精品解析：浙江省浙派联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024学年第一学期九年级期中学业水平监测数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．在答题纸相应的位置规范作答． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． Ⅰ卷（选择题部分） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，直接根据二次函数的顶点式进行解答即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标是． 故选：D 2. 若，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查比例基本性质的逆运用，逆用比例的基本性质，把改写成比例的形式，使相乘的两个数a和3做比例的外项，则相乘的另两个数b和4就做比例的内项． 【详解】解：∵， ∴，即， 故选：D． 3. 如图，在中，，点为的中点，以点为圆心，5为半径作，则下列判断错误的是（ ） A. 点在上 B. 点在上 C. 点在外 D. 的中点在外 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质等知识，掌握点与圆的三种位置关系是解题关键．连接，取中点，连接，根据直角三角形的性质，得到，，与半径比较，可判断ABC选项；证明是等边三角形，得到，在中，，可判断D选项． 【详解】解：如图，连接，取中点，连接， ，点为的中点， ，， ， 以点为圆心，5为半径作， ， 点和点在上，A、B选项判断正确，不符合题意； ， 点在外，C选项判断正确，不符合题意； ， 是等边三角形， 是的中点， ， 在中，，即， 的中点在内，D选项判断错误，符合题意； 故选：D． 4. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据可得，代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：B． 5. 在⊙中，点在圆上，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，先由得到平行四边形，得到，再由圆内接四边形得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：C． 6. 点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（ ） A. ①错，②③对 B. ①对，②③都错 C. ①②对，③错 D. ①②③对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，判别式的应用，根据点在二次函数的图象上，得出，再求出判别式的值，即可作答． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 即， ∴， 当时，则，此时无实数根， 即当时，点的个数为0； 故①是正确的； ②当时，则，此时有一个实数根， 即当时，点的个数为1； 故②是正确的； ③当时，则，此时有两个不相等的实数根， 即当时，点的个数为2． 故③是正确的； 故选：D． 7. 在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，根据旋转的性质作图，即可得出点的坐标． 【详解】解：如图，可得， 故选：C． 8. 如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，与相交于点H，由等腰三角形性质得到,由圆周角定理得出,再由,得出,从而求出,最后由弧长公式可得结果． 【详解】解：连接，与相交于点H， , , , , , , , , , , , , 故选：B 【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形及平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式及圆周角定理． 9. 如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线的性质及图象，熟练掌握以上知识是解题的关键． 将点代入抛物线，可得，根据，推出，与四个选项一次对比即可得出答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，即， ∵， ∴， A.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项A不符合题意； B.若抛物线过点，则，与不相符，故选项B不符合题意； C.若抛物线过点，则，得，与矛盾，故选项C不符合题意； D.若抛物线过点，则，得，代入，得，与相符，故选项D符合题意； 故选：D． 10. 如图，在由6块直角三角形拼成的矩形中，①②③④四个三角形全等，点分别是三角形②，①的直角顶点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形性质，相似三角形的判定和性质，设，，则，由勾股定理可得，，再证，可得，进而可得答案． 【详解】解：设，，则， ∵①②③④四个三角形全等，点分别是三角形②，①的直角顶点， ∴①②③④四个三角形是直角三角形，是直角三角形，，， ∴，， ∵是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． Ⅱ卷（非选择题部分） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，在中，，点在上，请添加一个条件______，使得与相似． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定即可求解． 【详解】解：添加， 则， ∵， ∴；   故答案为：． 12. 已知二次函数的图象过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，将点的坐标代入函数的解析式中，即可求得b的值． 【详解】解：∵二次函数的图象过点， ∴将代入， 得， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，在中，点分别在边上，连结，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由题意可证四边形是平行四边形，可得，，由相似三角形的性质和平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，， 四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴， 故答案为：． 14. 如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，先根据图象中顶点坐标和图象过原点，求出图中二次函数的解析式，然后再根据平移规律得出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：根据图象可知，二次函数的顶点坐标为， ∴设图中二次函数解析式为：， ∵二次函数图象过原点， ∴把代入得：， 解得：， ∴图中二次函数解析式为， ∴将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为： ． 故答案为：． 15. 在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 16. 如图，在中，的平分线相交于点的外角的平分线，交的延长线于，连结．若，且与相似，则的长为______． 【答案】1或2或 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了三角形的内心性质和分类讨论思想的运用．先确定点为的内心，则平分，，易得，利用三角形外角性质得，所以，然后分类讨论：当时，写出相等的对应角得到，，，于是在中，则可计算出，然后利用含30度的直角三角形三边的关系得；当或时或时，利用同样的方法可判断为特殊的直角三角形，再利用特殊直角三角形的性质可求出的长． 【详解】解：如图， 、分别平分、， 点为的内心， 平分，， 是的外角的平分线， ， ， ， 当时，，，， 在中， ， ， ； 当时，，，， 在中， ， ， ； 当时，，，， 在中， ； 当时，，，， 在中， ， ； 综上所述，的长为1或2或． 故答案为：1或2或 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键．由，可设再代入求解即可． 【详解】解：由，可设 18. 已知二次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （2）根据图象，直接写出当时自变量的取值范围． 【答案】（1） 画图如下． （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，画二次函数图象； （1）根据题意画出图象即可； （2）由图象可得出答案． 【小问1详解】 解：在平面直角坐标系中画出的图象． 步骤一：列表 步骤二：根据表中数值描点， 【小问2详解】 解：由图象可知，当时． 