第04讲 分式的加减（2个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（人教版）

第04讲 分式的加减 课程标准 学习目标 ①分式的加减法法则 ②分式的混合运算 1. 掌握分式的加减法运算法则，并能够在分式的加减法运算中熟练的应用。 2. 掌握分式的混合运算法则，并能够熟练地进行分式的混合运算。 知识点01 分式的加减法运算 1. 分式的加减法运算法则： ①同分母的分式相加减：分母 ，分子 。 即 。 ②异分母的分式相加减：先通分，变成 的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。 即 ± ＝ 。 2. 具体步骤： 第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。 第二步：加减：分母不变，分子相加减。 第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。 第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。 分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。 【即学即练1】 1．（1） （2） （3） （4） （5）． 【即学即练2】 2．（1） （2） 知识点02 分式的混合运算 1. 分式的混合运算： 分式的混合运算和有理数的混合运算一样，按照运算顺序，先算 ，再算 ，最后算 。有括号时先算括号里的，若能运算简便运算的要用简便运算。 【即学即练1】 化简下列各式： （1） （2） （3）． 题型01 分式的加减运算 【典例1】计算． （1） （2） （3） （4）． 【变式1】化简： （1） （2） （3） （4）． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型02 分式的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【变式2】计算： （1）（）﹣3÷•（）2　　　　　　　　　（2）÷（+） （3）÷（a+2b+）+ （4）（）2•﹣÷） 【变式3】计算下列各题 （1）• （2）﹣﹣ （3）+﹣ （4）（﹣x﹣2）+ 题型03 求分式运算中的未知部分 【典例1】如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（　　） A． B．a C． D．1 【变式1】若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（　　） A．3a+6 B．3a﹣2 C．3a D．a﹣3 【变式2】已知A为整式，若计算﹣的结果为，则A＝（　　） A．x B．y C．x+y D．x﹣y 【变式3】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　） A． B． C． D． 【变式4】若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（　　） A．4x B．4﹣x C．x+4 D．﹣2x 题型04 分式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中x＝5，y＝3． 【变式1】已知 （1）化简W； （2）请从﹣2，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值． 【变式2】先化简，再求值：，再从﹣2，﹣1，0，1，2中取一个数代入求值其中． 【变式3】（1）先化简，再从﹣1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． （2）先化简，再求值：，其中a，b满足b﹣2a＝0． 题型05 根据分式计算的结果为整式求值 【典例1】已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（　　） A．x﹣3 B．x﹣2 C．x+3 D．x+2 【变式1】小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（　　） A．m﹣1 B．m﹣2 C．m D．m+1 【变式2】若化简•〇的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（　　） A．x+1 B．x+2 C．x+3 D．x+4 【变式3】若的运算结果为整式，则“⊗”中的式子不能为（　　） A．2ab B．3a2b﹣2ab2 C．﹣a3b2 D．a2﹣b2 【变式4】若代数式的化简结果为2x+2，则整式M为（　　） A．﹣x B．x C．1﹣x D．x+1 题型04 利用分式的运算解决实际问题 【典例1】小强的爸爸开汽车到距离xkm外的单位去上班，在正常情况下经过yh可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发zh，小强的爸爸每小时应该多走多少km，才能按时到达单位？ 【变式1】从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同，且速度a≠速度b） 【变式2】用水清洗蔬菜上残留的农药，设用x（x≥1）单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．