2.2 离散型随机变量的分布列-【优学精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第一册教用Word(北师大版)

2．2　离散型随机变量的分布列 学习目标 1.理解离散型随机变量的含义并会求离散型随机变量的分布列．　2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念．　3.会求简单的离散型随机变量的分布列． 一　离散型随机变量 1．定义：取值能够________________的随机变量称为离散型随机变量． 2．特征 (1)可用数字表示． (2)试验之前可以判断其出现的所有值． (3)在试验之前不能确定取何值． (4)试验结果能一一列出． [答案自填] 一一列举出来 　指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由． (1)某座大桥一天经过的车辆数X； (2)某超市5月份每天的销售额； (3)某水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位监测站所测水位ξ. 【解】　(1)车辆数X的取值可以一一列出，故X是离散型随机变量． (2)某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故是离散型随机变量． (3)水位在(0，29]这一范围内变化，不能按次序一一列举出来，故不是离散型随机变量． 判断离散型随机变量的方法 (1)明确随机试验的所有可能结果； (2)将随机试验的结果数量化； (3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，若能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是． [跟踪训练1] (1)(多选)下列随机变量是离散型随机变量的是(　　) A．掷一枚骰子出现的点数 B．投篮一次的结果 C．某同学在12：00至12：30到校的时间 D．从含有50件合格品，10件次品的产品中任取3件，其中合格品的件数 解析：选ABD．A中骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举出来．B中投篮一次有两种情况，若用1表示投中，0表示不中，则也可以一一列举出来．D中3件产品的合格数可能为0，1，2，3，共4种情况，可以一一列举出来．C中学生到校时间可以是12：00到12：30中的任意时刻，不能一一列举出来，因此C不是离散型随机变量，故只有A，B，D满足． (2)下列随机试验的结果，不能用离散型随机变量表示的是(　　) A．将一枚均匀正方体骰子掷两次，所得点数之和 B．某篮球运动员6次罚球中投进的球数 C．电视机的使用寿命 D．从含有3件次品的50件产品中，任取2件，其中抽到次品的件数 解析：选C．由离散型随机变量的定义知，A，B，D项都属于离散型随机变量，而C项电视机的使用寿命不能一一列举出来，因此C不是离散型随机变量． 二　离散型随机变量的分布列 1．定义 (1)若离散型随机变量X的取值为x1，x2，…，xn，…，随机变量X取xi的概率为pi(i＝1，2，…，n，…)，记作P(X＝xi)＝________(i＝1，2，…，n，…).① ①式也可以列成表，如下表： xi x1 x2 … xn … P(X＝xi) p1 p2 … pn … 上表或①式称为离散型随机变量X的分布列，简称为____________． (2)如果随机变量X的分布列为上表或①式，我们称随机变量X服从这一分布列，记作 X～. 2．性质 (1)pi>0(i＝1，2，…，n，…)； (2)p1＋p2＋…＋pn＋…＝1. 3．意义：随机变量X的分布列完全描述了随机现象的规律：了解了随机变量X的分布列，就了解了这个随机变量的所有可能取值及取各个值的概率． [答案自填] pi　X的分布列 角度1　求离散型随机变量的分布列 　一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球． (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)用X表示摸出的2个球中白球的个数，求X的分布列． 【解】　(1)设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A，P(A)＝＝.即所求概率为. (2)X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.故X的分布列为 X 0 1 2 P 求离散型随机变量的分布列的一般步骤 (1)确定随机变量的所有可能取值以及每个取值所表示的意义； (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值时的概率； (3)按规范形式写出分布列； (4)根据分布列的性质对结果进行检验，即检验分布列的概率和是不是1. [跟踪训练2] 某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动的次数为1，2，3的人数分别为3，3，4.现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会． (1)记“选出的2人参加义工活动的次数之和为4”为事件A，求事件A发生的概率； (2)设X为选出的2人参加义工活动的次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列． 解：(1)参加义工活动的次数之和为4，则2人参加活动的次数分别为“1和3”或“2和2”，次数为“1和3”共有CC种选法，次数为“2和2”共有C种选法，则P(A)＝＝，所以事件A发生的概率为. (2)随机变量X的所有可能的取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 角度2　分布列的性质及其应用 　(1)已知随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P 0.10 0.□0 0.15 0.4□ □为丢失的数据，则丢失的数据分别为(　　) A．2，0 B．2，5 C．3，0 D．3，5 (2)设随机变量X的分布列为P(X＝)＝ak(k＝1，2，3，4，5). ①求常数a的值；②求P(X≥)；③求P(＜X＜). 【解】　(1)选D．由离散型随机变量分布列的性质，得0.10＋0.□0＋0.15＋0.4□＝1，即0.□0＋0.4□＝0.75，比较十分位和百分位的数字可知，0.4□的□为5，0.□0的□为3. (2)①由题可知，(X＝)＝k＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝. ②由(1)可知P(X＝)＝(k＝1，2，3，4，5)，所以P(X≥)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝1)＝＋＋＝. ③P(＜X＜)＝P(X＝)＋P(X＝)＋P(X＝)＝＋＋＝. 