3.3 幂函数（教学课件） -2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修一）

人教A版2019高一数学（必修一）第三章 函数的概念与性质 3.3 幂函数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点) 2．结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝ 的图象，掌握它们的性质．(重点、难点) 3．能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点) 学习目标 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的一些性质（单调性，奇偶性）． 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，∀x1， x2∈D，且x1<x2 ， 如果都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递增; 如果都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递减． 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I， 且f(－x)=f(x)（f(－x)=－f(x)），那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数) 本节我们利用这些知识研究一类新的函数． 情景导入 (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付 的钱数P=t元，这里P是t的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长 ，这里c是S的函数； (5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度 km/s，这里 V是t的函数； 先看几个实例： 观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？ 观察 （1）; （2）; （3）; （4），即=; （5）,即. 实际上，这些函数的解析式都有幂的形式，而且都是以幂的底数为自变量；幂的指数都是常数，分别是1,2,3，，-1；它们都是形如的函数. 一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 幂函数的概念 对于幂函数，我们只研究时的图象与性质.现请同学们尝试在同一坐标系中画出这五个函数的大致图象.（取点要具有代表性） 结合函数图象并结合解析式，将你发现的结论填写在下表. 定义域 值域 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在 上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递减 定点 （1,1） 通过上面图与表，我们得到： 课本例题 课本练习 课本练习 课本练习 课本练习 习题3.3 2．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量速率v（单位：cm3/s）与管道半径r（单位：cm）的四次方成正比． （1）写出气体流量速率v关于管道半径r的函数解析式； （2）若气体在半径为3 cm的管道中，流量速率为400 cm3/s，求该气体通过半径为r的管道时，其流量速率v的表达式； （3）已知（2）中的气体通过的管道半径为5 cm，计算该气体的流量速率（精确到1 cm3/s）． 利用函数解析式列出表格 x … 1 2 … y … 1 4 4 1 … 对幂函数的概念理解不清致错 以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范? 错因分析 提示:以上错解是由于对幂函数的概念理解不清导致的,错解中只注意到指数有意义的情形,忘记了前面系数应该为1这一重要条件. 答案:0 防范措施 要熟练把握幂函数的概念及其解析式特征: (1)系数为1; (2)底数为单个自变量x; (3)指数为常数.这是我们解题的有效切入点. 【变式训练】 下列函数中是幂函数的是(　　) A.①②③④ B.①④ C.②④⑤⑥ D.②④⑦ 解析:根据幂函数的定义,形式上符合y=xα(α∈R)的函数才是幂函数,于是 ,y=xπ是幂函数,其余都不是. 答案:B 典例剖析 归纳总结 归纳总结 归纳总结 归纳总结 幂函数 核心知识 方法总结 易错提醒 核心素养 待定系数法：求幂函数解析式 数形结合法：研究幂函数的性质 单调性法：比较幂值的大小 幂函数的判断注意函数 的系数必须是1 利用幂函数的图象解决问题，要注意图象过的定点 数学抽象：通过生活中的具体实例抽象出幂函数的概念、通过几个常见幂函数的图象抽象出幂函数的图象与性质，培养数学抽象的核心素养 α＞1时，图象下凸: 概念 性质 图象 α＞0时在第一象限内为增函数，且α越大上升速度越快 α＜0在第一象限内为减函数，且α越小下降速度越快 0＜α＜1时，图象上凸 课堂小结 【典例】 若函数f(x)=(a2+1)是幂函数,则实数a的值(或取值范围)是　　　　　.  错解:因为f(x)=(a2+1)是幂函数,所以指数应有意义, 故a-1≠0,即a≠1,因此实数a的取值范围是a≠1. 