现有a（a≥2）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由． 【变式3】A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣2）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了600千克． （1）哪种玉米的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D．a+•b＝a 2．以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：①2÷m×＝2；②＝x﹣x2；③﹣＝0；④，其中解答正确的有（　　） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 3．嘉嘉在计算：时，将“÷”号看成了“+”号，运算结果为，则“△”应该是（　　） A．m﹣1 B．m C．m+1 D． 4．如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“□”代表的是（　　） A． B． C． D． 5．甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（　　） 化简： 甲同学：原式＝；乙同学：＝； 丙同学：＝；丁同学＝． A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 6．已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D． 7．根据分式的性质，可以将分式（m为整数）进行如下变形：，其中m为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，M的值可以为0； 结论Ⅱ：若使M的值为整数，则m的值有3个．（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 8．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 9．若x为整数，则使分式的值为整数的x的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 10．实数a、b、m、n满足a＜b，﹣1＜n＜m，若，，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定的 11．若|a|＝3，|b|＝6，且ab＞0，则代数式的值等于 　 　． 12．某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为 　 　． 13．定义两种运算：，，则mΔn÷（m*n）＝　 　． 14．已知a+b+c＝0，abc＞0，则＝ 　 　． 15．对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n＝，例如：4⊗2＝，若（x﹣1）⊗（x+2）＝，则A+2B＝　 ． 16．化简（1） （2） 17．先化简：，然后从的范围内选取一个你喜欢的整数作为m的值代入求值． 18．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． （1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； （2）若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 19．阅读材料：已知，求的值． 解：由得，，则有，由此可得，；所以，． 请理解上述材料后求： （1）已知，求分式的值； （2）已知，用a的代数式表示的值． 20．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：＝＝1﹣；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： （1）当m＞0时，随着m的增大，的值 　 　（填“增大”或“减小”）； 当m＜0时，随着m的增大，的值 　 　（填“增大”或“减小”）； （2）当m＞1时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 分式的加减 课程标准 学习目标 ①分式的加减法法则 ②分式的混合运算 1. 掌握分式的加减法运算法则，并能够在分式的加减法运算中熟练的应用。 2. 掌握分式的混合运算法则，并能够熟练地进行分式的混合运算。 知识点01 分式的加减法运算 1. 分式的加减法运算法则： ①同分母的分式相加减：分母 不变 ，分子 相加减 。 即 。 ②异分母的分式相加减：先通分，变成 同分母 的分式的加减运算，在按照同分母的加减运算法则运算即可。 即 ± ＝ 。 2. 具体步骤： 第一步：通分：将异分母分式转化为同分母分式。 第二步：加减：分母不变，分子相加减。 第三步：合并：分子去括号，然后合并同类项。 第四步：约分：分子分母进行约分，把结果化成最简分式。 分式的加减运算中，若出现有一部分是整式，则通常把整式部分看成一个整体。 【即学即练1】 1．