第二章 圆（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第二章 圆（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（23-24九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（　　） ①圆的每一条直径都是它的对称轴；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆中，相等的弦所对的弧相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查判断命题的真假，圆的对称性，垂径定理，圆周角定理．掌握相关知识点，是解题的关键． 【详解】解：①圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴；故①是假命题； ②平分弦（不是直径）的直径必定垂直于这条弦；故②是假命题； ③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故③是真命题； ④在同圆中，一弦对两弧，所以相等的弦所对的弧不一定相等，故④是假命题； 故选D． 2．（本题3分）（湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题）如图，点都在上，点是劣弧的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍是解题的关键． 如图所示，连接，由圆周角定理可得，根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角相等可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵所对的圆心角为，所对的圆周角为， ∴， ∵点是劣弧的中点， ∴， ∴， 故选：D ． 3．（本题3分）（浙江省浙派联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，在中，，点为的中点，以点为圆心，5为半径作，则下列判断错误的是（    ） A．点在上 B．点在上 C．点在外 D．的中点在外 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质等知识，掌握点与圆的三种位置关系是解题关键．连接，取中点，连接，根据直角三角形的性质，得到，，与半径比较，可判断ABC选项；证明是等边三角形，得到，在中，，可判断D选项． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接， ，点为的中点， ，， ， 以点为圆心，5为半径作， ， 点和点在上，A、B选项判断正确，不符合题意； ， 点在外，C选项判断正确，不符合题意； ， 是等边三角形， 是的中点， ， 在中，，即， 的中点在内，D选项判断错误，符合题意； 故选：D． 4．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，四边形内接于，若，的半径为3，则长为（　　） A．6 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形．熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，是解答的关键． 根据圆周角定理可得，再利用等腰三角形三线合一得到，含有直角三角形的性质求得，根据勾股定理得，即得． 【详解】解：如图，过点O作于E， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，求角的正弦值，圆周角定理，先根据勾股定理解求出，进而求出，再根据圆周角定理得出，即可得出的值． 【详解】解：如图，连接，   ，， ，， 在中，， ， ， ， 故选：D． 6．（本题3分）（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形面积以及切线的性质，正确将四边形分割成三角形是解题关键．利用切线的性质进而利用三角形面积求法得出的半径． 【详解】解：是四边形的内切圆，设切点分别为：，，，， 连接，，，，，，，，的半径为，如图： ，， 四边形的面积 ， 解得：． 故的半径为3． 故选：B． 7．（本题3分）（2024·湖南·模拟预测）某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轨迹、弧长公式等知识点，正确理解题意及熟练利用弧长公式是解题的关键． 根据鞋尖A在“向右转”的运动中路径是以O为圆心为半径，圆心角为的一段弧，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：依题意可知：鞋尖A在 “向右转”的运动中路径长是一段弧长，其半径是,弧的圆心角为， ∴ 鞋尖A在“向右转”的运动中路径长. 故选：A． 8．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了正多边形与圆，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系求解是解题的关键． 连接，作，构造出直角，且根据正六边形的性质可知，即可解答； 【详解】解：连接，作于点， ∵正六边形的外接圆半径为， ∴正六边形的半径为， 即， 在正六边形中，， ∴， ∴正六边形的边心距是， 故选：D． 9．（本题3分）（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ）    A．12 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，垂径定理及其推论，根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，，交于，   六边形是的内接正六边形， ，，， ∴为等边三角形， ，， ∵， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 10．（本题3分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系、三角形的中位线定理的知识，要结合勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．作的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的中位线定理求得和的长，然后在中根据三边关系即可求解． 【详解】解：作的中点，连接、． 在直角中，， 是直角斜边上的中点， ． 是的中点，是的中点， ． 在中，， 即． 