第21章二次函数和反比例函数学情评估试卷 2024—2025学年沪科版数学九年级上册

沪科版九年级上册数学第21章二次函数和反比例函数学情评估试卷 (满分150分,限时120分钟) 一．选择题（共40分） 1．已知函数y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D．± 2．抛物线y＝mx2与的形状相同，而开口方向相反，则m的值是（　　） A．﹣ B．2 C．﹣2 D． 3．抛物线y＝x2﹣2x的图象与x轴交点的横坐标分别是（　　） A．0，1 B．1，2 C．0，2 D．﹣1，﹣2 4．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　） A．16 B．﹣4 C．4 D．8 5．已知点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　） A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1 6．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（　　） A．6.24米 B．6.76米 C．7米 D．7.24米 8．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 9．如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是（　　） A．5 B．10 C．15 D． 10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B．（﹣，0） C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确 二．填空题（共20分） 11．已知点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是 　 　． 12．反比例函数，当y≥﹣2时，x的取值范围是 　 　． 13．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），点B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＜mx+n的解集为　 　． 14．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是　 　． 三．解答题（8+8+8+8+10+10+12+12+14=90分） 15．已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x＝8时，y＝；当y＝时，z＝﹣2．试说明z是x的函数吗？当x＝16时，z的值是多少？ 16．已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点． 17．如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当y1＞y2时，求x的取值范围． 18．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． （1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围： （2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （1）求该二次函数的解析式． （2）利用图象的特点填空： ①方程ax2+bx+c＝﹣3的解为 　 　． ②不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　 　． 20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销，经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x元，每天的销售利润为w元． （1）求w与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 21．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3] （1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为 　 　． （2）若“图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 22．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象如图（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）． （1）由图象知，累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式为s＝+bt，图象上有点（2，﹣2），求此函数关式； （2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 23．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴正半轴相交于点B，负半轴相交于点A（﹣1，0）． （1）求此抛物线的解析式． （2）如图1，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，PD与BC的交点为E，设P（m，n）． ①用含m的式子表示：PD＝　 　，DE＝　 　． 直接用①的结论求解②③： ②若PE＝DE，请直接写出点P的坐标． ③若PE＝2DE，求点P的坐标． （3）如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为边的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．已知函数y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数，则m的值为（　　） A．﹣3 B．±3 C．3 D．± 【解答】解：∵函数y＝（m﹣3）xm2﹣7是二次函数， ∴， 解得：m＝﹣3． 故选：A． 2．抛物线y＝mx2与的形状相同，而开口方向相反，则m的值是（　　） A．﹣ B．2 C．﹣2 D． 【解答】解：∵抛物线y＝mx2与y＝﹣x2的形状相同，开口方向相反， ∴二次项系数互为相反数， ∴m＝． 故选：D． 3．抛物线y＝x2﹣2x的图象与x轴交点的横坐标分别是（　　） A．0，1 B．1，2 C．0，2 D．﹣1，﹣2 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x， ∴当y＝0时，0＝x2﹣2x， 解得x1＝0，x2＝2， 即抛物线y＝x2﹣2x的图象与x轴交点的横坐标分别是0，2， 故选：C． 4．已知抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（　　） A．16 B．﹣4 C．4 D．8 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣8x+c的顶点在x轴上， ∴＝0， 解得，c＝16． 故选：A． 5．已知点（x1，y1）、（x2，y2）是反比例函数图象上的点，若x1＞0＞x2，则一定成立的是（　　） A．y1＞y2＞0 B．y1＞0＞y2 C．0＞y1＞y2 D．y2＞0＞y1 【解答】解：∵k＝﹣2＜0， ∴函数为增函数， 又∵x1＞0＞x2， ∴A，B两点不在同一象限内， ∴y2＞0＞y1； 故选：D． 6．函数y＝kx+k和函数y＝﹣kx2+4x+4（k是常数，且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：①当k＞0时： 函数y＝kx+k的图象过一、二、三象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向下； ∴B不正确，不符合题意． ②当k＜0时： 函数y＝kx+k的图象过二、三、四象限，函数y＝﹣kx2+4x+4的图象开口向上； ∴C不正确，不符合题意． ∵函数y＝﹣kx2+4x+4的对称轴为直线x＝﹣＝＜0， ∴A正确，符合题意；D不正确，不符合题意． 故选：A． 7．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（　　） A．6.24米 B．6.76米 C．7米 D．7.24米 【解答】解：根据题意可得： 该抛物线经过（﹣10，﹣4），（10，﹣4）， 设抛物线解析式为y＝ax2， 把（10，﹣4）代入y＝ax2得：4＝100a， 解得：， ∴该抛物线解析式为， 把x＝9代入得：， ∴此时水深为：（4﹣3.24）+6＝6.76（米）， 故选：B． 8．“如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（　　） A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b 【解答】解：∵m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）＝0的两根， ∴二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象与x轴交于点（m，0）、（n，0）， ∴将y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）+1的图象往下平移一个单位可得二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象， 二次函数y＝﹣（x﹣a）（x﹣b）的图象与x轴交于点（a，0）、（b，0）． 画出两函数图象，观察函数图象可知：m＜a＜b＜n． 故选：A． 9．如图，已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线过OB的中点E，且与边BC交于点D，若△DOE的面积为7.5，则k的值是（　　） A．5 B．10 C．15 D． 【解答】解：设点E坐标为（x，y）， ∵E是OB的中点， ∴B点的坐标为（2x，2y）， 则点D的坐标为（，2y）， ∵△DOE的面积为7.5， ∴S△OBD＝2×7.5＝15， ∴， 解得：k＝10． 故选：B． 10．如图，已知抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，过其顶点M的一条直线y＝kx+b与该抛物线的另一个交点为N（﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P，使得△PMN的周长最小，则点P的坐标为（　　） A．（0，2） B．（﹣，0） C．（0，2）或（﹣，0） D．以上都不正确 【解答】解：如图，∵抛物线y＝﹣x2+px+q的对称轴为x＝﹣3，点N（﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴， 解得． ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣6x﹣4＝﹣（x+3）2+5， ∴M（﹣3，5）． ∵△PMN的周长＝MN+PM+PN，且MN是定值，所以只需（PM+PN）最小． 如图1，过点M作关于y轴对称的点M′，连接M′N，M′N与y轴的交点即为所求的点P．则M′（3，5）． 设直线M′N的解析式为：y＝ax+t（a≠0），则， 解得， 故该直线的解析式为y＝x+2． 当x＝0时，y＝2，即P（0，2）． 同理，如图2，过点M作关于x轴对称的点M′，连接M′N，则只需M′N与x轴的交点即为所求的点P（﹣，0）． 如果点P在y轴上，则三角形PMN的周长＝；如果点P在x轴上，则三角形PMN的周长＝； 所以点P在（0，2）时，三角形PMN的周长最小． 综上所述，符合条件的点P的坐标是（0，2）． 故选：A． 二．填空题（共4小题） 11．已知点A（1，y1），B（3，y2）在反比例函数y＝的图象上，且y1＜y2，则m的取值范围是 　m＜2　． 【解答】解：∵1＜3时，y1＜y2， ∴在同一象限内，y随着x增大而增大， ∴m﹣2＜0， ∴m＜2， 故答案为：m＜2． 12．反比例函数，当y≥﹣2时，x的取值范围是 　x≥1或x＜0　． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝﹣2＜0， ∴此函数图象的两个分支位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵当y＝﹣2时，x＝1， ∴当﹣2≤y＜0时，x≥1； 当y＞0时，x＜0． 综上所述，x的取值范围是x≥1或x＜0． 故答案为：x≥1或x＜0． 13．如图，抛物线y＝ax2+bx与直线y＝mx+n相交于点A（﹣3，﹣6），点B（1，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx＜mx+n的解集为　x＜﹣3或x＞1　． 【解答】解：设y1＝ax2+bx，y2＝mx+n， 则ax2+bx＜mx+n即为y1＜y2， ∵直线与抛物线交点为 结合函数图象可知A（﹣3，﹣6），B（1，﹣2）， ∴x＜﹣3或x＞1， 故答案为x＜﹣3或x＞1． 14．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.24m，球场的边界距O点的水平距离为18m．若球一定能越过球网，又不出边界（可落在边界），则h的取值范围是　h≥　． 【解答】解：点A（0，2），将点A的坐标代入抛物线表达式得：2＝a（0﹣6）2+h，解得：a＝， 故抛物线的表达式为y＝（x﹣6）2+h， 由题意得：当x＝9时，y＝（x﹣6）2+h＝（9﹣6）2+h＞2.24，解得：h＞2.32； 当x＝18时，y＝（x﹣6）2+h＝（18﹣6）2+h≤0，解得：h≥， 故h的取值范围是为h≥， 故答案为h≥． 三．解答题（共9小题） 15．已知y与x成反比例，z与y成正比例．又当x＝8时，y＝；当y＝时，z＝﹣2．试说明z是x的函数吗？当x＝16时，z的值是多少？ 【解答】解：设y＝， ∵当x＝8时，y＝， ∴＝， ∴k＝4， ∴y＝； 设z＝ny， ∵当y＝时，z＝﹣2， ∴﹣2＝n， ∴n＝﹣6， ∴z＝﹣6y， ∴z＝﹣6×，即z＝﹣， 将x＝16代入，得z＝﹣＝﹣． 16．已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点． 【解答】证明：a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m． Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣3）2+4m ＝m2﹣2m+9 ＝（m﹣1）2+8． ∵（m﹣1）2≥0，8≥0． 则Δ＞0， ∴无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点． 17．如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）． （1）求m的值和反比例函数解析式； （2）当y1＞y2时，求x的取值范围． 【解答】解：（1）∵一次函数y1＝﹣x+m与反比例函数相交于点A和点B（3，﹣1）， ∴﹣1＝﹣3+m，﹣1＝， 解得m＝2，k＝﹣3， ∴反比例函数的解析式为y2＝﹣； （2）解方程组，得或， ∴A（﹣1，3）， 观察图象可得，当y1＞y2时，x的取值范围为x＜﹣1或0＜x＜3． 18．泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃，然后停止烧水，等水温降低到适合的温度时再泡茶，烧水时水温y（℃）与时间x（min）成一次函数关系；停止加热过了1分钟后，水壶中水的温度y（℃）与时间x（min）近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． （1）分别求出图中所对应的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围： （2）从水壶中的水烧开（100℃）降到90℃就可以泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 【解答】解：（1）停止加热时，设y＝， 由题意得：50＝， 解得：k＝900， ∴y＝， 当y＝100时，解得：x＝9， ∴C点坐标为（9，100）， ∴B点坐标为（8，100）， 当加热烧水时，设y＝ax+20， 由题意得：100＝8a+20， 解得：a＝10， ∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20（0≤x≤8）； 当停止加热，得y与x的函数关系式 为（1）y＝100（8＜x≤9）；y＝（9＜x≤45）； （2）把y＝90代入y＝，得x＝10， 因此从烧水开到泡茶需要等待10﹣8＝2分钟． 19．如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）． （1）求该二次函数的解析式． （2）利用图象的特点填空： ①方程ax2+bx+c＝﹣3的解为 　x＝0或2　． ②不等式ax2+bx+c＞0的解集为 　x＜﹣1或x＞3　． 【解答】（1）解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）三点， ∴，解得， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3； （2）①∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴对称轴为直线x＝1， ∴点C（0，﹣3）与点（2，﹣3）关于直线x＝1对称， ∴方程ax2+bx+c＝﹣3的解为x＝0或2， 故答案为x＝0或2； ②从图象可知y＞0时，x的取值为x＜﹣1或x＞3， ∴不等式ax2+bx+c＞0的解集为x＜﹣1或x＞3， 故答案为x＜﹣1或x＞3． 20．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销，经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x元，每天的销售利润为w元． （1）求w与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （2）每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【解答】解：（1）由题意得w＝（40﹣30﹣x）（4×+48）＝﹣8x2+32x+480， 答：w与x的函数关系式是w＝﹣8x2+32x+480； （2）∵w＝﹣8x2+32x+480＝﹣8（x﹣2）2+512， ∴当x＝2时，w有最大值512，此时售价为40﹣2＝38（元）， 答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元． 21．新定义：[a，b，c]为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为实数）的“图象数”，如：y＝﹣x2+2x+3的“图象数”为[﹣1，2，3] （1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为 　[，﹣1，﹣1]　． （2）若“图象数”是[m，m+1，m+1]的二次函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值． 【解答】解：（1）二次函数y＝x2﹣x﹣1的“图象数”为[，﹣1，﹣1]； 故答案为[，﹣1，﹣1]； （2）二次函数的解析式为y＝mx2+（m+1）x+m+1， 根据题意得△＝（m+1）2﹣4m（m+1）＝0， 解得m1＝﹣1，m2＝． 22．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象如图（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）． （1）由图象知，累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的函数关系式为s＝+bt，图象上有点（2，﹣2），求此函数关式； （2）求截止到几月累积利润可达到30万元； （3）求第8个月公司所获利润是多少万元？ 【解答】解：（1）由题意得：， 解得：b＝﹣2． ∴． （2）把s＝30代入得． 解得t1＝10，t2＝﹣6（舍去）． 答：截止到10月末公司累积利润可达到30万元． （3）把t＝7代入，得． 把t＝8代入，得． 16﹣10.5＝5.5． 答：第8个月获利润5.5万元． 23．如图，抛物线y＝ax2+2x+c与y轴相交于点C（0，3），与x轴正半轴相交于点B，负半轴相交于点A（﹣1，0）． （1）求此抛物线的解析式． （2）如图1，P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足是点D，PD与BC的交点为E，设P（m，n）． ①用含m的式子表示：PD＝　﹣m2+2m+3　，DE＝　﹣m+3　． 直接用①的结论求解②③： ②若PE＝DE，请直接写出点P的坐标． ③若PE＝2DE，求点P的坐标． （3）如图2，若点F在抛物线上，点G在x轴上，当以点B，C，F，G为边的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 【解答】解：（1）由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3； （2）设点P（m，﹣m2+2m+3）， 由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3， 则点E（m，﹣m+3）， 则PE＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m； ①则PD＝﹣m2+2m+3，DE＝﹣m+3； 故答案为：﹣m2+2m+3，﹣m+3； ②若PE＝DE，则﹣m2+3m＝﹣m+3， 解得：m＝3（舍去）或1， 即点P（1，4）； ③若PE＝2DE，则﹣m2+3m＝﹣2m+6， 解得：m＝3（舍去）或2， 即点P（2，3）； （3）设点F（m，﹣m2+2m+3），点G（x，0）， 当BC为对角线时，由中点坐标公式得：3＝﹣m2+2m+3， 解得：m＝0（舍去）或2， 即点F（2，3）； 当BF或BG为对角线时，同理可得： 3＝﹣m2+2m+3或0＝﹣m2+2m+3+3， 解得：m＝0（舍去）或2或1， 故点F的坐标为：（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）． 综上，点F的坐标为：（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）． 第 1 页 共 26 页 学科网（北京）股份有限公司 $$