4.2.2指数函数的图象和性质（第二课时） -2024-2025学年高一数学同步教材精品课件（人教A版2019必修第一册）

第 4 章 指数函数与对数函数 4.2.2 指数函数的图象和性质 人教A版2019必修第一册 指数型函数解不等式 3 指数型函数的定义域、值域 1 指数型函数单调性 2 目录 教学目标 1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。 2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。 3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像和性质解决有关数学问题。 情景导入 01 情景导入         我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”用现代语言叙述为:一尺长的木棒,每日取其一半,永远也取不完.这样,每日剩下的部分都是前一日的一半.把“一尺之棰”看成单位“1”. 这样的一个木棒截取x次，剩余长度y与x的关系是. 思考：如何利用指数函数的性质解决问题呢？ 温故知新 a的范围 a>1 0<a<1 图象 性质 定义域 值域 定点 单调性 函数值 若x>0, 则y>1 若x<0, 则0<y<1 若x>0, 则0<y<1 若x<0, 则y>1 R (0,＋∞) (0,1) 增函数 减函数 O x y 1 O x y 1 指数函数的图像和性质 指数型函数的定义域、值域 02 概念讲解 概念讲解 概念讲解 指数型函数的单调性 03 概念讲解 例3.求函数的单调性. 解：设 则 f(u)和u((x)的定义域均为R ∵u(x)在 上递减，在上递增. 而在R上是减函数, ∴在上是递增,在上是减函数. 复合函数单调性：同增异减 归纳小结 概念讲解 练习1： 函数f(x)＝2x-3(1<x≤5)的值域是(　　) A.(0,＋∞) B.(0,4) C. 4] D.(0,) 解：令则. ∴在单调递增。 所以当时，,当时， ∴f(x)＝2x-3(1<x≤5)的值域4] C 概念讲解 练习2： 求y=4x+2x+1+3的值域 解：令则 ∵ ，∴在（0，+）单调递增。 ∴当时， ∴的只有为（3，+） 即y=4x+2x+1+3的值域为（3，+） 指数型函数解不等式 04 概念讲解 归纳小结 概念讲解 当堂检测 05 当堂检测 B 当堂检测 当堂检测 课堂小结 06 课堂小结 例1.求下列函数的定义域: (1)y=; (2)y=. 解：(1)由题意可得2x-1≥0,即2x≥20,又指数函数f(x)=2x单调递增,得x≥0. ∴函数y=的定义域为[0,+∞). (2)由题意,得得 ∴x≤-2且x≠-3. ∴函数y=的定义域为(-∞,-3)∪(-3,-2]. 例2.求下列函数的定义域与值域: (1)y=; (2)y=; (3)y=. 解：(1)∵y=,∴x≠3,故定义域为{x|x≠3}. 设t=,（t≠0）∴ y=2t（t≠0） ∴y>0且y≠1,故值域为{y|y>0且y≠1}. (2)函数y=,x∈R,∴定义域为R. 设t=≥0,∵y=,t≥0,∴0<y≤1,故值域为{y|0<y≤1}. (3)∵y=,∴1-2x≥0,解得x≤0,故定义域为{x|x≤0}. ∵0<2x≤1,∴0≤1-2x<1,即0≤<1,故值域为{y|0≤y<1}. 函数y=af(x)的定义域与值域的求法 （1）形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域. （2）形如y=af(x)的值域,应先求出f(x)的值域,再由函数的单调性求出af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.形如y=f(ax)的值域,要先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)确定出y=f(ax)的值域. 函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性 (1)关于指数型函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的单调性由两点决定:一是底数a>1还是0<a<1;二是f(x)的单调性.它由两个函数y=au,u=f(x)复合而成. (2)求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函数分解成y=f(u),u=φ(x),通过考查f(u)和φ(x)的单调性,求出y=f(φ(x))的单调性. 例4.解不等式>a2x. 解：∵>a2x ∴>a2x=, 当0<a<1时,即>1,函数y=在R上单调递增 ∴2x-8>-2x, ∴x>2. 当a>1时,即0<<1,函数y=在R上单调递减 ∴2x-8<-2x, ∴x<2. 综上,当0<a<1时,不等式的解集为{x|x>2}; 当a>1时,不等式的解集为{x|x<2}. 指数型不等式解法 （1）指数不等式的类型为af(x)>ag(x)(a>0,且a≠1). ①当a>1时,f(x)>g(x); ②当0<a<1时,f(x)<g(x). （2）含指数式的不等式的一般解法:先将不等式的两边化成同底的指数式,再利用指数函数的单调性去掉底数,转化为熟悉的不等式求解. 练习：解不等式≤ 解：∵=,∴原不等式可化为≤, ∵y=2x在R上单调递增, ∴-2x2+3x-1≤5-2x-x2, 即x2-5x+6≥0,解得x≤2或x≥3, ∴不等式的解集为{x≥3或x≤2}. 1.函数y=(x≥8)的值域是(　　). A.R B. C. D. 解：因为y=在[8,+∞)上单调递减,所以0<≤=. 解： (1)y=2x+1的定义域为R,值域为(0,+∞). （2）y=的定义域为[0,+∞); 由≥0得≥1, 故y=的值域为[1,+∞). 2.求下列函数的定义域和值域: (1)y=2x+1; (2)y=. 3.已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,9))). (1)比较f(2)与f(b2＋2)的大小； (2)求函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域． 解：(1)由已知得a2＝eq \f(1,9)，解得a＝eq \f(1,3)，因为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上递减， 则2≤b2＋2，所以f(2)≥f(b2＋2)． (2)因为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x2－2x≤3， 即函数g(x)＝ax2－2x(x≥0)的值域为(0,3]． $$