故选：B 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·北京·阶段练习）的半径为，若点到的距离为，则点在 （填“圆内”、“圆外”或“圆上”） 【答案】圆内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点与圆的位置关系进行判断，点与圆的位置关系有3种，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】的半径为，P到圆心O的距离为， 即， 点P在圆内． 故答案为：圆内． 12．（本题3分）（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式（是扇形圆心角的度数）是解题的关键． 已知扇形的圆心角，半径，代入公式（是扇形圆心角的度数）计算即可求解． 【详解】解：扇形的圆心角为，半径是， ∴扇形的面积为， 故答案为： ． 13．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知正方形内接于，点E在上，则的度数为 °．    【答案】45 【分析】本题考查了圆周角定理和正方形的性质，确定所对的圆心角为是解题的关键． 根据正方形的性质得到所对的圆心角为，则，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接、，如图所示，   正方形内接于， ∴， ∴， ∴的度数为， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（本题3分）（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图： ，是的直径， ，， 为的中点， ， ， ， 的直径为10， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， 故答案为：8． 15．（本题3分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等是解题关键．根据切线长定理可知，，从而可求出，即可求解． 【详解】解：∵切于点C， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 16．（本题3分）（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点，点A的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了圆内接四边形性质、含30度角的直角三角形的性质、坐标与图形性质等知识点．根据圆内接四边形性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质求出，然后根据圆的基本知识即可得出答案． 【详解】解：∵A、B、M、O四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∵在中，，，， ∴， 为的直径， ∴的半径为5， 故答案为：5． 17．（本题3分）（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为 寸． 【答案】26 【分析】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理，熟练掌握垂径定理及勾股定理是解题的关键．设圆形木材的圆心为，延长，连接，由题意知过点，且，由垂径定理可得，设圆形木材半径为，可知寸，寸，根据列方程求解可得． 【详解】解：设圆形木材的圆心为，延长，连接， 如图所示：由题意知：过点，且， 则， 设圆形木材半径为寸， 则寸，寸， ∵， ∴， 解得：， ∴的半径为13寸， 故答案为：26． 18．（本题3分）（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，弧所对圆心角，半径为6，点C是中点，点D是弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题，涉及旋转性质、正方形性质、圆的半径相等、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，如图所示，连接，以为边向下作正方形，连接，．利用勾股定理求出，再证明，推出，由，可得结论． 【详解】解：如图，连接，以为边向下作正方形，连接，，则， ∵半径为6，点C是中点， ∴，， ，， ， ∵，绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ， ， 在和中 ， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）证明，结合，可得垂直平分，可得，可得，证明，从而可得结论； （2）证明，可得，结合，可得结论． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ∴，即， ∵，则垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴． ∵是的一个外角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 20．（本题6分）（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（）由是弧的中点可知，故，再由可得出结论； （）设与交于点，由（）知，垂直平分，得出，根据勾股定理求出的长，设的半径为r，则，，在中利用勾股定理求出的值即可； 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理及垂径定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）解：设与交于点，如图， 由（）知，垂直平分， ∴， ， ∵， ∴， 设的半径为，则，， 在中由勾股定理得，即， 解得：， ∴的半径为． 21．（本题8分）（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，已知是的内接三角形，弧是半圆，C是弧的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求弧的长． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】本题考查圆周角定理、等腰直角三角形的性质、弧长公式，（1）根据题意可得，再根据圆周角定理证明即可； （2）连接、，根据圆周角定理可得，，再根据等腰直角三角形的性质与判定可得，再利用弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵C是弧的中点， ∴， ∴； （2）解：连接、， ∵弧是半圆， ∴是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∵， ∴． 22．（本题8分）（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点A、B、C在上，为直径，的平分线交于点D，作分别交的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)若，求弧、线段、线段所围成的阴影部分图形的面积（结果保留π）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数、扇形的面积公式等知识点． （1）连接，得到，由角平分线得到，则，得到，由，得到，即可得证； （2）作于点G，连，，可求出，由即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：作于点G，连， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 23．（本题9分）（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等边三角形的判定与性质． （1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线； （2）由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则； （3）由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得． 【详解】（1）证明：如图，连接，则， ， 平分， ， ， ∵， ， ， 是的半径，且， 直线是的切线； （2）证明：线段是的直径， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，， ， ∴是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ． 24．（本题9分）（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结． (1)求证： ①； ②； (2)如图2，若是中点，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆与三角形综合，弧与弦的关系，垂径定理，相似三角形的性质与判定； （1）①根据平行线的性质可得，进而可得，，进而根据等弧对等弦即可得证； ②过点A作于H，证明，根据相似三角形的性质，即可得证； （2）证明，结合已知是中点，得出，结合（1）②恒等式得出，进而即可求解． 【详解】（1）①， ， ， ， 即：， ． ②过点A作于H， ， ， 由（1）得：， ， ， ，即：， ， ， ． （2），， ， ，即：， ， ， ， ． 25．（本题10分）（2024九年级下·云南·学业考试）如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． (1)若，的半径等于，求的值； (2)求证：直线与相切； (3)若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）由直径所对的圆周角等于90度可得出，再由勾股定理求出，最后根据正切的定义求解即可． （2）证明， 由相似三角形的性质可得出，进一步即可证明． （3）连接正方形的对角线，设正方形的边长为，分两种情况求解，当与重合时，或当与重合时，利用正方形的性质求解即可． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接．根据同弧所求的圆周角相等，结合正方形的性质与相似三角形的判定以及性质可得出结论． 【详解】（1）解：是的直径，在上， ． 又的半径等于， ． ， ． ． （2）证明：由（1）知， ， ． 又， ． ． ． ． 又是的半径， 直线与相切，切点为点． （3）解：若四边形是正方形，存在常数，使． 理由如下： 连接正方形的对角线，设正方形的边长为． 当与重合时，，； 当与重合时，，． 若四边形是正方形，当与重合时，或当与重合时，存在常数，使，且． 当既不与重合也不与重合时，延长至，使，连接． 四边形是正方形， ，对角线是的直径． 根据已知得，是的弧所对的圆周角， ．同理可证． 是的直径，在上， ，． ， ． ． ． ． 当既不与重合也不与重合时，． 综上所述，若四边形是正方形，存在常数，使，且． 26．（本题10分）（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某数学活动小组对一个数学问题作如下探究： (1)【问题发现】如图①，正方形的四个顶点在上，点E在弧上，连接、、，若在上取一点F，使得，连接，发现与全等，请说明理由； (2)【变式探究】如图②，正方形的四个顶点在上，若点E在弧上，过点A作，探究线段、、间的数量关系，并说明理由； (3)【结论运用】如图③，在中，，，．点D为边上一动点，连接，点E为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．当点D从的四等分点（靠近点B）出发，向终点A运动，同时，点E从点D出发，向终点C运动，运动过程中，始终保持，则的最小值为 ，点F所经过的路径长为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 (3)， 【分析】（1）由题意易得，然后可根据“”证明三角形全等即可； （2）连接，过点A作，交的延长线为H，由题意易得是直径，，则有，然后可得四边形是正方形，进而可知，最后问题可求证； （3）以为边作等边三角形，连接，证明，通过得到点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点，连接，交圆弧于点，求出的最小值，通过证明，利用弧长公式得到点所经过的路径长． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 连接，过点A作，交的延长线为H，如图所示： ∵正方形是正方形， ∴， ∴是直径，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：以为边作等边三角形，连接， ∵是等边三角形， ，，， ， ∴， ， ∴当点和点运动过程中，始终保持， 则点在以为直径的圆弧上运动，起点为的中点，终点为点， 连接，交圆弧于点，此时取得最小值， 是等边三角形，点是中点，， ，， ， ， 点是中点， ， 是等边三角形， ， ， 则点所经过的路径长为． 