专题05 一元一次方程单元过关（培优版）-2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

专题05 一元一次方程单元过关（培优版） 考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．解方程：．去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程的左右两边都乘以各分母的最小公倍数，再进行整理即可． 【详解】解：将方程的左右两边都乘以6，可得， 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元一次方程——去分母，去分母要注意方程两边要同时乘以各分母的最小公倍数． 2．一元一次方程可以化简成，其依据是（    ） A．等式的性质1 B．分数的性质 C．分配律 D．等式的性质2 【答案】B 【分析】根据“等式性质1是指等式两边同时加上或减去一个数或式时，等式仍成立；等式性质2是指等式两边同时乘以一个数或式时，等式仍成立，等式两边同除以一个不为零的数或式时，等式仍成立；分数的性质是指分子分母同时乘除以一个不为零的数时，分数的值仍不变”可进行排除选项． 【详解】解：由一元一次方程可以化简成，其依据是分数的性质； 故选B． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 3．某比赛的计分方法为胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．一个队共进行了14场比赛，负了5场，得14分，设该队共平了场，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先理解题意找出题中的等量关系：平场得分+胜场得分分，根据此列方程即可． 【详解】解：设该队共平x场，则该队胜了场，胜场得分是分，平场得分是x分． 根据等量关系列方程得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找到题中的等量关系是解题的关键． 4．一艘轮船沿长江从A港顺流行驶到B港，然后从B港逆流返回A港，结果返回时多用了3小时，若船速为40千米/时，水速为5千米/时，求A港和B港相距多少千米，设A港和B港相距x千米，根据题意，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握顺水航行的速度=水速+船速，逆水航行的速度=船速水速．根据“返回时多用了3小时”列出方程即可． 【详解】解：设A港和B港相距x千米， 根据题意，可列出的方程， 故选：B． 5．某项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要6天完成，若甲先做1天后，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了天，所列方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先要理解题意找出题中存在的等量关系：甲完成的工作量乙完成的工作量总的工作量，根据题意我们可以设总的工作量为单位“”，根据效率时间工作量，分别用式子表示甲乙的工作量即可列出方程． 【详解】解：设甲一共做了天，则乙一共做了天， 设总的工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 由题意得，， 故选：C． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键在于理解题意，列出方程． 6．某服装店同时以300元的价钱出售两件不同进价的衣服，其中一件赚了20%，而另一件亏损了20%．则这单买卖是（    ） A．不赚不亏 B．赚了 C．亏了 D．无法确定 【答案】C 【分析】设赚钱的那件衣服的进价为x元，亏损的那件衣服的进价为y元，根据售价－进价＝利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之可求出x、y的值，再用两件衣服的售价－两件衣服的进价即可求出这单买卖的亏损情况． 【详解】解：设赚钱的那件衣服的进价为x元，亏损的那件衣服的进价为y元， 由题意得：300－x＝0.2x，300－y＝－0.2y， 解得：x=250，y=375 ∵300×2－250－375＝－25(元) ∴这单买卖亏损25元． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 7．一个密封的长方体容器内装有部分水，液体部分的截面恰好是一个正方形（如图1），液面到容器顶端的距离是．若把该容器横放（如图2），液面到容器顶端的距离是．则这个容器的截面面积是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设长方体的长、宽、分别是a、b，则高是（b+6），根据液体的体积相等列方程，解方程求得b的值，b（b+6）即可得这个容器的截面面积． 【详解】解：设长方体的长、宽、分别是a、b，则高是（b+6），根据题意得 ， 这个容器的截面面积是b（b+6）= 12×（12+6）=． 故选：C． 【点睛】本题考查长方体的体积，一元一次方程的应用，解题的关键是利用液体的体积相等列出方程． 8．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查角的动态问题和一元一次方程的应用，分两种情况进行讨论：当转动较小角度的平分时，；当转动较大角度的平分时，；分别依据角的和差关系进行计算即可得到的值． 【详解】解：分两种情况： ①如图平分时，， 即， 解得； ②如图平分时，， 即， 解得． 综上所述，当平分时，的值为2.5或32.5． 