精品解析：海南省琼海市嘉积中学2024-2025学年高一上学期高中教学质量监测（期中）数学试题

琼海市嘉积中学2024-2025学年第一学期高中教学质量监测（期中） 高一数学试题 本试卷满分：150分，考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应位置上. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助整数定义得到集合，利用补集与交集定义计算即可得. 【详解】，则， 故. 故选：A. 2. 下列函数中是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据基本初等函数的图象和性质，即可判断. 【详解】A.函数在区间和单调递增，但不是增函数，故A错误； B.中，，所以是减函数，故B错误； C.，是减区间，是增区间，故C错误； D.，函数在区间和都是增区间，并且处连续，所以函数是增函数，故D正确. 故选：D 3. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数定义可得，求得解析式即可得出该函数为偶函数； 【详解】由题意知，即， 则该函数为，此时函数定义域为全体实数集， 该函数在定义域内有增有减，不是单调函数； 函数满足，为偶函数. 故选：D 4. “或”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的关系即可判断. 【详解】解：因为集合是集合或的真子集，其余均不满足， 所以“”是“或”的一个充分不必要条件. 故选：D 5. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定为真命题，利用判别式即可求解. 【详解】由于“，”为假命题， 故其否定为“，”为真命题， 则，得， 故选：D 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用“1”的妙用结合基本不等式可求最小值. 【详解】，，， 当且仅当，即，时等号成立， 因此所求最小值为， 故选：B. 7. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数图象求得函数定义域，利用函数值可得出其解析式，代入计算即求得函数值. 【详解】根据函数图象可知和不在函数的定义域内， 因此和是方程的两根，因此可得， 又易知，所以可得； 即，所以. 故选：D 8. 若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为R，给出下面两个条件：是严格减函数且恒成立；是严格增函数且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中正确的是（ ）． A. 只有是 B. 只有是 C. 和都是 D. 和都不是 【答案】C 【解析】 【分析】若已知，则当，根据减函数的定义和已知条件，结合不等式的性质，可推出成立，若已知，取，根据增函数的定义和已知条件，结合不等式的性质，也可推出. 【详解】若成立，当，有， 因为单调递减，且恒成立，所以， 所以， 故存在，（且），对任意的，均有恒成立， 所以是函数具有性质的充分条件； 若成立，当时，，， 因为单调递增，所以恒成立， 故存在（，且），对任意的，均有恒成立， 所以也是函数具有性质的充分条件. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，因为，由不等式的基本性质可得，A错； 对于B选项，由已知可得，在不等式的两边同时除以可得，B对； 对于C选项，因为，由不等式的基本性质可得，C错； 对于D选项，由题意可得，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：BD. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意可知且和2是方程的两个根,根据韦达定理可得，由此易判断A,将替换成，由此可求B、D，结合二次函数的图象可以判断C. 【详解】关于的的不等式的解集为, 且和2是方程的两个根, ， 对，故A正确. 对可化为 ,解的, 不等式的解集为，故B错误. 对，1和2是方程的两个根, 且二次函数开口向上, 当时，，即，故C正确. 对D，不等式可化为, ,即，解得 不等式的的集为，故D正确. 故选：ACD 11. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 的一个周期为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB；利用赋值法求出的值，结合对称性可求，判断C；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D. 【详解】由于函数的定义域为为偶函数， 则，即，则的图象关于直线对称，A正确； 又为奇函数，则，即， 故的图象关于点对称，B正确； 由于，令，则， 又的图象关于直线对称，故，C错误； 又，，则， 故，即，则， 即的一个周期为8，D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】，解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 13. 设函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过讨论当时，当时，当时，不等式的解集，最后得到答案. 【详解】当，即时， 则，解得； 当，即时， 则， 即，解得； 当时，恒成立； 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 14. 设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件可得，再整理并分离参数，利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】函数，则，而， 即，整理得，由，得，则， 因此，而，于是，整理得，即， 令，则 ，当且仅当，即时取等号， 因此，则，所以实数的最大值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）证明在上是增函数. 【答案】（1）函数无奇偶性；理由：函数的定义域为， 显然其定义域不关于原点对称，所以函数无奇偶性. （2）证明：因为， 任取，且， 则， 因为，， 所以，，， 所以，即， 由函数单调性定义可知，函数在上是增函数. 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义域的特点即可判断； （2）应用函数单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将充分条件转化为子集关系，利用子集的定义即可列出不等式求解． （2）将真命题转化成是的子集，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解． 【小问1详解】 由题意可知：集合是集合的真子集， 因此或，解得， 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 若命题“，则”是真命题，则有， 当时，，解得，符合题意，因此； 当时，而，， 则，无解， 所以“，则”是真命题，实数的取值范围． 那“，则”是假命题时， 17. 均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式的证明和求最值中有着广泛的应用，具体为：． （1）上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数（无需证明）； （2）若一个直角三角形的直角边分别为a，b，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过类比写出三元形式. （2）根据基本不等式求得的范围，进而求得三角形周长的取值范围. 【小问1详解】 由类比可得出: 三元形式：. 证明：要证即证， ， ，即当且仅当时等号成立. 【小问2详解】 ， 由（1）， 当且仅当取“”， 又，， 所以三角形周长的取值范围. 18. 在一个实验中，发现某个物体离地面的高度（米）随时间（秒）的变化规律可表示为. （1）当时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？ （2）当且仅当时，此物体达到最大的高度6，求实数满足的条件？ 【答案】（1）6秒 （2）， 【解析】 【分析】（1）由题意可知：，分和两种情况解不等式即可； （2）根据题意结合单调性可得当时，，且在内恒成立，分析求解即可. 【小问1详解】 当时，则， 由题意可知：， 若，则，解得； 若，则，解得； 综上所述：， 所以若此物体的高度不低于4米时，能持续时间为（秒）. 【小问2详解】 令，解得，可得， 因为在上单调递增， 由题意可得：当时，，解得； 且在内恒成立，则，解得； 综上所述：，. 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 【答案】（1） 或或 （2） （3）证明:假设是“等差集”， 则存在,成立， 化简可得, 因为,所以, 所以与集合的互异性矛盾， 所以不是“等差集”． 【解析】 【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可； （2）根据等差集定义应用，即逐个计算判断即可； （3）应用反证法证明集合不是等差集. 【小问1详解】 因为集合，，存在3个不同的元素a，b，，使得， 则或或. 【小问2详解】 因为集合是“等差集”， 所以或或, 计算可得或或或， 又因为正整数,所以. 【小问3详解】 略. 【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市嘉积中学2024-2025学年第一学期高中教学质量监测（期中） 高一数学试题 本试卷满分：150分，考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项填涂在答题卡相应位置上. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数为幂函数，则该函数为（ ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 4. “或”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题：，是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6 7. 若函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 8. 若存在且，使得对任意，均有成立，则称函数具有性质.已知函数的定义域为R，给出下面两个条件：是严格减函数且恒成立；是严格增函数且存在，使得.下面关于函数具有性质的充分条件的判断中正确的是（ ）． A. 只有是 B. 只有是 C. 和都是 D. 和都不是 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的不等式的解集为，则（） A. 且 B. 不等式的解集是 C. D. 不等式的解集为 11. 已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，则下列选项正确的是（ ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. D. 的一个周期为8 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 不等式的解集是__________． 13. 设函数，则不等式的解集为__________. 14. 设函数，正实数满足，若，则实数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知. （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）证明在上是增函数. 16. 设全集，集合，集合． （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若命题“，则”是假命题，求实数的取值范围． 17. 均值不等式可以推广成均值不等式链，在不等式的证明和求最值中有着广泛的应用，具体为：． （1）上面给出的均值不等式链是二元形式，其中指的是两个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数，类比这个不等式给出对应的三元形式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算术平均数（无需证明）； （2）若一个直角三角形的直角边分别为a，b，斜边，求直角三角形周长的取值范围． 18. 在一个实验中，发现某个物体离地面的高度（米）随时间（秒）的变化规律可表示为. （1）当时，若此物体的高度不低于4米时，能持续多长时间？ （2）当且仅当时，此物体达到最大的高度6，求实数满足的条件？ 19. 设A是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a，b，，使得，则称A为“等差集”． （1）若集合，，且B是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B； （2）若集合是“等差集”，求m的值； （3）已知正整数，证明：不是“等差集”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $