2.1（1）直线与圆的位置关系（5大题型提分练）（题型专练）数学浙教版九年级下册

（浙教版）九年级上册数学《第2章 直线与圆的位置关系》 2.1 （1） 直线与圆的位置关系 知识点 直线与圆的位置关系 ◆1、直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r ◆2、判断直线和圆的位置关系的两种方法： 1.定义法：根据直线和圆的公共点的个数判断． 2.数量关系法：根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断． 题型一 判断直线和圆的位置关系 解题技巧提炼 本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断． ①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离． 1．（2023秋•东阳市期末）若圆心O到直线l的距离等于⊙O的直径，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 【分析】由题意得出d＞r，根据直线和圆的位置关系的判定方法判断即可 【解答】解：若圆心O到直线l的距离d等于⊙O的直径， 那么圆心O到直线l的距离d大于半径r， 即d＞r， 所以线l与⊙O的位置关系是相离， 故选：C． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，熟记：已知⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离是d，当d＞r时，直线和圆相离，当d＝r时，直线和圆相切，当d＜r时，直线和圆相交是解决问题的关键． 2．（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【分析】运用直线与圆的三种位置关系，结合10＜13，即可解决问题． 【解答】解：∵⊙O的半径为10，圆心O到直线l的距离是13，而10＜13， ∴点O到直线l的距离大于半径， ∴直线l与⊙O相离． 故选：A． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 3．（2024•杨浦区三模）已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线a的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 【分析】根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答． 【解答】解：∵点A在圆O上，已知圆O的半径是3，点A到直线a的距离是6， ∴圆O与直线a的位置关系可能是相切或相离， 故选：D． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系解答．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 4．（2024秋•江汉区期中）在平面直角坐标系中，点P坐标（3，﹣4），以P为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点O在⊙P内 B．原点O在⊙P上 C．⊙P与x轴相切，与y轴相交 D．⊙P与y轴相切，与x轴相交 【分析】根据点P坐标（3，﹣4），求得点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，到原点的距离为5，于是得到结论． 【解答】解：∵点P坐标（3，﹣4）， ∴点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为3，到原点的距离为5， ∵以P为圆心，4个单位长度为半径作圆， ∴原点O在⊙P外，⊙P与x轴相切，与y轴相交，故选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系是解题的关键． 5．（2022秋•大名县校级期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．平行 【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解． 【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3， ∵⊙O的半径为一元二次方程程x2﹣2x﹣3＝0的根， ∴r＝3， ∵d＞r， ∴直线l与⊙O的位置关系是相离， 故选：C． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 6．（2023•江夏区校级模拟）已知平面内有⊙O和点M，N，若⊙O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【分析】根据直线上点与圆的位置关系的判定得出直线与圆的位置关系． 【解答】解：∵⊙O的半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm， 即点M到圆心O的距离大于圆的半径，点N到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点M在⊙O外，点N在⊙O上， ∴直线MN与⊙O的位置关系为相交或相切， 故选：D． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，正确的理解题意是解题的关键． 7．（2023秋•黄陂区校级期末）如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝45°，OP＝4cm，以P为圆心，2cm长为半径的圆与直线OB的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【分析】过点P作PD⊥OB于点D，根据直角三角形的性质求出PD的长，进而可得出结论． 【解答】解：过点P作PD⊥OB于点D， ∵∠AOB＝45°，OP＝4cm， ∴PD4＝2（cm）， ∵22， ∴以P为圆心，2cm长为半径的圆与直线OB的位置关系是相离． 故选：A． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当r＝d时，直线与圆相切是解答此题的关键． 8．（2023秋•西华县期末）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 【分析】根据圆于直线关系直接判断即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， ∵PO＝2， ∴当PO是点O到直线的距离时相切，当PO不是点O到直线的距离时距离小于2相交， 故选：D． 【点评】本题考查圆与直线的关系，圆心到直线的距离等于半径相切，圆心到直线距离小于半径时小角，大于半径相离． 9．（2024秋•西城区校级期中）⊙O的直径为17cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 　　 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 【分析】先求出⊙O的半径，再由直线和圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：∵⊙O的直径为17cm， ∴⊙O的半径17＝8.5（cm）， ∵圆心O与直线l的距离为7.5cm，7.5cm＜8.5cm， ∴直线l与⊙O相交． 故答案为：相交． 【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r是解题的关键． 10．（2023•北海二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，2.4为半径作⊙C，则⊙C和AB的位置关系是　 　． 【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，和⊙C的半径比较即可． 【解答】 解：过C作CD⊥AB于D， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB5， 由三角形面积公式得：3×45×CD， CD＝2.4， 即C到AB的距离等于⊙C的半径长， ∴⊙C和AB的位置关系是相切， 故答案为：相切． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、相交、相离． 11．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的⊙C与AB的位置关系： （1）r＝2cm； （2）r＝2.4cm； （3）r＝3cm． 【分析】CD⊥AB于D，如图，先利用勾股定理计算出AB＝5，再利用面积法计算出CD＝2.4，然后根据直线与圆的位置关系判定方法解决（1）、（2）、（3）． 【解答】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵BC•ACCD•AB， ∴CD＝2.4， （1）当r＝2时，CD＞r，所以⊙C与AB相离； （2）当r＝2.4时，CD＝r，所以⊙C与AB相切； （3）当r＝3时，CD＜r，所以⊙C与AB相交． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 12．（2023秋•南京期中）如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 　　 ； （2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由． 【分析】（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，以点M为圆心，以AB为半径的圆为所求，然后根据网格的特征可求出点M的坐标； （2）先利用勾股定理求出MA，即得⊙M的半径为r，再根据点M的坐标求出点M到y轴的距离d＝3，然后比较d与r的大小即可得出⊙M于y轴的位置关系． 【解答】解：（1）连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线交于点M，则以点M为圆心，以AM为半径的圆为所求，如图所示： 根据网格的特征可得：点M的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）． （2）⊙M于y轴相交，理由如下： 由勾股定理得：MA， 即⊙M的半径为r， ∵⊙M的圆心M的坐标为（3，2）， ∴点M到y轴的距离d＝3， ∵d＜r， ∴⊙M于y轴相交． 【点评】此题主要考查了过三点的圆，圆与直线的位置关系，熟练掌握过三点圆的圆心的位置，理解圆与直线的位置关系是解决问题的关键． 题型二 根据直线和圆的位置关系确定公共点个数 解题技巧提炼 直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系： 1、直线和圆相交⇔两个公共点， 2、直线和圆相切⇔一个公共点， 3、直线和圆相离⇔没有公共点． 1．（2023春•江岸区校级月考）已知⊙O的半径为5，点O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O公共点的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】根据直线和圆的位置关系判断方法，可得结论． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，点O到直线a的距离为4， ∴d＝4＜r＝5， ∴直线a与圆相交， ∴直线a与⊙O公共点的个数为2个， 故选：B． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，掌握直线和圆的位置关系判断方法是解题的关键． 2．（2023秋•万年县期末）已知⊙O的周长为12πcm，某直线到圆心O的距离为5cm，则这条直线与⊙O公共点的个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．不能确定 【分析】先求解⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时，先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论． 【解答】解：∵⊙O的周长为12πcm， ∴⊙O的半径为：， ∵直线到圆心O的距离为5cm，6cm＞5cm， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个交点． 故选：A． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时直线与圆相交是解答此题的关键． 3．（2024秋•南京期中）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】由2cm＜3cm，可知圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径，所以直线l与⊙O相交，则直线l与⊙O有两个交点，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，且2cm＜3cm， ∴圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个交点， 故选：C． 【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，根据圆心O到直线l的距离小于⊙O的半径证明直线l与⊙O相交是解题的关键． 4．（2023秋•恩施市校级月考）已知某直线到圆心的距离为5cm，圆的周长为10πcm，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 【分析】根据若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．