精品解析：湖南省衡阳市第八中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

八中教育集团2024年下期期中检测试题 九年级数学 注意：考试时量为120分钟 总分120分 同学们：最慢的步伐不是跬步，而是徘徊； 最快的脚步不是冲刺，而是坚持！ 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的概念，二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念“被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；分母不能有二次根式”，由此即可求解． 【详解】解：A、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； C、，原选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，原选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，减法，以及乘除法运算，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 根据二次根式的加法，减法，以及乘除法运算计算即可． 【详解】解：A选项，与不是同类二次根式，不能合并，故错误； B选项，属于同类二次根式相减，即，故错误； C选项，根据二次根式的除法运算法则，，故错误； D选项，根据二次根式的乘法运算法则，，故正确． 故选：D ． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查比例线段．四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例． 【详解】解：A、，四条线段不成比例，不符合题意； B、，四条线段不成比例，不符合题意； C、，四条线段成比例，符合题意； D、，四条线段不成比例，不符合题意； 故选：C 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据确配方法的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方解答即可． 【详解】解： 故选：A． 5. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．据此求得，，进而求解即可． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：A． 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程得到，根据根的判别式得到，解之即可得到答案． 对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且， 故选B． 7. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 8. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得到对应点坐标乘以即可． 【详解】解：线段两个端点的坐标分别为，，， 以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段， ∴端点D的坐标为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了位似变化，正确把握位似图形的性质是解题关键． 9. 在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高，将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ） A. 9.5 B. 10.5 C. 11 D. 15.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠图形的对称性，易得△EDF≌△EAF，运用中位线定理可知△AEF的周长等于△ABC周长的一半，进而△DEF的周长可求． 【详解】解：∵△EDF是△EAF折叠以后形成的图形， ∴△EDF≌△EAF，AD⊥EF， ∴∠AEF=∠DEF， ∵AD是BC边上的高， ∴EF∥CB， 又∵∠AEF=∠B， ∴∠BDE=∠DEF， ∴∠B=∠BDE， ∴BE=DE， 同理，DF=CF， ∴EF为△ABC的中位线， ∴△DEF的周长为△EAF的周长， 即AE+EF+AF=（AB+BC+AC）=（12+10+9）=15.5． 故选D． 10. 如图，在中，，，作内接正方形；在中，作内接正方形；在中，作内接正方形；；依次作下去，则第个正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用．设正方形的边长为，根据正方形性质得出边相等， 得出对边平行，根据相似三角形的判定得出相似三角形，得出比例式，求出正方形的边长，依次求出每个正方形的边长， 根据求出的结果得出即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ∴， ， ，， ， 解得：， 即，， 设正方形的边长为， 四边形是正方形， ∴， ， ， ， 解得：， 即， ， 第个正方形的边长是， 故选：D． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】二次根式有意义 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 12. 若 则 ____． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】本题主要查了比例的基本性质．根据比例的基本性质可得，再代入即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故答案为： 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，解一元一次方程， 根据同类二次根式的定义可得出， 解方程即可得出a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：4． 14. 若是方程的一个根，则的值为_______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根．解题的关键是熟练的掌握一元二次方程根的性质，整体代入法求代数式的值，是解题的关键． 根据方程根的定义，得出，把原式变形即可得出答案． 【详解】∵是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：2025． 15. 已知 ，则代数式 的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要查了解一元二次方程，将看作整体是解题关键．利用直接开平方法解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴． 故答案为：1 16. 如图， 在中，于点D， 点E， F分别是的中点，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要查了三角形中位线定理，等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质可得，再由三角形中位线定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点E， F分别是的中点， ∴． 故答案为：3 17. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 _____m． 【答案】 【解析】 【分析】根据在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变建立等量关系即可求解． 【详解】解：在同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变： ∵当树高AB=2m，树影BC=3m，且BP=5m ∴ ，代入得： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查利用相似三角形测高，掌握同一灯光照射下任何物体的高度与其影子的比值不变是解题关键． 18. 如图， 在平面直角坐标系中， 的顶点O与原点重合， 顶点B在x轴上，与反比例函数 的图象交于点D，且，过点D作x轴的垂线交x轴于点 C．若，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的性质和判定的应用．根据，可得，从而得到，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数位于第二象限内， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题， 第19、20题每题6分， 第21、22题每题8分， 第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： ； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了二次根式的混合运算．先计算乘除，再合并，即可求解． 【详解】解： 20. 先化简， 再求值： ，其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要查了整式的混合运算—化简求值，二次根式的混合运算．先根据完全平方公式，平方差公式计算，再合并，然后把代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 21. 定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： （1）求的值； （2）若， 求x的值． 【答案】（1）13 （2） 【解析】 【分析】本题主要查了解一元二次方程： （1）直接根据新运算解答，即可求解； （2）根据新运算可得，再解出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即， 解得：． 22. 已知等腰的两边长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）当时，求的周长． （2）若为等边三角形，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程，求出方程的两个根，根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论求解； （2）根据题意，得到方程有两个相等的实数根，进而得到，求解即可． 【小问1详解】 解：当时，一元二次方程为， 解得或． ∴是等腰三角形， ∴三边长为4，4，2或2，2，4（舍去）， ∴的周长． 【小问2详解】 ∵为等边三角形， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 【点睛】本题考查解一元二次方程，根的判别式．