（1） （2） （3） （4） （5）． 【分析】（1）直接根据同分母的分式加减法法则进行计算：分母不变，分子相加减； （2）把第二项的分母提取负号，化成同分母分式； （3）通分，公分母为（x+2）（x﹣2）； （4）把a﹣b看成是一项，为，再通分； （5）前两项先通分，再依次计算即可． 【解答】解：（1）， ＝， ＝； （2）， ＝﹣﹣， ＝， ＝， ＝， ＝﹣； （3）， ＝++， ＝， ＝； （4）， ＝+， ＝， ＝； （5）， ＝++， ＝++， ＝+， ＝+， ＝， ＝． 【即学即练2】 2．（1） （2） 【分析】（1）根据分式的加法法则进行计算即可； （2）根据分式的减法法则进行计算即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝1； （2） ＝ ＝ ＝ ＝1． 知识点02 分式的混合运算 1. 分式的混合运算： 分式的混合运算和有理数的混合运算一样，按照运算顺序，先算 乘方 ，在算 乘除 ，最后算 加减 。有括号时先算括号里的，若能运算简便运算的要用简便运算。 【即学即练1】 化简下列各式： （1） （2） （3）． 【分析】（1）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （3）原式第一项先计算乘方运算，约分得到结果，第二项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用同底数幂分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝• ＝； （2）原式＝÷ ＝• ＝； （3）原式＝•﹣ ＝﹣ ＝ ＝． 题型01 分式的加减运算 【典例1】计算． （1） （2） （3） （4）． 【分析】（1）原式第二项分母变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果； （3）原式第二项分母变形后，利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果； （4）原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝﹣＝＝1； （2）原式＝＝﹣1； （3）原式＝＝； （4）原式＝＝＝1． 【变式1】化简： （1） （2） （3） （4）． 【分析】（1）、（2）、（3）、（4）根据分式的加减法则进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝﹣ ＝ ＝ ＝； （2）原式＝﹣ ＝ ＝x+1； （3）原式＝（a﹣1）﹣（a﹣2） ＝a﹣1﹣a+2 ＝1； （4）原式＝ ＝ ＝． 【变式2】计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案； （2）根据互为相反数的偶次幂相等，可得同分母分式的加减，根据分子相加减，可得答案； （3）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案． 【解答】解：（1）原式＝； （2）原式＝； （3）原式＝ ＝﹣． 【变式3】计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）利用分式的基本性质将原式进行变形，然后根据同分母分式的加减法运算法则进行计算； （2）先通分，然后再根据同分母分式的加减法运算法则进行计算； （3）先通分，然后再根据同分母分式的加减法运算法则进行计算； （4）先通分，然后再根据同分母分式的加减法运算法则进行计算． 【解答】解：（1）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝2x﹣2y； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （3）原式＝ ＝ ＝﹣； （4）原式＝x（x+1）﹣+1 ＝ ＝ ＝﹣． 题型02 分式的混合运算 【典例1】计算： （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果； （3）原式第一项利用除法法则变形，约分得到结果，第二项约分得到结果，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝﹣＝ ＝ ＝x+y； （2）原式＝ ＝ ＝x+2； （3）原式＝•﹣ ＝﹣ ＝ ＝ ＝﹣1． 【变式1】计算： （1）； （2）． 【分析】（1）原式利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）原式先计算乘方运算，再计算除法运算，最后算加减运算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝x（y﹣x）•• ＝﹣x（x﹣y）•• ＝﹣y； （2）原式＝1﹣[]2• ＝1﹣• ＝1﹣1 ＝0． 【变式2】计算： （1）（）﹣3÷•（）2　　　　　　　　　（2）÷（+） （3）÷（a+2b+）+ （4）（）2•﹣÷） 【分析】（1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （3）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果； （4）原式先计算乘方及除法运算，再计算加减运算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝﹣••＝﹣； （2）原式＝÷＝•＝2； （3）原式＝÷+＝•+＝+＝＝； （4）原式＝•﹣•＝﹣＝＝＝． 