21.2.3 因式分解法 课件 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.3 因式分解法 1.理解用因式分解法解方程的依据. 学习目标 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点） 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 导入新课 情境引入 我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程 （x+1）（x－1）=0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求（x+3）（x－5）=0的解吗？ 讲授新课 问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确到0.01s)? 解：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即 10x-4.9x2 =0 ① 一、 因式分解法解一元二次方程 解： 解： ∵ a=4.9,b=-10,c=0. ∴ b2－4ac= (－10)2－4×4.9×0 =100>0. 公式法解方程10x-4.9x2=0. 配方法解方程10x-4.9x2=0. 10x-4.9x2=0. ∴方程有两个不等的实数根 因式分解 如果a · b = 0， 那么 a = 0或 b = 0. 两个因式乘积为 0，说明什么 或 降次，化为两个一次方程 解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？ 10x-4.9x2 =0 ① x(10-4.9x) =0 ② x =0 ① 10-4.9x=0 上述解法中,由①到②的过程，先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法. 要点归纳 因式分解法的概念 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 二分-----方程的左边因式分解; 三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解; 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 连一连：下列各方程的根分别是多少？ 例1 解下列方程： 解：（1）因式分解，得 于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1. (2)移项、合并同类项，得 因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 2x＋1=0或2x－1=0, (x－2)(x＋1)=0. 可以试用多种方法解本例中的两个方程 . 典例精析 于是得 典例精析 例2 用适当的方法解方程： （1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1； 解：移项、因式分解，得 (3x -5) (x + 5) = 0 于是得 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. ∴ x 1= 0 , x2 = 灵活选用方法解方程 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可直接开平方法. （3）x2 - 12x = 4 ; （4）3x2 = 4x + 1； 解：配方,得 x2 - 12x + 62 = 4 + 62, 即 (x - 6)2 = 40. 开平方,得 ∴ x1= , x2= 解：方程化为 3x2 - 4x + 1 = 0. ∵ a=3, b=-4, c=-1 Δ=b2 - 4ac =(-4)2-4×3×（-1） = 28 > 0, ∴方程有两个不等的实数根 分析：二次项的系数为1，可用 配方法来解题较快. 分析：二次项的系数不为1，且不能 直接开平方，也不能直接因式分解， 所以适合公式法. 填一填：各种一元二次方程的解法及适用类型. 拓展提升 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） (x+m)2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时（ax2+c=0），应选用直接开平方法； 2.若常数项为0（ ax2+bx=0），应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0），先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. 要点归纳 解法选择基本思路 x2-3x+1=0 ； 3x2-1=0 ； -3t2+t=0 ； x2-4x=2 ； 2x2-x=0； 5(m+2)2=8； 3y2-y-1=0； 2x2+4x-1=0； (x-2)2=2(x-2). 适合运用直接开平方法 ； 适合运用因式分解法 ； 适合运用公式法 ； 适合运用配方法 . 当堂练习 1.填空 ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ 解：方程化为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )( x－1 ) = 0. 于是得 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 于是得 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0， 2.解方程： 3.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r m， 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π. 因式分解，得 于是得 答：小圆形场地的半径是 课堂小结 课本第14页练习第1，2题 课本第17页习题21.2第5，6题 课后作业 $$