故答案为：的最小值为，点所经过的路径长为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 圆（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（23-24九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）下列命题中，真命题的个数是（　　） ①圆的每一条直径都是它的对称轴；②平分弦的直径必定垂直于这条弦；③在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；④在同圆中，相等的弦所对的弧相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（本题3分）（湖北省十堰市2024-2025学年九年级上学期11月月考数学试题）如图，点都在上，点是劣弧的中点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（浙江省浙派联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷）如图，在中，，点为的中点，以点为圆心，5为半径作，则下列判断错误的是（    ） A．点在上 B．点在上 C．点在外 D．的中点在外 4．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，四边形内接于，若，的半径为3，则长为（　　） A．6 B．3 C． D． 5．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，经过坐标轴的O、C、D三点，、，是的一条弦，则的值为（    ）    A． B． C． D． 6．（本题3分）（24-25九年级上·江苏南京·期中）如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是24，面积是36，则的半径是（   ） A．1.5 B．3 C．4 D．6 7．（本题3分）（2024·湖南·模拟预测）某校开展研学活动，其中有“列队训练”的项目．我们以“向右转”为例研究其中蕴含的数学知识，如图，把右脚鞋底抽象成一条线段，忽略鞋底的摩擦、弹性等误差．“向右转”时，以鞋跟O为圆心，顺时针旋转得线段．若某同学右脚鞋底长，那么鞋尖A在“向右转”的运动中路径长是（    ） A． B． C． D． 8．（本题3分）（24-25九年级上·北京·期中）如图，已知正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形，若的内接正六边形为正六边形，则的长为（   ）    A．12 B． C． D． 10．（本题3分）（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，点D是平面内的一动点，且为的中点，在点D运动的过程中，线段长度的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·北京·阶段练习）的半径为，若点到的距离为，则点在 （填“圆内”、“圆外”或“圆上”） 12．（本题3分）（24-25九年级上·江苏南京·期中）已知扇形的圆心角为，半径是，则扇形的面积为 ． 13．（本题3分）（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知正方形内接于，点E在上，则的度数为 °．    14．（本题3分）（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为 ． 15．（本题3分）（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 16．（本题3分）（24-25九年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点，点A的坐标为，点是第三象限内上一点，，则的半径为 ． 17．（本题3分）（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）我国数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯长一尺，问径如何？”．问题翻译为：如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知木材大小，将它锯下来测得深度为8寸，锯长AB为24寸，则圆材的直径为 寸． 18．（本题3分）（24-25九年级上·山东日照·期中）如图，弧所对圆心角，半径为6，点C是中点，点D是弧上一点，绕点C逆时针旋转得到，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25九年级上·湖北黄冈·期中）如图，是的直径，D是弦的延长线上一点，且，的延长线交于点E． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数 20．（本题6分）（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，是的弦，是弧的中点． (1)连接，求证：垂直平分； (2)若，，求的半径． 21．（本题8分）（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，已知是的内接三角形，弧是半圆，C是弧的中点，连接，． (1)求证：． (2)若，求弧的长． 22．（本题8分）（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，点A、B、C在上，为直径，的平分线交于点D，作分别交的延长线于点E、F． (1)求证：是的切线； (2)若，求弧、线段、线段所围成的阴影部分图形的面积（结果保留π）． 23．（本题9分）（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 24．（本题9分）（24-25九年级上·浙江·期中）如图1，内接于，，过点C作，交于D，过D作于点E，交于点M，连结． (1)求证： ①； ②； (2)如图2，若是中点，求的值． 25．（本题10分）（2024九年级下·云南·学业考试）如图，四边形的外接圆是以为直径的，P是的劣弧上的任意一点．连接PA，PC，PD，延长BC至E，使． (1)若，的半径等于，求的值； (2)求证：直线与相切； (3)若四边形是正方形，是否存在常数，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 26．（本题10分）（24-25九年级上·江苏连云港·期中）某数学活动小组对一个数学问题作如下探究： (1)【问题发现】如图①，正方形的四个顶点在上，点E在弧上，连接、、，若在上取一点F，使得，连接，发现与全等，请说明理由； (2)【变式探究】如图②，正方形的四个顶点在上，若点E在弧上，过点A作，探究线段、、间的数量关系，并说明理由； (3)【结论运用】如图③，在中，，，．点D为边上一动点，连接，点E为边上一动点，连接，以为边，在右侧作等边，连接．当点D从的四等分点（靠近点B）出发，向终点A运动，同时，点E从点D出发，向终点C运动，运动过程中，始终保持，则的最小值为 ，点F所经过的路径长为 ．（直接写出结果） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$