2024年九年级苏科版中考数学几何模型专题七：圆中的模型（三）

编号： 11 学生姓名： 年 级： 九年级 辅导科目：数学 课题 圆专题3 教学内容 【模型预览】 模型1：定角定高 模型2：定点定长确定圆 模型3：四点共圆 模型4：最大张角 模型1：定角定高 【模型展现】 图示 条件 在△ABC中，AD⊥BC于点D，其中∠BAC＝α（定角），AD是BC边上的高，且AD＝h（定高） 结论 构成等腰三角形（AB＝AC）时: 1.BC的长最小; 2.△ABC的周长最小; 3.△ABC的面积最小 结论分析 结论1:构成等腰三角形（AB＝AC）时，BC的长最小 证明:如图① ，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC， 过点O作OE⊥BC于点E，设⊙O的半径为r，∵∠BAC＝α，AD＝h， ∴∠BOE＝∠BAC＝α, ∴BC＝2BE＝2OB·sinα＝2r·sinα,OE＝r·cosα. ∵OA+OE≥AD（当且仅当点A，O，E三点共线时，等号成立）， ∴r+rcosα≥h,∴当取等号时r有最小值，此时BC的长最小. 结论2:构成等腰三角形（AB＝AC）时，△ABC的周长最小 证明:如图② ，延长CB至点E，使得BE＝AB，延长BC至点F，使得CF＝CA，连接AE,AF, ∴△ABC的周长为AB+BC+CA＝BE+BC+CF＝EF, ∴当EF最小时，△ABC的周长最小. ∵BA＝BE,CA＝CF, ∴∠BAE＝∠BEA,∠CAF＝∠CFA, ∴∠ABC＝2∠BAE,∠ACB＝2∠CAF. ∵∠ABC+∠BAC+∠ACB＝180°, ∴∠BAE+∠BAC+∠CAF＝∠EAF＝90°∠BAC＝90°α. ∴当AE＝AF时,EF的长最小,即AB＝AC时,△ABC周长最小. 结论3:构成等腰三角形（AB＝AC）时，△ABC的面积最小 自主证明: 【模型解题三步法】 例 在△ABC中,AD⊥BC交BC于点D. （1）如图① ，若∠BAC＝90°，AD＝10，则BC的最小值为 ; 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在三角形:△ABC 以BC为直径作圆 三角形中是否存在定角:∠BAC 三角形中是否存在定高:AD （2）如图② ，若∠BAC＝60°，AD＝4，则△ABC面积的最小值为 . 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在三角形:△ABC 作△ABC的外接圆O 三角形中是否存在定角:∠BAC 三角形中是否存在定高:AD 【题以类解】 1.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为_____. 2.（模型迁移）如图，在平面直角坐标系中， A（4，0），OB＝AB，∠ABO＝90°，点M，N在OA上运动，且∠MBN＝30°，则MN的最小值为_____. 3.如图，在平行四边形ABCD中，AD与BC之间的距离为2，点E是AD边上一点，且∠BEC＝45°，则线段BC的最小值为______. 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D.若AD＝6,则△ABC面积的最小值为______. 5.[问题提出] （1）如图① ，直线m∥n，m，n之间的距离为12，点P在直线m上，点E，F在直线n上，若∠EPF＝45°，求EF的最小值; [问题解决] （2）如图② ，四边形ABCD为某运动场馆外的广场草坪设计示意图.在四边形ABCD中,AD∥BC,,AD与BC之间的距离为12米，且∠A+∠D＝240°.已知种植草坪的成本为每平方米20元.为了节省费用，四边形ABCD的面积是否存在最小值？若存在，求出此时四边形ABCD面积的最小值，并预估此种情况下种植草坪的成本（成本的计算结果保留整数）;若不存在，请说明理由.（参考数据:≈1.73） 模型2：定点定长确定圆 【模型展现】 基础模型 类型 一点作圆 三点定圆 图示 条件 平面内,点O为定点,点B为动点,且OB长度固定 OA=OB=OC 结论 点B的轨迹在以点O为圆心,OB长为半径的圆上 点A,B,C均在⊙O上 模型拓展 拓展方向:定点定长确定圆在图形变化中的应用 类型 翻折生圆 旋转成圆 图示 条件 在矩形ABCD中,点E是AB边上的定点,点F是BC边上一点,将△BEF沿EF折叠得到△B′EF 将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB′C′ 结论 点B′的运动轨迹是以点E为圆心,BE长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 点B(C)的运动轨迹是以点A为圆心,AB(AC)长为半径的一段圆弧(如图中的虚线圆弧) 【模型解题三步法】 例1 在△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝100°,D是△ABC外一点,且AD＝AC,则∠BDC的度数为_______. 