4.4.2计算函数零点的二分法（2大题型提分练）数学湘教版必修第一册

4.4.2计算函数零点的二分法 题型一 用二分法求方程的近似解或函数的零点 1．下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，不能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 3．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 4．在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 5．用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 6．已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   （多选题）8．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 （多选题）9．下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数的图象关于对称 D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 （多选）10．在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． （多选）11．设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 12．用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 13．已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 题型二 函数与方程的综合应用 1．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A． B．关于的方程有13个不同的解 C．在上单调递增 D．当时，恒成立 2．已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．4是函数的周期 C． D．方程恰有4个不同的根 6．设a、b分别是方程与的根，则 ． 7．若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 8．已知函数. (1)若，求与交点的横坐标； (2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 1．下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ． 3．已知函数若方程有且仅有5个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于 . 4．对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”． (1)若函数在区间上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围； (2)若函数在定义域R上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4.2计算函数零点的二分法 题型一 用二分法求方程的近似解或函数的零点 1．下列函数中不能用二分法求零点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐一分析各个选项的函数是否有零点，零点两侧符号是否相反即可得解. 【详解】对于A，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故A能用二分法求零点； 对于B，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故B能用二分法求零点； 对于C，不是单调函数，有唯一零点，但函数值在零点两侧都是正的， 故C不能用二分法求零点； 对于D，为单调递增函数，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号， 所以可用二分法求零点，故D能用二分法求零点. 故选：C. 2．下列函数中，不能用二分法求函数零点的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二分法零点判断规则即可得到正确选项. 【详解】选项A：由，可得在上存在零点，故A错误； 选项B：由，可得在上存在零点，故B错误； 选项C：，则其零点为， 但不存在实数满足，因而不能用二分法求此函数零点，故C正确； 选项D：由，可得在上存在零点，故D错误. 故选：C. 3．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表： 那么方程的一个近似解（误差不超过0.025）为（    ） A．1.25 B．1.40625 C．1.4375 D．1.421875 【答案】D 【分析】利用零点存在性定理找到零点所在区间，即可获得方程的近似解 【详解】， ，零点在区间内， 即该方程的根在区间内，结合各选项，方程的近似解为1.421875. 故选：D. 4．在用二分法求函数的一个正实数零点时，经计算，，则函数的一个误差不超过0.025的正实数零点的近似值可以为（    ） A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6 【答案】C 【分析】利用二分法可得出结果. 【详解】已知，则函数的零点的初始区间为， 又因为，且，所以零点在区间上， 又，所以所求近似值可以为. 故选：C. 5．用二分法求函数在内的唯一零点时，误差不超过，则结束计算的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当小于精度时结束计算，得到答案. 【详解】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为， 当时，结束计算，故， 故选：B. 6．已知增函数的图象在上是一条连续不断的曲线，在用二分法求该函数零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二分法的过程得到满足的方程组，由此求解出的值，即可得出答案. 【详解】因为依次确定了零点所在区间为，，， 可得，即，解得.所以. 故选：B. 7．下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由函数零点存在性定理和二分法概念对选项逐一判断可得结论. 【详解】根据零点存在性定理可知，函数的图象是一段连续不断的曲线，若在区间上满足，则函数在区间上存在零点； 根据二分法概念可知，C选项中的图象在零点附近不满足，所以C选项不能用二分法求图中函数零点. 故选：C （多选题）8．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示： 则方程的近似解（精确度0.1）可取为（   ） A．2.62 B．2.56 C．2.531 D．2.75 【答案】BC 【分析】利用函数的性质及零点存在性定理，结合精确度的理解就可以确定答案. 【详解】因为函数在其定义域内单调递增， 结合表格中数据： 可知方程的近似解所在区间可以是 根据区间的长度计算分别为， 根据精确度为，可知方程的近似解在区间上， 根据精确度为的要求，可在区间上任选一个值作为该方程的近似解, 故选：BC. （多选题）9．下列说法正确的是（    ） A．已知方程的解在内，则 B．函数的零点是 C．函数的图象关于对称 D．用二分法求方程在内的近似解的过程中得到，则方程的根落在区间上 【答案】ACD 【分析】根据函数，利用零点存在性定理判断A；利用零点的定义判断B；利用指数对数函数图象关系判断C；利用二分法求出近似解的方法判断D. 【详解】对于A，令，函数在R上递增，， 因此函数的零点，即方程的解在内，A正确； 对于B，函数的零点是，B错误； 对于C，函数互为反函数，它们的图象关于对称，C正确； 对于D，函数在R上递增，由， 得函数的零点在区间上，D正确. 故选：ACD （多选）10．在用“二分法”求函数零点的近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用二分法的定义得到答案. 【详解】由题知第一次所取区间为，取中间值，则第二次所取区间可能是或. 故选：BD. （多选）11．设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下： 依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先由题中参考数据可得根在区间内，由此可得答案． 【详解】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项， 符合要求的方程近似解 可能为，不可能为ABD选项． 故选：ABD． 12．用二分法求函数在区间的零点，若要求精确度，则至少进行 次二分. 【答案】8 【分析】二分法每一次操作都会让区间缩小一半长度，按此规律求解. 【详解】根据题意，原来区间的长度等于2， 每经过二分法的一次操作，区间长度变为原来的一半，则经过次操作后，区间的长度为， 若，即，故最少为8次. 故答案为：8. 13．已知函数． (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (2)用二分法求方程在区间上的一个近似解（精确度为0.1）． 【答案】(1)在单调递增，证明见解析 (2)2.6（内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解） 【分析】（1）根据题意结合单调性的定义分析证明； （2）根据单调性以及零点存在性定理可知在内有且仅有一个零点，结合二分法分析求解. 【详解】（1）在单调递增；证明如下： 任取，不妨设，， 因为，则，，，可得，即， 所以在上单调递增. （2）因为函数在区间上是连续且单调的， 可知其在区间上的零点即为方程在区间上的解， 且，，可得在内有且仅有一个零点， 在区间上利用二分法列表如下： 区间 中点 中点函数值 区间长度 1 此时解在区间，此区间长度为，，满足精确度为0.1，故区间， 即内任意一个实数都是对应方程符合精确度要求的一个近似解，比如2.6是方程在上的一个近似解． 题型二 函数与方程的综合应用 1．已知函数，则下列说法错误的是（    ） A． B．关于的方程有13个不同的解 C．在上单调递增 D．当时，恒成立 【答案】C 【分析】画出函数和的图象，结合图象，对选项中的命题真假性判断即可． 【详解】在同一坐标系中画出函数和的图象，如图所示： 计算，选项A正确； 方程可化为， 则时，方程有3个不同的解，时，方程有5个不同的解， 由此得出方程有个不同的解，故有13个不同的解，选项B正确； 由图象知，在,上单调递减，选项C错误； 当,时，可化为， 由于在每个区间,内，在处取得最大值，故 等价于，，即，恒成立，所以选项D正确． 故选：C． 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法：(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 2．已知函数的图象与直线恰有2个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原问题等价转换为令，有两个零点，注意到或，从而对分类讨论即可求解. 【详解】令，则，由题意有两个零点， 或， 当时，，当时，， 当时，，当时，，或， 当时，，或，当时，，或， 当时，，或， 综上所述，满足题意的的取值范围为 . 故选：A. 3．已知函数的图象与直线的公共点不少于两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对分类讨论，结合函数图象，即可求解. 