4.2.2指数函数的图象和性质（第一课时） -2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修一）

第 4 章 指数函数与对数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质 人教A版2019必修第一册 指数函数性质应用 3 指数函数的图象 1 指数的性质 2 目录 教学目标 1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。 2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。 3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。 情景导入 01 情景导入         我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”用现代语言叙述为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完.这样,每日剩下的部分都是前一日的一半.把“一尺之棰”看成单位“1”. 这样的一个木棒截取x次，剩余长度y与x的关系是. 思考：如何研究函数的性质呢？ 情景导入 问题1：研究函数的一般步骤和方法是怎样的？ 我们可以类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质． 问题2：函数的性质都有哪些？ 定义域、值域、单调性、奇偶性、过定点…… 指数函数的图象 02 概念讲解 首先通过描点法得到指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质． 我们可以通过描点法得到y＝2x的图象 x … -2 -1 0 1 2 … y=2x … … 1.列表 1 2 4 1 x y 1 2 3 -1 -2 -3 2.描点 3.连线 概念讲解 探究1：画出函数y＝()x的图象，与函数y＝2x的图象进行比较，它们有什么关系？ x … -2 -1 0 1 2 … y= … … 1 1.列表 1 y＝()x 2.描点 3.连线 概念讲解 探究2：能否利用y＝2x的图象得到y＝()x的图象？ 0 1 1 将y＝2x图象关于y轴对称就可以得到y＝()x图象 y＝2x y＝()x 关于y轴对称 底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称 概念讲解 探究3：能否利用y＝3x的图象得到y＝()x的图象？ 0 1 1 关于y轴对称 将y＝2x图象关于y轴对称就可以得到y＝()x图象 底数互为倒数的两个指数函数图象关于y轴对称 概念讲解 探究4：选取底数a（a>0，且a≠1）的若干个不同的值，在同一个坐标系内画出相应的函数图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？ 图象共同特征： （1）图象可向左、右两方无限伸展 （2）图象都在x轴上方，即都经过第一、第二象限 （3）都经过坐标为（0，1）的点 （4）a>1时图象是上升趋势，0<a<1时图象下降趋势 归纳小结 a的范围 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 值域 定点 单调性 函数值 若x>0, 则y>1 若x<0, 则0<y<1 若x>0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1 R (0,＋∞) (0,1) 增函数 减函数 O x y 1 O x y 1 指数函数的图像和性质 概念讲解 例1.比较下列各题中两个值的大小 （1） （2） （3） 解：（1）函数是增函数，且2.5＜3，则1.72.5＜1.73 （2）函数是减函数，且 ，则 （3） 归纳小结 (1)同底数比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. (2)指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小. (3)底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较. (4)当底数含参数时，要按底数>1和0<<1两种情况分类讨论. 比较指数的大小的方法 指数函数的性质 03 概念讲解 探究5：观察底数增大时指数函数的图象是怎样变化的，和底数大小有什么关系？ (1)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a),（）.只要确定了这三个点的坐标,即可快速地画出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象. (2)底数的大小决定了图象相对位置的高低:不论是a>1,还是0<a<1,在第一象限内底数越大,函数图象越靠近y轴 底大图高 概念讲解 1.(a>0且a≠1)图象必过点_______ 2.(a>0且a≠1)图象必过点_______ 3.(a>0且a≠1)图象必过点________ (0,1) (2,1) (-3,0) 指数型函数过定点的应用 概念讲解 由图象可知③④的底数必大于1,①②的底数必小于1. 作直线x=1,在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数,则1<d<c,b<a<1,从而可知a,b,c,d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 4.如图所示的是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系为(　　).A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c B 底大图高的应用 当堂检测 04 当堂检测 D 当堂检测 (4,5) 当堂检测 m<n 当堂检测 5.函数y＝ax-a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) C 课堂小结 05 课堂小结 解：　∵y=0.9x在定义域上是减函数,0.3<0.5,∴0.90.3>0.90.5. 1.下列判断正确的是(　　). A.1.72.5>1.73 B.0.82<0.83 C.π2< D.0.90.3>0.90.5 解：令x-4=0得x=4,y=5.所以f(4)=5,所以函数f(x)恒过定点(4,5). 2.函数f(x)=2ax-4+3(a>0,且a≠1)恒过一个定点,则该定点的坐标为　　　 　.  3．已知a＝eq \f(\r(5)－1,2)，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________. 解∵a＝eq \f(\r(5)－1,2)∈(0,1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n. $$