山东省济南市平阴县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 2．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 3．（4分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣4，﹣21 4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 5．（4分）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（4分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21 C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21 7．（4分）如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 9．（4分）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 10．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论： ①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP；PF＝4：5；④．其中正确结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 　 　． 12．（4分）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 　 　． 13．（4分）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝ 　 　． 14．（4分）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 　 　象限． 15．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　 　． 16．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为6，则这个正五边形的对角线AC的长是 　 　． 三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列方程： （1）4（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣10x+16＝0． 18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，EC与BD相交于点F． （1）求证：△BFE∽△DFC； （2）若DB＝6，求BF的长． 19．（6分）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解． （1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长． （2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处． 20．（8分）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）玻璃加热速度为 　 　℃/min； （2）求能够对玻璃进行加工的时长； （3）玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为 　 　min． 21．（8分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 　 　； （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 22．（8分）某村生态果园2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同． （1）求该生态果园樱桃产量的年平均增长率； （2）若樱桃产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园樱桃产量． 23．（10分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2． （1）y关于x的函数关系式是　 　，x的取值范围是　 　； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象； （3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值． 24．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 25．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积． 26．（12分）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长． （3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由． 2024-2025学年山东省济南市平阴县九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1．（4分）斗拱是中国古典建筑上的重要部件．如图是一种斗形构件“三才升”的示意图及其主视图，则它的左视图为（　　） A． B． C． D． 【分析】左视图是从物体左面看所得到的图形． 【解答】解：从左面看，上面部分是矩形，下面部分是梯形，矩形部分有一条看不见的线，应该画虚线， 故选：C． 2．（4分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（　　） A．45° B．50° C．60° D．65° 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AB，根据平行线的性质求出∠B，再根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵点D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠B＝∠CED＝70°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣70°＝65°， 故选：D． 3．（4分）将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（　　） A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣4，﹣21 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：∵x2﹣8x﹣5＝0， ∴x2﹣8x＝5， 则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21， ∴a＝﹣4，b＝21， 故选：A． 4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O．若点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2），则点B（﹣2，4）的对应点B′的坐标为（　　） A．（﹣4，8） B．（8，﹣4） C．（﹣8，4） D．（4，﹣8） 【分析】根据点A与点A′的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质计算即可． 【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，位似中心为点O，点A（﹣3，1）的对应点为A′（﹣6，2）， ∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1：2， ∵点B的坐标为（﹣2，4）， ∴点B的对应点B′的坐标为（﹣2×2，4×2），即（﹣4，8）， 故选：A． 5．（4分）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：设跳绳、踢毽子、韵律操分别为A、B、C， 画树状图如下， 共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况， 故他们选择同一项活动的概率是， 故选：C． 6．（4分）学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝21 B．x（x﹣1）＝21 C．x2＝21 D．x（x﹣1）＝21 【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数＝．即可列方程． 【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得： x（x﹣1）＝21， 故选：B． 7．（4分）如图，点A为反比例函数y＝﹣（x＜0）图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】作AG⊥x轴，BH⊥x轴，可证明△AGO∽△OHB，利用面积比等于相似比的平方解答即可． 【解答】解：作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H， ∵点A在函数y＝﹣图象上，点B在反比例函数y＝图象上， ∴S△AGO＝，S△BOH＝2， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB， ∴△AGO∽△OHB， ∴， ∴． 故选：A． 8．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（　　） A．x1＜x2＜x3 B．x1＜x3＜x2 C．x3＜x2＜x1 D．x2＜x1＜x3 【分析】根据k值确定反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，据此解答即可． 【解答】解：∵k＝5＞0， ∴反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，5）都在反比例函数的图象上， ∴点A（x1，﹣1）分布在第三象限，B（x2，1），C（x3，5）分布在第一象限，且1＜5， ∴x1＜0，x2＞x3＞0， ∴x1＜x3＜x2， 故选：B． 9．（4分）关于x的方程x2+mx﹣2＝0根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式解答即可． 【解答】解：关于x的方程x2+mx﹣2＝0中， ∵a＝1，b＝m，c＝﹣2， ∴Δ＝m2+8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 10．（4分）如图，在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点，将正方形纸片沿EC折叠，点B落在点P处，延长CP交AD于点Q，连结AP并延长交CD于点F．给出以下结论： ①△AEP为等腰三角形；②F为CD的中点；③AP；PF＝4：5；④．其中正确结论是（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】由折叠性质可得BE＝PE，又AE＝BE，所以AE＝PE，可判断①； 先根据折叠性质和等腰三角形性质导角得出∠PEC＝∠EPA，进而证明AE∥CF，得到四边形AECF为平行四边形，即可判断②； 先证明Rt△AEQ≌Rt△PEQ（HL），设AQ＝PQ＝x，正方形的边长设为2a，在△CDQ中建立勾股定理方程，解得x＝，过F作FN∥AD，再利用平行判定△AQP∽△FNP，根据相似比例关系可判断③； 结合③中的条件DQ＝，CD＝2a，即可判断④． 【解答】解：∵在正方形纸片ABCD中，E是AB边的中点， ∴AE＝BE． 由折叠性质可得BE＝PE， ∴AE＝PE， ∴△AEP为等腰三角形，故①正确； 由折叠性质可得∠BEC＝∠PEC， 由AE＝PE可得∠EAP＝∠EPA， 又∵∠PEB＝∠EAP+∠EPA， 即2∠PEC＝2∠EPA， ∴∠PEC＝∠EPA， ∴AF∥EC． 又∵AE∥CF， ∴四边形AECF为平行四边形， ∴CF＝AE＝BE＝＝， 即F为CD的中点，故②正确； 连接EQ，如图所示， 由折叠可得∠EPC＝90°＝∠EPQ＝∠EAQ， 又AE＝PE，QE＝QE， 在Rt△AEQ和Rt△PEQ中， ， ∴Rt△AEQ≌Rt△PEQ（HL）． ∴AQ＝PQ， 设AQ＝PQ＝x，正方形的边长设为2a， ∴QD＝2a﹣x，CQ＝2a+x，CD＝2a， ∴由勾股定理可得：（2a﹣x）2+（2a）2＝（2a+x）2， 解得：x＝， ∴AQ＝PQ＝，DQ＝2a﹣＝． 如图所示，过F作FN∥AD， ∵F为CD中点，则由三角形中位线定理的逆定理可得N必为CQ中点， ∴NF＝＝， ∵AQ∥NF， ∴△AQP∽△FNP， ∴＝＝，故③错误； ∴，故④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 二、填空题（共6个小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是 　　． 【分析】根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形，根据概率公式可知，指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，计算即可． 【解答】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为3个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率等于阴影部分的面积除以正八边形的面积，即， 故答案为：． 12．（4分）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1600N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m）．则动力F关于动力臂l的函数表达式为 　　． 【分析】根据l•F＝1600×0.5进行求解即可． 【解答】解：∵l•F＝1600×0.5， ∴， 故答案为：． 13．（4分）如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝ 　　． 【分析】根据AC∥BD．可以得到△AOC∽△BOD，然后相似三角形的相似比等于周长之比，即可得到的值． 【解答】解：∵AC∥BD． ∴△AOC∽△BOD， ∴＝， ∵＝， ∴＝， 故答案为：． 14．（4分）反比例函数y＝的图象在第一、三象限，则点（k，﹣3）在第 　四　象限． 【分析】根据所给反比例函数图象在第一、三象限，得出k的取值范围，进而可解决问题． 【解答】解：因为反比例函数y＝的图象在第一、三象限， 所以k﹣1＞0， 解得k＞1， 所以点（k，﹣3）在第四象限． 故答案为：四． 15．（4分）已知m是方程x2+4x﹣1＝0的一个根，则（m+5）（m﹣1）的值为 　﹣4　． 【分析】把x＝m代入方程x2+4x﹣1＝0，求出m2+4m的值，然后利用多项式乘多项式法则计算（m+5）（m﹣1），最后把m2+4m的值代入进行计算即可． 【解答】解：把x＝m代入m2+4m﹣1＝0， m2+4m＝1， ∴（m+5）（m﹣1） ＝m2﹣m+5m﹣5 ＝m2+4m﹣5 ＝1﹣5 ＝﹣4， 故答案为：﹣4． 16．（4分）如图，正五边形ABCDE的边长为6，则这个正五边形的对角线AC的长是 　3+3　． 【分析】连接BE交AC于O，由五边形ABCDE是正五边形，可得∠CBA＝∠BAC＝108°，BC＝AB＝AE，即得∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝36°，故∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，从而∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝72°，可得CO＝BC＝6，证明△ABO∽△ACB，有＝，即可解得答案． 【解答】解：连接BE交AC于O，如图： ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠CBA＝∠BAE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，BC＝AB＝AE， ∴∠BCA＝∠BAC＝∠ABE＝∠AEB＝（180°﹣108°）÷2＝36°， ∴∠CBO＝∠ABC﹣∠ABE＝108°﹣36°＝72°， ∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCA＝180°﹣72°﹣36°＝72°， ∴∠CBO＝∠BOC＝72°， ∴CO＝BC＝6， ∵∠BAO＝∠CAB，∠ABO＝36°＝∠BCA， ∴△ABO∽△ACB， ∴，即＝， 解得AC＝3+3或AC＝3﹣3（小于6，舍去）， 经检验，AC＝3+3符合题意； 故答案为：3+3． 三、解答题（共10个小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列方程： （1）4（x﹣1）2﹣8＝0； （2）x2﹣10x+16＝0． 【分析】（1）利用直接开方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）4（x﹣1）2﹣8＝0， （x﹣1）2＝2， x﹣1＝±， ∴x1＝1+，x2＝1﹣； （2）x2﹣10x+16＝0， （x﹣2）（x﹣8）＝0， x﹣2＝0或x﹣8＝0， ∴x1＝2，x2＝8． 18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，EC与BD相交于点F． （1）求证：△BFE∽△DFC； （2）若DB＝6，求BF的长． 【分析】（1）利用平行四边形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定定理解答即可； （2）利用线段的中点的定义和平行四边形的性质得到BE＝CD，再利用相似三角形的性质解答即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠EBF＝∠CDF，∠BEF＝∠DCF， ∴△BFE∽△DFC； （2）解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD， ∵点E是AB的中点， ∴BE＝AB， ∴BE＝CD， ∵△BFE∽△DFC， ∴， ∴， ∵DB＝6， ∴BF＝BD＝2． 19．（6分）古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式，只能用图解等方法来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2（a＞0，b＞0）的方程的图解法是：如图，以和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝，则AD的长就是所求方程的解． （1）请用含字母a、b的代数式表示AD的长． （2）请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处． 【分析】（1）先根据勾股定理求得AB的长，再求AD的长． （2）正确性：形象直观；遗憾之处：图解法不能表示方程的负根． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，BC＝，AC＝b， ∴AB＝， ∴AD＝﹣＝； （2）用求根公式求得：；（2分） 正确性：AD的长就是方程的正根． 遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．（2分） 20．（8分）某种玻璃原材料需在0℃环境保存，取出后匀速加热至600℃高温，之后停止加热，玻璃制品温度会逐渐降低至室温30℃加热和降温过程中可以对玻璃进行加工，且玻璃加工的温度要求不低于480℃玻璃温度y（℃）与时间x（min）的函数图象如下，降温阶段y与x成反比例函数关系，根据图象信息，回答下列问题： （1）玻璃加热速度为 　150　℃/min； （2）求能够对玻璃进行加工的时长； （3）玻璃从600℃降至室温30℃需要的时间为 　76　min． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）由题可得，（4，600）在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为y＝，代入点（4，600）得到y与x的函数关系式是y＝；设玻璃温度上升时的函数表达式为y＝k1x，求得y与x的函数关系式是y＝150x，于是得到结论； （3）将y＝30代入y＝得到x＝80，根据80﹣4＝76（min），于是得到结论． 【解答】解：（1）∵600÷4＝150， ∴玻璃加热速度为150（℃/min）， 故答案为：150； （2）由题可得，（4，600）在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为y＝， 代入点（4，600）可得，k＝2400， ∴玻璃温度下降时，y与x的函数关系式是y＝； ∴设玻璃温度上升时的函数表达式为y＝k1x， 由题可得，（4，600）在正比例函数图象上， 代入点（4，600）可得，k1＝150， ∴玻璃温度上升时，y与x的函数关系式是y＝150x， ∴将y＝480代入y＝150x，得x＝3.2， ∴将y＝480代入y＝，得x＝5， ∴5﹣3.2＝1.8（min）， ∴能够对玻璃进行加工时长为1.8min； （3）将y＝30代入y＝得，x＝80， ∴80﹣4＝76（min）， ∴玻璃从600降至室温30需要的时间为76min． 故答案为：76． 21．（8分）一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球．这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机摸球1次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是 　0.3　； （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【分析】（1）根据频率等于频数除以总数即可求解． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及这两次摸出的小球都是红球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得，摸出黄球的频率是3÷10＝0.3． 故答案为：0.3． （2）列表如下： 红 红 红 白 黄 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄） 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄） 红 （红，红） （红，红） （红，红） （红，白） （红，黄） 白 （白，红） （白，红） （白，红） （白，白） （白，黄） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，红） （黄，白） （黄，黄） 共有25种等可能的结果，其中这两次摸出的小球都是红球的结果有9种， ∴这两次摸出的小球都是红球的概率为． 22．（8分）某村生态果园2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨，若该生态果园樱桃产量的年平均增长率相同． （1）求该生态果园樱桃产量的年平均增长率； （2）若樱桃产量的年增长率不变，请预估2025年该生态果园樱桃产量． 