【详解】解：， ①当时，其图象如图1 函数的图象与直线的公共点只有1个，不符合题意． ②当时，其图象如如图2 函数的图象与直线的公共点不少于两个时，，解得； ③当时，其图象如如图3，结合图象，不符合题意． 综上所述：实数的取值范围是：． 故选：B 4．已知，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用函数的单调性结合指数对数的转化可得，再计算即可. 【详解】令，显然函数为R上单调递增函数， 又，， 所以. 故选：C 5．已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当，，则下列说法中正确的有（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．4是函数的周期 C． D．方程恰有4个不同的根 【答案】ABD 【分析】利用是偶函数，可得，关于对称，又因为是奇函数，即是双对称函数，从而可证明是周期函数，这样可以由的图象，根据关于对称，作出，再根据关于点对称, 作出,这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用周期为4进行不断的延伸，这样后面的选项就可以利用数形结合来分析解决. 【详解】对于A：令是偶函数，则，即， 所以关于对称，故A正确； 对于B：因为，所以， 即，即周期，故B正确； 对于C：，， 所以，故C错误； 对于D：因为，，且关于直线对称， 根据对称性可以作出上的图象， 又，可知关于点对称，又可作出上的图象， 又的周期，作出的图象与的图象， 如图所示：所以与有4个交点，故D正确， 故选：ABD． 6．设a、b分别是方程与的根，则 ． 【答案】 【分析】根据函数与互为反函数，图象关于对称，联立与，即可根据对称求解. 【详解】由可得，由可得， 所以是与的交点横坐标， 是与的交点横坐标， 由于函数与互为反函数，图象关于对称，联立与可得， 故，故答案为： 7．若关于的方程恰有三个不同实数解，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并作图数形结合判断参数范围. 【详解】问题等价于函数的图象和恰有三个不同公共点， 的图象可由的图象轴上方的不动，轴下方的对称上去， 如图数形结合可得 故答案为： 8．已知函数. (1)若，求与交点的横坐标； (2)若在区间上恰有一个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）求出，再解与组成的方程组可得答案； （2）时不符合题意，时只须解不等式可得答案. 【详解】（1）若，则，解得， 所以，由解得，或， 所以与交点的横坐标为或； （2）若，则在区间上没零点，不符合题意， 所以，所以的图象为抛物线，对称轴为， 所以要使在区间上恰有一个零点，只须， 即，解得.的取值范围. 1．下列方程中，不能用二分法求近似解的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转化为不能用二分法求零点的函数问题，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论. 【详解】对于A，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故A错误； 对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法， 故B错误； 对于C，，故不可以使用二分法，故C正确； 对于D，在上单调递增，且， 可以使用二分法，故D错误. 故选：C 2．已知函数，在区间内存在一个零点，在利用二分法求函数近似解的过程中，第二次求得的区间中点值为 ． 【答案】 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，结合零点二分法，准确计算，即可求解. 【详解】由函数为单调递增函数，且在内存在一个零点， 又由，则， 第一次用二分法，由， 因为，可得，即，可得，所以， 所以确定函数的零点所在区间为； 第二次用二分法，由， 因为，可得，即 所以，所以确定函数的零点所在区间为， 所以第二次求得的区间的中点值为. 故答案为：. 3．已知函数若方程有且仅有5个不相等的整数解，则方程所有整数解之和等于 . 【答案】 【分析】令，得到从而得到此方程要有两个不等根，再结合图象求解和即可. 【详解】先作出的大致图象，如图， 令，则，根据的图象可知： 要满足题意必须有两个不等根，且有两个整数根，有三个整数根， 结合对勾函数和对数函数的图象与性质知，两函数 相切时符合题意.因为，当且仅当时取得等号，又， 易知其定义域内单调递减，即， 此时有两个整数根或， 而要满足有三个整数根， 结合的图象知必有一根小于2，显然只有符合题意， 当时，有， 则，解方程，得的另一个正根为. 又，此时五个整数根依次是， 显然根和为. 故答案为： 4．对于函数，若在定义域内存在实数x满足，则称函数为“局部奇函数”． (1)若函数在区间上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围； (2)若函数在定义域R上为“局部奇函数”，求实数m的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）先由函数有意义求出的范围，然后结合已知新定义可得在,上存在实数满足，代入结合对数运算性质进行化简，然后结合函数的性质可求； （2）由题意得，存在，使得，代入函数解析式进行整理，利用换元法，结合基本不等式可求解． 【详解】（1）由在,上有意义，故，即， 因为在区间,上为“局部奇函数”，故在,上存在实数满足， 所以，即，所以，故,， 又，故的取值范围为； （2）由题意得，存在，使得，则， 整理得，，即①，令，则， 可化为，所以在时有解， 令，，故，当且仅当时等号成立，所以． 故的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$