专题07 分式的运算【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年人教版数学八年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年人教版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题07 分式的运算 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（难） 题目来源：全国各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•青山区期中）甲、乙两地之间的公路全长300千米，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为，如果汽车的行驶速度增加，汽车加快速度后可以早到　　小时． A． B． C． D． 2．（2分）（2023秋•洪山区期末）若且，则分式的值是　　 A． B．2 C． D． 3．（2分）（2023秋•洛阳期末）某工厂要加工个零件，甲队单独完成需小时，乙队单独完成比甲队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要　　小时． A． B． C． D． 4．（2分）（2023秋•门头沟区期末）下列各式，从左到右变形正确的是　　 A． B． C． D． 5．（2分）（2023秋•东营区校级期中）、两地距离是，甲乙两人同时从地步行到地，甲速度一直是，而乙走前一半路程与甲的速度之比为，走后一半路程与甲的速度之比为，那么　　 A．甲先到达地 B．乙先到达地 C．甲乙同时到达地 D．谁先到达地与速度无关 6．（2分）（2023•新华区校级二模）若的运算结果为整式，则“”中的式子不能为　　 A． B． C． D． 7．（2分）（2023秋•南岗区校级月考）下列说法中正确的个数为　　 ①三角形三边垂直平分线的交点到三边的距离相等 ②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 ③如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形 ④若，则分式的值为0.75 A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2分）（2023秋•大名县校级月考）下面是小明计算的过程，每步相对于上一步，计算不正确的是　　 原式①， ②， ③， ④． A．① B．①② C．③ D．②③ 9．（2分）（2023秋•新罗区校级月考）如果轮船在静水中航行的速度是，水流的速度是，那么轮船顺水航行比逆水航行所用的时间少　　 A． B． C． D． 10．（2分）（2022秋•娄星区校级期中）化简的结果是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•故城县月考）若的运算结果是整式，写出一个“　　”内可能的式子：　　． 12．（2分）（2024•武昌区模拟）计算的结果为　 　． 13．（2分）（2023秋•无棣县期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 　　． 14．（2分）（2023秋•莱州市期末）已知，则的值是 　　． 15．（2分）（2023秋•茂南区校级期中）已知，那么　　． 16．（2分）（2023秋•江门期末）用科学记数法表示0.002 　 　． 17．（2分）（2023秋•舒兰市期末）已知，其中，为常数，则的值为 　　． 18．（2分）（2023秋•庆云县期末）依据如图流程图计算，需要经历的路径是　　（只填写序号），输出的运算结果是　　． 19．（2分）（2021秋•仓山区校级期末）若，，都有意义，下列等式；中一定不成立的是 　　． 20．（2分）（2024秋•九龙坡区期中）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2，则式子：的值是 　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•房山区期中）计算：（1）； （2） ． 22． （6分）（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 23．（8分）（2024秋•莱西市期中）阅读理解： 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？ 设分式， 将等式的右边通分得：， 由得解得， 所以． （1）把分式表示成部分分式，即 则　　，　　； （3） 请用上述方法将分式表示成部分分式． 24．（8分）（2024秋•昌平区校级期中）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： ， ． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： 　　； （2）若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； （3）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 　　 ． 25．（8分）（2023秋•镇赉县校级期末）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：，， ． 根据上述解题过程，解答下题：已知，求的值． 26．（8分）（2023秋•南安市校级月考）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据： ． 0 1 2 3 4 ． ． 