位长度秒， 根据题意得 ， 解得：， 则． 答：动点的速度是2单位长度秒，动点的速度是6单位长度秒； （2）解：标出，点如图，   ； （3）解：设秒时，， 当在的右侧， 根据题意得：， ， 当在的左侧， 根据题意得：， 答：再经过0.4秒或10秒时． 29．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点表示10，点表示20，我们称点A和点在数轴上相距32个长度单位．动点从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到终点时停止运动：点出发同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点A时停止运动．设运动的时间为秒，问： (1)秒时，点在“折线数轴”上所对应的数是______；点到点的距离是______个单位长度； (2)动点从点运动至A点需要______秒； (3)当为______时，两点在数轴上相距的长度为3个单位？ 【答案】(1)；23 (2)27 (3)11或13秒 【分析】本题考查数轴上的动点问题，可对比路程问题中的相遇问题的方法求解． （1）秒时，可算出P、Q点运动路程，从而表示出P、Q点对应的数，然后求出距离； （2）分别计算出段的运动时间求和即可； （3）因为P从A到O需要6秒，Q从C到B需要10秒，10秒时P点在段，那么可知相遇点M在上，设，根据相遇时运动时间相等列方程求出相遇时间，再分两种情况①相遇前相距3个单位②相遇后相距3个单位分别求出即可． 【详解】（1）解： 秒时，， 则P点对应的数为，Q点对应的数为，两相距为； 故答案为：；23； （2）解：动点从点运动至A点 时，所需时间：（秒 ) ， 故答案为：27； （3）解：由题可知，设P、Q 两点相遇在线段上于M 处，设， 则， 解得， 此时M 所对应的数为，当两点相距3个单位时，两点均在上， ①相遇前两点相距3个单位时， ， 解得：； ②相遇后两点相距3个单位时， 解得：； 故答案为：11或13秒． 30．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； (3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或20 (2)9 (3)存在，6或 【分析】本题考查数轴上点的表示，用点正确地表示出数轴上线段的长，并建立方程是解题的关键， （1）根据点P的位置进行分类讨论并用两点之间的距离公式计算即可． （2）设运动时间为t，表示出M，N两点所对应的数，结合M，N两点间的距离为12个单位长度即可解决问题． （3）设运动的时间为a秒，点B运动到点C和点D所对应的时间即可得经过对应时间．设点P所对应的数为m，则．可得到、、长度，再分P与C相遇前后求即可． 【详解】（1）解：设点P对应的数为x， 当P在A、D两点之间时，，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，，解得； 当点P在点A的右侧时，，解得． 故答案为：或20． （2）设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：， 点N所对应的数为：． 当点M和点N相遇前， 则， 解得， 又因为点P的速度为3单位每秒， 所以点P移动的路程为：个单位长度． 当点M和点N相遇后， 因为点N速度比点P速度快， 所以此种情况不存在． 故答案为：9． （3）设运动的时间为a秒， 因为点B运动到线段上， 则， 解得， ， 解得， 则． 设点P所对应的数为m， 由点P是线段上一点得，． 则，， 或． 当时， ，整理得， 又∵， ∴． 当时， 同理可求得， 又因为， 所以． 故线段的长为：6或． 31．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，当时，点P表示的数是________； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可解答； （2）①根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解；②根据数轴上两点间的距离结合行程问题的特点列出方程求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， 则， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P运动t秒的长度为， ∴P所表示的数为：； 当时，点P表示的数是； 故答案为：，； （2）解：①点P运动t秒时追上点Q， 根据题意得，解得， 答：当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②当P不超过Q时，则，解得； 当P超过Q时，则，解得； 答：当点P运动1或9秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离和一元一次方程的应用，正确理解题意、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 32．如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，为原点，为数轴上一动点且表示的数为，点以个单位长度秒的速度，点以个单位长度秒的速度，分别自，两点同时出发，相向而行，在数轴上运动．设运动时间为秒． (1)若点，在点处相遇，求点所表示的数； (2)若，求的值； (3)当时，求的值； (4)若同时一只宠物鼠以个单位长度秒的速度从点出发，与点相向而行，宠物鼠遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回直到点，相遇为止．求宠物鼠在整个过程中所经过的路程． 【答案】(1)点所表示的数是 (2)的值是或 (3)的值是或 (4)个单位长度 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点距离问题； （1）根据相遇时，表示同一个数得：，解得的值，即可得到答案； （2）运动后表示的数为，运动后表示的数为，故，或，可解得答案； （3）由，得或，可解得答案； （4）用时间乘以速度即可． 【详解】（1）解：依题意，得，解得，即点运动3秒后相遇． ． 故点所表示的数是1． （2）依题意，得，解得； 或， 解得． 故的值是3或5． （3）依题意，得，解得； 或， 解得． 故的值是2或4． （4）由（1）知，点同时出发，相向而行，经过3秒后相遇，即宠物鼠运动的时间为． ． 故宠物鼠在整个过程中所经过的路程是12个单位长度． 33．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数，，8，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，设移动时间为秒．    (1)当时，点P与点A之间的距离是____________个单位长度；此时点P所表示的数为____________； (2)当点P运动到点B时，此时点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后也停止运动． ①当点Q出发5秒时，求出点P与点Q之间的距离； ②当点Q到达点C之前，请求出点Q移动几秒时，恰好与点P之间的距离为2个单位长度？ 【答案】(1)7， (2)①3；②秒或秒 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用： （1）根据“路程等于时间乘以速度”求出运动的路程，再根据运动的方向求解； （2）①先根据“路程等于时间乘以速度”求出P、Q运动的路程，再根据运动的方向求出表示的数，最后根据两点之间的距离公式求解；②根据两点之间的距离公式列方程求解． 【详解】（1）解：根据题意得：点P与点A之间的距离是7个单位长度； 此时点P所表示的数为：， 故答案为：7，； （2）解：①当点Q出发5秒时，点P表示的数为：，点Q表示的数为：， ∴此时点P与点Q之间的距离为3； ②设点移动秒时恰好与点之间的距离为2个单位长度，根据题意得： ， 解得：或， 答：点Q移动秒或秒时恰好与点P之间的距离为2个单位长度． 34．如图，在数轴上有三点A，B，C，所对应的数分别是a，b，c，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数．点C在点A左侧，到点A的距离是2个单位长度． (1)a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)点P、Q在数轴上两个动点，点P从A点出发速度为每秒2个单位长度，点Q从B点出发速度为每秒3个单位长度．若P、Q两点同时出发，相向而行，运动时间为t．求当t何值时，点P与点Q之间的距离是4个单位长度？ (3)在（2）的条件下，在点P、Q运动的过程中是否存在t值，使点Q到点A、点B、点C的距离之和为19，若存在，请求出此时点P在数轴上所表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，点P在数轴上所表示的数为或 【分析】（1）最大的负整数是，绝对值最小的有理数是，据此即可求解； （2）分别表示出点表示的数和点表示的数，根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （3）根据数轴上两点之间的距离公式分别表示出即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： ∴ ∵点C在点A左侧，到点A的距离是2个单位长度． ∴ 故答案为： （2）解：由题意得：点表示的数为：，点表示的数为： 若点P与点Q之间的距离是4个单位长度 则 解得：或 （3）解：由题意得： 故： 解得：或 当时，点表示的数为：; 当时，点表示的数为：; ∴点表示的数为或 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题．根据动点的起点、运动方向和运动速度表述出动点在数轴上表示的数是解题关键． 35．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．    例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数，点B表示数1，下列各数，2，4，6所对应的点分别是，其中是点A，B的“关联点”的是______； (2)点A表示数，点B表示数6，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 【答案】(1) (2)①点P表示的数为，；②点P表示的数为20、34、13 【分析】（1）分别求出点到两点间的距离，再进行验证即可； （2）①分类讨论点在之间和点在点左侧时的情况即可；②分类讨论点为点的“关联点”、点为点的“关联点”、点为点的“关联点”即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” ∵ ∴ 即：点是点A，B的“关联点” ∵ ∴点不是点A，B的“关联点” 故答案为： （2）解：设点P在数轴上表示的数为 ①（i）当点在之间时， 若，则 解得： 若，则 解得： （ii）当点在点左侧时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为，； ②（i）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： （ii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 或,即： 解得： （iii）当点为点的“关联点”时， 则，即： 解得： 故：点P表示的数为20、34、13 【点睛】本题以新定义题型为背景，考查了数轴上两点间的距离公式．掌握相关结论，进行分类讨论是解题关键． 36．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离； ②如果线段上有一点，把线段分割成相等的两条线段，那么这个点叫做这条线段的中点．若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则线段的中点表示的数为． 如图1，已知数轴上有三点A、B、C，．点A对应的数是40． (1)点B表示的数是______． (2)若，求点C表示的数是______． (3)如图2，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段的中点，点N为线段的中点． 设运动时间为t秒，则t秒后，点P对应的数为______；点T对应的数为______；点R对应的数为______；点M对应的数为______；点N对应的数为______． (4)在（2）（3）的条件下，请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)； ；； ； (4)的值不会发生变化；值是30． 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）设点C表示的数是c，表示出，，根据，列式计算即可得出点C对应的数； （3）根据两点之间的距离公式即可列式； （4）分别表示出，的值，进而求出的值． 【详解】（1）解：． 故点B表示的数是； 故答案为：； （2）解：设点C表示的数是c， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴点C表示的数是：； 故答案为：； （3）解：设运动时间为t秒，则t秒后， 点P对应的数为； 点T对应的数为； 点R对应的数为； 点M对应的数为； 点N对应的数为； 故答案为：；；；；； （4）解：由（3）得，点P对应的数为；点T对应的数为； 则； 点M对应的数为；点N对应的数为； 则； ∴， ∴的值不会发生变化，值是30． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据已知得出各线段之间的等量关系是解题关键，此题阅读量较大应细心分析． 37．点A、B在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P、B两点之间的距离为1时，则点P表示的数为__________； (2)当点P将A、B两点之间的距离三等分时，则点P表示的数为__________； (3)现在点A以每秒2个单位长度、点B以每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒4个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 【答案】(1)3或5 (2)0或2 (3)点P所对应的数是或． 【分析】（1）根据，分两种情况：①点P在点B的左边；②点P在点B的右边；分别求出点P表示的数即可； （2）根据点P是线段的三等分点，分两种情况：①；②；分别求出点P表示的数即可； （3）分两种情况讨论，①当点A在点B左边两点相距3个单位时，②当点A在点B右边时，两点相距3个单位时，分别求出t的值，然后求出点P对应的数即可． 【详解】（1）解：由题意，知点A，B表示的数分别为，4， 分两种情况进行解答： ①点P在点B的左边时， ∵，， ∴点P表示数的是3， ②点P在点B的右边时， ∵，， ∴点P表示的是5， 综上，可得点P表示的数是3或5； 故答案为：3或5； （2）解：∵， ∴线段的长度是6，分两种情况： ①时，点P表示的数是， ②时，点P表示的数是， 综上，可得点P表示的是0或2； 故答案为：0或2； （3）解：当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，需要的时间为t， 根据题意得：点B对应的数为；点A对应的数为；点P对应的数为； ①当点A在点B左边两点相距3个单位时， 则， 解得：， 则点P对应的数为； ②当点A在点B右边两点相距3个单位时， 则， 解得：， 则点P对应的数为； 综上可得当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，点P所对应的数是或． 【点睛】此题考查的是一元一次方程及数轴，掌握数轴上两点间距离公式是解决此题的关键． 38．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a，b，c，且，点O为原点． (1)请写出____________；____________；____________； (2)以AB为长，BO为宽，作出长方形EFGH，其中G与A重合，H与B重合（如图所示），将这个长方形总绕着右边的端点在数轴上不断滚动（无滑动），求出E点第3次落在数轴上对应的数字； (3)将（2）中的长方形EFGH，G与A重合，H与B重合时开始计时，该长方形以2个单位长度/秒向右移动，当H点与C点重合时停止运动，整个过程中速度保持不变．数轴上一动点P与长方形同时开始运动，从C点出发，沿数轴向左移动，速度为3个单位长度/秒，设它们的运动时间为t，求t为何值时，点P与点H之间的距离为5（即）． 【答案】(1)，，10 (2)E点第3次落在数轴上对应的数是96 (3)当或时，点P与点H之间的距离为5 【分析】（1）根据题意，绝对值和偶次方的非负性得，，，进行计算即可得； （2）根据题意得AB=24， ，则E点第1次落在数轴上对应的数是：，第2次落在数轴上对应的数是：，第3次落在数轴上对应的数是：，即可得； （3）根据题意，，即（s），10s时停止运动，①点P、Q相遇之前，，②点P、Q相遇之后，，进行计算即可得． 【详解】（1）解：∵ ∴，，， 即，，， 故答案为：，，10； （2）解：∵，， ∴，， 则， E点第1次落在数轴上对应的数是：， 第2次落在数轴上对应的数是：， 第3次落在数轴上对应的数是：， 即E点第3次落在数轴上对应的数是96； （3）解：根据题意，， （s）， ①点P、Q相遇之前，， ， ②点P、Q相遇之后，， ， 综上，当或时，点P与点H之间的距离为5． 【点睛】本题考查了数轴，绝对值，偶次方的非负性，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点，分类讨论． 39．已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒． (1)点A表示的有理数是______，点C表示的有理数是______，点P表示的数是______用含的式子表示． (2)当______秒时，两点之间相距8个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以个单位秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)，这个定值为 【分析】（1）设点B表示的数为，则点A表示的数为，由数轴可知，求出，根据算出点C表示的数，再由点P的运动速度和时间求出点P表示的数即可； （2）分点P在点B左边和点P在点B右边两种情况进行解答即可； （3）根据题意先将点A、点B和点C表示的数用t表示出来，再算出、、并代入中，合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：设点B表示的数为，则点A表示的数为， ∵点A和点B间距个单位长度， ∴， 解得：， ∴点A表示的有理数是， ∵， ∴点C表示的有理数是， ∵动点P从点A出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒， ∴点P表示的数是， 故答案为：，，； （2）解：①当点P在点B左边时， ， ∵两点之间相距8个单位长度， ∴， 解得：， ②当点P在点B右边时， ， ∵两点之间相距8个单位长度， ∴， 解得：， ∴当或秒时，两点之间相距8个单位长度， 故答案为：或； （3）解：存在常数，使得为一个定值，理由如下： 由题意可知， 点A表示的数为， 点B表示的数为， 点C表示的数为， 则， ， ， ， ∵要使得为一个定值， ∴， 解得：， ∴， ∴，这个定值为． 【点睛】本题考查的是数轴的知识，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键． 40．如图，的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s．P、Q同时出发，设运动时间是． (1)当点P在MO上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当点P在MO上运动时，t为何值，能使？ (3)当t为何值时，点P追上点Q？ 【答案】(1) (2)6 (3)18 【分析】（1）由题意可知，．再根据即可求出答案； （2）根据题意可用t表示出OQ的长，即可列出关于t的等式，解出t即可； （3）根据P走的路程=Q走的路程+OM，即可列出关于t的等式，解出t即可． 【详解】（1）根据题意可知， ∴． 故答案为：． （2）根据题意可知． ∵，即， 解得：． 故当点P在MO上运动时，t的值为6时，能使． （3）根据题意可知， 解得：． 故当t的值为18时，点P追上点Q． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用．根据题意结合图形得到线段长度之间的关系，再列出关于t的等式是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题02 方程思想解决动点问题通关专练 一、单选题 1．一条数轴上有点、，点在线段上，其中点、表示的数分别是，，现以点为折点，将数轴向右对折，若点落在射线上，并且，则点表示的数是（ ） A． B． C．或 D．或 2．数轴上一动点向右移动个单位长度到达点，再向左移动个单位长度到达点，若表示的数是，则点表示的数是（    ） A． B．5 C．0 D．1 3．已知数轴上点A，B表示的数分别为和30，现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A出发，沿数轴正方向运动，当时，运动的时间为（    ） A．10秒 B．15秒 C．15秒或25秒 D．15秒或30秒 4．在原点为O的数轴上，从左到右依次排列的三个动点A，M，B，满足，将点A，M，B表示的数分别记为a，m，b．下列说法正确的个数有（    ） ①当时，； ②当时，若a为奇数，且，则或5； ③若，，则； ④当，时，将点B水平右移3个单位至点，再将点水平右移3个单位至点，以此类推，…且满足，则数轴上与对应的点表示的数为． A．1 B．2 C．3 D．4 5．数轴上一个动点A，先向右移动5个单位长度达到点B，再向左移动8个单位长度到达点C，若点C表示的数是，则点A表示的数是（    ） A． B． C．1 D．11 6．如图，已知数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，满足．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．若点P、Q同时出发，点P与点Q间的距离为4个单位长度时，点P运动的时间t为（    ） A．2 B． C．2或 D．2或 7．如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，；      ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 8．如图，数轴上点表示的数分别为．现有一动点P以2个单位每秒的速度从点A向B运动，另一动点Q以3个单位每秒的速度从点B向A运动．当时，运动的时间为（   ） A．15秒 B．25秒 C．15秒或25秒 D．15秒或20秒 9．如图所示的数轴上，点 表示的数为 ，点 表示的数为 若一动点 从点 以每秒 个单位长度沿数轴向右匀速运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度沿数轴向左匀速运动，设运动的时间为 秒，当 之间的距离为 个单位长度时， 的值为（　　）    A． 秒 B． 秒 C． 秒或 秒 D． 秒或 秒 10．点A，B是数轴上两点，位置如图，点P，Q是数轴上两动点，点P由点A点出发，以1单位长度/秒的速度在数轴上运动，点Q由点B点出发，以2单位长度/秒的速度在数轴上运动．若两点同时开始和结束运动，设运动时间为t秒．下面是四位同学的判断： ①小康同学：当t=2时，点P和点Q重合． ②小柔同学：当t=6时，点P和点Q重合． ③小议同学：当t=2时，PQ=8． ④小科同学：当t=6时，PQ=18． 以上说法可能正确的是（    ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 11．如图，已知点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为8，点C是线段上一点，且，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动，若，则运动时间为 秒． 12．如图，在数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为．在数轴上有两动点和，它们同时向右运动，点从点出发，速度为每秒个单位长度，点从点出发，速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当点，，中，其中一点正好位于另外两点所确定线段的中点时，的值为 ． 13．已知数轴上A点代表，B点代表4，动点P、Q分别从A、B同时出发，向右运动，点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，设运动时间为t秒，当 时，．（当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动） 14．如图，数轴上点A和点B表示的数分别是2和，动点P从B点出发，以每秒4个单位长度的速度匀速向右移动，动点Q同时从A点出发，以每秒2个单位长度的速度匀速向右移动，设移动时间为t秒，当动点Q到点A的距离等于动点P到点A的距离时，t的值为 ． 15．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为6，，．动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒6个单位和3个单位的速度沿数轴正方向运动．M为的中点，N在线段上，且，设运动时间为． （1）点M对应的数为 （用含t的式子表示）； （2）当t为 时，P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等． 16．如图，已知数轴上A、B两定点对应的数是，40，动点M、N同时从点A出发向点B运动，点M的速度为3个单位长度/秒，点N的速度为2个单位长度/秒，到达点B后折返向点A继续运动，其中某点回到点A时，全部停止，经过 秒点A到点N的距离刚好等于点B到点M的距离． 17．如图，已知数轴上的点A表示的数为－10，点C表示的数为8，点B是AC的中点，动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，运动时间为t秒（t＞0），另一动点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，且P，Q同时出发，当t为 秒时，点P与点2之间的距离为5个单位长度． 18．已知数轴上A、B、C三个点表示的数分别是，，12．动点P、Q都从点A出发，且点P以每秒1个单位长度的速度向终点C运动．当点P运动到点B时，点Q才从点A出发，以每秒3个单位长度的速度向点C运动．若点Q到达点C后不再运动，点P继续运动，则点P从开始运动后的第 秒时，P、Q两点之间的距离为4． 19．对于数轴上的一点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，数轴上两点A，B对应的数分别为，4，原点O是点A，B的2倍点，点P为数轴上一动点，若点P以每秒2个单位长度的速度从表示数5的点向左运动，设出发t秒后，点P恰好是点A，O的“2倍点”，则t的值为 ．    20．如图，点A和点B在数轴上，点A在原点O的左侧，点B在原点O的右侧，点B表示的数是6，用表示点O与点A之间的距离，用表示点O与点B之间的距离，用表示点A和点B之间的距离，且．动点P从点B出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴负方向运动，同时动点Q从原点O出发以每秒1个单位长度的速度沿数轴负方向运动；当动点P到达点A时立即以原速沿数轴的正方向返回，当点P第一次返回点B时，两点同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，用表示点O与点P之间的距离，用表示点O与点Q之间的距离，当时，t的值为 ． 三、解答题 21．已知a是最大的负整数，b是的相反数，且a、b分别是点A、B、在数轴上对应的数． (1)求a、b的值，并在数轴上标出点A、B． (2)若动点P从点A出发沿数轴正方向运动，动点Q同时从点B出发也沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，若运动t秒后，点P可以追上点Q，求t的值？ 22．数轴上，两点之间的距离可以用这两点中右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数来计算，例如：数轴上M、N两点表示的数分别是和2，那么M、N两点之间的距离就是． 如图，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度． (1)求点B表示的数是 ，并在数轴上将点B表示出来； (2)动点P从点B出发，沿着数轴的正方向，以每秒2个单位长度的速度运动，求经过多少秒，点P与点A的距离是2个单位长度？ (3)在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q从点A出发，沿着数轴的负方向，以每秒4个单位长度的速度运动．当点Q运动到点B的左侧，且点Q与点B的距离是6个单位长度时，求此时点P与点Q的距离． 23．数轴上两个动点A、B所对应的数为、4，A、B两点各自以一定的速度在数轴上运动，且A点的运动速度为2个单位/秒． (1)点A、B两点同时出发相向而行，在原点处相遇，求B点的运动速度； (2)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，几秒钟时点A会追上B； (3)A、B两点以（1）中的速度同时出发，向数轴正方向运动，求经过多少时间后，A、O、B三点中有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点． 24．已知数轴上两点、对应的数分别为和4，点为数轴上一动点，若规定：点到点的距离是点到点的距离的3倍时，我们就称点是关于的“好点”． (1)若点P在A、B之间，且点P是关于的“好点”，求点P表示的数； (2)若点P以每秒1个单位的速度从原点开始向右运动，当点P是关于的“好点”时，求点P运动的时间． 25．已知如图，数轴上、、三点分别对应有理数、、，且满足． (1)求、、的值； (2)若点在之间，且，求点对应的数； (3)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以单位秒的速度向左运动，三点同时出发，若三点同时到达同一点，求的值，并求点对应的数； (4)动点从点出发以2单位秒的速度向左运动，动点从点出发以4单位秒的速度向左运动，动点从点出发以6单位秒的速度向左运动，三点同时出发，在运动过程中，为的中点，为的中点，是否存在某时刻，、两点到原点的距离相等？若存在，求出运动时间． 26．阅读：如果代数式（均为常数且不等于0）与（均为常数且不等于0），满足，则称两个代数式为“平美代数式”． 应用：已知数轴上两点、对应的数分别为、，且与是“平美代数式”，动点从点出发沿匀速向终点运动，动点从点出发沿匀速向终点运动，两点同时出发，当一个点到达终点停止运动另一点随之停止运动． (1)______，______； (2)当动点运动秒钟时与动点相遇，此时点比点多走的路程占此时点运动路程的，求动点、的运动速度； (3)在（2）的条件下，当时，求点运动的时间． 27．如图点A对应的数为，点B对应的数为3，点C对应的数为5，规定：点A与点B之间的距离表示为，例如：，，已知点P为数轴上一动点，其对应的数为x，请回答F列问题：    (1)填空：________． (2)当时，直接写出对应的x的值； (3)当时，求的值． 28．如图，动点从原点出发向数轴负方向运动，同时动点也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度．已知动点、的速度比为（速度单位：1个单位长度秒）．    (1)求两个动点运动的速度； (2)在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置； (3)若表示数0的点记为，、两点分别从（2）中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，． 29．如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点表示10，点表示20，我们称点A和点在数轴上相距32个长度单位．动点从点A出发，以2单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，当点到终点时停止运动：点出发同时，动点从点出发，以1单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．当点到达点A时停止运动．设运动的时间为秒，问： (1)秒时，点在“折线数轴”上所对应的数是______；点到点的距离是______个单位长度； (2)动点从点运动至A点需要______秒； (3)当为______时，两点在数轴上相距的长度为3个单位？ 30．如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是14． (1)若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 ； (2)若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 个单位长度； (3)若线段以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段上一点，当B点运动到线段上时，是否存在关系式，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 31．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是________，当时，点P表示的数是________； (2)动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 32．如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，为原点，为数轴上一动点且表示的数为，点以个单位长度秒的速度，点以个单位长度秒的速度，分别自，两点同时出发，相向而行，在数轴上运动．设运动时间为秒． (1)若点，在点处相遇，求点所表示的数； (2)若，求的值； (3)当时，求的值； (4)若同时一只宠物鼠以个单位长度秒的速度从点出发，与点相向而行，宠物鼠遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回，又遇到点后立即返回直到点，相遇为止．求宠物鼠在整个过程中所经过的路程． 33．已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数，，8，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，设移动时间为秒．    (1)当时，点P与点A之间的距离是____________个单位长度；此时点P所表示的数为____________； (2)当点P运动到点B时，此时点Q从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向点C运动，点Q到达点C后也停止运动． ①当点Q出发5秒时，求出点P与点Q之间的距离； ②当点Q到达点C之前，请求出点Q移动几秒时，恰好与点P之间的距离为2个单位长度？ 34．如图，在数轴上有三点A，B，C，所对应的数分别是a，b，c，且满足是最大的负整数，是绝对值最小的有理数．点C在点A左侧，到点A的距离是2个单位长度． (1)a＝ ，b＝ ，c＝ ； (2)点P、Q在数轴上两个动点，点P从A点出发速度为每秒2个单位长度，点Q从B点出发速度为每秒3个单位长度．若P、Q两点同时出发，相向而行，运动时间为t．求当t何值时，点P与点Q之间的距离是4个单位长度？ (3)在（2）的条件下，在点P、Q运动的过程中是否存在t值，使点Q到点A、点B、点C的距离之和为19，若存在，请求出此时点P在数轴上所表示的数；若不存在，请说明理由． 35．数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．    例如数轴上点A，B，C所表示的数分别为1，3，4，此时点B是点A，C的“关联点”． (1)若点A表示数，点B表示数1，下列各数，2，4，6所对应的点分别是，其中是点A，B的“关联点”的是______； (2)点A表示数，点B表示数6，P为数轴上一个动点： ①若点P在点B的左侧，且点P是点A，B的“关联点”，求此时点P表示的数； ②若点P在点B的右侧，点P，A，B中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请直接写出此时点P表示的数． 36．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A、B两点之间的距离； ②如果线段上有一点，把线段分割成相等的两条线段，那么这个点叫做这条线段的中点．若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则线段的中点表示的数为． 如图1，已知数轴上有三点A、B、C，．点A对应的数是40． (1)点B表示的数是______． (2)若，求点C表示的数是______． (3)如图2，在（2）的条件下，O表示原点，动点P、T分别从C、O两点同时出发向左运动，同时动点R从点A出发向右运动，点P、T、R的速度分别为5个单位长度/秒，1个单位长度/秒、2个单位长度/秒，在运动过程中，如果点M为线段的中点，点N为线段的中点． 设运动时间为t秒，则t秒后，点P对应的数为______；点T对应的数为______；点R对应的数为______；点M对应的数为______；点N对应的数为______． (4)在（2）（3）的条件下，请问的值是否会发生变化？若不变，请求出相应的数值；若变化，请说明理由． 37．点A、B在数轴上的位置如图所示，P是数轴上的一个动点． (1)当P、B两点之间的距离为1时，则点P表示的数为__________； (2)当点P将A、B两点之间的距离三等分时，则点P表示的数为__________； (3)现在点A以每秒2个单位长度、点B以每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒4个单位长度的速度从表示数1的点向左运动，当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数是多少？ 38．已知数轴上有A、B、C三个点对应的数分别是a，b，c，且，点O为原点． (1)请写出____________；____________；____________； (2)以AB为长，BO为宽，作出长方形EFGH，其中G与A重合，H与B重合（如图所示），将这个长方形总绕着右边的端点在数轴上不断滚动（无滑动），求出E点第3次落在数轴上对应的数字； (3)将（2）中的长方形EFGH，G与A重合，H与B重合时开始计时，该长方形以2个单位长度/秒向右移动，当H点与C点重合时停止运动，整个过程中速度保持不变．数轴上一动点P与长方形同时开始运动，从C点出发，沿数轴向左移动，速度为3个单位长度/秒，设它们的运动时间为t，求t为何值时，点P与点H之间的距离为5（即）． 39．已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒． (1)点A表示的有理数是______，点C表示的有理数是______，点P表示的数是______用含的式子表示． (2)当______秒时，两点之间相距8个单位长度？ (3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以个单位秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 40．如图，的边OA上有一动点P，从距离O点18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s．P、Q同时出发，设运动时间是． (1)当点P在MO上运动时，______cm（用含t的代数式表示）； (2)当点P在MO上运动时，t为何值，能使？ (3)当t为何值时，点P追上点Q？ 学科网（北京）股份有限公司 $$