24.2.2 直线和圆的位置关系（切线长定理） 题型整理2024-2025学年人教版数学九年级上册

24.2.2 直线和圆的位置关系(切线长定理)题型整理 班级：____________ 姓名：____________ 题型1：利用切线长定理求线段长 1． 如图，、分别切⊙O于A、B，， （1）若⊙O半径为2，则的长为 ． （2）若PA=6，那么弦AB的长是 ． （3）若，则的半径等于 ． 2．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB＝3cm，这张光盘的半径是 ． 3．已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则 ． 题型2：利用切线长定理求角度 1．如图，，是的两条切线，切点分别为，，连接，，若，则 °． 2．如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 3．如图，已知、分别切圆于点、，满足，且，．则 ． 题型3：利用切线长定理求证 1．如图，，，分别与相切于点，，，且∥，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 2．如图，是的直径，，分别切于点，，交，于点，，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 题型4：切线长定理与周长 例：（1）如图，，，分别与相切于点，，，猜想的周长与切线长的数量关系，并证明你的结论； （2）如果（1）的条件不变，且，的周长为，求的半径． 针对练习： 1．如图，，分别是的切线，，为切点，切于，交，于点，，若，则的周长是 ． 第1题图 第2题图 2．如图，分别切⊙于两点，点为上一点，过点作⊙的切线分别交于两点，若的周长为10，则切线长等于 ． 变式：以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，若的周长为，求直角梯形的周长． 题型5：三角形的内心和外心 1．如图，在中，点是的内心，若，则 ． 第1题图 第2题图 2．如图，点是的内心，若，则 ． 3．如图，已知在中，，，，点是的内心．点到边的距离为 ； 第3题图 第4题图 4．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为 ． 5．已知为平面上一点，是的内心，也是的外心，．则的度数为 ． 6．已知，点为的外心，点为的内心． （1）若，则 ； （2）若，则 ． 题型6：直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系 例：已知：如图，是的内切圆，． （1） 若，，求的半径r； （2） 若，，，求的半径r． 解题思路： （1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． 小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________． 解得 _______________（结果用含、、的代数式表示）． （2） 两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明． 针对练习： 1．如图，中，，，，则内切圆半径为 第1题图 第2题图 2． 如图，是的内切圆，，且，，则图中阴影部分的面积是 ．  3．如图，的内切圆与、、分别相切于点、、，且，的周长为14，则的长为 ．    第3题图 第4题图 4．如图，在中，，是的内切圆，切点分别为D、E、F，若，，则的半径为 ． 题型7：一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 例：如图，中的内切圆分别和切于点D，E，F， （1）若，求的长. （2）若，求和的长． （3）如图（2），若OD=2，求的面积. （4）若的周长是C，内切圆半径为r ,面积为S,则C，r，S之间由什么样的关系？ 图（1） 图（2） 针对练习： 1． 如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，且，，，求，，的长． 2．如图，是等边的内切圆，切点分别为，若等边的边长为8，则阴影部分的面积是 ． 第2题图 第3题图 3．如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为，，．则的内切圆半径长为 ． 4．如图，点是的内心，，，，，则的半径为 ．    题型8：圆外切四边形 例：我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形． 如图，与的三边，，分别相切于点，，则叫做的外切三角形，以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形． 如图，与四边形的边，，，分别相切于点，，，，则四边形叫做的外切四边形． (1)如图，试探究圆外切四边形的两组对边，与，之间的数量关系，猜想：______（横线上填“”，“”或“”）； (2)利用图证明你的猜想； (3)若圆外切四边形的周长为．相邻的三条边的比为．求此四边形各边的长． 针对练习： 1． 如图，都是的切线， （1） 若，则 ． （2）若，，则 ． 2．如图，四边形是的外切四边形，若::::，且四边形的周长为，则四边形边长为 ． 第1题图 第2题图 3．如图，是的内切圆，点、分别为边、上的点，且为的切线，若的周长为25，的长是9，则的周长是 ． 4．如图，四边形是的外切四边形，且，，若四边形的面积等于，则的半径等于 ． 5.如图，为四边形的内切圆，，则的半径等于 ． 第4题图 第5题图 题型9：过一点作圆的切线 例：以下是“用尺规过圆外一点作圆的切线”的作图过程： 已知：如图，及外一点． 作法：连结，作线段的垂直平分线交于点； 以点为圆心，的长为半径作圆，交于点、点； 作直线，． 说明：连结． ∵以点为圆心，的长为半径作圆， ∴为的直径， ∴ °． ∵为半径， ∴为的 ，且 （填“”、“”或“”）．    针对练习： 1．（1）如图1，点在圆上，在方格纸中，仅用无刻度直尺过点画出圆的切线； （2）如图2，点在圆O外，用圆规直尺作出过点的圆的一条切线． 2．如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$