直线和圆有两个公共点，则直线和圆相交；直线和圆有唯一一个公共点，则直线和圆相切；直线和圆没有公共点，则直线和圆相离，即可得到问题选项． 【解答】解：∵圆的周长为10πcm， ∴圆的半径为5cm， ∵圆心到直线l的距离为5cm， ∴d＝r， ∴直线与圆相切， ∴直线l和这个圆的公共点的个数为1个． 故选：B． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心距与半径关系得出位置关系是解决问题的关键． 5．（2023秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6， ∴BC＝10， ∴斜边上的高为：4.8， ∴d＝4.8cm＝rcm＝4.8cm， ∴圆与该直线BC的位置关系是相切，交点个数为1， 故选：B． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 6．已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【分析】利用直线与圆的位置关系的判断方法得到直线l和⊙O相离，然后根据相离的定义对各选项进行判断． 【解答】解：∵⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm， ∴⊙O的半径等于4cm，圆心O到直线l的距离≤4cm 即圆心O到直线l的距离≤圆的半径， ∴直线l和⊙O相切或相交， ∴直线l与⊙O有1个或2个有公共点． 故选：D． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 7．（2023秋•兴隆台区期末）在△ABC中∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心以2.4cm长为半径作⊙C，则⊙C与△ABC的三边的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理求出AB，根据三角形面积公式求出CD，再和⊙C的半径比较即可得出结果． 【解答】解：过C作CD⊥AB于D，如图所示： 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB5（cm）， 由三角形面积公式得：3×45×CD， 解得：CD＝2.4cm， 即C到AB的距离等于⊙C的半径长， ∴⊙C和AB的位置关系是相相切， ∴⊙C与△ABC的三边的交点个数为3个， 故选：D． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，解题的关键是判断圆的半径和圆心到直线的距离． 8．（2023秋•江都区期末）在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（　　） A．⊙P与x轴、y轴都有两个公共点 B．⊙P与x轴、y轴都没有公共点 C．⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 D．⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 【分析】点P到x轴的距离是，到y轴的距离为2，圆P的半径是2，所以可判断圆P与x轴相交，与y轴相切，从而确定答案即可． 【解答】解：∵P（2，），圆P的半径为2， ∴以P为圆心，以2为半径的圆与x轴的位置关系是相交，与y轴的位置关系是相切， ∴该圆与x轴的交点有2个，与y轴的交点有1个． 故选：D． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解本题的关键． 题型三 已知直线和圆的位置关系确定取值范围 解题技巧提炼 解决此类问题的关键是根据直线和圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半径的大小关系，然后求其取值范围即可． 1．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 【分析】由勾股定理求出BC的长，作CD⊥AB于D，利用三角形的面积公式得出CD的长，再根据r的值与CD的大小进行解答． 【解答】解：作CD⊥AB于D， 在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC8， ∵S△ABCAC•BCAB•CD， 即6×8＝10CD， ∴CD＝4.8； 当r＞4.8时，以C为圆心，r为半径的圆与AB相交； ∵5＞4.8， ∴r＝5时，⊙C与AB所在直线相交， 故选：D． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握这一关系． 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　 ； 【分析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断． 【解答】解：如图，作CH⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴AB10， ∵S△ABC•AC•BC•AB•CH， ∴CH， ∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离， ∴r的取值范围为r， 故答案为：r． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2024秋•兴化市校级月考）如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是 　 　． 【分析】作MD⊥OA于点D，由∠DMO＝∠DOM＝45°，得OD＝MD，则OMMD＝2，所以MD，若⊙M与射线OA有两个公共点，则MD＜r≤OM，所以半径r的取值范围是r≤2，于是得到问题的答案． 【解答】解：作MD⊥OA于点D，则∠ODM＝90°， ∵∠AOB＝45°， ∴∠DMO＝∠DOM＝45°， ∴OD＝MD， ∴OMMD＝2， ∴MD， ∵当r＝MD时，⊙M与射线OA相切，此时与射线OA只有一个公共点；当r＝OM时，⊙M与射线OA有两个公共点， ∴若⊙M与射线OA有两个公共点，则MD＜r≤OM， ∴半径r的取值范围是r≤2， 故答案为：r≤2． 【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地作出辅助线是解题的关键． 4．（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 　 　． 【分析】平移分在y轴的左侧和y轴的右侧两种情况写出答案即可． 【解答】解：当⊙P位于y轴的左侧且与y轴相切时，平移的距离为1； 当⊙P位于y轴的右侧且与y轴相切时，平移的距离为5． 故平移的距离d的取值范围是1＜d＜5． 故答案为：1＜d＜5． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是了解当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径． 5．（2024秋•江宁区校级月考）在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是　 　． 【分析】分别根据原点O在圆A的外部，圆A与x轴相交，可得半径R的取值范围． 【解答】解：∵A（4，3）， ∴， ∵原点O在圆A的外部， ∴R＜OA，即R＜5， ∵圆A与x轴相交， ∴R＞3， ∴3＜R＜5， 故答案为：3＜R＜5． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，勾股定理，直线、点与圆的位置关系等知识点，能熟记直线、点与圆的位置关系是解此题的关键． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，以C为圆心，R为半径画圆，若⊙C与边AB有两个公共点，则R的取值范围是 　　 ． 【分析】作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，r＝4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有两个公共点，即可得出r的取值范围． 【解答】解：作CD⊥AB于D，如图所示： ∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13， ∵△ABC的面积AB•CDAC•BC， ∴CD， 即圆心C到AB的距离d， ∵AC＜BC， ∴以C为圆心，r＝12为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点， ∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则r的取值范围是r≤5． 故答案为：r≤5． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，掌握垂线段最短、直线与圆相切以及直线与圆的位置关系是解题的关键． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画⊙C，根据下列条件，分别求出r的取值范围． （1）边AB与⊙C相离； （2）边AB与⊙C相切； （3）边AB与⊙C相交． 【分析】过C作CD⊥AB于D，根据勾股定理得到AB＝5，再根据三角形的面积公式得到CD的长，然后根据圆心到AB的距离与半径的关系即可得到结论． 【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D， ∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5， ∴CD2.4， （1）直线AB与⊙C相离，则r的取值范围是0＜r＜2.4； （2）直线AB与⊙C相切，则r的值是r＝CD＝2.4； （3）直线AB与⊙C相交，则r的取值范围是r＞2.4． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定． 8．（2024秋•鼓楼区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，若以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点，求r的取值范围． 【分析】作CD⊥AB于D，根据勾股定理计算出AB＝13，再利用面积法计算出CD，然后根据直线与圆的位置关系得到当r≤12时，以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点． 【解答】解：作CD⊥AB于D，如图， ∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12， ∴AB13， ∵CD•ABBC•AC， ∴CD， ∴以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点时，r的取值范围为r≤12． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d＞r． 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以C为圆心画圆． （1）当⊙C的半径为3.5时，点B与⊙C有怎样的位置关系； （2）当⊙C与直线AB相交时，求⊙C的半径r． 【分析】（1）先根据勾股定理求出B到圆心C的距离，再根据点与圆的位置关系即可求出结论 （2）过作CD⊥AB于D，先根据三角形面积公式求出C到AB的距离，再根据直线与圆的位置关系即可求出结论． 【解答】解：（1）点B在⊙C外， 理由如下： 在Rt△ABC中，AC＝3，AB＝5， ∴BC4， ∵BC＞3.5，即B到圆心C的距离大于⊙C的半径， ∴点B在⊙C外； （2）过作CD⊥AB于D， ∴CD＝d2.4， 当⊙C与直线AB相交时，r＞2.4． 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系是解决问题的关键． 10．如图，P为正比例函数yx图象上的一个动点，⊙P的半径是2.5，设点P的坐标为（x，y）． （1）求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标． （2）请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围． 【分析】（1）根据直线和圆相切应满足圆心到直线的距离等于半径，首先求得点P的横坐标，再根据直线的解析式求得点P的纵坐标； （2）根据（1）的结论，即可分析出相离和相交时x的取值范围． 【解答】解：（1）过P作直线x＝2的垂线，垂足为A； 当点P在直线x＝2右侧时，AP＝x﹣2＝2.5，得x； ∴P（，）； 当点P在直线x＝2左侧时，PA＝2﹣x＝2.5，得x， ∴P（，）， ∴当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为（，）或（，）； （2）当x时，⊙P与直线x＝2相交， 当x或x时，⊙P与直线x＝2相离． 【点评】本题为一次函数和圆的运用综合题，掌握直线和圆的不同位置关系应满足的数量关系是解题的关键． 题型四 根据直线和圆交点个数确定取值范围 解题技巧提炼 本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断． ①两个公共点⇔d＜r；②一个公共点⇔d＝r；③没有公共点⇔d＞r． 1．（2023秋•遵化市期末）设⊙O的半径是6cm，点O到直线l的距离为d，⊙O与直线l有公共点，则（　　） A．d＞6cm B．d＝6cm C．0≤d＜6cm D．0≤d≤6cm 【分析】利用直线与圆的位置关系判断方法，相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，进而得出答案． 