正解:因为f(x)=(a2+1)是幂函数, 所以应有解得a=0,故实数a的值是0. y==x-2 ①y=;②y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);③y=+x2;④y=xπ; ⑤y=(x-1)3;⑥y=2x2;⑦y=x2+x. 基础类型一　幂函数的概念(数学抽象) 1．已知幂函数f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝x3 B．f(x)＝x2 C.f(x)＝ eq \r(x) (x≥0) D．f(x)＝x－1(x≠0) 【解析】选C.设f(x)＝xα，α∈R；由幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)， 所以4α＝2，解得α＝ eq \f(1,2) ；所以函数f(x)的解析式为f(x)＝ ＝ eq \r(x) (x≥0). 2．(2021·福州高一检测)若函数f(x)＝(t＋2)xt－1是幂函数，则这个函数的解析式为________． 【解析】因为t＋2＝1，所以t＝－1，所以f(x)＝x－2. 答案：f(x)＝x－2 3．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2))) ，则f(4)＝______． 【解析】由f(2)＝ eq \f(\r(2),2) 可知2α＝ eq \f(\r(2),2) ，即α＝－ eq \f(1,2) ， 所以f(4)＝ ＝ eq \f(1,2) . 答案： eq \f(1,2) 　幂函数的概念及应用 判断一个函数是否为幂函数的依据： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1. 微提醒：幂函数的自变量在底数上，不是在指数上． 基础类型二　幂函数图象的应用(直观想象) 【典例】1.(2021·盐城高一检测)函数y＝ －1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 【解析】选B.y＝ 的图象在第一象限，函数y＝ －1的图象可看作是由y＝ 的图象向下平移1个单位长度得到的，将y＝ －1的图象关于x轴对称后即为选项B所示图象． 2．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－ eq \f(1,a) 的图象可能是(　　) 【解析】选C.当a<0时，函数y＝ax－ eq \f(1,a) 是减函数，且在y轴上的截距－ eq \f(1,a) >0，y＝xa在(0，＋∞)上是减函数，所以B，D选项均不正确．对于A，C选项，由y＝ax－ eq \f(1,a) 是增函数可知a>0，则y＝xa在x∈(0，＋∞)上应为增函数，A选项错，C选项正确． 　关于幂函数的图象 (1)注意幂函数的变化特点，如递增、递减的特征，与x轴、y轴的接近等，以区分α的范围； (2)对于α的不同取值，可以与α＝－1，1，2，3， eq \f(1,2) 时的幂函数图象类比判断． 综合类型　幂函数性质的综合应用 (直观想象、数学运算) 【典例】1.(2021·宿迁高一检测)a＝1. ，b＝ ，c＝1. 的大小关系是(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a 【解析】选D.因为y＝ 是增函数，所以1. > >1. ，即a>b>c. 2．(2020·郑州高一检测)设a＝20.3，b＝30.2，c＝70.1，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<a<b B．a<c<b C．a<b<c D．c<b<a 【解析】选A.a＝20.3＝80.1，b＝30.2＝90.1，c＝70.1， 由幂函数y＝x0.1在(0，＋∞)上单调递增，可知c<a<b. 点拨：利用幂函数比较大小关键是构造函数y＝xα. 　关于利用幂函数的性质比较大小 (1)将幂的指数化为相同的实数α，构造幂函数y＝xα； (2)根据α的取值确定幂函数的单调性，利用单调性比较大小． 【典例】(2021·衢州高一检测)已知幂函数f(x)＝xm＋2过点(2，8)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋1)) >8，则实数x的取值范围是________. 【解析】因为幂函数f(x)＝xm＋2过点(2，8)，所以2m＋2＝8，求得m＝1，幂函数f(x)＝x3.所以f(x)＝x3在R上单调递增，因为f(2x+1)>8，即f(2x+1)>f(2)， 所以2x＋1>2，x> eq \f(1,2) . 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 本题的条件不变，若f(k2＋6)＋f(6－7k)＜0，则实数k的取值范围是________． 【解析】因为幂函数f(x)＝xm＋2过点(2，8)， 所以2m＋2＝8，求得m＝1，幂函数f(x)＝x3. 显然，f(x)是奇函数，且在R上单调递增， 因为f(k2＋6)＋f(6－7k)＜0， 即f(k2＋6)＜－f(6－7k)＝f(7k－6)， 所以k2＋6＜7k－6，解得3＜k＜4. 答案：(3，4) 　关于幂函数性质的应用 根据条件确定幂函数的类型，再按照幂函数的奇偶性、单调性，转化为解方程、解不等式求解． 微提醒：不宜盲目代入，应利用幂函数的性质转化求解． $$