故选：D． 9．对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：． 下列说法： ①若，则生成的这数串中必有（为正整数）； ②若，生成的前2022个数之和为55； ③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32； ④若，则的值只能是9．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据规则分别求出的值，再归纳类推出一般规律即可判断①；先分别求出的值，再归纳类推出一般规律，然后求和即可判断②；分为偶数和为奇数两种情况，分别根据规则建立方程，解方程求出的值即可判断③；根据规则分别建立方程，解方程求出的值即可判断④． 【详解】解：当时，， ， ， 由此可知，的值是以循环往复的， 所以若，则生成的这数串中必有（为正整数），说法①正确； 当时，， ， ， ， ， ， 则从开始，的值是以循环往复的， 因为， 所以若，生成的前2022个数之和为 ，说法②错误； 若为偶数，则，解得，符合题设， 若为奇数，则，解得，符合题设， 所以若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32或5，说法③错误； 当时，因为7为奇数， 所以，解得为偶数， 所以或， 解得或（舍去）， 所以或， 解得或，均符合题意， 即若，则的值是9或56，说法④错误； 综上，正确的个数是1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了数字类规律探索、一元一次方程的应用，理解规则，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 10．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 【答案】D 【分析】分0≤t≤5与5≤t≤10两种情况进行讨论，根据PB＝2列方程，求解即可． 【详解】解：①当0≤t≤5时，动点P所表示的数是2t， ∵PB＝2， ∴|2t−5|＝2， ∴2t−5＝−2，或2t−5＝2， 解得t＝或t＝； ②当5≤t≤10时，动点P所表示的数是20−2t， ∵PB＝2， ∴|20−2t−5|＝2， ∴20−2t−5＝2，或20−2t−5＝−2， 解得t＝或t＝． 综上所述，运动时间t的值为秒或秒或秒或秒． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的位置关系，根据P点位置的 不同正确进行分类讨论，进而列出方程是解题的关键． 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，将1~9这九个数宇填入3×3的9方格内，使每行，每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等，在如图所示的幻方中，字母m所表示的数是 ． m 2 3 5 【答案】4 【分析】本题考查幻方．根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 【详解】解：根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”， ∴， ∴． 故答案为：4． 12．如图，一个长方形恰好被分成6个正方形，已知最小的正方形A的边长为a，则这个长方形的周长为 ．（结果用含a的代数式表示）      【答案】 【分析】设正方形，的边长为b，分别表示出各个正方形的边长，根据大长方形的长相等列出方程，求出，再表示出大长方形的周长，代入化简即可． 【详解】解：设正方形，的边长为b， ∵最小的正方形A的边长为a， ∴正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 则， 整理得：， ∴这个长方形的周长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了整式的加减的应用，一元一次方程，列代数式，解题的关键是找到等量关系． 13．如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的拓展，先解方程得到，再由关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，得到当时，关于k的方程有无数解，则，据此求出m、n的值，再代值计算即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得： ∵关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，且比百位上的数字小1，三个数字的和的50倍比这个三位数小2，求这个三位数是 ． 【答案】652 【分析】设十位上数字为x，分别表示出个位和百位数字，然后根据三个数字的和的50倍比这个三位数小2，列方程求解． 【详解】解：设十位上数字为x，则个位数字为x-3，百位数字为x+1，这个三位数为100(x+1)+10x+x-3， 由题意得，50(x+x-3+x+1)=100(x+1)+10x+x-3-2， 解得：x=5． 则这个三位数为：100×6+10×5+5-3=652． 故答案为：652． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 15．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】先设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的宽为，长为，再结合图形分别得出图形（3）的阴影周长和图形（4）的阴影周长，相等后列等式可得：，，最后根据长方形面积公式可得结论． 【详解】解：设图（1）中长方形的长为，宽为，图（2）中长方形的宽为，长为， 由两个长方形的， ∴图（3）阴影部分周长为： ， ∴图（4）阴影部分周长为： ， ∵两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，一元一次方程的应用，根据题意结合图形得出，是解题的关键． 16．某种零件由甲、乙、丙三个工作组加工．已知甲组有人，每人每小时可加工8件；乙组的人数比甲组的倍少4人，每人每小时可加工10件；丙组的人数比甲组的人数少6人，每人每小时加工12件．若三个工作组同时工作1小时恰好完成1188件，则满足条件的所有正整数的和为 ． 【答案】22 【分析】本题主要考查了列代数式及解一元一次方程，由的范围进一步确定的取值是解决此题的关键．根据题意，可以列出方程，再确定的范围，进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得， ， 化简，得：， ， ， ， 为正整数， 必能被整除，则可为10，13，26， 当时，， 当时，， 当时，， 的和为：． 故答案为：22 评卷人 得分 三、解答题 17．解方程：． 【答案】 【分析】方程去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可； 【详解】解：去分母去括号得， 移项､合并同类项，得， 系数化为1，得． ∴原方程的解为． 【点睛】此题考查解一元一次方程，关键是根据解一元一次方程的步骤解答． 18．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程去分母，移项合并，把系数化为1，即可求解； (2) 方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求解； 【详解】（1） 去分母：2x-40=20x+30-25x， 移项：2x-20x+25x=30+40， 合并：7x=70， 系数化为1：x=10； （2） 去分母：2（2x-4）-6(3x+2)=15， 去括号：4x-8-18x-12=15， 移项合并：-14x=35， 系数化为1：x=-． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，熟悉掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 19．列方程解应用题： 用边长为的正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．现有 19 张硬纸板，裁剪时 x 张用 A 方法，其余用 B 方法． (1)用 x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 【答案】(1)侧面个，底面个 (2)能做30个盒子 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用， （1）由x张用A方法，就有张用B方法，就可以分别表示出侧面个数和底面个数； （2）由侧面个数和底面个数比为3：2，建立方程求出x的值，求出侧面的总数就可以求出结论． 【详解】（1）∵裁剪时x张用A方法， ∴裁剪时张用B方法． ∴侧面的个数为：（个）， 底面的个数为：（个）； 即：侧面个，底面个； （2）由题意，得 ， 解得：， ∴盒子的个数为：（个）， 答：裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做30个盒子． 20．学校由两名老师带队组织部分学生外出游学，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为480元/人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去两位游客的费用，其余八折优惠． (1)若设参加游学的学生共有人，则甲旅行社的团体费用为____元，乙旅行社的团体费用为_____元；（用含的代数式表示）； (2)在（1）的情况下，当参加游学的学生一共有多少人时，两家旅行社的团体费用一样． 【答案】(1)， (2)30人 【分析】（1）根据题意，分别计算甲、乙旅行社的团体费用即可； （2）由（1）中两家旅行社的费用相等列方程，解方程即可． 【详解】（1）甲旅行社的团体费用为：元， 乙旅行社的团体费用为：元 故答案为：，； （2）由题意得， 答：当参加游学的学生一共有30人时，两家旅行社的团体费用一样． 【点睛】本题考查列代数式、一元一次方程的应用等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21．下图是2021年10月份日历，像图中那样，用一个圈圈着竖列3个数．    (1)若被圈住的三个数的和为39，则这三个数分别为 、 、 ． (2)小明说“任意圈出一竖列上相邻的三个数中，三个数的和是3的倍数”，你认为他说的正确吗？为什么？ (3)小亮说：“任意圈出一竖列上相邻的三个数中，最大数的5倍与最小数的3倍的差是奇数”，你认为他说的正确吗？为什么？ 【答案】(1)6，13，20 (2)小明的说法正确，理由见解析 (3)小亮说的不对，理由见解析 【分析】（1）设中间的数为n，则最大的数为，最小的数为，再建立方程求解即可； （2）设中间的数为n，则最大的数为，最小的数为，再求解代数和即可； （3）设中间的数为n，则最大的数为，最小的数为，再列式计算即可． 【详解】（1）解：设中间的数为n，则最大的数为，最小的数为， ∴， 解得：， ∴另外两个为：，， ∴三个数分别为：，，； （2）小明的说法正确，理由如下： 设中间的数为n，则最大的数为，最小的数为， ∴三个数的和为， ∴小明的说法正确． （3）设中间的数为n，则最大的数为，最小的数为， ∴， 因为n为正整数，所以为偶数，故小亮说得不对． 【点睛】本题考查列代数式及代数式化简，一元一次方程的应用，理解日历的特点是解本题的关键． 22．工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，接头处忽略不计） 长 宽 高 小纸盒 1 2 大纸盒 2 3 (1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？ (2)当，时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？ (3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元．A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠．那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？ 【答案】(1) (2)98 (3)到A商店应付款元，到B商店应付款元，当a为12时，到两家商店购买付款一样多． 【分析】（1）根据长方体表面积的求法分别求出做一个大纸盒，一个小纸盒的用料，相加即可； （2）将，代入求出结果即可； （3）根据不同的优惠政策分别列出算式，再根据付款一样多得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：做一个大纸盒用料为： 做一个小纸盒用料为：， 故做一个大纸盒和一个小纸盒共用料平方厘米； （2）解：当，时，（平方厘米）， 答：制作一大一小两个纸盒共用料98平方厘米； （3）解：由题意得：A商店应付款：元， B商店应付款：元， 当时， 解得：， 答：到A商店应付款元，到B商店应付款元，当a为12时，到两家商店购买付款一样多． 【点睛】本题考查了列代数式，代数式求值，整式的加减运算，一元一次方程的应用，根据题意正确列出代数式是解题的关键． 23．下表中有两种移动电话计费方式： 月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超费元 被叫 方式一 28 300 0.1 免费 方式二 58 800 0.08 免费 考虑下列问题∶ (1)设一个月用移动电话主叫为（为正整数）．根据上表，填写下表：当在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费； 主叫时间 方式一计费/元 方式二计费/元 小于或等于300 28 58 大于300且小于800 58 58 大于800 (2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法． 【答案】(1)见解析 (2)当小于时，选择方式一省钱；当等于时，两种方式收费一样，当大于时，选择方式二省钱 【分析】（1）根据所给的收费标准 对应的代数式即可； （2）分当小于或等于时，当大于且小于时，当，当大于且小于，当大于时，根据所给收费标准列出对应的式子求解即可． 【详解】（1）解：如表中所填． 主叫时间 方式一计费/元 方式二计费/元 小于或等于300 28 58 大于300且小于800 58 58 大于800 （2）解：当小于或等于300时，按方式一的计费少． 当从300增加到800时，按方式一的计费由28元增加到78元，而按方式二的计费一直是58元．因此，当大于300而且小于800时，可能在某主叫时间按方式一和方式二的计费相等． 列方程，，． 因此，如果主叫时间恰是600分钟，按两种方式的计费相等，都是58元． 如果主叫时间大于且小于，按方式一的计费少于按方式二的计费（58元）；如果主叫时间大于且小于，按方式一的计费多于按方式二的计费（58元．） 当时，按方式二的计费少． 当时，可以看出，按方式一的计费为78元加上超过部分的超时费，按方式二的计费为58元加上超过部分的超时费，按方式二的计费少． 分综合以上分析，可以发现：当小于时，选择方式一省钱；当等于时，两种方式收费一样，当大于时，选择方式二省钱． 【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，正确理解题意，列出对应时间段的代数式是解题的关键． 24．如图，已知：数轴上点表示的为8，是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． (1)写出数轴上点表示的数_______； (2)经过多少秒以后，、两点的距离为6个单位长度，并求出此时点表示的数是多少？ (3)若点遇到点时立即掉头返回，速度不变，请问相遇后再过 　　秒，点到原点的距离是点到原点的距离的3倍．（直接写出答案即可） 【答案】(1) (2)故经过4秒以后，、两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒以后，、两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是 (3)2.6或6.5 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）分两种情况：①相遇前、两点的距离为6个单位长度；②相遇后、两点的距离为6个单位长度；进行讨论即可求解； （3）先求出点遇到点时表示的数，再分①点在原点的左边；②点在原点的右边两种情况，进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：数轴上点表示的数是． 故答案为：； （2）解：设经过秒以后，、两点的距离为6个单位长度，依题意有： ①相遇前、两点的距离为6个单位长度， ， 解得， 则点表示的数是； ②相遇后、两点的距离为6个单位长度， ， 解得． 