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在三条线段相等: 以一种情况为例: 以A为圆心，AB长为半径作圆 AB＝AC＝AD 相等的线段是否共用一个顶点: 点A 点B，C，D在⊙A上 例2如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E为CD边上靠近点C的三等分点，点F为BC上一动点，将△ECF沿EF折叠，点C的对应点为C′，连接BC′，则BC′+EC′的最小值为 . 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在一定点和一动点: 以E为圆心，CE长为半径作圆 定点:点E，动点:点C′ 连接定点和动点的线段是否长度固定: C′E＝CE＝2 点C在弧C′C上 【题以类解】 1.如图，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE＝EF，若，则点C运动到点F时的路径长为（ ） 2.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝AC＝AD＝5，BC＝2，则BD的长为_____. 3.如图，在矩形ABCD中，，AD＝1，点P为DC边上一点，将△ADP沿AP折叠得到△AEP,点D到点E的运动轨迹为DE，当线段EC的长度最短时，图中阴影部分的周长是_____. 4.如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝4，现将△ABC绕点B旋转，点C的对应点为C′，则AC′的最大值与最小值的和为_____. 5.如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠B＝ 60°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，将△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接DG. （1）如图① ，若点E是边AB的中点，求点F从点B运动到BC的中点过程中，四边形AEGD面积的最大值; （2）如图② ，若，点B的对应点G恰好落在AD边上，求BE的长. 模型3：四点共圆 【模型展现】 基础模型 图示 点C,D在AB的同侧 点C,D在AB的异侧 条件 在由点A,B,C,D构成的四边形中,∠ADB=∠ACB=90° 结论 1.点A,B,C,D在同一个圆上,AB为⊙O的直径; 2.圆内接四边形的对角互补 模型拓展 拓展方向:直径不确定的情况下，四点共圆的判定 图示 条件 AB为△ABC和△ABD的公共边,点C在AB的同侧,且∠C=∠D 在四边形ABCD中,∠D+∠B=180°(圆内接四边形对角互补) 结论 点A,B,C,D在同一个圆上 【模型解题三步法】 例 如图，在四边形ABCD中，连接AC，BD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，则∠CAD的度数为_____. 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 是否存在四边形: 以BC为直径作⊙O 四边形ABCD 四边形内是否存在对角互补: ∠BAD+∠BCD＝180° A，B，C，D四点共圆 【题以类解】 1.如图，点D，E分别是等边△ABC的边BC， AB上的点，∠ADE＝60°，点M在AC上，且∠ADM＝60°.若BE＝3，则CM的长为（　　） A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝ 3，点P是AB上方一点，且∠CPB＝∠A，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（ ） 3.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点P为对角线BD上一动点，过点P作PE⊥PF分别交AB,BC于点E,F,则的值为 . 4.（模型构造）如图，已知AC＝BC＝4，点D是AB下方一点，且∠C＝∠D＝90°，则四边形ACBD面积的最大值为_____. 5.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝ AC＝6，点P是BA延长线上的一个动点，过点P分别作PE⊥BC于点E,PF⊥AC于点F，连接EF，则EF的最小值为_____. 6.如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，F是AD上一点,且ED＝FC,ED,FC交于点G,连接BG,BH平分∠GBC交FC于点H,连接DH.求证:△DGH是等腰直角三角形. 模型4：最大张角 【模型展现】 图示 条件 点A，B是∠MDN的边DN上的两个定点，点P是边DM上的动点，则当点P在何处时，∠APB最大 结论 当△ABP的外接圆与边DM相切于点P时，∠APB最大 结论分析 结论:当△ABP的外接圆与边DM相切于点P时，∠APB最大 证明:如图，作△ABP的外接圆⊙O， 设点P′是边DM上不同于点P的任意一点， 连接P′A，P′B，P′A与⊙O交于点C，连接BC， ∵∠ACB＞∠AP′B（三角形外角的性质），∠APB＝∠ACB， ∴∠APB＞∠AP′B, ∴当△ABP的外接圆与边DM相切于点P时，∠APB最大. 【模型解题三步法】 例 如图是某校的足球场，已知足球场的宽AB为32m，球门MG在AB中间且长为4m，宽FG为1m，若小明同学在BC边的P处带球向左边推进，当射门角度（∠MPG）最大时，小明距离AB的长度为 m.（结果保留根号） 第一步:找模型 第二步:抽离模型 第三步:用模型 角的一条边上是否存在两个定点，另 作三角形MPG的外接圆⊙O 一条边上是否存在一个动点: 角:线段MG所在直线与线段BP所形成 的夹角 两定点:M，G 一动点:点P 动点和定点是否构成一个角: ∠MPG ⊙O与BC相切于点P时， 是否存在构成角度最大: 射门角度最大 ∠MPG最大 【题以类解】 1.如图，四边形ABCD为菱形，AB＝6，∠A＝60°，E为CD的中点，BC边上有一动点P，连接PE,PD,当∠DPE最大时,点P到CD的距离为_____. 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD边上一点,当∠BEC最大时,cos∠BEC的值为_____. 3. 某游乐园的平面图如图所示，场所保卫人员想在OD段上的点M处安装监控装置，用来监控OC边上的AB段，为了让监控效果达到最佳，要求∠AMB最大.已知∠DOC＝60°，OA＝400米， 米，问在线段OD上是否存在一点M，使得∠AMB最大？若存在，请求出此时OM的长和∠AMB的度数;若不存在，请说明理由. 【综合练习7】 基础过关 1.如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则sin∠ACB的值为（ ） C. 2.如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦， ∠BOD＝2∠BAC,若AC＝5,CD＝6,则⊙O的半径长为（ ） C.4 D.5 3.如图，等边△ABC内切圆的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称.若等边△ABC的边长为8，则圆中的黑色部分的面积是______. 4.如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线， AC与⊙O交于点D，若BC＝3，，则⊙O的半径为______. 5.如图，△ABC内接于⊙O，弦AD交BC于点E， AB＝AC,AE＝2,ED＝4,则AB的长为______. 6.如图，在边长为8的正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是边CD上方一点，且∠CED＝90°.若DE＝2，则EO的长为______. 7.如图,在△ABC中,∠ACB＝45°,CD为AB边上的高，若CD＝6，则△ABC面积的最小值为______. 8.如图，在扇形CAB中,CD⊥AB于点D,⊙E是△ACD的内切圆,连接AE,BE. （1）∠AEB的度数为______; （2）若∠EBA＝15°，AD＝1，则CB的长为______. 9.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝-x+2 与坐标轴交于A，B两点，点C为坐标平面内一点，BC＝2，点D为线段AC的中点，连接OD，当OD的长度最小时，点C的坐标为______. 10.如图，P是正方形ABCD内一点，且满足∠CBP+∠CDP＝45°.若AB＝6，则四边形ABPD面积的最大值为_____. 能力提升 11.如图，⊙O为△ABC的外接圆，点D为⊙O上一点,且BD＝CD,连接AD,BD,CD,AD与∠ABC的平分线交于点I. （1）求证:点I为△ABC的内心; （2）求证:DI＝DB; （3）若∠BAC＝60°，连接Cl，求∠BIC的度数及DI的长. 12.（模型叠加）如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D，点E为AD的中点，连接EC并延长交AB延长线于点F. （1）求证:EF是⊙O的切线; （2）若CF＝12，BF＝8，求AD的值. 挑战压轴 13.问题探究: （1）如图① ，点M为⊙O外一点，点C为⊙O上异于A，B的一点，则∠M_____ ∠ACB（填“＞”，“＜”或“＝”）; （2）如图② ，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，连接BE，请在矩形ABCD内部用直尺与圆规作出一点P，使点P满足∠BPC＝∠BEC,且PB＝PC; 问题解决: （3）如图③ ，为某仓库库房的平面示意图，其中AD＝12米，AB＝8米，现需在墙面AD上安装一摄像头P，使得∠BPC最大，是否存在这样的点P，若存在，确定点P的位置，并求出此时sin∠BPC的值，若不存在，请说明理由. 图① 20 1 学科网（北京）股份有限公司 $$