【变式3】计算下列各题 （1）• （2）﹣﹣ （3）+﹣ （4）（﹣x﹣2）+ 【分析】（1）先将分子分母分解因式，再进行分式的约分即可求解； （2）先通分再进行分式的加减运算即可求解； （3）先将分子分母分解因式化简后再进行通分计算即可求解； （4）先将分式通分再进行加减计算即可求解． 【解答】解：（1）原式＝ ＝． （2）原式＝ ＝ ＝． （3）原式＝ ＝ ＝ ＝． （4）原式＝ ＝ ＝． 题型03 求分式运算中的未知部分 【典例1】如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是（　　） A． B．a C． D．1 【分析】由题意得，被盖住的部分是，进而可得答案． 【解答】解：由题意得，被盖住的部分是＝＝＝1． 故选：D． 【变式1】若分式的计算结果为3，则“？”中的式子是（　　） A．3a+6 B．3a﹣2 C．3a D．a﹣3 【分析】利用分式的加法的法则对式子进行运算，从而可求解． 【解答】解：由题意得： ＝3， ， ∴？+3＝3（a+1）， ？＝3a+3﹣3＝3a． 故选：C． 【变式2】已知A为整式，若计算﹣的结果为，则A＝（　　） A．x B．y C．x+y D．x﹣y 【分析】由﹣＝可得Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2，故Ax＝x2，从而A＝x． 【解答】解：∵﹣＝， ∴＝+， ∴＝+， ∴Ax＝（x﹣y）（x+y）+y2， ∴Ax＝x2， ∴A＝x； 故选：A． 【变式3】小明在纸上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中“■”为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据乘法与减法的意义列式表示“■”为，再计算即可． 【解答】解：撕坏的一角中“■”为 ， 故选：A． 【变式4】若化简的最终结果为整数，则“△”代表的式子可以是（　　） A．4x B．4﹣x C．x+4 D．﹣2x 【分析】先通分括号内，再运算除法，得，结合“最终结果为整数”，进行逐项分析，即可作答． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ∴A、不是整数，故该选项是错误的； B、不是整数，故该选项是错误的； C、不是整数，故该选项是错误的； D、是整数，故该选项是正确的； 故选：D． 题型04 分式的化简求值 【典例1】先化简，再求值：，其中x＝5，y＝3． 【分析】先根据同分母分式加减运算法则计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式，然后将x＝5，y＝3代入计算即可 【解答】解： ＝ ＝ ＝， 当x＝5，y＝3时，原式＝． 【变式1】已知 （1）化简W； （2）请从﹣2，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值． 2 【分析】（1）先通分括号内的式子，同时将除法转化为乘法，再约分即可； （2）根据分式有意义的条件，可以从﹣2，2，0，3，4选取合适的整数a代入W，求出W的值． 【解答】解：（1） ＝• ＝• ＝； （2）∵当a＝2，﹣2或0时，W无意义， ∴a可以为3或4， 当a＝3时，原式＝＝； 当a＝4时，原式＝＝． 【变式2】先化简，再求值：，再从﹣2，﹣1，0，1，2中取一个数代入求值其中． 【分析】先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝﹣a﹣1， 由题意：a+1≠0、a+2≠0、a﹣2≠0， 故a取1，当a＝1时， 原式＝﹣a﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2． 【变式3】（1）先化简，再从﹣1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． （2）先化简，再求值：，其中a，b满足b﹣2a＝0． 【分析】（1）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可； （2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据b﹣2a＝0得到b＝2a，代入计算得到答案． 【解答】解：（1）原式＝÷（﹣） ＝÷ ＝• ＝， 由题意得：x≠0和3， 当x＝2时，原式＝＝﹣2（答案不唯一）； （2）原式＝﹣÷ ＝﹣• ＝﹣ ＝﹣ ＝， ∵b﹣2a＝0， ∴b＝2a， 则原式＝＝﹣． 题型05 根据分式计算的结果为整式求值 【典例1】已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（　　） A．x﹣3 B．x﹣2 C．x+3 D．x+2 【分析】根据分式的乘除法法则计算，判断即可． 【解答】解：A、÷＝•＝，不是整式，符合题意； B、÷＝•＝（x+2）（x+3），是整式，不符合题意； C、÷＝•＝（x+2）（x﹣2），是整式，不符合题意； D、÷＝•＝（x﹣2）（x+3），是整式，不符合题意； 故选：A． 