4.4.2计算函数零点的二分法（教学课件）数学湘教版必修第一册

4.4 函数与方程 4.4.2 计算函数零点的二分法 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 情境引入 在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障.这是一条长的线路，在这条线路上有200多根电线杆.想一想：维修工人应怎样最合理地迅速查出故障所在地呢？ 如图，工人首先从线路的中点查起，如果段正常，就选择的中点测试；如果段正常，就选择的中点继续测试……像检修线路所用的这种方法称作二分法. 二分法还可以用来寻找函数的零点，迅速地缩小搜索范围，接近零点的准确位置. 例析 例 4 在例3中，我们已经说明了在上恰有一个零点.试用二分法来计算这个零点的更精确的近似值(误差不超过). 解：已经知道，，这是出发点；然后一次次缩小零点所在区间： 第一次，取的中点，用计算器或计算机求出，由于，可知零点在上； 第二次，取的中点，求出，由于 ，可知零点在上； 例析 第一次，取的中点，用计算器或计算机求出，由于，可知零点在上； 第二次，取的中点，求出，由于 ，可知零点在上； 第三次，取的中点，求出，由于 ，可知零点在上. 为了表述清楚，记零点所在区间为，其中点.继续计算列出表格： 例析 从表中计算数据看出，计算到第10次，包含零点的区间长度小于.取此区间中点与零点的距离不超过区间长度之半即.于是可取作为零点的近似值，也即方程 的一个近似解. 新知探索 从上述计算过程，可以看出用二分法求函数零点近似值的一般操作方法. 设函数定义在区间上，其图象是一条连续曲线.我们希望求它在上的一个零点的近似值，使它与零点的误差不超过给定的正数，即使得 . (1)在内取一个闭区间，使与异号，即； (2)取区间的中点； (3)如果，则取为的零点近似值，计算终止； (4)计算，如果，则就是的零点，计算终止； (5)与同号则令，否则令，再执行(2). 新知探索 想一想，步骤(5)的依据是什么？计算一定会终止吗？要取多少次中点？ 参考上述操作步骤，可以画出用二分法求方程的近似值的程序框图： 例析 例 5 求曲线和直线的交点的横坐标(误差不超过). 解 曲线和直线的交点的横坐标应满足等式，即，则交点的横坐标是函数的零点(参看下图). 由和可知在区间内有一个零点；由单调递增可知它只有这一个零点.用二分法计算，列表如下： 例析 得出零点的近似值为，误差不超过.因此曲线和直线 的交点的横坐标约为. 练习 题型一：二分法的概念 答案：根据零点存在定理可知，函数在上连续，且，则函数在上存在零点，所以，不可以用二分法求零点的选项为ABC.故选ABC. 例1.下图4个函数的图象的零点不能用二分法求近似值的是（  ）. A．    B．   C．    D．  练习 方法技巧： 明确使用二分法的注意事项： 1.其图象在零点附近是连续不断的， 2.该零点为变号零点. 因此，用二分法求函数的零点的近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用. 练习 变1.在用“二分法”求函数零点近似值时，若第一次所取区间为，则第二次所取区间可能是（  ）. A． B． C． D． 答案：由题意，根据二分法取值，即判断或的符号， 所以第二次所取区间可能是或.故选：A. 练习 题型二：用二分法求方程的近似解或函数的零点 例2.用二分法求方程的一个正实数近似解(精确度0.1) . 解：据题意可知方程对应的函数在上单调递增， ∴方程的根，即为函数的零点. 所以通过二分法就可求出函数的零点，，， 所以在区间上进行二分法计算. 而，所以在区间上有零点. 所以在区间上有零点. 所以在区间上有零点. 因为精确度为，所以对应方程的解为. 练习 变2.用二分法求方程的一个正实数近似解(精确度0.1) . 中点 0.5 0.75 0.625 0.6875 由于，∴0.75可作为方程的一个正实数近似解. 课堂小结&作业 小结： (1)二分法找零点的步骤； (2)函数零点存在定理. 作业： (1)整理并复习课件题型； (2)课本P131的练习1——3题； (3)课本P132的习题4.4的4、7、8题； (4)阅读课本P133的数学实验材料. 谢谢学习 Thank you for learning $$