四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试题

四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学 2024-2025学年九年级上册期中考试数学试题 (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题(每小题4分,共48分) 1.若式子有意义,则x的取值范围为( ) A.x≥2 B.x≠3 C.x≥2或x≠3 D.x≥2且x≠3 2.下列各式中正确的是( ) A.=±6 B.=-2 C.=4 D.(-)2=7 3.若=,则等于( ) A. B. C. D.1 4.(2023惠东期中)关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( ) A.m>2 B.m<2 C.1<m<2 D.m<2且m≠1 5.如图所示,点O,F在直线AD上,点O,E在直线BC上,且AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为( ) A. B. C. D. 6.如图所示,在四边形ABCD中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是( ) A.∠DAC=∠ABC B.CA是∠BCD的平分线 C.AC2=BC·CD D.= 7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连结DE,F为DE中点,连结BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为( ) A.2 B.2.5 C.3 D.4 8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点,垂足为E,连结AD,则sin∠CAD等于( ) A. B. C. D. 9.2023年某电影上映的第一天票房为2亿元,第二天、第三天单日票房持续增长,三天累计票房为6.62亿元,若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长,设平均每天票房的增长率为x,则根据题意,下列方程正确的是( ) A.2(1+x)=6.62 B.2(1+x)2=6.22 C.2(1+x)+2(1+x)2=6.62 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62 10.关于x的方程x2-(m+3)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=2x1x2,则m的值为( ) A.-1或3 B.-1 C.3 D.-3或1 11.如图所示,反比例函数y=(x>0)的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C,反比例函数y=(x<0)的图象经过等腰直角三角形的顶点B,∠BAC=90°,AB边交y轴于点D,若=,C点的纵坐标为1,则k的值是( ) A.- B.- C.- D.-6 12.如图所示,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为F,连结DF,有下列结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③BF2=AF·CF;④tan∠ACB=.其中正确的结论有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题(每小题4分,共24分) 13.已知实数a,b在数轴上的对应点如图所示,那么- =　　.  14.如图所示,一块飞镖游戏板是3×3的正方形网格,假设飞镖击中每个小正方形是等可能的(若没有击中游戏板,则重投一次).任意投掷飞镖一次,击中阴影部分的概率是　　.  15.在△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=25,则△ABC的周长为　　. 16.如图所示,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,已知△AOB与△A1OB1位似,位似中心为原点O,且相似比为3∶2,点A,B都在格点上,则点B1的坐标为　　.  17.一块直角三角板ABC按如图所示放置,顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的坐标为(-3,0),∠B=30°,则点B的坐标为　　. 18.规定min{a,b}的含义为:当a≥b时,min{a,b}=b;当a<b时,min{a,b}=a.如min{1,-2}=-2,min{-3,-2}=-3,则方程min{x,-x} x2-1的解是　　. 三、解答题(共78分) 19.(10分)计算或解方程: (1)cos 45°-(tan 40°+1)0++sin 30°;(2)2y2-4y+1=0. 20.(10分)(2023丹东)为提高学生的安全意识,某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动.该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计,将成绩分为四个等级:A(优秀),B(良好),C(一般),D(不合格),并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图. 根据图中所给信息解答下列问题: (1)这次抽样调查共抽取　　　　人,条形统计图中的m=　　　　.  (2)将条形统计图补充完整,且在扇形统计图中,求C等所在扇形圆心角的度数. (3)该校有1 200名学生,估计该校学生答题成绩为A等和B等的共有多少人. (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中,随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”,请用列表或画树状图的方法,求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率. 21.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0. (1)若方程有实数根,求m的取值范围; (2)若方程的两实数根分别为x1,x2,且满足+=14,求+4x2-10 的值. 22.(10分)2022年冬奥会在北京顺利召开,冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红.据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件,3月份的销售量是7.2万件. (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同,求月平均增长率是多少. (2)市场调查发现,某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元,若售价为每件100元,每天能销售20件,售价每降价1元,每天可多售出2件,为了推广宣传,商家决定降价促销,同时尽量减少库存,若使销售该公仔每天获利1 200元,则售价应降低多少元? 