第02讲 离散型随机变量及其分布列（4考点3题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第02讲 离散型随机变量及其分布列 课程标准 学习目标 1 能够理解离散型随机变量的概念； 2 掌握离散型随机变量分布列的定义和性质； 3 学会运用分布列计算离散型随机变量在某个取值范围内的概率． 1. 准确区分离散型和非离散型随机变量； 2. 能够正确列出离散型随机变量分布列； 3. 培养学生严谨的治学态度和科学的思维方式，体会数学的理性之美． 知识点一、随机变量的概念 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列举的随机变量． 知识点二、离散型随机变量分布列的概念 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． 知识点三、离散型随机变量分布列的性质 ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n； ②总概率之和为1. 知识点四、求离散型随机变量分布列的步骤 (1) 找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2) 求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确． 题型01 随机变量 1.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 【答案】D 【详解】对于①，某食堂在中午半小时内进的人数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；对于②，某元件的测量误差不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量； 对于③，小明在一天中浏览网页的时间不能一一列举出来，故③不是离散型随机变量；对于④，高一2班参加运动会的人数可以一一列举出来，故④是离散型随机变量； 故选：D. 2.袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率 【答案】B 【详解】选项A的取值是一个固定的数字，不具有随机性，故A错误； 选项B取到红球的个数是一个随机变量，它的可能取值是0，1，2，故B正确； 选项C是一个事件而非随机变量，故C错误； 选项D中一个事件的概率值是一个定值而非随机变量，故D错误． 故选：B. 3.下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 4.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为，则表示的试验结果是 ． 【答案】取到1件次品和2件正品或取到3件正品 【详解】表示次品的件数为1,0，即取到1件次品和2件正品或取到3件正品. 故答案为：取到1件次品和2件正品或取到3件正品. 5.袋中有大小与质地相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是 ． 【答案】9 【详解】由于抽球是在有放回条件下进行的，所以每次抽取的球号均可能是1，2，3，4，5中某个，故两次抽取球号码之和的可能取值是2，3，4，5，6，7，8，9，10，共9个． 故答案为：9． 6.给出下列四个命题： ①30秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确命题的序号是 ． 【答案】①②③④ 【详解】由随机变量定义可以直接判断①②③④都是正确的． 故答案为：①②③④. 题型02 会求离散型随机变量分布列 1.A，B两个乒乓代表队进行对抗赛，每组三名队员，A队队员为A1，A2，A3，B队队员为B1，B2，B3.按照以往比赛统计，对阵队员之间的胜负的概率如下： 对阵球员 A队队员获胜的概率 B队队员获胜的概率 A1对B1 A2对B2 A3对B3 现按表中对阵方式出场，每场获胜队伍得1分，负队的0分，设A队，B队最后所得总分分别为与，求与的概率分布 【答案】答案见详解 【详解】由题意可知的可能取值为3，2，1，0 则， ， ， 由题意可知，所以的可能取值为0，1，2，3 ，， ， 故与的概率分布为： 3 2 1 0 0 1 2 3 2.设是不等式的解集，整数． (1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点． (2)设，写出随机变量X的分布列，求． 【答案】(1)答案见解析 (2)分布列见解析， 【详解】（1）由，解得． 故 整数m，且 A包含的事件为，，，，． 整数m，且 B包含的事件为、、、、、． （2）由于m的所有不同取值为，1，0，1，2，3 故的所有不同取值为0，1，4，9． ，， ，． 故X的分布列为： X 0 1 4 9 P 3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量的概率分布. 【答案】(1)3 (2)见解析 【详解】（1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以， 解得（舍去），即袋中原有3个白球. （2）由题意，的可能取值为. ； ； ； ； ； 所以，取球次数的分布列为： 1 2 3 4 5 4.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：        支付金额（元） 支付方式 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由题意得A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人． ∴A，B两种支付方式都使用的人数为， ∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． （2）X的可能取值为0，1，2．样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在的有18人，支付金额超过1000元的有12人； 样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在的有10人，支付金额超过1000元的有15人． ，，． ∴X的分布列为 X 0 1 2 P 题型03 离散型随机变量分布列的性质 1.设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】根据题意，随机变量的分布列为，， 则有，解可得. 故选：A. 2.已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 【答案】15 【详解】由分布列性质可知，，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为15. 故答案为： 3.已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为 . ξ 1 2 3 P 【答案】或 【详解】解：由题可得， ∴或，经检验适合题意. 故答案为：或. 4.设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 【答案】(1)(2) 【详解】（1）由题意知， ，解得， . （2） . 1.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（    ） A．2枚都是4点 B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点 D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 【答案】D 【详解】A表示的是随机试验中的其中一个结果， B，C中表示的是随机试验中的部分结果， 而D是代表随机试验中的所有试验结果. 故选：D. 2.若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【详解】由题可得，解得． 由，可得或4， 则（或）． 故选：B 3.设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】A 【详解】由离散型随机变量的分布列的性质得， 解得， 随机变量， ． 故选：A. 4.写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）设所需要的取球次数为，则． 表示“第1次就取到白球”，表示前次取到的均是红球，第次取到白球，． （2）设所取卡片上的数字之和为，则． 表示“取出标有1，2的两张卡片”； 表示“取出标有1，3的两张卡片”； 表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”； 表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”； 表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”； 表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”； 表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”； 表示“取出标有4，6的两张卡片”； 表示“取出标有5，6的两张卡片”． 5.某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）记“小张第i天中午吃面食”，，“小张第j天中午吃米饭”，， 由题意可知与对立，与对立， 由全概率公式，得， 即小张第二天中午吃米饭的概率为． （2）由题意可知，X的可能取值有0，1，2． 则，，， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 6.化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”， 由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种）， 因为每位消费者抽中三等奖的概率均为， 所以，． （2）由题，的所有可能取值为0，1，2，3， 由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况， 表示4个人挑选了4种奖品，所以； 表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品， 所以； 当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种）， 对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种）， 所以有2种奖品被选中的方法有（种）， 所以，； 当表示4个人挑选了同一种奖品， 所以． 所以的分布列为 0 1 2 3 7.在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【详解】（1）由题意可得共有（种）不同的抽法， 抽取的四个球中，标号为1，2，或1，3的种数有， 标号为2，3的种数有，抽到1,2,3的种数有， 合计（种）不同的抽法， 所以抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率为. （2）由题意知，的可能取值为0，1，2，3，4. ， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 8.甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分. (1)求随机变量的分布列； (2)设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【详解】（1）因为甲队中每人答对的概率均为， 由题意可知：，则的可能取值为0，1，2，3， 且，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 （2）甲得2分，乙得1分，两事件是相互独立的， 由（1）可知：甲得2分，其概率， 乙得1分，用表示事件“乙得1分”，则． 根据相互独立事件的概率公式得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 离散型随机变量及其分布列 课程标准 学习目标 1 能够理解离散型随机变量的概念； 2 掌握离散型随机变量分布列的定义和性质； 3 学会运用分布列计算离散型随机变量在某个取值范围内的概率． 1. 准确区分离散型和非离散型随机变量； 2. 能够正确列出离散型随机变量分布列； 3. 培养学生严谨的治学态度和科学的思维方式，体会数学的理性之美． 知识点一、随机变量的概念 随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 离散型随机变量：所有取值可以一一列举的随机变量． 知识点二、离散型随机变量分布列的概念 若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． 知识点三、离散型随机变量分布列的性质 ①pi≥0，i＝1,2,3，…，n； ②总概率之和为1. 知识点四、求离散型随机变量分布列的步骤 (1) 找出随机变量X的所有可能取值xi(i＝1,2，3，…，n)； (2) 求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确． 题型01 随机变量 1.下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（    ） ①某食堂在中午半小时内进的人数；    ②某元件的测量误差； ③小明在一天中浏览网页的时间；    ④高一2班参加运动会的人数； A．①② B．③④ C．①③ D．①④ 2.袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（    ） A．取到的球的个数 B．取到红球的个数 C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率 3.下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为，则表示的试验结果是 ． 5.袋中有大小与质地相同的5个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量，则所有可能取值的个数是 ． 6.给出下列四个命题： ①30秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确命题的序号是 ． 题型02 会求离散型随机变量分布列 1.A，B两个乒乓代表队进行对抗赛，每组三名队员，A队队员为A1，A2，A3，B队队员为B1，B2，B3.按照以往比赛统计，对阵队员之间的胜负的概率如下： 对阵球员 A队队员获胜的概率 B队队员获胜的概率 A1对B1 A2对B2 A3对B3 现按表中对阵方式出场，每场获胜队伍得1分，负队的0分，设A队，B队最后所得总分分别为与，求与的概率分布 2.设是不等式的解集，整数． (1)设“使得成立的有序数组”为事件，“使得成立的有序数组”为事件．写出事件A包含的样本点． (2)设，写出随机变量X的分布列，求． 3.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量的概率分布. 4.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变，近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：        支付金额（元） 支付方式 大于2000 仅使用A 18人 9人 3人 仅使用B 10人 14人 1人 (1)从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率． (2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列． 题型03 离散型随机变量分布列的性质 1.设随机变量的分布列为，，则（    ） A．3 B． C．2 D． 2.已知某个离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.3 0.1 则的最小值为 . 3.已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为 . ξ 1 2 3 P 4.设随机变量的分布列为，求： (1)； (2) 1.抛掷2枚骰子，所得点数之和记为，那么表示的随机试验结果是（    ） A．2枚都是4点 B．1枚是1点，另1枚是3点 C．2枚都是2点 D．1枚是1点，另1枚是3点，或者2枚都是2点 2.若随机变量X的分布列如下： 1 2 3 4 0.1 0.4 0.3 则（    ） A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 3.设离散型随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 0.1 0.1 0.3 0.2 若随机变量，则等于（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 4.写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 5.某公司餐厅有米饭和面两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，已知小张第一天中午选面食的概率是，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为． (1)求小张第二天中午吃米饭的概率； (2)记小张前两天中午吃面食的次数为X，求X的分布列． 6.化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 7.在一个密闭不透明的箱子中有五个浅色球，其中一个球的标号为1，另一个密闭不透明的箱子中有五个深色球，其中两个球的标号为2，3. (1)若在两个箱子中各抽取两个球，求抽取的四个球中，标号为1，2，3的三个球中至少有两个的概率; (2)若在两个箱子中共随机抽取四个球，记其中浅色球的个数为X，求X的分布列. 8.甲、乙两队参加某次知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且每个人答对与否相互之间没有影响．用表示甲队的总得分. (1)求随机变量的分布列； (2)设表示事件“甲得2分，乙得1分"，求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$