19. 正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）． 【答案】 与图1中的格点三角形相似的格点三角形如图所示： 【解析】 【分析】本题考查网格中作已知三角形的相似三角形，已知的三角形是直角三角形，两直角边长比值为，据此作图即可． 【详解】略 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）将该抛物线左右平移，若平移一次后的抛物线经过原点，试写出平移方案． 【答案】（1） （2）向左平移个单位或个单位 【解析】 【分析】（）把点代入抛物线解析式求出的值即可求解； （）求出抛物线与轴的交点坐标即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求出二次函数与轴的交点坐标是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴将该抛物线向左平移个单位或个单位，平移后的抛物线经过原点． 21. 图1为某景区的拱桥，上半部分为弓形，图2为其示意图．已知弓形的跨度，弓形的高为，求弧所在圆的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，先根据题意求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：为弓形的高， ， ． 设弧所在的半径为，在中，， 即．解得． 答：所以弧所在圆的半径为． 22. 如图，正方形的边长为1，点在正方形外，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图： ∵四边形是正方形， ∴，， ， ， 又， ， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得，则，又，则，故，即可求证； （2）由，，得到，可求，代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ． ， ， ∵，， ∴， ∴ ， ∴由勾股定理得： ∴， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定，正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 23. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用的代数式表示）． （2）若点在该函数图象的对称轴上，，求的值． （3）若分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质． （1）将二次函数变形为顶点式即可得出顶点坐标； （2）由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线，再由点在该函数图象的对称轴上，可得，进而得，再由得关于的一元一次方程，解方程即可； （3）根据分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧，得到，再由，得到到对称轴的距离小于到对称轴的距离，据此求解即可． 【小问1详解】 解：， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：抛物线对称轴为直线， ∵点在该函数图象的对称轴上， ， 解得， ∴， ∵， ， ； 【小问3详解】 解：∵分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧， ∴， 解得； 又， ∴， 解得， 的取值范围是． 24. 如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点．连接，． （1）直接写出图中所有与相等的角； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1）有3个，分别是，， （2） 证明：由（1）得， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理推出垂直平分，因此，得到，由余角的性质得到，由圆周角定理得，即可证明；据此即可求解； （2）由和，可证明； （3）由，推出，令，则，得到，由勾股定理求出，进一步计算即可求解． 【小问1详解】 解：直径， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， ， ， ∴与相等的角有3个，分别是，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：，， ， ， 令，则， ， ， ， ， 或， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，关键是由推出，由勾股定理列出关于的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级期中学业水平监测数学试题卷 考生须知： 1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为120分．考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上． 3．在答题纸相应的位置规范作答． 4．本次考试不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示． Ⅰ卷（选择题部分） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. D. 3. 如图，在中，，点为的中点，以点为圆心，5为半径作，则下列判断错误的是（ ） A. 点在上 B. 点在上 C. 点在外 D. 的中点在外 4. 如图，直线，，则的长为（ ） A. 6 B. C. 4 D. 8 5. 在⊙中，点在圆上，，则为（ ） A. B. C. D. 6. 点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（ ） A. ①错，②③对 B. ①对，②③都错 C. ①②对，③错 D. ①②③对 7. 在平面直角坐标系中，将线段绕原点按顺时针方向旋转，得线段，若点，点，点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直角三角板叠放在量角器上，均落在量角器的外圆弧上，点在量角器上的读数为与圆弧交于点，已知，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系网格中，点都在格点上，过点的抛物线可能经过的点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 如图，在由6块直角三角形拼成的矩形中，①②③④四个三角形全等，点分别是三角形②，①的直角顶点，则的值为（ ） A. B. C. D. Ⅱ卷（非选择题部分） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 如图，在中，，点在上，请添加一个条件______，使得与相似． 12. 已知二次函数的图象过点，则的值为______． 13. 如图，在中，点分别在边上，连结，则______． 14. 如图所示的抛物线过原点，将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的函数表达式为______． 15. 在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为______． 16. 如图，在中，的平分线相交于点的外角的平分线，交的延长线于，连结．若，且与相似，则的长为______． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 已知，求的值． 18. 已知二次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象． （2）根据图象，直接写出当时自变量的取值范围． 19. 正方形网格中，三个顶点都在网格格点上的三角形叫做格点三角形．请分别在图2，图3中画一个大小不一样的格点三角形，且与图1中的格点三角形相似（不包括全等）． 20. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点． （1）求该抛物线的函数表达式． （2）将该抛物线左右平移，若平移一次后的抛物线经过原点，试写出平移方案． 21. 图1为某景区的拱桥，上半部分为弓形，图2为其示意图．已知弓形的跨度，弓形的高为，求弧所在圆的半径． 22. 如图，正方形的边长为1，点在正方形外，． （1）求证：． （2）若，求的长． 23. 已知二次函数的图象经过两点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用的代数式表示）． （2）若点在该函数图象的对称轴上，，求的值． （3）若分别位于该函数图象对称轴的左、右两侧，且，求的取值范围． 24. 如图，已知是的直径，弦于点，弦于点，与交于点，，的延长线交于点．连接，． （1）直接写出图中所有与相等的角； （2）求证：； （3）若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $