微专题03 一元一次方程新定义问题通关专练——2024-2025学年七年级数学上册重难考点强化训练（人教版2024）

微专题03 一元一次方程新定义问题通关专练 一、单选题 1．对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．若定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于x的方程与方程是“美好方程”，则m的值是（   ） A．9 B． C．12 D． 3．定义：对于一个有理数x，我们把称作x的伴随数：若，则；若，则．例：，．现有以下判断：（1）；（2）已知有理数，，且满足，则；（3）对任意有理数x，有或1；（4）方程的解只有；其中正确的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4） 4．定义新运算，其中m，n为常数，已知m，n互为倒数，若，，则（    ） A．18 B．10 C．4.5 D．与x的取值有关 5．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 6．定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是（    ） A．9 B．-9 C．9或-9 D．无法确定 7．将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 若定义 则 中的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 8．如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则x的值为（    ） A．1或2 B．1或3 C．0或2 D．1或0 9．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数，且）．例如：．若，则的值为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 10．若定义一种新运算，例如：， 下列说法： ①； ②若，则或3.5； ③若，则或； ④若关于x的方程与（m为常数）有相同的解，则或1． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．对任意四个有理数，定义新运算：，若，则 ． 12．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题： （1）方程 妙解方程（填“是”或“不是”） （2）已知关于的一元一次方程是妙解方程．则 ． 13．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对” （1）若是“共生有理数对”，则的值为 ； （2）若是“共生有理数对”，则 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”． 14．（1）已知单项式与的和仍是单项式，那么 ． （2）定义运算法则：，例如．若，则的值为 ． 15．观察下列式子，定义一种新运算： ； ； ； ． （1） ； （2）请你想一想： （用含的式子表示）； （3）如果，则 ． 16．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，有（a为常数），例如：．若的值为，则a的值为 ． 17．现定义一种新运算，对于任意有理数，，，满足，若对于含未知数的式子满足，则 ． 18．定义：若，则称与是关于的平衡数． （1），判断与是否是关于的平衡数? （填“是”或“否”） （2）与 是关于的平衡数． 19．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x的一元一次方程是妙解方程，则 ． 20．我们来定义一种运算：，例如，按照这种定义，当成立时，则的值是 ． 三、解答题 21．对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 22．阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 23．对于有理数，定义了一种新运算“※”为 如：． (1)计算：①__________，②___________； (2)若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； (3)若，且，求的值． 24．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 25．新定义：若任意两数，按规定，通过运算得到一个新数W，则称所得新数W是数的“快乐学习数”． (1)若，，求a、b的“快乐学习数”W． (2)若，数a、b的“快乐学习数”W为16，求a的值． 26．定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 27．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是 ___________； (2)若是“相伴有理数对”，则的值是 ___________； 28．定义：对于形如的多项式，，为常数，其中，若取两个不相等的数值，时，该多项式的值相等，则称数值和为多项式的一组“等值元”，记作．例如多项式，当取0和4时，多项式的值均为5，则称0和4为多项式的一组“等值无“，记作． (1)下列各组数值中，是多项式的“等值元“的有 ．（填写序号） ①和；②1和；③和． (2)若是 的一组“等值元”求的值． 29．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 30．定义，若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”． (1)判断，是不是方程的“友好系数”，并写出判断过程． (2)若方程有“友好系数”，请求出此方程的所有“友好系数”． 31．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值； 32．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若关于的方程和方程是“兄弟方程”，求这两个方程． 33．定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“错位方程”，例如：方程与方程互为“错位方程”． (1)若关于的方程与方程互为“错位方程”，则＝__________； (2)若关于的方程与方程互为“错位方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“错位方程”的解都是整数，求整数的值． 