【解答】解：∵⊙O的半径是6cm，点O到直线l的距离为d，⊙O与直线l有公共点， ∴直线l与⊙O相切或相交， ∴0≤d≤6cm． 故选：D． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，得出直线与圆的位置关系进而得出答案是解题关键． 2．（2023•宝山区一模）已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3、BC＝4．以C为圆心作⊙C，如果圆C与斜边AB有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 【分析】作CD⊥AB于D，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，由AC＞BC，可得以C为圆心，R＝4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点；若⊙C与斜边AB有两个公共点，即可得出R的取值范围． 【解答】解：作CD⊥AB于D，如图所示： ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4， ∴AB5， ∵△ABC的面积AB•CDAC•BC， ∴CD， 即圆心C到AB的距离d， ∵AC＜BC， ∴以C为圆心，R＝4为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点， ∴若⊙C与斜边AB有两个公共点，则R的取值范围是R≤3． 故选：C． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（　　） A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5 【分析】根据直线与圆的位置关系得出相切时有一交点，再结合图形即可得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆， 当圆A的半径0＜r＜3或r＞5时，圆A与线段BC没有公共点； 故选：D． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，结合题意画出符合题意的图形，从而得出答案． 4．（2024秋•海淀区校级期中）已知⊙O的半径为3，线段AB＝2，若⊙O与线段AB有两个交点，则点O到直线AB的距离d的取值范围是 　 　． 【分析】当线段AB的两个端点A、B在⊙O上，连接OA，作OH⊥AB于点H，由OA＝3，AB＝2，得AHAB＝1，则OH2，因为⊙O与线段AB有两个交点，所以2d＜3，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图，线段AB的两个端点A、B在⊙O上，连接OA，作OH⊥AB于点H， ∵⊙O的半径为3，AB＝2， ∴OA＝3，AH＝BHAB＝1， ∵∠AHO＝90°， ∴OH2， ∵⊙O与线段AB有两个交点，点O到直线AB的距离d， ∴2d＜3， 故答案为：2d＜3． 【点评】此题重点考查直线与圆的位置关系，正确地求出线段AB的两个端点A、B在⊙O上时，点O到直线AB的距离是解题的关键． 5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为　 　． 【分析】如图，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面积法求出CH即可判断． 【解答】解：如图，作CH⊥AB于H． 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6， ∴AB10， ∵S△ABC•AC•BC•AB•CH， ∴CH， ∵以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点， ∴r， 故答案为r． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6．（2023秋•盐都区月考）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 　 　． 【分析】根据直线与圆的位置关系，即可求解． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点， ∴0≤d≤5， 故答案为：0≤d≤5． 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，掌握直线和圆有公共点⇔0≤d≤r是解题的关键． 7．（2023•鞍山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为　 　． 【分析】先根据题意画出符合的两种情况，根据勾股定理求出BC，即可得出答案． 【解答】解：过C作CD⊥AB于D， 在Rt△BCA中， ∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠B＝30°， ∴AB＝4， ∴BC2， 根据三角形的面积公式得：AB•CD＝AC•BC， ∴CD， 当圆与AB相切时，r， 当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，r的范围是2＜r≤2， 综上所述：r的取值范围是r或2＜r≤2， 故答案为：r或2＜r≤2． 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系，切线的性质，勾股定理的应用，能求出符合的所所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想． 8．（2023•南关区校级三模）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是　 　． 【分析】根据题意，知直线和圆有公共点，则相切或相交．相切时，设切点为C，连接OC．根据等腰直角三角形的直角边是圆的半径1，求得斜边是，所以x的取值范围是0＜x． 【解答】解：设切点为C，连接OC，则圆的半径OC＝1，OC⊥PC， ∵∠AOB＝45°，OA∥PC， ∴∠OPC＝45°， ∴PC＝OC＝1， ∴OP， 同理，原点左侧的距离也是，且线段的长度是正数， ∴x的取值范围是0＜x， 故答案为：0＜x． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系，分别得出两圆与圆相切时求出OP的长是解决问题的关键，难度一般，注意两个极值点的寻找． 9．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围． 【分析】此题注意两种情况： （1）圆与AB相切时； （2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时． 根据勾股定理以及直角三角形的面积计算出其斜边上的高，再根据位置关系与数量之间的联系进行求解． 