23.(12分)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F. (1)求证:△ACD∽△BFD; (2)若cos∠ABD=,AC=10,求BF的长. 24.(12分)(2023泸州)如图所示,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度(参考数据: sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值). 25.(14分)(2022济南)如图①所示,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,连结AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连结BD,DE,CE. (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明. (2)延长ED交直线BC于点F. ①如图②所示,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为　　　　　　;  ②如图③所示,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数并说明理由. ① ② ③ 四川省内江市隆昌市黄家镇桂花井初级中学 2024-2025学年九年级上册期中考试数学试题（参考答案） (时间:120分钟　满分:150分) 一、选择题(每小题4分,共48分) 1.若式子有意义,则x的取值范围为(D) A.x≥2 B.x≠3 C.x≥2或x≠3 D.x≥2且x≠3 2.下列各式中正确的是(D) A.=±6 B.=-2 C.=4 D.(-)2=7 3.若=,则等于(A) A. B. C. D.1 4.(2023惠东期中)关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(D) A.m>2 B.m<2 C.1<m<2 D.m<2且m≠1 5.如图所示,点O,F在直线AD上,点O,E在直线BC上,且AB∥EF∥CD,若AO=2,OF=1,FD=2,则的值为(A) A. B. C. D. 6.如图所示,在四边形ABCD中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC和△BAC相似的是(C) A.∠DAC=∠ABC B.CA是∠BCD的平分线 C.AC2=BC·CD D.= 7.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为中线,延长CB至点E,使BE=BC,连结DE,F为DE中点,连结BF.若AC=8,BC=6,则BF的长为(B) A.2 B.2.5 C.3 D.4 8.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=3,AC=,AB的垂直平分线ED交BC的延长线于D点,垂足为E,连结AD,则sin∠CAD等于(A) A. B. C. D. 9.2023年某电影上映的第一天票房为2亿元,第二天、第三天单日票房持续增长,三天累计票房为6.62亿元,若第二天、第三天单日票房按相同的增长率增长,设平均每天票房的增长率为x,则根据题意,下列方程正确的是(D) A.2(1+x)=6.62 B.2(1+x)2=6.22 C.2(1+x)+2(1+x)2=6.62 D.2+2(1+x)+2(1+x)2=6.62 10.关于x的方程x2-(m+3)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=2x1x2,则m的值为(B) A.-1或3 B.-1 C.3 D.-3或1 11.如图所示,反比例函数y=(x>0)的图象经过等腰直角三角形的顶点A和顶点C,反比例函数y=(x<0)的图象经过等腰直角三角形的顶点B,∠BAC=90°,AB边交y轴于点D,若=,C点的纵坐标为1,则k的值是(A) A.- B.- C.- D.-6 12.如图所示,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为F,连结DF,有下列结论:①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③BF2=AF·CF;④tan∠ACB=.其中正确的结论有(A) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 二、填空题(每小题4分,共24分) 13.已知实数a,b在数轴上的对应点如图所示,那么- =　b　.  14.如图所示,一块飞镖游戏板是3×3的正方形网格,假设飞镖击中每个小正方形是等可能的(若没有击中游戏板,则重投一次).任意投掷飞镖一次,击中阴影部分的概率是　　.  15.在△ABC中,∠C=90°,sin A=,AB=25,则△ABC的周长为　60　. 16.如图所示,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,已知△AOB与△A1OB1位似,位似中心为原点O,且相似比为3∶2,点A,B都在格点上,则点B1的坐标为　(-2,-)　.  17.一块直角三角板ABC按如图所示放置,顶点A的坐标为(0,1),直角顶点C的坐标为(-3,0),∠B=30°,则点B的坐标为　(-3-,3)　. 18.规定min{a,b}的含义为:当a≥b时,min{a,b}=b;当a<b时,min{a,b}=a.如min{1,-2}=-2,min{-3,-2}=-3,则方程min{x,-x} x2-1的解是　或　. 三、解答题(共78分) 19.(10分)计算或解方程: (1)cos 45°-(tan 40°+1)0++sin 30°;(2)2y2-4y+1=0. 解:(1)原式=×-1++ =-1+1 =. (2)方程两边都除以2,得y2-2y+=0, 移项,得y2-2y=-, 配方,得y2-2y+1=-+1, 即(y-1)2=,开平方,得y-1=±,y=1±,∴y1=,y2=. 20.(10分)(2023丹东)为提高学生的安全意识,某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动.该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计,将成绩分为四个等级:A(优秀),B(良好),C(一般),D(不合格),并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图. 根据图中所给信息解答下列问题: (1)这次抽样调查共抽取　　　　人,条形统计图中的m=　　　　.  (2)将条形统计图补充完整,且在扇形统计图中,求C等所在扇形圆心角的度数. (3)该校有1 200名学生,估计该校学生答题成绩为A等和B等的共有多少人. (4)学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中,随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”,请用列表或画树状图的方法,求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率. ① 解:(1)50　7 (2)由(1)知,m=7,等级为A的有50-16-15-7=12(人), 补充完整的条形统计图如图①所示. C等所在扇形圆心角的度数为360°×=108°. (3)1 200×(24%+32%) =1 200×56% =672(人),即估计该校学生答题成绩为A等和B等的共有672人. (4)树状图如图②所示: ② 由上可得,一共存在12种等可能性,其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种, ∴抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为=. 21.(10分)已知关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0. (1)若方程有实数根,求m的取值范围; (2)若方程的两实数根分别为x1,x2,且满足+=14,求+4x2-10 的值. 解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0有实数根, ∴Δ=b2-4ac=[2(m-1)]2-4×1×m2≥0,解得:m≤, ∴实数m的取值范围为m≤. (2)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2+2(m-1)x+m2=0的两实数根, ∴x1+x2=-2(m-1),x1·x2=m2. ∵+=14,∴(x1+x2)2-2x1·x2=14,∴[-2(m-1)]2-2m2=14, ∴4m2-8m+4-2m2=14,解得m=5或m=-1. ∵m≤,∴m=-1. 当m=-1时,方程变为x2-4x+1=0,∴x1+x2=4,-4x1+1=0,∴=4x1-1, ∴+4x2-10=4x1-1+4x2-10=4(x1+x2)-11=16-11=5. 22.(10分)2022年冬奥会在北京顺利召开,冬奥会吉祥物冰墩墩公仔爆红.据统计冰墩墩公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件,3月份的销售量是7.2万件. (1)若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同,求月平均增长率是多少. (2)市场调查发现,某一间店铺冰墩墩公仔的进价为每件60元,若售价为每件100元,每天能销售20件,售价每降价1元,每天可多售出2件,为了推广宣传,商家决定降价促销,同时尽量减少库存,若使销售该公仔每天获利1 200元,则售价应降低多少元? 解:(1)设月平均增长率是x,依题意,得5(1+x)2=7.2, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). 答:月平均增长率是20%. (2)设售价应降低y元,则每件的销售利润为(100-y-60)元,每天的销售量为(20+2y)件,依题意,得(100-y-60)(20+2y)=1 200, 整理,得y2-30y+200=0,解得y1=10,y2=20. 又∵要尽量减少库存,∴y=20. 答:售价应降低20元. 23.(12分)如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F. (1)求证:△ACD∽△BFD; (2)若cos∠ABD=,AC=10,求BF的长. (1)证明:∵AD⊥BC,BE⊥AC, ∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°. ∴∠C+∠DBF=90°,∠C+∠DAC=90°. ∴∠DBF=∠DAC. ∴△ACD∽△BFD. (2)解:在Rt△ABD中,cos∠ABD==, 设BD=2x,则AB=3x, ∴AD===x. ∴==. ∵△ACD∽△BFD, ∴==, 即=, 解得BF=4. 24.(12分)(2023泸州)如图所示,某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度,采用了如下的方法:先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发,沿斜面坡度为i=2∶的斜坡AB前进20 m到达点B,再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C.在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°,底部D的俯角为60°,求古树DE的高度(参考数据: sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈,计算结果用根号表示,不取近似值). 解:过点B作BF⊥AD于点F,如图所示. 在Rt△ABF中,∵i=2∶,∴可设BF=2k,AF=k, ∴(2k)2+(k)2=(20)2,解得k=20(负值已舍), ∴BF=2k=40 m. 延长BC,DE交于点H,易知DH⊥CH. ∵AD,BC都是水平线,BF⊥AD,DH⊥BC, ∴四边形BFDH是矩形,∴DH=BF=40 m. 在Rt△CDH中,∵tan∠DCH=, ∴CH===(m). 在Rt△CEH中,∵tan∠ECH=, ∴EH=CH·tan∠ECH=·tan 37°≈×=10(m), ∴DE=DH-EH≈(40-10)m. 答:古树DE的高度约为(40-10)m. 25.(14分)(2022济南)如图①所示,△ABC是等边三角形,点D在△ABC的内部,连结AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AE,连结BD,DE,CE. (1)判断线段BD与CE的数量关系并给出证明. (2)延长ED交直线BC于点F. ①如图②所示,当点F与点B重合时,直接用等式表示线段AE,BE和CE的数量关系为　　　　　　;  ②如图③所示,当点F为线段BC中点,且ED=EC时,猜想∠BAD的度数并说明理由. ① ② ③ 解:(1)BD=CE.证明如下: ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC, ∵AE是由AD绕点A逆时针旋转60°得到的,∴∠DAE=60°,AD=AE,∴∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE(S.A.S.),∴BD=CE. (2)①AE=BE-CE.提示:由(1)得:∠DAE=60°,AD=AE,BD=CE, ∴△ADE是等边三角形,∴DE=AE,∴AE=DE=BE-BD=BE-CE. ②∠BAD=45°.理由如下:连结AF,作AG⊥DE于G,如图所示, ∴∠AGD=90°, ∵F是BC的中点,△ABC是等边三角形,△ADE是等边三角形, ∴AF⊥BC,∠ABF=∠ADG=60°,∴∠AFB=∠AGD, ∴△ABF∽△ADG,∴=,∠BAF=∠DAG, ∴∠BAF+∠DAF=∠DAG+∠DAF,∴∠BAD=∠FAG,∴△ABD∽△AFG, ∴∠ADB=∠AGF=90°. 由(1)得:BD=CE, ∵CE=DE=AD,∴AD=BD,∴∠BAD=45°. 学科网（北京）股份有限公司 $$