34．把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值； (2)类比“雅系二元一次方程”（，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等式”（，k是常数）的“完美解集”为，请求出k的值． 35．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 36．（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 37．阅读下列内容，完成任务． 定义：我们把使等式成立的一对有理数a，b称为“姊妹数对”，其中，记为．如．，，因此是一对“姊妹数对”． 任务： (1)数对和中，是“姊妹数对”的是_________． (2)若数对是“姊妹数对”，求x的值． 38．某校七年级数学兴趣小组发现一组有趣的有理数对，定义如下：两个有理数和，称为一组有理数对，记作若有理数对满足，称有理数对为“线性数对”．例如，有理数对，即，，有，那么就是“线性数对”． (1)两组有理数对，，可以称为“线性数对”的是__________； (2)如果有理数对是“线性数对”，求的值； (3)如果有理数对是“线性数对”（，），求的值． 39．小蜜蜂用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数）．例如：． (1)当时，求的值． (2)若的值比的值大2，求a的值． (3)若的值为5，求的值． 40．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程式“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程____________差解方程；（选填“是”或“不是”） 【知识应用】 （2）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【拓展提高】 （3）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题03 一元一次方程新定义问题通关专练 一、单选题 1．对于有理数a、b定义新运算“*”：．例如：，则方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据新定义列出方程，解方程，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 解得： 故选：C． 2．若定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．若关于x的方程与方程是“美好方程”，则m的值是（   ） A．9 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，先求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出，再求出即可．理解并熟练应用新定义解答也是解题的关键． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴，解得：， 故选：A 3．定义：对于一个有理数x，我们把称作x的伴随数：若，则；若，则．例：，．现有以下判断：（1）；（2）已知有理数，，且满足，则；（3）对任意有理数x，有或1；（4）方程的解只有；其中正确的是（    ） A．（1）（3） B．（1）（2）（3） C．（1）（2）（4） D．（1）（2）（3）（4） 【答案】B 【分析】本题考查的是新定义运算，解题的关键是读懂题意， 根据题中的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：（1）由定义可知：，（1）正确； （2）由定义可知：， ∴，（2）正确； （3）当时，， 当时，， 当时，，（3）正确； （4）当时，， ∴，故（4）错误． 故选：B． 4．定义新运算，其中m，n为常数，已知m，n互为倒数，若，，则（    ） A．18 B．10 C．4.5 D．与x的取值有关 【答案】A 【分析】先根据，求出，，根据，得出，最后将进行化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∵m，n互为倒数， ∴， ∵， ∴， 即， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，倒数的定义，解一元一次方程，解题的关键是读懂题意，求出m、n的值． 5．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值． 【详解】解：， 即 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了解一元一次方程，定义新计算，解题的关键是弄清题中的新定义． 6．定义一种新运算：，例如：，．若，则b的值是（    ） A．9 B．-9 C．9或-9 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴①当时，则有-2+2b=16，解得，； ②当时，，解得， 综上所述，b的值是9或-9 故选：C 【点睛】本题考查了一元一次方程，解题的关键是明确新定义，会用解一元一次方程． 7．将四个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成 若定义 则 中的值为（   ） A．10 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意得出关于x的方程，再求出解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 故选 D． 8．如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第a行第b列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则x的值为（    ） A．1或2 B．1或3 C．0或2 D．1或0 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，新定义，根据题意可得，再由为奇数，且，得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∵为奇数，且 ∴或， ∴或， 故选：D． 9．用“△”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数，且）．例如：．若，则的值为（   ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，有理数的混合运算，根据求出a的值，再根据新定义求的值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 故选A． 10．若定义一种新运算，例如：， 下列说法： ①； ②若，则或3.5； ③若，则或； ④若关于x的方程与（m为常数）有相同的解，则或1． 其中正确的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据新定义的运算法则进行计算，逐项判断即可，准确理解新定义法则是解题的关键． 【详解】∵， ∴，故①正确； 若， 当，即时， ， 解得（不合题意，舍去）， 当，即时， ， 解得（不合题意，舍去），故②错误； 若， ∵， ∴， 解得，故③错误； 解得， ∴， 当，即时， ， 解得， 当，即时， ， 解得，故④正确； 综上，正确的是①④， 故选：B． 二、填空题 11．对任意四个有理数，定义新运算：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：依题意，． 去括号、合并同类项得 解得：， 故答案为：． 12．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解，则称这个方程为妙解方程．例如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答下列问题： （1）方程 妙解方程（填“是”或“不是”） （2）已知关于的一元一次方程是妙解方程．则 ． 【答案】 不是 【分析】此题考查了一元一次方程的解，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）根据题中的新定义判断即可； （2）利用题中的新定义确定出m的值即可； 【详解】解：（1）∵， 解方程得，， ∴方程不是妙解方程， 故答案为：不是； （2）∵一元一次方程是妙解方程 ∴方程的解为：， 代入得：， 解得：， 故答案为：． 13．观察下列两个等式：，，给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“共生有理数对”，记为．如数对，都是“共生有理数对” （1）若是“共生有理数对”，则的值为 ； （2）若是“共生有理数对”，则 （填写“是”或“不是”）“共生有理数对”． 【答案】 是 【分析】本题考查新定义运算的含义，一元一次方程的应用，解答本题的关键是会用新定义解答问题． （1）根据新定义可得关于的一元一次方程，再解方程即可； （2）根据共生有理数对的定义对变形即可判断． 【详解】解：（1）由题意，得， 解得：； 故答案为：； （2）， ， 是共生有理数对． 故答案为：是． 14．（1）已知单项式与的和仍是单项式，那么 ． （2）定义运算法则：，例如．若，则的值为 ． 【答案】 12 3 【分析】本题主要考查同类项和一元一次方程的应用： （1）只有同类项才可以合并的，由同类项的定义可求得m和n的值，代入计算即可； （2）根据题意可得方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵单项式与的和是单项式， ∴单项式与是同类项， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12； （2）∵， ∴， ∴， 解得，， 故答案为：3． 15．观察下列式子，定义一种新运算： ； ； ； ． （1） ； （2）请你想一想： （用含的式子表示）； （3）如果，则 ． 【答案】 【分析】（1）根据定义新运算的法则计算； （2）根据所给的式子总结规律即可； （3）根据定义新运算得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：（1）； （2）根据题意得； （3）， ， 解得． 故答案为：，，． 【点睛】本题考查的是有理数的混合运算、解一元一次方程，正确理解新定义、掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 16．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，有（a为常数），例如：．若的值为，则a的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，解一元一次方程．根据题意得出有理数混合运算的式子，求出的值即可． 【详解】解：（a为常数），的值为， ∴， 解得． 故答案为：1． 17．现定义一种新运算，对于任意有理数，，，满足，若对于含未知数的式子满足，则 ． 【答案】2 【分析】首先根据新定义整理成我们熟悉的方程，然后根据解一元一次方程的方法，求出x的值是多少即可． 【详解】∵ ∴， 去括号，可得：， 移项，合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 18．定义：若，则称与是关于的平衡数． （1），判断与是否是关于的平衡数? （填“是”或“否”） （2）与 是关于的平衡数． 【答案】 否 【分析】（1）根据整式加减的运算法则求解即可． （2）先列出一元一次方程，进而即可求解． 【详解】（1） 所以，与不是关于的平衡数． 故答案为：否 （2）设与是关于的平衡数，则 ． ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查整式加减的运算法则和一元一次方程，牢记整式加减的运算法则（几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项）是解题的关键． 19．定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的差刚好是这个方程的解的2倍，则称这个方程为妙解方程．如：方程中，，方程的解为，则方程为妙解方程．请根据上述定义解答：关于x的一元一次方程是妙解方程，则 ． 【答案】 【分析】先解出方程，可得 ，再由妙解方程的定义，可得 ，即可求解． 【详解】解：， 解得： ， 根据题意得： ， 解得： ． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键． 20．我们来定义一种运算：，例如，按照这种定义，当成立时，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据题中计算公式列得方程，求解即可． 【详解】解：由题意得： 化简得：x+2=-1-x 移项得：2x=-3， ∴x=， 故答案为：． 【点睛】此题考查列一元一次方程，解一元一次方程，根据题意列出方程并正确解方程是解题的关键． 三、解答题 21．对于整数，，，，定义，如：； (1)计算：的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，能根据新定义得出方程是解此题的关键． （1）根据新定义得出，进一步计算即可求解； （2）根据新定义得出，再解一元一次方程即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， 解得． 22．阅读下列材料，并完成相应的任务． 定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”． 例如：方程与方程为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由； (2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算． （1）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可； （2）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出m的值即可． 【详解】（1）解：方程与方程互为“美好方程”； 理由如下： 解方程得， 解方程得， ， 方程与方程互为“美好方程”； （2）解：关于的方程的解为：， 方程的解为：， 关于的方程与方程是“美好方程”， ， ． 23．对于有理数，定义了一种新运算“※”为 如：． (1)计算：①__________，②___________； (2)若是关于的一元一次方程，且方程的解为，求的值； (3)若，且，求的值． 【答案】(1)5， (2)； (3)． 【分析】本题考查了整式的加减运算，解一元一次方程． （1）根据题中定义代入即可得出； （2）根据，代入题中定义，解方程即可求解； （3）先利用整式的加减求得的值，得到，再整体代入即可求解． 【详解】（1）解：根据题意：； ； 故答案为：5，； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， 解得； （3）解：由题意 ， ∵， ∴，即， ∴． 24．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“和谐方程”． 例如：方程和为“和谐方程”． (1)若关于的方程与方程是“和谐方程”，求的值； (2)若“和谐方程”的两个解的差为4，其中一个解为，求的值； (3)若无论取任何有理数，关于的方程（，为常数）与关于的方程都是“和谐方程”，求与的值． 【答案】(1) (2)或 (3)， 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是根据“和谐方程”的定义，一元一次方程的解，进行解答，即可． （1）解出和的解，再根据“和谐方程”的定义，即可； （2）根据“和谐方程”的定义，则一个方程的解为：；另一个方程的解为：，即可； （3）先解出的解，再根据“和谐方程”的定义，即可． 【详解】（1）∵， 解得：， ∵， ∴， ∵方程与方程是“和谐方程”， ∴， ∴． （2）∵“和谐方程”的两个解的差为，其中一个解为， ∴另一个方程的解为：， ∴， 解得：， ∴或． （3）∵， ∴， ∴方程的解为：， ∴， ∴， ∴， ∵取任何有理数上式都成立， ∴， \解得：， ∴，． 25．新定义：若任意两数，按规定，通过运算得到一个新数W，则称所得新数W是数的“快乐学习数”． (1)若，，求a、b的“快乐学习数”W． (2)若，数a、b的“快乐学习数”W为16，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算题型． （1）根据新定义，直接代入a，b的值计算即可； （2）列出符合题意的方程，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴的“快乐学习数”； （2）解：∵，， ∴，解得：． 26．定义：若一个关于的一元一次方程：（）的解为，则称此方程为“中点方程”，如方程的解为，而，所以方程为“中点方程”. (1)方程是“中点方程”吗？请说明理由； (2)若关于的方程为是“中点方程”，求的值. 【答案】(1)是，见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义运算以及一元一次方程的解法，正确理解“中点方程”的定义是解题关键． （1）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义判断，即可得到答案； （2）先求出方程的解，再根据“中点方程”定义，得到关于的方程，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是，理由如下： 由方程，解得：， ， 方程是“中点方程”； （2）解：由方程，解得， 方程为是“中点方程”， ， 解得： 27．给出定义如下：我们称使等式成立的一对有理数，为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对，中，是“相伴有理数对”的是 ___________； (2)若是“相伴有理数对”，则的值是 ___________； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相伴有理数的定义，结合有理数加减乘除的运算法则求解即可． （2）根据相伴有理数的定义，结合解一元一次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）当，时，可得： ，， 则， 所以不是“相伴有理数对”； 当，时，可得： ，， 则， 所以是“相伴有理数对”． 故答案为：； （2）因为是“相伴有理数对”，可得： ． 解得： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算及解一元一次方程，理解新定义是解决问题的关键． 28．定义：对于形如的多项式，，为常数，其中，若取两个不相等的数值，时，该多项式的值相等，则称数值和为多项式的一组“等值元”，记作．例如多项式，当取0和4时，多项式的值均为5，则称0和4为多项式的一组“等值无“，记作． (1)下列各组数值中，是多项式的“等值元“的有 ．（填写序号） ①和；②1和；③和． (2)若是 的一组“等值元”求的值． 【答案】(1)①③ (2)0.5 【分析】本题考查的是列代数式，解一元一次方程，熟练掌握知识点和题目中的新定义是解题的关键． （1）将各组的数值代入计算，再根据“等值元”的新定义判断即可； （2）根据“等值元”的新定义得出含的方程，即，再求解即可． 【详解】（1）解：将 和分别代入多项式中， 即，， ①符合题意； 将1 和分别代入多项式中， 即，，， ②不符合题意； 将和分别代入多项式中， 即，， ③符合题意， 故答案为：①③． （2）∵是 的一组“等值元”， ， 解得：． 29．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“伴生方程”，例如：方程与方程互为“伴生方程”． (1)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，则_________； (2)若关于的方程与方程互为“伴生方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“伴生方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2)， (3)b的值为5或 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握“伴生方程”的定义，是解题的关键． （1）根据“伴生方程”的定义，即可得出的值； （2）根据“伴生方程”的定义，得到，，求解即可； （3）求出两个方程的解，根据解都是整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程与方程互为“伴生方程”， ∴； 故答案为：2； （2）由题意，得：，， ∴，； （3）∵， ∴， ∵的“伴生方程”是， 解得：， ∵均为整数， ∴． 30．定义，若整数k的值使关于x的方程的解为整数，则称k为此方程的“友好系数”． (1)判断，是不是方程的“友好系数”，并写出判断过程． (2)若方程有“友好系数”，请求出此方程的所有“友好系数”． 【答案】(1)和都是方程的“友好系数”； (2)或或2． 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）分别将和代入方程，求出方程的解，再判断即可； （2）解方程得，当是整数时，也是整数，由此可得方程的“友好系数”． 【详解】（1）解：当时，， 解得， ∴为此方程的“友好系数”； 当时，， 解得， ∴为此方程的“友好系数”； （2）解： ， ， ， 为整数， ， ， 解得：， 要使的值为整数，则，，，， 为整数， ∴或或2． 31．定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”． (1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值； (2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出两个方程的解，根据“集团方程”的定义，再进行求解即可； （2）利用含的代数式表示出另一个解，再根据“集团方程”的定义，再进行求解即可． 【详解】（1）解：由，得：； 由，得：； ∵关于x的方程与方程是“集团方程”， ∴，解得：； ∴． （2）解：∵“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n， ∴另一个解为：， 由题意，得：，解得：； ∴． 【点睛】本题考查解一元一次方程．理解并掌握“集团方程”的定义，是解题的关键． 32．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们称这两个方程为“兄弟方程”．如方程和为“兄弟方程”． (1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求m的值； (2)若关于的方程和方程是“兄弟方程”，求这两个方程． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）分别求解，再根据“兄弟方程”的定义解答； （2）求得方程和解，然后由“兄弟方程”的定义解答． 【详解】（1）解：解得：， 解得：， ∴， 解得：； （2）解得：， ∵方程和方程是“兄弟方程”， ∴， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解的定义，解题的关键是掌握“兄弟方程”的定义． 33．定义：关于的方程与方程（、均为不等于0的常数）称互为“错位方程”，例如：方程与方程互为“错位方程”． (1)若关于的方程与方程互为“错位方程”，则＝__________； (2)若关于的方程与方程互为“错位方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“错位方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据“错位方程”定义，直接求解； （2）列出方程直接求解即可； （3）解出方程，根据整数解直接求值． 【详解】（1）与方程互为“错位方程”， 则． （2）可化简为， 可化简为， 因为与方程互为“错位方程”， 可得，解得． （3）的解为， 的“错位方程”为的解为， 因为与其“错位方程”的解都是整数， 所以． 【点睛】此题考查一元一次方程和新定义的题型，解题关键是看清定义，然后直接求解即可． 34．把（其中a、b是常数，x、y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”．当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”．例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． (1)是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值； (2)类比“雅系二元一次方程”（，k是常数）的定义，对于一个“雅系二元一次不等式”（，k是常数）的“完美解集”为，请求出k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，将代入即可求出m的值． （2）由题意可得，即，解集为x＞2，符号未变向，可得，解方程即可求得k的值． 【详解】（1）解：由题意可得，将代入 有， 解得． （2）解：由题意可得， 即， ∵完美解集为， ∴， ． 【点睛】本题考查解一元一次方程、新定义，能正确理解题意，将所求问题转化为一元一次方程求解是解题的关键． 35．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如： 方程和为“美好方程”． (1)请判断方程与方程是否互为“美好方程”； (2)若关于x的方程与方程是“美好方程”， 求m的值； (3)若关于x的一元一次方程和 是“美好方程”，求关于y的一次方程：的解． 【答案】(1)方程与方程互为“美好方程” (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． （1）解得；解得，由，可知方程与方程互为“美好方程”； （2）解得，；解得；由若关于x的方程与方程是“美好方程”，可得，计算求解即可； （3）解得，，由关于x的一元一次方程和是“美好方程”，可知是关于x的一元一次方程的解，则，计算求解即可． 【详解】（1）解：， 解得，； ， 解得，， ∵， ∴方程与方程互为“美好方程”； （2）解：， 解得，； ， 解得，； ∵若关于x的方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得，， ∴m的值为9； （3）解：， 解得，， ∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”， ∴是关于x的一元一次方程的解， ∴， 解得，， ∴若求关于y的一次方程：的解为． 36．（1）解方程 （2）在解形如这一类含有绝对值的方程时，可以根据绝对值的意义分和两种情况讨论： 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或． 请你类比此法解方程：． （3）新定义：若是关于x的一元一次方程的解，是关于y的方程的一个解，且，满足，则关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的解是或，当时，满足，所以关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”．若关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”，求a的值． 【答案】（1）或；（2）或；（3）或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程： （1）先推出，进而得到或，进而解方程即可； （2）仿照题意进行求解即可； （3）先解方程得到或，，再根据新定义得到或，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得或； （2） 当时，原方程可化为．解得．符合． 当时，原方程可化为．解得．符合． 所以原方程的解为或； （3）∵， ∴， ∴或， ∴或； ∵， ∴， ∴， 解得， ∵关于y的方程是关于x的一元一次方程的“航天方程”， ∴或， 解得或． 37．阅读下列内容，完成任务． 定义：我们把使等式成立的一对有理数a，b称为“姊妹数对”，其中，记为．如．，，因此是一对“姊妹数对”． 任务： (1)数对和中，是“姊妹数对”的是_________． (2)若数对是“姊妹数对”，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算和一元一次方程的应用，解题关键是看懂定义并能运用定义解决问题． （1）根据“姊妹数对”的定义即可判断； （2）根据“姊妹数对”的定义得关于的方程即可求解． 【详解】（1）解：对于数对，，， ∴， ∴是“姊妹数对”， 对于数对，，， ∴， ∴不是“姊妹数对”， 故答案为：； （2）∵数对是“姊妹数对”， ∴， 即： 解得：． 38．某校七年级数学兴趣小组发现一组有趣的有理数对，定义如下：两个有理数和，称为一组有理数对，记作若有理数对满足，称有理数对为“线性数对”．例如，有理数对，即，，有，那么就是“线性数对”． (1)两组有理数对，，可以称为“线性数对”的是__________； (2)如果有理数对是“线性数对”，求的值； (3)如果有理数对是“线性数对”（，），求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了有理数的运算，一元一次方程的应用，整式加减运算的化简求值．理解题意，掌握运算规则进行求解是解题的关键． （1）根据定义进行求解，然后判断作答即可； （2）由有理数对是“线性数对”，可得，计算求解即可； （3）有理数对是“线性数对”，可得，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】（1）解：有理数对，，， ∵， ∴为“线性数对”； 同理可求，，， ∵， ∴不为“线性数对”； 故答案为：； （2）解：∵有理数对是“线性数对”， ∴， ， 解得，； （3）解：∵有理数对是“线性数对”， ∴，整理得，， ∴， ∴的值为4． 39．小蜜蜂用“P”定义一种新运算：对于任意有理数x和y，（a为常数）．例如：． (1)当时，求的值． (2)若的值比的值大2，求a的值． (3)若的值为5，求的值． 【答案】(1)11 (2) (3)17 【分析】本题主要考查了代数式求值，解一元一次方程，有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据题干信息，列出算式进行计算即可； （2）根据的值比的值大2，得出，解关于a的方程即可； （3）先根据的值为5，得出，根据，整体代入求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， 当时， ． （2）解：， ， ∵的值比的值大2， ∴， 解得：． （3）解：∵的值为5， ∴， ∴， 即， ∴ ． 40．我们规定关于x的一元一次方程的解为，则称该方程式“差解方程”，例如：的解为，则该方程就是“差解方程”，请根据上述规定解答下列问题： 【定义理解】 （1）判断：方程____________差解方程；（选填“是”或“不是”） 【知识应用】 （2）已知关于x的一元一次方程是“差解方程”，求的值； 【拓展提高】 （3）已知关于x的一元一次方程和都是“差解方程”，求代数式的值． 【答案】（1）是；（2）16；（3）0 【分析】此题考查了方程的解和解一元一次方程、求代数式的值，整体代入和正确理解新定义是解题的关键． （1）根据差解方程的定义进行验证即可； （2）根据差解方程的定义得到，即可得到； （3）根据差解方程的定义分别求出，，整体代入即可求出答案． 【详解】（1）解：∵的解是， ∴方程是“差解方程”， 故答案为：是 （2）是“差解方程”， ， ， ， 故答案为：16； （3）是“差解方程”， ， ， ， 是“差解方程”， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$