2025年中考数学二轮复习专题四边形背景下的相似三角形训练

2025年中考数学二轮复习专题四边形背景下的相似三角形训练 一、知识梳理 A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形 双垂直结论:射影定理： ①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB 结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论：面积法得AB•CD=AC•BC→比例式 证明等积式(比例式)策略 1、直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法 2、间接法： ⑴ 3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换； ⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比 2、 基础过关 1.如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF=2，那么线段BF的长度为　 　． 2.如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为　 　． 3.如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE：AB=2：3，连接DE交BC于点F，则CF：AD=　 　． 第2题 第3题 第1题 4.如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=　 　.. 5.如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F．若AD=1，BD=2，BC=4，则EF=　 　． 6.如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，点P是AB上一个动点，当PC+PD的和最小时，PB的长为　 　． 第5题 第6题 第4题 7.如图，△ABC∽△DEC，CA=CB，且点E在AB的延长线上． （1）求证：AE=BD； （2）求证：△BOE∽△COD； （3）已知CD=10，BE=5，OD=6，求OC的长． 8.如图，已知：正方形ABCD，点E在CB的延长线上，连接AE、DE，DE与边AB交于点F，FG∥BE交AE于点G． （1）求证：GF=BF； （2）若EB=1，BC=4，求AG的长； （3）在BC边上取点M，使得BM=BE，连接AM交DE于点O．求证：FO•ED=OD•EF． 9.如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AB=8，AD=6，AF=4，求DE的长． 10.如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），作EF⊥AC交边BC于点F，连接AF、BE交于点G． （1）求证：△CAF∽△CBE； （2）若AF平分∠BAC，求证：AC2=2AG•AF． 二、例题讲解 例1.如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E． （1）求证：△ADE∽△MAB； （2）求DE的长． 例2.正方形ABCD的边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直． （1）证明：△ABM∽△MCN； （2）若△ABM的周长与△MCN周长之比是4：3，求NC的长． 例3.在正方形ABCD中，BC=2，点M是边AB的中点，连接DM，DM与AC交于点P． （1）求PD的长； （2）点E在DC上，点F在DP上，且∠DFE=45°．若PF=，求CE的长． 例4.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于H，交AO于G，连接OH． （1）求证：AG•GO=HG•GD； （2）若AC=8，BD=6，求DG的长． 例5.如图，正方形ABCD中，E为CD上一点，且DE=CD，连接AE并延长交∠DCM的平分线于点F，连接BD交AF于点G． （1）写出图中的相似三角形（不包括相似比是1三角形） （2）求AG：GE：EF． （3）设DE=CD（k≠1的正整数）试直接写出AG：GE：EF的比． 例6.已知：正方形ABCD中，AB=4，E为CD边中点，F为AD边中点，AE交BD于G，交BF于H，连接DH． （1）求证：BG=2DG； （2）求AH：HG：GE的值； （3）求的值． 例7.如图1，△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE． （1）求证：BD=CE； （2）若点M，N分别是BD，CE的中点，如图2，连接AM，AN，MN ①求证：△AMN∽△ABC； ②若AC=6，AE=4，∠EAC=60°，求AN的长． 例8.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E在BC上，AE交BD于F． （1）若E是靠近点B的三等分点，求； ①的值； ②△BEF与△DAF的面积比； （2）当时，求的值． 例9.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G． （1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论； （2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值． 、 例10.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动． （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 四、课后练习 1.如图，在平行四边形ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点F． （1）求证：AF2=EF•FG； （2）如果EF=，FG=，求的值． 2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC=90°． （1）求证：△ADE∽△BEC． （2）若AD=1，BC=3，AE=2，求EB的长． 3.已知：如图，正方形ABCD，连接AC，E是BC延长线上一点，AC=EC． （1）求∠E的度数； （2）设AE与CD交于点F，AB=2，求DF的长． 4.如图，平行四边形ABCD，AE⊥BC交点E，连接DE，F为DE上一点，且∠AFE=∠B=60°． （1）求证：△ADF∽△DEC； （2）若AE=3，AD=4，求EF的长． 5.如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，P是OB上的动点（P不与O，B重合），过D作DE⊥PC，垂足为E，CE交AC于F，过P作PQ⊥BC，垂足为Q． （Ⅰ）求证：OP=OF； （Ⅱ）设AB=4，当Q，E，F三点在同一直线上时，求QC的长． 6.已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F． （1）求证：EF=AE﹣BE； （2）连接BF，如果=．求证：EF=EP． 7.如图，在矩形ABCD中，EH垂直平分BD，交BD于点M，过BD上一点F作FG∥BE，FG恰好平分∠EFD，FG与EH交于点N． （1）求证：DE•DG=DF•BF； （2）若AB=3，AD=9，求FN的长． 8.如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，DE交AC于点F． （1）求证：AC2=AB•AD； （2）求证：CE∥AD； （3）若AD=4，AB=6，求的值． 9.如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF交边DC于点G． （1）求证：GD•AB=DF•BG； （2）联结CF，求证：∠CFB=45°． 10.如图，O为正方形ABCD对角线的交点，E为AB边上一点，F为BC边上一点，△EBF的周长等于BC的长． （1）若AB=12，BE=3，求EF的长； （2）求∠EOF的度数； （3）若OE=OF，求的值． 五、能力提升 1.如图，正方形ABCD的边长为10，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AH⊥EF于点H，AH=10，连接BD，分别交AE、AH、AF于点P、G、Q． （1）求△CEF的周长； （2）若E是BC的中点，求证：CF=2DF； （3）连接QE，求证：AQ=EQ． 2.已知四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC平分∠DAB，过点C作CE⊥AB于点E，点F为AB上一点，且EF=EB，连结DF． （1）求证：CD=CF； （2）连结DF，交AC于点G，求证：△DGC∽△ADC； （3）若点H为线段DG上一点，连结AH，若∠ADC=2∠HAG，AD=3，DC=2，求的值． 3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ADC=90°，DE⊥BC于E，连AE，FE⊥AE交CD于点F． （1）求证：△AED∽△FEC； （2）若AB=2，求DF的值； （3）若AD=CD，=2，则=　　． 学科网（北京）股份有限公司 $$