专题08 解分式方程【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年人教版数学八年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年人教版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题08 解分式方程 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49（难） 题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•迁安市二模）嘉淇准备完成题目：解方程．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2023秋•播州区期末）将分式方程去分母，两边同时乘后的式子为　　 A． B． C． D． 3．（2分）（2022秋•滨城区期末）解分式方程时，去分母正确的是　　 A． B． C． D． 4．（2分）（2022秋•阳信县期末）将分式方程化为整式方程时，方程两边应同乘　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2022秋•荣成市校级期末）解分式方程时，去分母后得到的整式方程是　　 A． B． C． D． 6．（2分）（2024秋•莱芜区期中）对于两个不相等的数、，我们规定符号，表示，中的较小值．例，，按照这个规定，方程，的解为　　 A．5 B．6 C．5或6 D．无解 7．（2分）（2024秋•襄都区月考）如图，甲、乙两位同学玩数字游戏，甲同学提供和两个数值，乙同学根据、的情况求出的值，由图可知本轮游戏的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2分）（2023秋•泊头市月考）若为相反数，则的值是　　 A．3 B．5 C．7 D．11 9．（2分）（2022秋•裕华区校级期末）解分式方程时，去分母变形为　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2023秋•永兴县校级月考）若，那么的值为　　 A．2 B． C．1 D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2023秋•武冈市期中）对于代数式，，定义运算“※”：，例如：，若，则　　． 12．（2分）（2022秋•单县期末）代数式与代数式的值互为相反数，则　　． 13．（2分）（2023•泉港区校级开学）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，，，，按照这个规定，如果，则此时的值是 　　． 14．（2分）（2022秋•岱岳区校级月考）当　 　时，分式与分式互为相反数． 15．（2分）（2022•十堰一模）定义运算“※”：※，若5※，则的值为　　． 16．（2分）（2020•平原县模拟）方程的解为　 　． 17．（2分）（2019春•宛城区期末）在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为※，如2※．根据这个规则※的解为　 　． 18．（2分）（2018秋•西城区校级期中）在解分式方程时，小兰的解法如下： 解：方程两边同乘，得 ． ① ． ② 解得． 检验：时，，③ 所以，原分式方程的解为． ④ 如果假设基于上一步骤正确的前提下， 你认为小兰在哪些步骤中出现了错误　 　（只填序号）． 19．（2分）（2018•莒县一模）已知：①可转化为，解得，， ②可转化为，解得，， ③可转化为，解得，， 根据以上规律，关于的方程的解为　　． 20．（2分）（2018•涪城区校级自主招生）已知方程是常数，的解是或，那么方程是常数，且的解是　　或　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•永兴县校级月考）解方程： （1）； （2）． 22． （6分）（2023秋•潍坊期末）（1）当为何值时，分式与互为相反数？ （2） 解方程：． 23．（8分）（2023秋•章贡区期末）观察下面的变化规律，解答下列问题： ． （1）若为正整数，猜想　　，并且验证你的猜想； （2）解分式方程：； （3）再探索上述规律并计算：． 24．（8分）（2023秋•青铜峡市期末）以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 解：去分母：第一步 去括号：第二步 移项，合并同类项得：第三步 系数化为1，得：第四步 检验：当时，， 所以：是原分式方程的解． （1）填空： ①以上解题过程中，第一步去分母的依据 　　； ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； （2）请直接写出方程正确的解 　　； （3）在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你给其他同学提一条建议． 25．（8分）（2023秋•广安期末）定义：若两个分式的和为为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“　　阶分式”； （2）设正数，互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； （3）若分式与互为“1阶分式”（其中，为正数），求的值． 26．（8分）（2023秋•阳泉期末）下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 方程两边同乘____，得．第一步 去括号，得．第二步 移项、合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 所以是原方程的解．第五步 （1）任务一：第一步横线处所填的内容为 　　，这一步的依据为 　　； （2）任务二：在小组组长的引导下，小颖反思上述解答过程缺少了一步．请你补全这一步； （3）任务三：在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项、请你写出一条，并与同学们分享． 27．（8分）（2022秋•平城区校级期末）请阅读下列材料并回答问题： 在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以，得① 去括号，得② 解得 检验：当时，③ 所以是原分式方程的解 ④ （1）你认为小明在哪里出现了错误　 　（只填序号） （2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项； （3）写出上述分式方程的正确解法． 28．（8分）（2023春•大竹县校级期末）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）　 　，　 　； （2）利用你发现的规律计算： （3）灵活利用规律解方程：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题08 解分式方程 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.49（难） 题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024•迁安市二模）嘉淇准备完成题目：解方程．发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉淇推断印刷不清的位置可能是　　 A． B． C． D． 解：设印刷不清的位置的式子为，即， 把代入得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为，即， 则推断印刷不清的位置可能是． 故选：． 2．（2分）（2023秋•播州区期末）将分式方程去分母，两边同时乘后的式子为　　 A． B． C． D． 解：， 去分母，得． 故选：． 3．（2分）（2022秋•滨城区期末）解分式方程时，去分母正确的是　　 A． B． C． D． 解：分式方程整理得：， 去分母得：． 故选：． 4．（2分）（2022秋•阳信县期末）将分式方程化为整式方程时，方程两边应同乘　　 A． B． C． D． 解：、2、的最简公因式是 方程两边应同乘． 故选：． 5．（2分）（2022秋•荣成市校级期末）解分式方程时，去分母后得到的整式方程是　　 A． B． C． D． 解：方程整理得：， 去分母得：． 故选：． 6．（2分）（2024秋•莱芜区期中）对于两个不相等的数、，我们规定符号，表示，中的较小值．例，，按照这个规定，方程，的解为　　 A．5 B．6 C．5或6 D．无解 解：， ． 当时，，， ，， 原方程就是：， 去分母得：， 去括号得：， ， 经检验是原方程的根，但，所以不合题意舍去． 当时，，， ，， 原方程就是：， 去分母得：， 去括号得：， ． 经检验是原方程的根，且． 方程，的解为． 故选：． 7．（2分）（2024秋•襄都区月考）如图，甲、乙两位同学玩数字游戏，甲同学提供和两个数值，乙同学根据、的情况求出的值，由图可知本轮游戏的值为　　 A．1 B．2 C．3 D．4 解：，， ， ， ，即， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 是分式方程的根， 故选：． 8．（2分）（2023秋•泊头市月考）若为相反数，则的值是　　 A．3 B．5 C．7 D．11 解：代数式与代数式的值互为相反数， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 故选：． 9．（2分）（2022秋•裕华区校级期末）解分式方程时，去分母变形为　　 A． B． C． D． 解：分式方程整理得：， 两边同时乘以最简公分母，得：， 故选：． 10．（2分）（2023秋•永兴县校级月考）若，那么的值为　　 A．2 B． C．1 D． 解：， ， ， 经检验，为原方程的解． 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2023秋•武冈市期中）对于代数式，，定义运算“※”：，例如：，若，则　1　． 解：※， ， 由题意，得：， 解得：， ． 故答案为：1． 12．（2分）（2022秋•单县期末）代数式与代数式的值互为相反数，则　7　． 解：根据题意得：， 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， 分式方程的解为． 故答案为：7． 13．（2分）（2023•泉港区校级开学）对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示，中的较大值，如：，，，，，按照这个规定，如果，则此时的值是 　1或　． 解：当，即时，方程为， 去分母得：， 解得：， 经检验是原方程的解； 当，即时，方程为 去分母得：， 解得：（不符合题意，舍），， 经检验都为分式方程的解． 故答案为：1或． 14．（2分）（2022秋•岱岳区校级月考）当　9　时，分式与分式互为相反数． 解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解． 15．（2分）（2022•十堰一模）定义运算“※”：※，若5※，则的值为　或10　． 解：当时，，， 经检验，是原分式方程的解； 当时，，， 经检验，是原分式方程的解； 综上所述，或10； 故答案为：或10． 16．（2分）（2020•平原县模拟）方程的解为　无解　． 解：方程两边都乘以后得， 整理得：， 移项合并得：， 解得：， 把代入得，可得是增根， 则原方程无解． 故答案为：无解 17．（2分）（2019春•宛城区期末）在正数范围内定义一种运算“※”，其规则为※，如2※．根据这个规则※的解为　　． 解：根据题中的新定义得：， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 18．（2分）（2018秋•西城区校级期中）在解分式方程时，小兰的解法如下： 解：方程两边同乘，得 ． ① ． ② 解得． 检验：时，，③ 所以，原分式方程的解为． ④ 如果假设基于上一步骤正确的前提下， 你认为小兰在哪些步骤中出现了错误　①②　（只填序号）． 解：第①、②步出错， 正确解法为：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：①②． 19．（2分）（2018•莒县一模）已知：①可转化为，解得，， ②可转化为，解得，， ③可转化为，解得，， 根据以上规律，关于的方程的解为　，　． 解：根据题意将方程变形得：， 可得或， 则方程的解为，， 故答案为：， 20．（2分）（2018•涪城区校级自主招生）已知方程是常数，的解是或，那么方程是常数，且的解是　　或　　． 解：原方程变形为， 方程的两边同乘2，得， 两边同时减去3，得， 或， 或． 故答案为，． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•永兴县校级月考）解方程： （1）； （2）． 解：（1）方程两边同乘得：， 解得：， 经检验，是原方程的增根， 原方程无解； （2）去分母得，， 解得：， 经检验：当是原方程的根， 原方程的解为． 22．（6分）（2023秋•潍坊期末）（1）当为何值时，分式与互为相反数？ （2）解方程：． 解：（1）由题意得，， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， 当时，分式与互为相反数； （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， 是原方程的增根， 原方程无解． 23．（8分）（2023秋•章贡区期末）观察下面的变化规律，解答下列问题： ． （1）若为正整数，猜想　　，并且验证你的猜想； （2）解分式方程：； （3）再探索上述规律并计算：． 解：（1）， 验证：右边 左边， 猜想成立； （2）， ， ， 去分母得：， 解得：． 经检验：是原方程的根， 原方程的根为； （3） ． 24．（8分）（2023秋•青铜峡市期末）以下是小明解方程的过程，请认真阅读，并完成相应任务． 解：去分母：第一步 去括号：第二步 移项，合并同类项得：第三步 系数化为1，得：第四步 检验：当时，， 所以：是原分式方程的解． （1）填空： ①以上解题过程中，第一步去分母的依据 　等式的基本性质　； ②第 　　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　； （2）请直接写出方程正确的解 　　； （3）在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项，请你给其他同学提一条建议． 解：（1）①以上解题过程中，第一步去分母的依据是：等式的基本性质， 故答案为：等式的基本性质； ②第二步开始出现错误，这一步错误的原因是：去括号时没有变号， 故答案为：二，去括号时没有变号； （2）去分母得：， 去括号：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1，得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解， 故答案为：； （3）建议：最后一定要对所求的未知数的值进行检验，看分式方程中的分式的分母是否为0（答案不唯一）． 25．（8分）（2023秋•广安期末）定义：若两个分式的和为为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如：，则分式与互为“3阶分式”． （1）分式与互为“　5　阶分式”； （2）设正数，互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”； （3）若分式与互为“1阶分式”（其中，为正数），求的值． （1）解：当不为的实数时，分式， 分式与互为“5阶分式”； 故答案为：5． （2）证明：由题意得，则， 把代入得： 原式， 与互为“2阶分式”． （3）解：分式与互为“1阶分式”， ， ， ， 即， 又，为正数， 故的值为． 26．（8分）（2023秋•阳泉期末）下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解方程：． 方程两边同乘____，得．第一步 去括号，得．第二步 移项、合并同类项，得．第三步 系数化为1，得．第四步 所以是原方程的解．第五步 （1）任务一：第一步横线处所填的内容为 　　，这一步的依据为 　　； （2）任务二：在小组组长的引导下，小颖反思上述解答过程缺少了一步．请你补全这一步； （3）任务三：在解分式方程的过程中，需要注意哪些事项、请你写出一条，并与同学们分享． 解：（1）， 方程两边同乘得： ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 未知数系数化成1得：， 检验：把代入， 是原方程的根， 任务一：第一步横线处所填的内容为：，这一步的依据为：等式的基本性质， 故答案为：，等式的基本性质； （2）任务二：补全步骤如下： 检验：把代入， 是原方程的根， （3）任务三：在解分式方程的过程中，需要注意：解方程的最后一定要检验未知数的值是否是分式方程的解（答案不唯一）． 27．（8分）（2022秋•平城区校级期末）请阅读下列材料并回答问题： 在解分式方程时，小明的解法如下： 解：方程两边同乘以，得① 去括号，得② 解得 检验：当时，③ 所以是原分式方程的解 ④ （1）你认为小明在哪里出现了错误　①②　（只填序号） （2）针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出三条解分式方程时的注意事项； （3）写出上述分式方程的正确解法． 解：（1）小明在①②出现了错误； 故答案为：①②； （2）三条注意事项：去分母时，注意方程中的每项都要乘以最简公分母；去括号时，注意正确运用去括号法则；解整式方程求出要进行检验； （3）正确解法为： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 28．（8分）（2023春•大竹县校级期末）探索发现：；； 根据你发现的规律，回答下列问题： （1）　　，　 　； （2）利用你发现的规律计算： （3）灵活利用规律解方程：． 解：（1），； （2）原式； （3）， ， ， 解得， 经检验，为原方程的根． 故答案为， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$