则点表示的数是． 故经过4秒以后，、两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒以后，、两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是； （3）解：， 则点遇到点时表示的数是， 设相遇后再过秒，点到原点的距离是点到原点的距离的3倍，依题意有： ①点在原点的左边， ， 解得； ②点在原点的右边， ， 解得． 故相遇后再过2.6或6.5秒，点到原点的距离是点到原点的距离的3倍． 故答案为：2.6或6.5． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，注意分类思想的应用． 25．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 【答案】(1)图见解析 (2)1 (3) (4) 【分析】（1）根据给出的幻方，可知最中央数字为9个数的和的平均数，再利用9个数的和÷3得到每行，每列，每条对角线上的三个数之和，在这组数中先确定两组和为的数，然后再分别推出其他位置的数字，填图即可； （2）根据给出的幻方，可以推出最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，列式求解即可； （3）根据最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，即可用表示幻和，幻和×3即可得到9个数的和；利用幻和为，分别用幻和和表示出和，再利用等于幻和，列式求解即可； （4）根据每行，每列，每条对角线上的三个数的和相等，和最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知： 最中央的数字为：， 每一行，每一列，每条对角线上的三个数字和为：， 填表如下： （2）解：由题可知：最中央位置的数字为每行，每列，每条对角线其它两个数字的平均数，设第一行的最后一个数字为：， 则：，解得：， 设第一列的中间数字为：， 则：， 解得：； 故答案为：1； （3）解：由题意得：该幻方的幻和可用e表示为：； 该幻方中9个数的和可用e表示为：； ∵ ∴， ∵， ∴，即：； 故答案为：； （4）解：由题意得： 设第一列的最后一个数字为：， 则：， ∴， ∴最中央的数字为：， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用．根据题意推出幻和等于最中央数字的3倍，最中央的数字是每一行，每一列，每一条对角线上其它两个数字的平均数，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次方程单元过关（培优版） 考试范围：第五章；考试时间：120分钟；总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 评卷人 得分 一、单选题 1．解方程：．去分母正确的是（    ） A． B． C． D． 2．一元一次方程可以化简成，其依据是（    ） A．等式的性质1 B．分数的性质 C．分配律 D．等式的性质2 3．某比赛的计分方法为胜一场得2分，平一场得1分，负一场得0分．一个队共进行了14场比赛，负了5场，得14分，设该队共平了场，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4．一艘轮船沿长江从A港顺流行驶到B港，然后从B港逆流返回A港，结果返回时多用了3小时，若船速为40千米/时，水速为5千米/时，求A港和B港相距多少千米，设A港和B港相距x千米，根据题意，可列出的方程是（　　） A． B． C． D． 5．某项工作，甲单独做要4天完成，乙单独做要6天完成，若甲先做1天后，然后甲、乙合作完成此项工作，若设甲一共做了天，所列方程是（　　） A． B． C． D． 6．某服装店同时以300元的价钱出售两件不同进价的衣服，其中一件赚了20%，而另一件亏损了20%．则这单买卖是（    ） A．不赚不亏 B．赚了 C．亏了 D．无法确定 7．一个密封的长方体容器内装有部分水，液体部分的截面恰好是一个正方形（如图1），液面到容器顶端的距离是．若把该容器横放（如图2），液面到容器顶端的距离是．则这个容器的截面面积是（　　　） A． B． C． D． 8．如图，直线与相交于点，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为（　 ） A． B． C．或 D．或 9．对于任意一个正整数可以按规则生成无穷数串：，，，…，，，…（其中为正整数），规则为：． 下列说法： ①若，则生成的这数串中必有（为正整数）； ②若，生成的前2022个数之和为55； ③若生成的数中有一个，则它的前一个数应为32； ④若，则的值只能是9．其中正确的个数是（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，数轴上的点O和点A分别表示0和10，点P是线段OA上一动点．点P沿O→A→O以每秒2个单位的速度往返运动1次，B是线段OA的中点，设点P运动时间为t秒（t不超过10秒）．若点P在运动过程中，当PB＝2时，则运动时间t的值为（    ） A．秒或秒 B．秒或秒或秒或秒 C．3秒或7秒或秒或秒 D．秒或秒或秒或秒 第II卷（非选择题） 评卷人 得分 二、填空题 11．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方，将1~9这九个数宇填入3×3的9方格内，使每行，每列、每条斜对角线上的三个数之和都相等，在如图所示的幻方中，字母m所表示的数是 ． m 2 3 5 12．