5.1 平面向量的概念及线性运算学案-2025届高三数学一轮复习

5.1 平面向量的概念及线性运算 学习目标：1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 1、 课前自测 1.易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关． (　　) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． (　　) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c． (　　) (4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． (　　) 2．下列命题正确的是(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b C．向量与是平行向量 D．平行向量不一定是共线向量 3. (人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________． 4. (人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________． 二、知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有____的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为____的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于____长度的向量． (4)平行向量(共线向量)：方向____或____的非零向量．规定：0与任意向量____． (5)相等向量：长度相等且方向____的向量． (6)相反向量：长度相等且方向____的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 　三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 　几何意义 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λ a|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向____； 当λ<0时，λa的方向与a的方向____； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 提醒：λ，μ为实数． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使____． 提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． [常用结论] 1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝)． 2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1． 3．若G为△ABC的重心，则有 (1)＝0；(2)＝)． 4．对于任意两个向量a，b，都有 (1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)； (2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． 三、典例分析 典例一、平面向量的概念 例1.(1)(2024·江苏南京模拟)下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b 解析 C (2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为(　　) A. B. C. D. 变式1.(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　) A．若|a|＝0，则a＝0 B．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上 C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb 总结 典例二、向量的线性运算 例2.在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b 　 B．a＋b C．a－b 　 D．a－b 变式2. (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 总结 典例三、根据向量的线性运算求参数 例3.(2024·山西大同模拟)在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝(　　) A．－　　 B．　 C．1　　 D．－1 变式3.在△ABC中，D为AC的中点，连接BD，若＝2，＝x＋y，则x＋y的值为(　　) A. B. C. D．1 典例四、向量共线定理的应用 例4.　(1)已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　) A．A，B，D三点共线 　 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 　 D．A，C，D三点共线 (2)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N满足＝，AM与CN交于点D，若＝λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 变式4-1.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设＝x＝y，则的值为(　　) A．3 　 B．4 C．5 　 D．6 总结 四、课堂总结 5、 检测练习 1．化简3(a＋b)＋b－4(a－b)的结果是(　　) A．2b－a B．－a C．6a－b D．8b－a 2．(2024·北京朝阳模拟)在△ABC中，＝，则＝(　　) A． 　 B．　 C． 　 D． 3．(2024·银川模拟)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c与d方向相反，则实数x的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 4．(2024·江苏南通模拟)若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是(　　) A．a＝0 B．存在实数λ，使得a＝λb C．存在实数m，n，使得ma＝nb D．|a－b|＝|a|－|b| 5．（多选）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A.＝－＋ B.＝＋ C.＝－＋ D.＝－ 6．(2024·四川成都模拟)是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝＋3e2，＝且A，B，D三点共线，则实数k＝________． 7．已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于点D，交AC于点E，若＝λ，＝μ，则＋＝________. 8．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD中，＝2，＝2，AC与EF交于点N. (1)若＝λ＋μ，求λ＋μ的值； (2)设＝a，＝b，试用a，b表示. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1 平面向量的概念及线性运算 学习目标：1．理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2．掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 1、 课前自测 1.易错易混辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)|a|与|b|是否相等，与a，b的方向无关． (　　) (2)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反． (　　) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c． (　　) (4)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上． (　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．下列命题正确的是(　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b C．向量与是平行向量 D．平行向量不一定是共线向量 解析　C A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误； C项，向量与方向相反，是平行向量，故C正确； D项，平行向量就是共线向量，故D错误． 3. (人教A版必修第二册P16例8改编)设向量a，b不共线，向量λa＋b与a＋2b共线，则实数λ＝________． 解析 　 ∵λa＋b与a＋2b共线， ∴存在实数μ，使得λa＋b＝μ(a＋2b), ∴∴ 4. (人教A版必修第二册P23习题6.2T10(1)改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________． 解析 8　2　 |a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8. 又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2， 当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2． 二、知识梳理 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)． (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．规定：0与任意向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 　三角形法则 平行四边形法则 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 　几何意义 a－b＝a＋(－b) 数乘 |λ a|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 提醒：λ，μ为实数． 3．向量共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa． 提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一． [常用结论] 1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔＝)． 2．若＝v＋μ(μ，v为常数)，O不在直线AB上，则P，A，B三点共线的充要条件是μ＋v＝1． 3．若G为△ABC的重心，则有 (1)＝0；(2)＝)． 4．对于任意两个向量a，b，都有 (1)||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|(向量三角不等式)； (2)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． 三、典例分析 典例一、平面向量的概念 例1.(1)(2024·江苏南京模拟)下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．平行向量不一定是共线向量 C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b 解析 C 对于A，单位向量的模都相等，方向不一定相同，故错误； 对于B，平行向量就是共线向量，故错误； 对于C，若a，b同向共线，|a＋b|＝|a|＋|b|， 若a，b反向共线，|a＋b|<|a|＋|b|， 若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形中两边之和大于第三边，知|a＋b|<|a|＋|b|. 综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故正确； 对于D，两个向量不能比较大小，故错误．故选C. (2)如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，则与相等的向量为(　　) A. B. C. D. 解析　D A，B选项均与方向不同，C选项与长度不相等，故A，B，C错误；D选项与方向相同，长度相等，故D正确． 思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)是与非零向量a同方向的单位向量． 变式1.(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　) A．若|a|＝0，则a＝0 B．若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上 C．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D．若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb 解析　AC 对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确； 对于B，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上，故B错误； 对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|， 若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|. 综上可知对于任意向量a，b， 必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确； 对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误． 总结 典例二、向量的线性运算 例2.在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则＝(　　) A．a＋b 　 B．a＋b C．a－b 　 D．a－b 解析 A 法一：如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，所以＝，因为＝，所以＝＝，所以＝＝a＋b，故选A. 法二：＝＝＝)＝＝a＋b，故选A. 法三：由＝，得＝)，所以＝)＝＝a＋b，故选A.] 变式2. (2022·新高考全国Ⅰ)在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记＝m，＝n，则等于(　　) A．3m－2n B．－2m＋3n C．3m＋2n D．2m＋3n 解析　B 因为BD＝2DA，所以＝3，所以＝＋＝＋3＝＋3(－)＝－2＋3＝－2m＋3n. 总结 典例三、根据向量的线性运算求参数 例3.(2024·山西大同模拟)在△ABC中，D为BC的中点，M为AD的中点，＝m＋n，则m＋n＝(　　) A．－　　 B．　 C．1　　 D．－1 解析 A　 因为D是BC的中点，所以＝＝＝. 又因为M是AD的中点， 所以＝＝－)＝－， 又＝m＋n，所以m＝－，n＝， 所以m＋n＝－.故选A. 　平面向量线性运算的求解策略 (1)共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用向量减法的几何意义，求首尾相连向量的和用三角形法则． (2)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的线性运算将目标向量表示出来，再进行比较，求参数的值． 变式3.在△ABC中，D为AC的中点，连接BD，若＝2，＝x＋y，则x＋y的值为(　　) A. B. C. D．1 解析　C 因为D为AC的中点， 所以＝，＝－＝－， 因为＝2，所以＝＝×＝－， 所以＝－＝－＋ ＝＋， 又＝x＋y，因此有x＝y＝， 则x＋y＝. 典例四、向量共线定理的应用 例4.　(1)已知＝a＋5b，＝－3a＋6b，＝4a－b，则(　　) A．A，B，D三点共线 　 B．A，B，C三点共线 C．B，C，D三点共线 　 D．A，C，D三点共线 解析 A 由题意得＝＝a＋5b＝，又有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选A. (2)如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N满足＝，AM与CN交于点D，若＝λ，则λ等于(　　) A. B. C. D. 解析　C 在△ABC中，因为点M是BC的中点，所以＝＋， 则＝λ＝＋， 又＝，于是得＝＋， 因为点C，D，N共线，则有＋＝1，解得λ＝. 思维升华 利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1. 变式4-1.如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与边AB，AC交于M，N两点，设＝x＝y，则的值为(　　) A．3 　 B．4 C．5 　 D．6 解析 A 延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点， ∵G为△ABC的重心， ∴＝＝)＝)＝＝. ∵M，G，N三点共线，∴＝1，即＝3.故选A.] 　利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量是否共线的主要依据． (2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔共线． 总结 四、课堂总结 5、 检测练习 1．化简3(a＋b)＋b－4(a－b)的结果是(　　) A．2b－a B．－a C．6a－b D．8b－a 解析　D 3(a＋b)＋b－4(a－b)＝3a＋3b＋b－4a＋4b＝8b－a. 2．(2024·北京朝阳模拟)在△ABC中，＝，则＝(　　) A． 　 B．　 C． 　 D． 解析 B　 ∵＝， ∴＝), ∴＝.故选B. 3．(2024·银川模拟)已知向量a，b不共线，且c＝xa＋b，d＝a＋(2x－1)b，若c与d方向相反，则实数x的值为(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 解析　B 因为c与d方向相反， 所以存在k∈R，使得d＝kc，且k<0， 即a＋(2x－1)b＝kxa＋kb， 因为向量a，b不共线，则 整理可得x(2x－1)＝1，即2x2－x－1＝0， 解得x＝－或x＝1. 又k<0，所以x<0，故x＝－. 4．(2024·江苏南通模拟)若向量a，b满足|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列结论一定正确的是(　　) A．a＝0 B．存在实数λ，使得a＝λb C．存在实数m，n，使得ma＝nb D．|a－b|＝|a|－|b| 解析 C　 当a≠0且b≠0时，由|a＋b|＝|a|＋|b|，可知a，b共线，且同向，故存在实数λ，使得a＝λb(λ>0)，令λ＝，其中m，n同号，即a＝b，即ma＝nb，则存在实数m，n，使得ma＝nb，当a≠0，b＝0时，选项A，B错误；当a＝0，b≠0时，|a－b|≠|a|－|b|，故D错误．故选C. 5．（多选）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A.＝－＋ B.＝＋ C.＝－＋ D.＝－ 解析　ABC ∵ AB∥CD，AB＝2DC， ∴＝＋＋＝－＋＋ ＝－＋，故A正确； ∵＝3，∴＝＝－＋， ∴＝＋＝＋ ＝＋， 又F为AE的中点， ∴＝＝＋，故B正确； ∴＝＋＝－＋＋ ＝－＋，故C正确； ∴＝＋＝－＝－＋－＝－－，故D错误． 6．(2024·四川成都模拟)是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝＋3e2，＝且A，B，D三点共线，则实数k＝________． 解析 －8　 依题意得，＝－3e2，于是＝＝＝－4e2，由A，B，D三点共线可知，存在λ，使得＝λ，即2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)，由是两个不共线的向量，故解得k＝－8． 7．已知△ABC的重心为G，经过点G的直线交AB于点D，交AC于点E，若＝λ，＝μ，则＋＝________. 解析　3 如图，延长AG交BC于点F，则F为BC的中点， ＝＝(＋)， 又＝，＝， ∴＝＋， 又G，D，E三点共线， ∴＋＝1，即＋＝3. 8．(2023·青岛模拟)如图，在矩形ABCD中，＝2，＝2，AC与EF交于点N. (1)若＝λ＋μ，求λ＋μ的值； (2)设＝a，＝b，试用a，b表示. 解析　(1)λ＋μ＝－；(2)＝a＋b. (1)依题意，设＝t， ＝＋＝＋t＝＋t(－) ＝(1－t)＋t＝－－， 又＝λ＋μ， 所以解得λ＋μ＝－. (2)因为＝＋，＝＋，＝＋， 所以＋＝(＋)＝， 所以＝a＋b. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$