【分析】（1）根据2024年的产量＝2022年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可； （2）由（1）中的平均增长率，即可求出2025年樱桃产量的吨数． 【解答】解：（1）设该果园樱桃产量的年平均增长率为x， ∵2022年樱桃产量为60吨，2024年樱桃产量为86.4吨， ∴根据题意得：60（1+x）2＝86.4， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2＜0（不符合题意，舍去）， 答：该果园樱桃产量的年平均增长率为20%； （2）根据题意得，86.4×（1+20%）＝103.68（吨）， 答：预估该果园2025年樱桃产量大约为103.68吨． 23．（10分）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2． （1）y关于x的函数关系式是　y＝　，x的取值范围是　x＞0　； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象； （3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值． 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论； （2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可； （3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论． 【解答】解：（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2， ∴xy＝2， ∴xy＝4， ∴y关于x的函数关系式是y＝， x的取值范围为x＞0， 故答案为：y＝，x＞0； （2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示； （3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a， 解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0， ∵平移后的直线与反比例函数图象有且只有一个交点， ∴△＝（3+a）2﹣16＝0， 解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去）， 故此时a的值为1． 24．（10分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解； （2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可． 【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图 ∴DF∥AG，＝ ∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t， ∴＝ 解得DF＝（10﹣t） ∵S△BDE＝BE•DF＝7.5 ∴（10﹣t）•t＝15 解得t＝5． 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2． （2）存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA， ∴＝即＝， 解得t＝， ②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC， ＝即＝， 解得t＝． 答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 25．（12分）如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m≠0）的图象相交于A（1，3），B（n，﹣1）两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出y1＞y2时，x的取值范围； （3）过点B作直线OB，交反比例函数图象于点C，连结AC，求△ABC的面积． 【分析】（1）先将点A坐标代入反比例函数解析式，求出m，再求出点B坐标，最后用待定系数法求出一次函数解析式即可． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． （3）连接AO，根据反比例函数与正比例函数的对称性，将△ABC的面积转化为△AOB面积的2倍即可解决问题． 【解答】解：（1）将点A坐标代入反比例函数解析式得， m＝1×3＝3， 所以反比例函数解析式为y＝． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， n＝﹣3， 所以点B的坐标为（﹣3，﹣1）． 将A，B两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数解析式为y＝x+2． （2）由函数图象可知， 当﹣3＜x＜0或x＞1时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即y1＞y2， 所以当y1＞y2，x的取值范围是：﹣3＜x＜0或x＞1． （3）连接AO，令直线AB与x轴的交点为M， 将y＝0代入y＝x+2得， x＝﹣2， 所以点M的坐标为（﹣2，0）， 所以S△AOB＝S△AOM+S△BOM＝． 因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心， 所以点B和点C关于点O成中心对称， 所以BO＝CO， 所以S△ABC＝2S△AOB＝8． 26．（12分）如图，矩形ABCD中，E，F在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上，B的对称点为G，PG交BC于H． （1）求证：△EDP∽△PCH． （2）若P为CD中点，且AB＝2，BC＝3，求GH长． （3）连接BG，若P为CD中点，H为BC中点，探究BG与AB大小关系并说明理由． 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到△EDP∽△PCH； （2）根据△EDP∽△PCH，求得PH的长度，从而得出GH长度； （3）延长AB，PG交于一点M，连接AP，先证明△MBH≌△PCH，得到相等的边，再根据△BMG∽△MAP，得出大小关系． 【解答】（1）证明：如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在DC上， ∴∠EPH＝∠A＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝∠2， ∴△EDP∽△PCH； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝2，AD＝BC＝3，∠A＝∠D＝∠C＝90°， ∵P为CD中点， ∴， 设EP＝AP＝x， ∴ED＝AD﹣x＝3﹣x， 在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2， 即x2＝（3﹣x）2+1， 解得， ∴， ∴， ∵△EDP∽△PCH， ∴， ∴， 解得， ∵PG＝AB＝2， ∴； （3）解：如图，延长AB，PG交于一点M，连接AP， ∵E，F分别在AD，BC上，将四边形ABFE沿EF翻折，使A的对称点P落在CD上， ∴AP⊥EF，BG⊥直线EF， ∴BG∥AP， ∵AE＝EP， ∴∠EAP＝∠EPA， ∴∠BAP＝∠GPA， ∴△MAP是等腰三角形， ∴MA＝MP， ∵P为CD中点， ∴设DP＝CP＝y， ∴AB＝PG＝CD＝2y， ∵H为BC中点， ∴BH＝CH， ∵∠BHM＝∠CHP，∠CBM＝∠PCH， ∴△MBH≌△PCH（ASA）， ∴BM＝CP＝y，HM＝HP， ∴MP＝MA＝MB+AB＝3y， ∴， 在Rt△PCH中，， ∴， ∴， 在Rt△APD中，， ∵BG∥AP， ∴△BMG∽△MAP， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$