【解答】解：如图，根据勾股定理求得AB＝5． ∵BC＞AC， ∴以C为圆心，r为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点分两种情况： （1）圆与AB相切时，即r＝CD＝3×4÷5＝2.4； （2）点A在圆内部，点B在圆上或圆外时，此时AC＜r≤BC，即3＜r≤4． ∴3＜r≤4或r＝2.4． 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可． 10．在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？ （1）r＝2；（2）r＝2；（3）r＝3． 变式：若BC＝3，r为何值时，⊙C与线段AB （1）只有一个公共点？（2）有两个公共点？（3）没有公共点？（4）有公共点？ 【分析】求出圆心C到直线AB的距离d，再根据d与r的大小关系，判断直线与圆的位置关系； 变式： 【解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D， ∴∠ADC＝90°， ∵∠A＝45°，AC＝4， ∴CDAC＝2，即圆心C到直线AB的距离为d＝2， （1）当r＝2时，有d＞r， 因此⊙C与直线AB相离； （2）当r＝2时，有d＝r， 因此⊙C与直线AB相切； （3）当r＝3时，有d＜r， 因此⊙C与直线AB相交； 变式：AC＝4，BC＝3，CD＝2， （1）当r＝2时，⊙C与AB相切于点D，此时与线段AB只有一个公共点； 当3＜r≤4时，⊙C与线段AB只有一个公共点； （2）当2r≤3时，⊙C与线段AB有两个公共点； （3）当0＜r＜2或r＞4时，⊙C与线段AB没有公共点； （4）当2r≤4时，⊙C与线段AB有公共点． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离与半径的大小关系是判断直线圆的位置关系的关键 题型五 利用直线与圆的位置关系求最值 解题技巧提炼 本题主要考查了根据直线和圆的位置关系中的相切来解决问题，结合勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值. 1．（2023春•市南区校级月考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 【分析】连接PA，OA，由切线的性质得到OA⊥PA，求出PO2＝m24m2+12m+12，由勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝42，即可求出PA的最小值是． 【解答】解：连接PO，OA， ∵PA切圆于A， ∴OA⊥PA， ∵点， ∴PO2＝m24m2+12m+12， ∵圆的半径是1， ∴OA＝1， ∴PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝42， ∴PA2的最小值是2， ∵PA＞0， ∴PA的最小值是． 故选：D． 【点评】本题考查切线的性质，勾股定理，二次函数的性质，关键是由切线的性质，勾股定理得到PA2＝PO2﹣OA2＝4m2+12m+11＝42，即可求出PA的最小值． 2．（2023秋•常熟市期中）如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 【分析】作CH⊥AB于H交⊙O于E、F．当点P与E重合时，△PAB的面积最小，求出EH、AB的长即可解决问题 【解答】解：作CH⊥AB于H交⊙O于E、F． ∵C（1，0），直线AB的解析式为yx+3， ∴直线CH的解析式为yx， 由 解得， ∴H（，）， ∴CH3， ∵A（4，0），B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3，AB＝5， ∴EH＝3﹣1＝2， 当点P与E重合时，△PAB的面积最小，最小值5×2＝5， 故选：A． 【点评】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征、一次函数的性质、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用直线与圆的位置关系解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 3．（2023秋•南关区校级期末）点A是半径为3的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为4．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 　 　． 【分析】根据勾股定理用OP表示出PA，根据垂线段最短解答即可． 【解答】解：∵∠POA＝90°， ∴PA， 当OP最小时，PA取最小值， 由题意得：当OP⊥MN时，OP最小，最小值为4， ∴PA的最小值为：5， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系、垂线段最短、勾股定理的应用，根据勾股定理表示出PA的长是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙D与y轴相交的弦长为6，圆心D（2，4），则过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为 　 　． 【分析】设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C，根据勾股定理得到DE，根据D（2，4），B（2，3），得到DB∥y轴，推出过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦，过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：设圆D与y轴的交点为E，A，连接DE，过D作DC⊥y轴于C， ∵⊙D与y轴相交的弦长为6， ∴AE＝6， ∴CE＝3， ∵D（2，4）， ∴CD＝2， ∴DE， ∵D（2，4），B（2，3）， ∴DB∥y轴， ∴过点B（2，3）的所有弦中最短的弦是垂直于DB的弦， 过B作MN⊥DB交⊙D于M，N，连接DN， 在Rt△DBN中，∠DBN＝90°，DB＝1，DN， ∴BN2， ∴MN＝2BN＝4， 故过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为4， 故答案为：4． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 5．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　． 【分析】作AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，连接CP、CQ，先由BC＝4，AB＝AC＝3得BE＝CEBC＝2，再根据勾股定理求得AE，由3CD4S△ABC求得CD，由PQ可知，当CP的值最小时，PQ的值最小，所以当点P与点D重合时，CP的值最小，根据勾股定理求出此时PQ的值即可． 