无意义 1 0.5 0.25 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： ． 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 27．（8分）（2022秋•德江县校级月考）先化简再求值： （1），其中； （2）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 28．（8分）（2023春•抚州期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　　（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　　　　； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年人教版数学八年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题07 分式的运算 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.41（难） 题目来源：全国各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2024秋•青山区期中）甲、乙两地之间的公路全长300千米，汽车从甲地开往乙地，行驶速度为，如果汽车的行驶速度增加，汽车加快速度后可以早到　　小时． A． B． C． D． 解：原速度从甲地开往乙地所用时间为 ，提速后所用时间为 ， 所以汽车加快速度后可以早到小时， 故选：． 2．（2分）（2023秋•洪山区期末）若且，则分式的值是　　 A． B．2 C． D． 解：， ， ． 故选：． 3．（2分）（2023秋•洛阳期末）某工厂要加工个零件，甲队单独完成需小时，乙队单独完成比甲队少用3小时，则两队一起加工这批零件需要　　小时． A． B． C． D． 解：由题意可得： ， 故选：． 4．（2分）（2023秋•门头沟区期末）下列各式，从左到右变形正确的是　　 A． B． C． D． 解：选项，， ， 分式的分子和分母同时除以，分式的值不变，故该选项符合题意； 选项，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0的整式，不能都加1，故该选项不符合题意； 选项，，故该选项不符合题意； 选项，分式的分子和分母只能同时乘或除以一个不等于0的整式，不可以分子乘，分母乘，故该选项不符合题意； 故选：． 5．（2分）（2023秋•东营区校级期中）、两地距离是，甲乙两人同时从地步行到地，甲速度一直是，而乙走前一半路程与甲的速度之比为，走后一半路程与甲的速度之比为，那么　　 A．甲先到达地 B．乙先到达地 C．甲乙同时到达地 D．谁先到达地与速度无关 解：由题意可得， 乙走前一半路程的速度为：，走后一半路程的速度为：， 甲的时间是：， 乙的时间是：， ， 甲先到达， 故选：． 6．（2分）（2023•新华区校级二模）若的运算结果为整式，则“”中的式子不能为　　 A． B． C． D． 解：．，是整式，故本选项不符合题意； ．，是整式，故本选项不符合题意； ．，是整式，故本选项符合题意； ．是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：． 7．（2分）（2023秋•南岗区校级月考）下列说法中正确的个数为　　 ①三角形三边垂直平分线的交点到三边的距离相等 ②如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 ③如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形 ④若，则分式的值为0.75 A．1 B．2 C．3 D．4 解：①三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故①错误； ②如图，△中，， ，， ，则， ，即△为直角三角形，故②正确； ③如图，为△的外角的平分线，， ，，， ， ，则△是等腰三角形，故③正确； ④，，即， ，故④正确， 故选：． 8．（2分）（2023秋•大名县校级月考）下面是小明计算的过程，每步相对于上一步，计算不正确的是　　 原式①， ②， ③， ④． A．① B．①② C．③ D．②③ 解： ， 第③步错． 故选：． 9．（2分）（2023秋•新罗区校级月考）如果轮船在静水中航行的速度是，水流的速度是，那么轮船顺水航行比逆水航行所用的时间少　　 A． B． C． D． 解：轮船逆水时间轮船顺水时间： ， 故选：． 10．（2分）（2022秋•娄星区校级期中）化简的结果是　　 A． B． C． D． 解： ， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024秋•故城县月考）若的运算结果是整式，写出一个“　　”内可能的式子：　（答案不唯一）　． 解： ， 是整式， 　　内可能的式子是． 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2分）（2024•武昌区模拟）计算的结果为　　． 解：原式， 故答案为： 13．（2分）（2023秋•无棣县期末）阅读下面的材料，并解答问题： 分式的最大值是多少？ 解：， 因为，所以的最小值是2，所以的最大值是2，所以的最大值是4，即的最大值是4． 根据上述方法，试求分式的最小值是 　　． 解： ， ， 的最小值为2， 的最大值为， 的最小值为：， 故答案为：． 14．（2分）（2023秋•莱州市期末）已知，则的值是 　　． 解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（2分）（2023秋•茂南区校级期中）已知，那么　　． 解：， ， 解得：，， ， 故答案为：． 16．（2分）（2023秋•江门期末）用科学记数法表示0.002 　　． 解：用科学记数法表示0.002 ． 故答案为：． 17．（2分）（2023秋•舒兰市期末）已知，其中，为常数，则的值为 　13　． 解：已知等式整理得：， 可得， ， 解得：，， 则， 故答案为：13． 18．（2分）（2023秋•庆云县期末）依据如图流程图计算，需要经历的路径是　②③　（只填写序号），输出的运算结果是　　． 解：两个分式分母不同， 经历路径为②． 根据路径②计算如下： 原式， ， ， 原式为最简分式，再经过路径③得出结果． 故答案为：②③，． 19．（2分）（2021秋•仓山区校级期末）若，，都有意义，下列等式；中一定不成立的是 　②　． 解：，，都有意义， ，，， 当时，①，④， ①④可能成立， ①④不符合题意； 根据分式的基本性质可得， ③不符合题意； 若成立，则有， ， 关于的一元二次方程，△， 不存在这样的、的值使原式成立， ②一定不成立； 故答案为：②． 20．（2分）（2024秋•九龙坡区期中）已知和互为相反数，和互为倒数，的绝对值等于2，则式子：的值是 　1或　． 解：由题可知，和互为相反数， ， 和互为倒数， ， 的绝对值等于2， ， 当时，原式， 当时，原式， 故答案为：1或． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024秋•房山区期中）计算：（1）； （2）． 解：（1） ； （2） ． 22．（6分）（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：，若是其显示结果的平方根，先化简：，再求值． 解： ， 根据计算器可得， ， ， 当时， 原式． 23．（8分）（2024秋•莱西市期中）阅读理解： 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式．如何将表示成部分分式？ 设分式， 将等式的右边通分得：， 由得解得， 所以． （1）把分式表示成部分分式，即 则　　，　　； （2）请用上述方法将分式表示成部分分式． 解：（1） 解得： （2）设分式 将等式的右边通分得： 由 得 解得 所以 故答案为：（1）， 24．（8分）（2024秋•昌平区校级期中）我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： ， ． 参考上面的方法，解决下列问题： （1）将变形为满足以上结果要求的形式： 　　； （2）若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； （3）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为 　　． 解：（1） ； 故答案为：； （2） ， 该分式的值为整数， 为整数， ， 由，解得：， 由，解得：， 当该分式的值为整数时，或0； （3） ． 故答案为：． 25．（8分）（2023秋•镇赉县校级期末）阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：，， ． 根据上述解题过程，解答下题：已知，求的值． 解： ， ． ． ． ． ． ． 即． ． 26．（8分）（2023秋•南安市校级月考）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母的关系，小明制作了表格，并得到如下数据： ． 0 1 2 3 4 ． ． 无意义 1 0.5 0.25 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式．如： ． 根据上述材料完成下列问题： （1）当时，随着的增大，的值 　减小　（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值 　　（增大或减小）； （2）当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； （3）当时，求代数式值的范围． 解：（1）当时随着的增大而减小， 随着的增大，的值减小； 当时随着的增大而减小， ， 随着的增大，的值减小， 故答案为：减小，减小； （2）， 当时，的值无限接近0， 的值无限接近2； （3）， 又时， ， ， 时， ， ． 27．（8分）（2022秋•德江县校级月考）先化简再求值： （1），其中； （2）先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值． 解：（1）原式 ， 当时，原式； （2）原式 ，满足的整数有：，，0，1，2 但当，0，1时，分式无意义． 所以时，原式的值是0． 28．（8分）（2023春•抚州期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，，则和都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 　①③④　（填序号）； ①；②；③；④ （2）将“和谐分式” 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：　　　　； （3）应用：先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数． 解：（1）①，是和谐分式；③，是和谐分式；④，是和谐分式； 故答案为：①③④； （2）， 故答案为：，； （3）原式 ， 当或时，分式的值为整数， 此时或或1或， 又分式有意义时、1、、， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$