陕西省渭南市富平县迤山中学2024-2025学年高二上学期第二次月考数学试题

高二年级上学期第二次质量检测数学试题 命题人：张建英 审题人：刘文清 一、单选题：（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1．椭圆的焦距为（　　） A． B． C． D．8 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称点为，则（    ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 3． 已知过抛物线焦点的直线与抛物线相交于，两点，若线段的中点的横坐标为3，则线段的长度为( ) A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 4．四个学生，随机分配到三个车间去劳动，不同的分配方法数是（　　） A．12 B．64 C．81 D．24 5.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（    ） A． B． C． D． 6. 已知三棱锥，点M，N分别为AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知空间中三点A（1，1，0），B（2，﹣2，0），C（0，﹣1，3），则（　　） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是 C．与夹角的余弦值是－ D．与夹角的正弦值是 8. 已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D．（－∞，6） 9．在正方体中，平面经过点B、D，平面经过点A、，当平面，分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分） 10.已知空间中三点A（2，1，﹣1），B（1，0，2），C（0，3，﹣1），则（　　） A． B．AB⊥AC C．cos∠ABC＝ D．A，B，C三点共线 11.下列四个命题中正确的是（ ） A. 已知是空间的一组基，若，则也是空间的一组基 B. 是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则 C. 已知向量，，则在方向上的投影向量为 D. 为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面 12. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D.△OMN为等腰三角形 三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知双曲线＝1（a＞0）的一条渐近线为y＝x，则实数a＝　 　． 14.有四位教师在同一年级的四个班各教一个班的数学,在数学检测时要求每位教师不能在本班监考,则监考的方法种数是 　 　． 15．已知抛物线、分别是双曲线的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，且与双曲线的一条渐近线交于点A，若，则b＝ . 16. 在正方体中，设，若二面角平面角的正弦值为，则实数的值为______． 四、解答题：（本题共5小题，共67分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. (12分）已知＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2）． （1）若四边形ABCD为平行四边形，求实数a，b的值； （2）若四边形ABCD的对角线互相垂直，求实数a，b满足的关系式． 18.（12分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为线段DD1的中点，F为线段BB1的中点． （1）求点A1到直线B1E的距离； （2）求点A1到平面AB1E的距离． 19.（14分））如图，四棱锥P﹣ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝2BC＝2CD＝2，M是PD的中点． （1）求证：CM∥平面PAB； （2）求直线CD与平面PAB所成角的余弦值． 20.（14分）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2． （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小． 21.（15分）如图，椭圆E：的离心率是，过点P（0，1）的动直线l与椭圆相交于A、B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2． （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二年级上学期第二次月考数学答案 一．单选题： 1.C 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7.C 8.A 9.C 二．多选题： 10.AB 11.AD 12.AC 三．填空题：13.1 14. 9 15. 16. 或 四．解答题： 17.解：（1）∵＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2）， 四边形ABCD为平行四边形， ∴＝， ∴（4，1，a）＝（﹣2，3，5）+（6，b，﹣2）＝（4，b+3，3）， ∴，解得a＝3，b＝﹣2． （2）∵＝（﹣2，3，5），＝（4，1，a），＝（6，b，﹣2）， ∴＝＝（8，b﹣3，﹣7）， ∵四边形ABCD的对角线互相垂直， ∴＝（4，1，a）•（8，b﹣3，﹣7）＝32+b﹣3﹣7a＝0， ∴b﹣7a+29＝0． 18.解：（1）建立如图所示： A﹣xyz空间直角坐标系， 则A1（0，0，2），B1（1，0，2），E（0，1，1）， 所以， 所以点A1到直线B1E的距离； （2）， 设平面AB1E的法向量为：， 则， 取x＝2，则， 所以点A1到平面AB1E的距离为． 19.（1）证明：取PA的中点N，连结MN，BN， ∵M，N分别是PD，PA的中点， ∴MN∥AD，MN＝AD， 又BC∥AD，BC＝AD， ∴MN∥BC，MN＝BC， ∴四边形BCMN是平行四边形， ∴CM∥BN，又CM⊄平面PAB，BN⊂平面PAB， ∴CM∥平面PAB． （2）取AD的中点O，连结PO，OB， ∵△PAD是等边三角形， ∴PO⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD， ∴PO⊥平面ABCD， ∵BC＝AD＝OD，BC∥AD，BC⊥CD， ∴四边形BCDO是正方形， 以O为原点，以OD，OB，OP为坐标轴建立空间坐标系， 则A（﹣1，0，0），B（0，1，0），P（0，0，），C（1，1，0），D（1，0，0）， ∴＝（1，1，0），＝（1，0，），＝（0，﹣1，0）， 设平面PAB的法向量为＝（x，y，z），则， ∴，令z＝1得＝（﹣，，1）， ∴cos＜＞＝＝＝﹣． ∴直线CD与平面PAB所成角的正弦值为|cos＜＞|＝． ∴直线CD与平面PAB所成角的余弦值为 20.证明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG， ∴AD，CG确定一个平面， ∴A，C，G，D四点共面， 由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE， ∵AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE． 解：（2）作EH⊥BC，垂足为H， ∵EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC， ∴EH⊥平面ABC， 由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°， ∴BH＝1，EH＝， 以H为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz， 则A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0， ）， ＝（1，0，），＝（2，﹣1，0）， 设平面ACGD的法向量＝（x，y，z）， 则，取x＝3，得＝（3，6，﹣）， 又平面BCGE的法向量为＝（0，1，0）， ∴cos＜＞＝＝， ∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°． 21.解：（Ⅰ）∵直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2， ∴点（，1）在椭圆E上， 又∵离心率是， ∴，解得a＝2，b＝， ∴椭圆E的方程为：+＝1； （Ⅱ）结论：存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立． 理由如下： 当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点， 如果存在定点Q满足条件，则有＝＝1，即|QC|＝|QD|． ∴Q点在直线y轴上，可设Q（0，y0）． 当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M、N两点， 则M、N的坐标分别为（0，）、（0，﹣）， 又∵＝，∴＝，解得y0＝1或y0＝2． ∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是（0，2）． 法一： 下面证明：对任意直线l，均有． 当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝kx+1， A、B的坐标分别为A（x1，y1）、B（x2，y2）， 联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0， ∵Δ＝（4k）2+8（1+2k2）＞0， ∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣， ∴+＝＝2k， 已知点B关于y轴对称的点B′的坐标为（﹣x2，y2）， 又kAQ＝＝＝k﹣，kQB′＝＝＝﹣k+＝k﹣， ∴kAQ＝kQB′，即Q、A、B′三点共线， ∴＝＝＝． 法二： 当斜率存在时，过点A作AA'⊥y轴，垂足为A'，过点B作BB'⊥y轴，垂足为B'，易知AA'∥BB'， 则△AA'P相似于△BB'P，则＝， 若证上命题，则需证直线QA与直线QB交于点Q（0，2）时关于y轴对称，则要证kQA+kQB＝0， 联立，消去y并整理得：（1+2k2）x2+4kx﹣2＝0， ∵Δ＝（4k）2+8（1+2k2）＞0， ∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，∴+＝＝2k， kAQ＝＝＝k﹣，kQB＝＝＝k﹣＝﹣k+，可证得kQA+kQB＝0， 所以△QAA'相似于△QBB' 进而得证：＝＝， 当斜率不存在时，由上可知，结论也成立． 故存在与点P不同的定点Q（0，2），使得恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$