【解答】解：如图，作AE⊥BC于点E，CD⊥AB于点D，连接CP、CQ， ∵BC＝4，AB＝AC＝3， ∴BE＝CEBC4＝2， ∵∠AEB＝90°， ∴AE， ∵AB•CDBC•AE＝S△ABC， ∴3CD4， ∴CD， ∵PQ切⊙O于点Q，CQ＝1， ∴PQ⊥CQ， ∴∠CQP＝90°， ∴PQ， ∴当CP的值最小时，PQ的值最小， ∴当点P与点D重合时，CP的值最小，此时CP＝CD， ∴PQ最小， 故答案为：． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、圆的切线的性质、根据面积等式列方程求线段的长度、勾股定理、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）九年级上册数学《第2章 直线与圆的位置关系》 2.1 （1） 直线与圆的位置关系 知识点 直线与圆的位置关系 ◆1、直线和圆的位置关系 直线和圆的位置关系 相离 相切 相交 定义 直线和圆没有公共点，这时这条直线和圆相离 直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切 直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交 图形 公共点个数 0 1 2 圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系 d＞ r d＝ r d＜ r 公共点名称 切点 交点 直线名称 切线 割线 总结 直线与圆相离 ⇔ d＞r 直线与圆相切 ⇔ d = r 直线与圆相交 ⇔ d＜r ◆2、判断直线和圆的位置关系的两种方法： 1.定义法：根据直线和圆的公共点的个数判断． 2.数量关系法：根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断． 题型一 判断直线和圆的位置关系 解题技巧提炼 本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断． ①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离． 1．（2023秋•东阳市期末）若圆心O到直线l的距离等于⊙O的直径，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 2．（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 3．（2024•杨浦区三模）已知点A在半径为3的圆O上，如果点A到直线a的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上答案都不对 4．（2024秋•江汉区期中）在平面直角坐标系中，点P坐标（3，﹣4），以P为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是（　　） A．原点O在⊙P内 B．原点O在⊙P上 C．⊙P与x轴相切，与y轴相交 D．⊙P与y轴相切，与x轴相交 5．（2022秋•大名县校级期末）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝4，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相交 B．相切 C．相离 D．平行 6．（2023•江夏区校级模拟）已知平面内有⊙O和点M，N，若⊙O半径为2cm，线段OM＝3cm，ON＝2cm，则直线MN与⊙O的位置关系为（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 7．（2023秋•黄陂区校级期末）如图，P为∠AOB边OA上一点，∠AOB＝45°，OP＝4cm，以P为圆心，2cm长为半径的圆与直线OB的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 8．（2023秋•西华县期末）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切 9．（2024秋•西城区校级期中）⊙O的直径为17cm，若圆心O与直线l的距离为7.5cm，则l与⊙O的位置关系是 　　 （填“相交”、“相切”或“相离”）． 10．（2023•北海二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，2.4为半径作⊙C，则⊙C和AB的位置关系是　 　． 11．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的⊙C与AB的位置关系： （1）r＝2cm； （2）r＝2.4cm； （3）r＝3cm． 12．（2023秋•南京期中）如图，在平面直角坐标系中，A（2，5），B（4，5），C（6，3）．⊙M经过A，B，C三点． （1）点M的坐标是 　　 ； （2）判断⊙M与y轴的位置关系，并说明理由． 题型二 根据直线和圆的位置关系确定公共点个数 解题技巧提炼 直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系： 1、直线和圆相交⇔两个公共点， 2、直线和圆相切⇔一个公共点， 3、直线和圆相离⇔没有公共点． 1．（2023春•江岸区校级月考）已知⊙O的半径为5，点O到直线a的距离为4，则直线a与⊙O公共点的个数为（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．（2023秋•万年县期末）已知⊙O的周长为12πcm，某直线到圆心O的距离为5cm，则这条直线与⊙O公共点的个数为（　　） A．2 B．1 C．0 D．不能确定 3．（2024秋•南京期中）已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线l的距离为2cm，则l与⊙O的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023秋•恩施市校级月考）已知某直线到圆心的距离为5cm，圆的周长为10πcm，请问这条直线与这个圆的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．无法确定 5．（2023秋•武汉期末）直角△ABC，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，以A为圆心，4.8长度为半径的圆与直线BC的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 6．已知⊙O的直径等于8cm，圆心O到直线l上一点的距离为4cm，则直线l与⊙O的公共点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 7．（2023秋•兴隆台区期末）在△ABC中∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以点C为圆心以2.4cm长为半径作⊙C，则⊙C与△ABC的三边的交点个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2023秋•江都区期末）在直角坐标系中，点P的坐标是，⊙P的半径为2，下列说法正确的是（　　） A．⊙P与x轴、y轴都有两个公共点 B．⊙P与x轴、y轴都没有公共点 C．⊙P与x轴有一个公共点，与y轴有两个公共点 D．⊙P与x轴有两个公共点，与y轴有一个公共点 题型三 已知直线和圆的位置关系确定取值范围 解题技巧提炼 解决此类问题的关键是根据直线和圆的位置关系，得到圆心到直线的距离与半径的大小关系，然后求其取值范围即可． 1．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以点C为圆心r为半径的圆与AB所在直线相交，则r可能为（　　） A．3 B．4 C．4.8 D．5 2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线相离，则r的取值范围为 　 ； 3．（2024秋•兴化市校级月考）如图，∠AOB＝45°，点M是射线OB上一点，OM＝2，以点M为圆心，r为半径作⊙M，若⊙M与射线OA有两个公共点，则半径r的取值范围是 　 　． 4．（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是 　 　． 5．（2024秋•江宁区校级月考）在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是　 　． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，以C为圆心，R为半径画圆，若⊙C与边AB有两个公共点，则R的取值范围是 　　 ． 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点C为圆心，r为半径画⊙C，根据下列条件，分别求出r的取值范围． （1）边AB与⊙C相离； （2）边AB与⊙C相切； （3）边AB与⊙C相交． 8．（2024秋•鼓楼区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，若以C为圆心、r为半径作的圆与斜边AB有公共点，求r的取值范围． 9．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，以C为圆心画圆． （1）当⊙C的半径为3.5时，点B与⊙C有怎样的位置关系； （2）当⊙C与直线AB相交时，求⊙C的半径r． 10．如图，P为正比例函数yx图象上的一个动点，⊙P的半径是2.5，设点P的坐标为（x，y）． （1）求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标． （2）请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围． 题型四 根据直线和圆交点个数确定取值范围 解题技巧提炼 本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断． ①两个公共点⇔d＜r；②一个公共点⇔d＝r；③没有公共点⇔d＞r． 1．（2023秋•遵化市期末）设⊙O的半径是6cm，点O到直线l的距离为d，⊙O与直线l有公共点，则（　　） A．d＞6cm B．d＝6cm C．0≤d＜6cm D．0≤d≤6cm 2．（2023•宝山区一模）已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝3、BC＝4．以C为圆心作⊙C，如果圆C与斜边AB有两个公共点，那么圆C的半径长R的取值范围是（　　） A． B． C． D．． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心作圆，如果圆A与线段BC没有公共点，那么圆A的半径r的取值范围是（　　） A．5≥r≥3 B．3＜r＜5 C．r＝3或r＝5 D．0＜r＜3或r＞5 4．（2024秋•海淀区校级期中）已知⊙O的半径为3，线段AB＝2，若⊙O与线段AB有两个交点，则点O到直线AB的距离d的取值范围是 　 　． 5．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以点C为圆心，r为半径的圆与边AB所在直线有公共点，则r的取值范围为　 　． 6．（2023秋•盐都区月考）已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 　 　． 7．（2023•鞍山模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以C为圆心，r为半径作圆．若该圆与线段AB只有一个交点，则r的取值范围为　 　． 8．（2023•南关区校级三模）如图，已知⊙O是以数轴的原点O为圆心，半径为1的圆，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是　 　． 9．Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围． 10．在△ABC中，∠A＝45°，AC＝4，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的位置关系？为什么？ （1）r＝2；（2）r＝2；（3）r＝3． 变式：若BC＝3，r为何值时，⊙C与线段AB （1）只有一个公共点？（2）有两个公共点？（3）没有公共点？（4）有公共点？ 题型五 利用直线与圆的位置关系求最值 解题技巧提炼 本题主要考查了根据直线和圆的位置关系中的相切来解决问题，结合勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值. 1．（2023春•市南区校级月考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（　　） A．3 B．2 C． D． 2．（2023秋•常熟市期中）如图，直线yx+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是以C（1，0）为圆心，1为半径的圆上任意一点，连接PA，PB，则△PAB面积的最小值是（　　） A．5 B．10 C．15 D．20 3．（2023秋•南关区校级期末）点A是半径为3的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为4．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是 　 　． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知⊙D与y轴相交的弦长为6，圆心D（2，4），则过点B（2，3）的所有弦中最短的弦长为 　 　． 5．（2023•雁塔区校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$