离散型随机变量分布列性质的四个方面的应用 概率 范围 pi表示的是事件X＝xi发生的概率，因此每一个pi都是非负数且小于1. 概率 的和 因为分布列给出了随机变量能取的每一个值，而且随机变量取不同的值时的事件是互斥的，因此p1＋p2＋…＋pn＋…＝1.另一方面，由此可以得出随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和． 互斥事 件概率 计算 因为离散型随机变量在某一范围内的取值，包含有n个随机变量，而它们所对应的事件互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率． 线性 性质 若X是一个离散型随机变量，则X的线性组合Y＝aX＋b(a，b是常数，且a≠0)也是离散型随机变量，且Y与X取相应值时的概率相等，即P(X＝xi)＝P(Y＝axi＋b)(i＝1，2，…，n，…). [跟踪训练3] (1)(2024·广东广州期中)若离散型随机变量X的分布列如下： X 0 1 2 3 P a 则常数a的值为(　　) A． B． C． D． 解析：选A．由离散型随机变量的分布列的性质，可得a＋＋＋＝1，解得a＝. (2)设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝ai(i＝1，2，3，4)，求： ①P({X＝1}∪{X＝3})；②P. 解：题目中所给的X的分布列为 X 1 2 3 4 P a 2a 3a 4a 由离散型随机变量的分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＝1，解得a＝. ①P({X＝1}∪{X＝3})＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝＋＝. ②P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝. 三　伯努利试验与两点分布 1．伯努利试验 若在某个试验中，每次试验只有两个________的结果，可以分别称为“成功”和“____”，每次“成功”的概率均为p，每次“失败”的概率均为1－p，则称这样的试验为______________． 2．两点分布 如果随机变量X的分布列如下表： X 1 0 P p q 其中0<p<1，q＝1－p，那么称离散型随机变量X服从参数为p的____________(又称0—1分布或伯努利分布) 点拨　两点分布的适用范围 (1)研究只有两个相互对立的结果的随机试验的概率分布规律． (2)研究某一随机事件是否发生的概率分布规律． 如：抽取的彩券是否中奖、买回的一件产品是否为正品、新生婴儿的性别、投篮是否命中等，都可以用两点分布来研究． [答案自填] 相互对立　失败　伯努利试验 两点分布 　袋内有10个白球，5个红球，两种球除颜色不同外均相同，从中摸出2个球， 记X＝求X的分布列． 【解】　由题设可知X服从两点分布. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝.所以X的分布列为 X 0 1 P 判断一个分布是否为两点分布的关键两步 (1)看取值：随机变量只取两个值0和1； (2)验概率：检验P(X＝0)＋P(X＝1)＝1是否成立． 如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是． [跟踪训练4] (1)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝1)＝0.6，设ξ＝3X－2，那么P(ξ＝－2)＝________． 解析：由题意得，当ξ＝－2时，即3X－2＝－2，则X＝0，所以P(ξ＝－2)＝P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－0.6＝0.4. 答案：0.4 (2)(2024·山西运城检测)设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4，则P(X＝1)＝________． 解析：由于随机变量X服从两点分布，故P(X＝1)＋P(X＝0)＝1　①，又由于P(X＝1)－P(X＝0)＝0.4②，则①＋②得2P(X＝1)＝1.4，即P(X＝1)＝0.7. 答案：0.7 易错点 对离散型随机变量分布列的性质理解不透致错 [典例展示]　设X是一个离散型随机变量，其分布列为 X 0 1 P 6a2－a 3－7a 则常数a的值为(　　) A． B．1 C．或1 D．－或－1 [错解展示]　由离散型随机变量分布列的性质可得6a2－a＋3－7a＝1，解得a＝或a＝1.故选C． 正解：由离散型随机变量分布列的性质可得解得a＝.故选A． 答案：A [易错警示]　产生错解的原因在于仅注意到随机变量X的分布列满足概率和为1，忽略了0<pi<1(i＝1，2)，所以牢记离散型随机变量分布列的两条性质是解题的关键． 1．已知随机变量X的分布列是 X 1 2 3 P a b 则a＋b＝(　　) A． B． C．1 D． 解析：选A．由随机变量X的分布列的性质得＋a＋b＝1，解得a＋b＝.故选A． 2．(多选)下列问题中的随机变量服从两点分布的是(　　) A．抛掷一枚骰子，出现的点数记为随机变量X B．某射手射击一次，击中目标的次数记为随机变量X C．从装有5个红球，3个白球的袋中取一个球，令随机变量X＝ D．做一次实验，实验成功的次数记为随机变量X 解析：选BCD．对选项A，抛掷一枚骰子，出现的点数有6种情况，故随机变量X有6个取值，不服从两点分布，故A不符合题意；对选项B，射击一次，击中目标的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，故B符合题意；对选项C，显然服从两点分布，故C符合题意；对选项D，做一次实验，实验成功的次数为0或1，故随机变量X服从两点分布，故D符合题意．故选BCD． 3．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，则P(2<X≤4)＝________． 解析：由题意得，＋＋＋＝1，解得a＝5，所以P(2<X≤4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 答案： 4．一个类似于细胞分裂的物体，1次分裂为2，2次分裂为4，3次分裂为8，如此继续分裂有限次，而随机终止．设分裂n次终止的概率为(n＝1，2，…)，记ξ为原物体在分裂终止后生成的子块数目，求P(ξ≤10). 解：依题意，原物体在分裂终止后生成的子块数目ξ的分布列为 ξ 2 4 8 16 … 2n … P … … 所以P(ξ≤10)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝4)＋P(ξ＝8)＝＋＋＝. 1．已学习：离散型随机变量的含义，离散型随机变量的分布列，伯努利试验和两点分布． 2．须贯通：对离散型随机变量的分布列的两个性质要灵活应用，求解参数的值或范围． 3．应注意：(1)随机变量X的分布列满足概率和为1； (2)随机变量X的分布列中每个概率的范围：0<pi<1.　 学科网（北京）股份有限公司 $