熟练掌握解一元二次方程的方法，以及根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键． 23. 如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵交的延长线于点E， 于点F， ∴， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质和相似三角形的判定和性质的综合应用．熟练掌握菱形和相似三角形的性质及判定是解题关键． （1）根据菱形的性质和直角三角形相似的判定方法即可证出结论； （2）利用相似三角形的对应边成比例求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 24. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．海伦市某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/kg时，每天能售出300kg；销售单价每降低1元，每天可多售出50kg．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元/kg，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，则销售单价应降低多少元？ 【答案】（1）该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%； （2）销售单价应降低1元或3元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为x，根据该基地2020年及2022年“阳光玫瑰”的种植面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设销售单价应降低y元，根据当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出300千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克即可求解，根据总利润每千克的利润销售数量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，由题意得： ，（舍去） 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%； 【小问2详解】 解：设销售单价应降低y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：销售单价应降低1元或3元． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，的长分别是方程 的两个根，且 ．过点A 且垂直于的直线交y轴于点F． （1）求点B的坐标； （2）求的长； （3）如图2， 在直线上截取 过点D作轴于点E，在y轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与 相似？ 若存在，求出点 P的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）2 （3）或或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似的性质，一元二次方程的解法，待定系数法等，数形结合思想的应用是解题的关键． （1）解方程得到两个解，即为  的长，再根据坐标的意义即可得到点 B 的坐标； （2）证明，即可求解； （3）利用相似的性质分两种情况解答，即可． 【小问1详解】 解：， 解得：， ∵的长分别是方程 的两个根，且 ， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：； 【小问3详解】 解：由（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 当时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为或； 当时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或或． 26. 如图， 在△ABC中， ． 动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动． 连结，以为边作平行四边形． 设点P的运动时间为t秒（） ． （1）当点H落在边上时， 求t的值． （2）当平行四边形是菱形时，求t的值． （3）沿过点Q 且垂直于 的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，直接写出所有符合上述条件的t值． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定： （1）根据勾股定理可得的长，根据题意得：，则，再由四边形是平行四边形，可得，从而得到，即可求解； （2）过点P作于点D，根据，可得，从而得到，然后根据勾股定理解答，即可； （3）过点Q作，交直线于点F交直线于点G，分两种情况：当点G在线段上时，当点G在线段的延长线上时，即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵ ∴， 根据题意得：，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， 解得：； 【小问2详解】 解：如图，过点P作于点D， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或， ∴， 在中，， 在中， ， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，解得：或， 【小问3详解】 解： 如图，过点Q作，交直线于点F交直线于点G， 当点G在线段上时， ∵， ∴， 只有当时，可以拼成三角形， ∴， ∴，解得：； 当点G在线段的延长线上时， ∵， ∴， 只有当时，可以拼成三角形， ∴， ∴，解得：； 综上所述，t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八中教育集团2024年下期期中检测试题 九年级数学 注意：考试时量为120分钟 总分120分 同学们：最慢的步伐不是跬步，而是徘徊； 最快的脚步不是冲刺，而是坚持！ 一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程配方后可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 7. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 8. 如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高，将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（ ） A. 9.5 B. 10.5 C. 11 D. 15.5 10. 如图，在中，，，作内接正方形；在中，作内接正方形；在中，作内接正方形；；依次作下去，则第个正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，的取值范围是________． 12. 若 则 ____． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 14. 若是方程的一个根，则的值为_______． 15. 已知 ，则代数式 的值为________． 16. 如图， 在中，于点D， 点E， F分别是的中点，则的长为________． 17. 如图，小树AB在路灯O的照射下形成树影BC． 若树高AB=2m，树影BC=3m，树与路灯的水平距离BP=5m，则路灯的高度OP为 _____m． 18. 如图， 在平面直角坐标系中， 的顶点O与原点重合， 顶点B在x轴上，与反比例函数 的图象交于点D，且，过点D作x轴的垂线交x轴于点 C．若，则k的值为______． 三、解答题（本大题共8个小题， 第19、20题每题6分， 第21、22题每题8分， 第23、24题每题9分，第25、26题每题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： ； 20. 先化简， 再求值： ，其中 21. 定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算． 例如： ．根据以上知识解决问题： （1）求的值； （2）若， 求x的值． 22. 已知等腰的两边长是关于x的一元二次方程的两个实数根． （1）当时，求的周长． （2）若为等边三角形，求k的值． 23. 如图，在菱形中，过D作交的延长线于点E，过E作交于点F． （1）求证； （2）若，求的长． 24. “阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．海伦市某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． （1）求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． （2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/kg时，每天能售出300kg；销售单价每降低1元，每天可多售出50kg．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元/kg，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，则销售单价应降低多少元？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A、C分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，的长分别是方程 的两个根，且 ．过点A 且垂直于的直线交y轴于点F． （1）求点B的坐标； （2）求的长； （3）如图2， 在直线上截取 过点D作轴于点E，在y轴上是否存在一点P，使以D，E，P为顶点的三角形与 相似？ 若存在，求出点 P的坐标； 若不存在，请说明理由． 26. 如图， 在△ABC中， ． 动点P从点C出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点B出发，沿以相同的速度向终点C运动，当点P到点A时，点Q同时停止运动． 连结，以为边作平行四边形． 设点P的运动时间为t秒（） ． （1）当点H落在边上时， 求t的值． （2）当平行四边形是菱形时，求t的值． （3）沿过点Q 且垂直于 的直线将平行四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，直接写出所有符合上述条件的t值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $