第01讲 随机事件的条件概率（3大考点题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第01讲 随机事件的条件概率 课程标准 学习目标 1 理解随机试验、样本空间和随机事件的的概念； 2 能准确识别随机试验，写出样本空间和常见的随机事件； 3 熟练掌握事件的关系和运算，能进行简单的判断和推理． 1. 理解随机事件、条件概率 的概念，掌握条件概率的计算公式； 2. 能运用条件概率解决简单的实际问题，培养学生的数学建模能力； 3. 了解条件概率与独立事件的关系，能进行简单的判断和计算． 知识点一、条件概率 1.设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 2.解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 知识点二、乘法公式与事件的独立性 1、 事件独立性：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立； 2、与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表： 事件A，B相互独立 概率计算公式 A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B) A，B同时不发生 P()＝P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B) A，B至少有一个不发生 P＝1－P(AB) ＝1－P(A)P(B) A，B至少有一个发生 P＝1－P() ＝1－P()P() ＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) A，B恰有一个发生 P＝P(A＋B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B) 知识点三、全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均互斥，即，． （2）． （3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式． 上述公式可借助图形来理解： 题型01 随机事件的条件概率 1.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（    ） A． B． C． D． 2.若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 3.若，，，则（     ） A． B． C． D． 4.某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（   ） A． B． C． D． 5.庆“七一”，教育局组织党史知识竞赛，经过激烈角逐，最后甲乙两队争夺冠军.实行“三局两胜”制（无平局）.若甲队在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为 . 6.一个袋中有大小与质地相同的2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取2个球，记事件A表示“第一次抽到黑球”；事件B表示“第二次抽到黑球”． (1)分别求事件A、B、发生的概率； (2)求． 题型02 事件的相互独立 1.已知，是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A． B．互斥但不对立 C．互为对立 D．相互独立 2.事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 3.已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 4.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 5.（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则（    ） A． B． C．和是互斥事件 D．和是相互独立事件 6.（多选）有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（    ） A．与不互斥 B． C． D．与相互独立 题型03 全概率 1.秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 2.有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 3.（多选）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（    ） A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 4.紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为 （填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 ． 5.根据中国国家流感中心发布的最新流感监测周报，2023第7周南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升，以A（H1N1）pdm09为主，A（H3N2）亚型流感病毒共同流行，为有效预防流感，某地A，B，C三所学校分别有28%，36%，m%的学生接种疫苗，三所学校的学生数之比为5∶3∶2，已知从这三所学校中任意选取一个学生，该学生接种了疫苗的概率不低于0.35，则m的最小值为 ． 6.某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品. (1)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率 (2)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率. 1.为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到选择题”，则（    ） A． B． C． D． 2.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是．若事件“为偶数”，事件“，中有偶数”，则（    ） A． B． C． D． 3.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（    ） A． B． C． D． 4.无人酒店是利用人工智能与物联网技术，为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感．去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择，某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8，如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 5.（多选）已知事件A，B满足，，则（    ） A．若，则 B．若A与B互斥，则 C．若P(AB)=0.1，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 6.（多选）甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件C与D互斥 D．事件A与事件D相互独立 7.（多选）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021年10月24日，共计有437181人参与评分，豆瓣评分表如下．根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（    ） A．m的值是32% B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件B为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 8.（多选）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 9.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．（结果保留两位小数） 10.一盲盒中有外观、大小、质地完全相同的2个绿球、3个黄球、7个红球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖，先进行射箭游戏，射箭一次，规定射中10环可从盲盒中一次性抽取3个球，射中环可从盲盒中一次性抽取2个球，射中6环及6环以下可从盲盒中抽取1个球．某人射中10环、环、6环及6环以下的概率分别为，则此人抽到的全是一等奖或二等奖的概率为 ． 11.甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 12.“好时节，愿得年年，常见中秋月”，中秋节是我国的传统节日，又称八月节、追月节等.中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐朝初年，盛行于宋朝以后，每逢中秋佳节，人们互相馈赠月饼，吃团圆饭，观灯赏月，寓意团团圆圆.现盘中有块月饼，其中有块是蛋黄月饼，甲、乙、丙三人依次拿一块进行不放回抽取，求丙拿到蛋黄月饼的概率． 13.小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率. (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）. 14.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 随机事件的条件概率 课程标准 学习目标 1 理解随机试验、样本空间和随机事件的的概念； 2 能准确识别随机试验，写出样本空间和常见的随机事件； 3 熟练掌握事件的关系和运算，能进行简单的判断和推理． 1. 理解随机事件、条件概率 的概念，掌握条件概率的计算公式； 2. 能运用条件概率解决简单的实际问题，培养学生的数学建模能力； 3. 了解条件概率与独立事件的关系，能进行简单的判断和计算． 知识点一、条件概率 1.设A，B为两个事件，且P(A)>0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率 2.解决条件概率问题的步骤 第一步，判断是否为条件概率，若题目中出现“已知”“在……前提下”等字眼，一般为条件概率．题目中若没有出现上述字眼，但已知事件的出现影响所求事件的概率时，也需注意是否为条件概率．若为条件概率，则进行第二步． 第二步，计算概率，这里有两种思路： 思路一 缩减样本空间法计算条件概率，如求P(A|B)，可分别求出事件B，AB包含的基本事件的个数，再利用公式P(A|B)＝计算 思路二 直接利用公式计算条件概率，即先分别计算出P(AB)，P(B)，再利用公式P(A|B)＝计算 知识点二、乘法公式与事件的独立性 1、 事件独立性：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，则称事件A与事件B相互独立； 2、与相互独立事件A，B有关的概率的计算公式如下表： 事件A，B相互独立 概率计算公式 A，B同时发生 P(AB)＝P(A)P(B) A，B同时不发生 P()＝P()P() ＝[1－P(A)][1－P(B)] ＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B) A，B至少有一个不发生 P＝1－P(AB) ＝1－P(A)P(B) A，B至少有一个发生 P＝1－P() ＝1－P()P() ＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B) A，B恰有一个发生 P＝P(A＋B) ＝P(A)P()＋P()P(B) ＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B) 知识点三、全概率公式 若样本空间中的事件满足： （1）任意两个事件均互斥，即，． （2）． （3）．则对任意事件，都有，则称该公式为全概率公式． 上述公式可借助图形来理解： 题型01 随机事件的条件概率 1.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测，对此建筑构件实施打击，该构件有两个易损部位，每次打击后，部位损坏的概率为，部位损坏的概率为，则在第一次打击后就有部位损坏（只考虑两个易损部分）的条件下，两个部位都损坏的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解题分析记事件：第一次打击后就有部位损坏，事件两个部位都损坏， 则， 由条件概率公式可得. 故选：A 2.若事件，发生的概率分别为，，，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分且必要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【详解】因为，所以，所以， 所以. 反之由能推出， 所以“”是“”的充分且必要条件. 故选：C 3.若，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，可知，， 又，所以， 所以. 故选：D 4.某个班级有55名学生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名团员，女生中有12名团员．在该班中随机选取一名学生，A表示“选到的是团员”，B表示“选到的是男生”，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设事件为选到的是团员，事件为选到的是男生， 根据题意可得， ，， 故． 故选：B． 5.庆“七一”，教育局组织党史知识竞赛，经过激烈角逐，最后甲乙两队争夺冠军.实行“三局两胜”制（无平局）.若甲队在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为 . 【答案】 【详解】设事件“甲获得冠军”为事件，比赛进行了三局为事件， 则,， . 故答案为： 6.一个袋中有大小与质地相同的2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取2个球，记事件A表示“第一次抽到黑球”；事件B表示“第二次抽到黑球”． (1)分别求事件A、B、发生的概率； (2)求． 【答案】(1)，，．(2) （1）记“第一次抽到黑球”为事件，则； “第二次抽到黑球”为事件．则； 表示“第一次和第二次都抽到黑球”，则； （2）由（1）得：． 题型02 事件的相互独立 1.已知，是一个随机试验中的两个随机事件，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A． B．互斥但不对立 C．互为对立 D．相互独立 【答案】D 【详解】解：，得， 又，故事件与事件相互独立， 故选：D. 2.事件发生的概率为，事件发生的概率为，若，，，则事件与事件的关系为（   ） A．互斥 B．对立 C．独立 D．包含 【答案】C 【详解】由对立事件的概率公式可得， 因为，即，可得， 所以，，因此，事件与事件独立. 故选：C. 3.已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 【答案】B 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 4.投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，假设甲、乙、丙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投中的概率为（    ） A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 【答案】A 【详解】记甲、乙、丙投中分别即为事件， 由题知， 则3人中至少有2人投中的概率为： . 故选：A. 5.（多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，记“第一枚硬币正面朝上”为事件，“第二枚硬币反面朝上”为事件，则（    ） A． B． C．和是互斥事件 D．和是相互独立事件 【答案】AD 【详解】由题，样本空间为{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}， {（正，正），（正，反）}， {（正，反），（反，反）}， 所以，A正确； {（正，反）}， 所以，则B错误， 因为，所以和不是互斥事件，C错误， 因为, 所以，所以和是相互独立事件，D正确. 故选:AD. 6.（多选）有四个盲盒，每个盲盒内都有3个水晶崽崽，其中三个盲盒里面分别仅装有红色水晶崽崽､蓝色水晶崽崽､粉色水晶崽崽，剩下的那个盲盒里面三种颜色的水晶崽崽都有.现从中任选一个盲盒，设事件为“所选盲盒中有红色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有蓝色水晶崽崽”，为“所选盲盒中有粉色水晶崽崽”，则（    ） A．与不互斥 B． C． D．与相互独立 【答案】ACD 【详解】对于A，和可以同时发生，故A正确； 对于B，因为， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：ACD. 题型03 全概率 1.秋冬季节是某呼吸道疾病的高发期，为了解该疾病的发病情况，疾控部门对该地区居民进行普查化验，化验结果阳性率为，但统计分析结果显示患病率为，医学研究表明化验结果是有可能存在误差的，没有患该疾病的居民其化验结果呈阳性的概率为，则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设事件为“患有此病”，为“化验结果呈阳性”， 由题意，， 则该地区患有该疾病的居民化验结果呈阳性的概率为. 由全概率公式，， 代入数值可得： 解得： 故选：C. 2.有一道数学题，不知道答案的概率为，如果知道答案则本题答对的概率为，不知道答案则本题答对的概率为，在答对本题的条件下，则不知道答案的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件：知道答案，事件：答对本题， 则，， 则 故选：D 3.（多选）中国象棋是一种益智游戏，也体现博大精深的中国文化.某学校举办了一次象棋比赛，李明作为选手参加.除李明之外的其他选手中，甲、乙两组的人数之比为，李明与甲、乙两组选手比赛获胜的概率分别为0.6，0.5.从甲、乙两组参赛选手中随机抽取一位棋手与李明比赛，下列说法正确的是（    ） A．李明与甲组选手比赛且获胜的概率为 B．李明获胜的概率为 C．若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为 D．若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为 【答案】ABC 【详解】设事件A为“李明与甲组选手比赛”，事件B为“李明与乙组选手比赛”，事件C为“李明获胜”， 则由题可知， 对于A，李明与甲组选手比赛且获胜的概率为，故A正确； 对于B，李明获胜的概率为， 故B正确； 对于C，若李明获胜，则棋手来自甲组的概率为，故C正确； 对于D，若李明获胜，则棋手来自乙组的概率为， 故D错误. 故选：ABC. 4.紧急定位传送器是在飞机失事坠毁时发送信号，让搜救人员可以定位找到飞机的特有装置．根据某机构对失事飞机的调查得知：失踪飞机中有后来被找到，在被找到的飞机中，有安装有紧急定位传送器；而未被找到的失踪飞机中，有未安装紧急定位传送器．则在失踪飞机中，装有紧急定位传送器飞机的比例为 （填写百分数），现有一架安装有紧急定位传送器的飞机失踪，则它被找到的概率为 ． 【答案】 【详解】根据全概率公式得装有紧急定位传送器飞机的比例为： ； 设事件“失踪的飞机后来被找到”， 事件“失踪的飞机后来未被找到”，事件“安装有紧急定位传送器”，则， ，，， 安装有紧急定位传送器的飞机失踪， 它被找到的概率为： ， 故答案为：；． 5.根据中国国家流感中心发布的最新流感监测周报，2023第7周南、北方省份流感病毒检测阳性率继续上升，以A（H1N1）pdm09为主，A（H3N2）亚型流感病毒共同流行，为有效预防流感，某地A，B，C三所学校分别有28%，36%，m%的学生接种疫苗，三所学校的学生数之比为5∶3∶2，已知从这三所学校中任意选取一个学生，该学生接种了疫苗的概率不低于0.35，则m的最小值为 ． 【答案】51 【详解】设事件表示该学生接种了疫苗，事件，分别表示该学生来自三所学校． 则，，，，， ， 即． 故答案为：51. 6.某工厂生产一种零件，该零件的质量分为三种等级：一等品、二等品和次品.根据历史数据，该工厂生产一等品、二等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1.现对一批刚生产出来的零件进行质量检测，检测方式分为两种：自动检测和人工抽检，自动检测能将一等品全部正确识别，但有5%的概率将二等品误判为次品，有15%的概率将二等品误判为一等品，也有10%的概率将次品误判为二等品. (1)求在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率 (2)假设零件先经过自动检测，若判断为一等品，则进行人工抽检；若判断为二等品或次品，则直接淘汰.求人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设事件表示“零件是次品”，表示“自动检测判断零件为次品”，事件分别表示零件是一等品、二等品， 则 ， 则. 所以在自动检测下，一个被判断为次品的零件实际上就是次品的概率为. （2）设事件表示“零件需要进行人工抽检”，表示“人工抽检的零件为一等品” ，， 所以人工抽检一个零件，该零件恰好是一等品的概率为. 1.为讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史知识的了解，某学校开展党史知识竞赛活动，以班级为单位参加比赛.某班级在5道党史题中（有3道选择和2道填空题），不放回地依次随机抽取2道题作答，设事件为“第一次抽到选择题”，事件为“第二次抽到选择题”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，所以. 故选：D. 2.已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两球，每次取一球，记第一次取出的球的数字是，第二次取出的球的数字是．若事件“为偶数”，事件“，中有偶数”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 所以. 故选：C 3.《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件“两卦的六根线中恰有三根阳线”，“至少有一卦恰有两根阳线”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由八卦图可知，八卦中全为阳线和全为阴线的卦各有一个， 两阴一阳和两阳一阴的卦各有三个， 所以， 所以. 故选：C 4.无人酒店是利用人工智能与物联网技术，为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感．去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择，某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8，如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为（    ） A．0.8 B．0.7 C．0.6 D．0.5 【答案】B 【详解】记事件第一天入住无人酒店，第二天入住无人酒店，第一天入住常规酒店， 根据题意可知，， 则由全概率公式可得． 故选：B. 5.（多选）已知事件A，B满足，，则（    ） A．若，则 B．若A与B互斥，则 C．若P(AB)=0.1，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】BC 【详解】对于A，由，得，A错误； 对于B，由A与B互斥，得，B正确； 对于C，由，得，则A与B相互独立，C正确； 对于D，由A与B相互独立，得相互独立，则，D错误. 故选：BC 6.（多选）甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签.其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签.现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响.记事件A：从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件C与D互斥 D．事件A与事件D相互独立 【答案】ABD 【详解】对于A，样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)， (2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共18种可能的结果， 则，，A正确； 对于B，事件C包含的样本点有(1,3)，(3,1)，(2,2)，共3种可能的结果，则，故B正确； 对于C，事件D包含的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)， (2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共15种可能的结果，故事件C与D不互斥，C错误： 对于D，，由，得A，D相互独立，D正确. 故选：ABD. 7.（多选）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0-10的分值（一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字，国庆爱国影片《长津湖》豆瓣得分是7.4分，截止至2021年10月24日，共计有437181人参与评分，豆瓣评分表如下．根据猫眼实时数据，该片的票房为53.1亿元，按照平均票价50元来计算，大约有1亿人次观看了此片，假如参与评分观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（    ） A．m的值是32% B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星 C．若以频率当作概率，记事件A为“评价是一星”，事件B为“评价不高于二星”，则 D．若从已作评价的观众中随机抽出3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件 【答案】AD 【详解】对A选项，参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星， 则，所以，故A正确； 对B选项，随机抽取100名观众，可能有人评价五星，但不是一定的，故B错误； 对C选项，由A选项，因为，则，故C错误； 对D选项，根据互斥事件和对立事件的定义可知，事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件，故D正确； 故选：AD 8.（多选）甲、乙两个不透明的袋子中分别装有两种颜色不同但是大小相同的小球，甲袋中装有5个红球和5个绿球；乙袋中装有4个红球和6个绿球.先从甲袋中随机摸出一个小球放入乙袋中，再从乙袋中随机摸出一个小球，记表示事件“从甲袋摸出的是红球”，表示事件“从甲袋摸出的是绿球”，记表示事件“从乙袋摸出的是红球”，表示事件“从乙袋摸出的是绿球”.下列说法正确的是（   ） A．是互斥事件 B．是独立事件 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，依题意，因为每次只摸出一个球，， 所以，是互斥事件，故A正确； 对于B，，， 则， 所以，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 9.中国是瓷器的故乡，瓷器的发明是中华民族对世界文明的伟大贡献，瓷器传承着中国文化，有很高的欣赏和收藏价值．现有一批同规格的瓷器，由甲、乙、丙三家瓷厂生产，其中甲、乙、丙瓷厂分别生产300件、300件、400件，而且甲、乙、丙瓷厂的次品率依次为4%、3%、3%．现从这批瓷器中任取一件，若取到的是次品，则其来自甲厂的概率为 ．（结果保留两位小数） 【答案】0.36 【详解】设B表示事件：取得次品．表示事件：该产品由第i家工厂生产（，2，3）．第i家工厂（，2，3）分别表示甲、乙、丙瓷厂． ，，． ，，，． 故取到的是次品，则其来自甲厂的概率为． 故答案为：0.36. 10.一盲盒中有外观、大小、质地完全相同的2个绿球、3个黄球、7个红球，分别代表一等奖、二等奖、三等奖，先进行射箭游戏，射箭一次，规定射中10环可从盲盒中一次性抽取3个球，射中环可从盲盒中一次性抽取2个球，射中6环及6环以下可从盲盒中抽取1个球．某人射中10环、环、6环及6环以下的概率分别为，则此人抽到的全是一等奖或二等奖的概率为 ． 【答案】 【详解】设“射中10环”为事件，“射中环”为事件，“射中6环及6环以下”为事件， 则， 盲盒中共有12个球， 由全概率公式可得抽到的全是一等奖或二等奖的概率为 ． 故答案为：. 11.甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率. 【答案】 【详解】设，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件， ，． ， 设 “两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则，且与互斥， 与， 与分别相互独立， 所以． 因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是． 12.“好时节，愿得年年，常见中秋月”，中秋节是我国的传统节日，又称八月节、追月节等.中秋节起源于上古时代，普及于汉代，定型于唐朝初年，盛行于宋朝以后，每逢中秋佳节，人们互相馈赠月饼，吃团圆饭，观灯赏月，寓意团团圆圆.现盘中有块月饼，其中有块是蛋黄月饼，甲、乙、丙三人依次拿一块进行不放回抽取，求丙拿到蛋黄月饼的概率． 【答案】 【详解】记事件甲拿到蛋黄月饼，乙拿到蛋黄月饼，丙拿到蛋黄月饼． 由题意知：，则， ，，，， . 13.小金、小郅、小睿三人下围棋，已知小金胜小郅、小睿两人的胜率均为，小郅胜小睿的胜率为，比赛采用三局两胜制，第一场比赛等概率选取一人轮空，剩余两人对弈，胜者继续与上一场轮空者比赛，另一人轮空.以此类推，直至某人赢得两场比赛，则其为最终获胜者. (1)若第一场比赛小金轮空，则需要下第四场比赛的概率为多少？ (2)求最终小金获胜的概率. (3)若已知小郅第一局未轮空且获胜，在此条件下求小金最终获胜的概率（请用两种方法解答）. 【答案】(1)(2) (3) 【详解】（1）第一场比赛小郅获胜时，则第二场小金获胜，第三场小睿获胜，满足题意； 第一场比赛小睿获胜时，则第二场小金获胜，第三场小郅获胜，满足题意； 所以需要下第四场比赛的概率为 （2）由题意，最终小金获胜的情况如下， 当小金第一场轮空， 第一场小郅胜小睿输，第二场小金胜小郅输，第三场小金胜小睿输，此时， 第一场小睿胜小郅输，第二场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 则小金获胜， 当小金第一场不轮空， 第一场小郅胜小金输，第二场小睿胜小郅输，第三场小金胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 第一场小金胜小郅输，第二场小睿胜小金输，第三场小郅胜小睿输，第三场小金胜小郅输，此时， 第一场小金胜小郅输，第二场小金胜小睿输，此时， 所以第一场小郅与小金比赛，小金获胜概率为， 同理，第一场小睿与小金比赛，小金获胜概率为， 故小金获胜概率为 （3）法一：设A：小金最终获胜；B：小郅第一场未轮空且获胜，则， 结合（2）知， 法二：第一场小睿轮空时，小金最终获胜概率为， 第一场小金轮空时，小金最终获胜概率为， 14.放行准点率是衡量机场运行效率和服务质量的重要指标之一．已知年该机场飞往地，地及其他地区（不包含，两地）航班放行准点率的估计值分别为和，年该机场飞往地，地及其他地区的航班比例分别为，和. 试解决一下问题： (1)现在从年在该机场起飞的航班中随机抽取一个，求该航班准点放行的概率； (2)若年某航班在该机场准点放行，判断该航班飞往地，地、其他地区等三种情况中的哪种情况的可能性最大，说明你的理由． 【答案】(1) (2)该航班飞往其他地区的可能性最大． 【详解】（1）设"该航班飞往地"， "该航班飞往地"， "该航班飞往其他地区"，"该航班准点放行"， 则，，， ，，， 由全概率公式得， ， 所以该航班准点放行的概率为. （2）， ， ， 因为，所以该航班飞往其他地区的可能性最大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$