如图，一个长方形恰好被分成6个正方形，已知最小的正方形A的边长为a，则这个长方形的周长为 ．（结果用含a的代数式表示）      13．如果m，n为常数，关于x的方程，无论k为何值，方程的解总是，则 ． 14．一个三位数，十位上的数字比个位上的数字大3，且比百位上的数字小1，三个数字的和的50倍比这个三位数小2，求这个三位数是 ． 15．如图，用三个同（1）图的长方形和两个同（2）图的长方形用两种方式去覆盖一个大的长方形，两种方式未覆盖的部分（阴影部分）的周长一样，若（2）图的长方形面积时，则（1）图中长方形的面积为 ． 16．某种零件由甲、乙、丙三个工作组加工．已知甲组有人，每人每小时可加工8件；乙组的人数比甲组的倍少4人，每人每小时可加工10件；丙组的人数比甲组的人数少6人，每人每小时加工12件．若三个工作组同时工作1小时恰好完成1188件，则满足条件的所有正整数的和为 ． 评卷人 得分 三、解答题 17．解方程：． 18．解方程 (1) (2) 19．列方程解应用题： 用边长为的正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子的侧面为长方形，底面为等边三角形．硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）A方法：剪6个侧面；B 方法：剪4个侧面和5个底面．现有 19 张硬纸板，裁剪时 x 张用 A 方法，其余用 B 方法． (1)用 x 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数； (2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子？ 20．学校由两名老师带队组织部分学生外出游学，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均为480元/人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去两位游客的费用，其余八折优惠． (1)若设参加游学的学生共有人，则甲旅行社的团体费用为____元，乙旅行社的团体费用为_____元；（用含的代数式表示）； (2)在（1）的情况下，当参加游学的学生一共有多少人时，两家旅行社的团体费用一样． 21．下图是2021年10月份日历，像图中那样，用一个圈圈着竖列3个数．    (1)若被圈住的三个数的和为39，则这三个数分别为 、 、 ． (2)小明说“任意圈出一竖列上相邻的三个数中，三个数的和是3的倍数”，你认为他说的正确吗？为什么？ (3)小亮说：“任意圈出一竖列上相邻的三个数中，最大数的5倍与最小数的3倍的差是奇数”，你认为他说的正确吗？为什么？ 22．工厂制作大小两种长方体纸盒的尺寸如下：（单位：cm，接头处忽略不计） 长 宽 高 小纸盒 1 2 大纸盒 2 3 (1)做一个大纸盒和一个小纸盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代数式表示）？ (2)当，时，求制作一大一小两个纸盒共用料多少平方厘米？ (3)班级现计划购买大纸盒10个，小纸盒a个（），现从A，B两家商店了解到；两家商店的纸盒价格相同，大纸盒每个1.9元，小纸盒每个0.5元．A商店的优惠政策为：每买一个大纸盒赠送一个小纸盒，B商店的优惠政策为：大小纸盒都按八折优惠．那么学校到两家商店购买各应付款多少元（用含a的式子表示）？若规定只能选择一家商店购买，当a为何值时，到两家商店购买付款一样多？ 23．下表中有两种移动电话计费方式： 月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超费元 被叫 方式一 28 300 0.1 免费 方式二 58 800 0.08 免费 考虑下列问题∶ (1)设一个月用移动电话主叫为（为正整数）．根据上表，填写下表：当在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费； 主叫时间 方式一计费/元 方式二计费/元 小于或等于300 28 58 大于300且小于800 58 58 大于800 (2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法． 24．如图，已知：数轴上点表示的为8，是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． (1)写出数轴上点表示的数_______； (2)经过多少秒以后，、两点的距离为6个单位长度，并求出此时点表示的数是多少？ (3)若点遇到点时立即掉头返回，速度不变，请问相遇后再过 　　秒，点到原点的距离是点到原点的距离的3倍．（直接写出答案即可） 25．请阅读下列材料，并解答相应的问题： 将若干个数组成一个正方形数阵，若任意一行，一列及对角线上的数字之和都相等（这个和叫幻和），则称具有这种性质的数字方阵为“幻方”中国古代称“幻方”为“河图”、“洛书”等，例如，下面是三个三阶幻方，是将数字1，2，3，4，5，6，7，8，9填入到的3×3方格中得到的，其每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等． (1)请你将下列九个数：，分别填入图1方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等； (2)在图2的三阶幻方中，x的值为______； (3)在图3的三阶幻方中，该幻方的幻和可用e表示为______；进而可得该幻方中9个数的和可用e表示为______；a，h，f之间的数量关系为______； (4)图4的三阶幻方中，y的值为______． 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