【变式1】小明在化简分式时，发现最终结果是整式，则□表示的式子可以是（　　） A．m﹣1 B．m﹣2 C．m D．m+1 【分析】设□里的式子为am+b，然后代入进行计算，最后根据整式的定义结合选项，确定a和b的值即可． 【解答】解：设□里的式子为am+b， ∴＝， 令为整式，则有，即b＝1﹣2a， 令a＝1，则b＝﹣1， ∴□里的式子为＝m﹣1， 故选：A． 【变式2】若化简•〇的最终结果是整式，则〇代表的式子可以是（　　） A．x+1 B．x+2 C．x+3 D．x+4 【分析】先根据分式的乘法运算法则计算乘法，然后再算加法，最后根据整式的概念进行判断． 【解答】解：A、+•（x+1）＝＝，是分式，故此选项不符合题意； B、+•（x+2）＝+3＝＝，是分式，故此选项不符合题意； C、+•（x+3）＝＝＝4，4是整式，故此选项符合题意； D、+•（x+4）＝＝，是分式，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式3】若的运算结果为整式，则“⊗”中的式子不能为（　　） A．2ab B．3a2b﹣2ab2 C．﹣a3b2 D．a2﹣b2 【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可． 【解答】解：A．，是整式，故本选项不符合题意； B．，是整式，故本选项不符合题意； C．，是整式，故本选项符合题意； D．是分式，不是整式，故本选项不符合题意； 故选：D． 【变式4】若代数式的化简结果为2x+2，则整式M为（　　） A．﹣x B．x C．1﹣x D．x+1 【分析】由题意得：M＝（2x+2）•﹣，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得： M＝（2x+2）•﹣ ＝2（x+1）•﹣ ＝+ ＝ ＝ ＝x， 故选：B． 题型04 利用分式的运算解决实际问题 【典例1】小强的爸爸开汽车到距离xkm外的单位去上班，在正常情况下经过yh可以到达．但是有一天由于汽车需要维修晚出发zh，小强的爸爸每小时应该多走多少km，才能按时到达单位？ 【分析】本题关键在非正常情况下与正常情况的联系解答． 【解答】解：由题意可知，正常情况下汽车的速度为km/h，如果晚出发zh并且按时到达单位的速度为km/h， 根据题意，得． 答：小强的爸爸每小时应该多走km，才能按时到达单位． 【变式1】从火车上下来的两个旅客，他们沿着同一方向到同一地点去，甲旅客一半路程以速度a行走，另一半路程以速度b行走；乙旅客一半的时间以速度a行走，另一半时间以速度b行走，问哪个旅客先到达目的地？（速度单位都相同，且速度a≠速度b） 【分析】设甲乙两人走的路程为x，表示出两人用的时间，比较即可做出判断． 【解答】解：设甲乙两人走的路程为x， 甲用的时间为（+），乙用的时间为＝， ∵（+）﹣＝﹣＝＝＞0， ∴+＞， 则乙旅客先到达目的地． 【变式2】用水清洗蔬菜上残留的农药，设用x（x≥1）单位量的水清洗一次以后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为．现有a（a≥2）单位量的水，可以一次清洗，也可以把水平均分成两份后清洗两次，试问用哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？说明理由． 【分析】根据题意在两种方案下，设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别用a的代数式表示蔬菜上残留的农药量，用a单位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为P；把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量Q，比较P与Q大小即可得到结果． 【解答】解：设清洗前蔬菜上残留的农药量为1，分别用a的代数式表示蔬菜上残留的农药量，用a单位量的水清洗一次，蔬菜上残留的农药量为P＝； 把a单位量的水平均分成两份后清洗两次，蔬菜上残留的农药量Q＝•＝， ∵（1+a）﹣（1+）2＝1+a﹣1﹣a﹣＝﹣， ∴1+a＜（1+）2， ∴P＞Q， 则清洗两次残留的农药量比较少． 【变式3】A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形后余下部分，B玉米试验田是边长为（a﹣2）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了600千克． （1）哪种玉米的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 【分析】（1）分别列出两玉米田的面积，再比较大小即可； （2）先求出两玉米田单位面积的产量，再进行比较即可． 【解答】解：（1）∵A玉米试验田是边长为a米（a＞2）的正方形减去一个边长为2米的正方形后余下部分， ∴A玉米田的面积＝a2﹣4； ∵B玉米试验田是边长为（a﹣2）米的正方形， ∴B玉米试验田的面积＝（a﹣2）2， ∵a2﹣4﹣（a﹣2）2＝a2﹣4﹣（a2+4﹣4a）＝a2﹣4﹣a2﹣4+4a＝4a﹣8， ∵a＞2， ∴4a﹣8＞0， ∴A玉米田的面积大， ∴B玉米田的单位面积产量高； （2）∵由题意得，B玉米田单位面积的产量＝，B玉米田单位面积的产量＝， ∴＝． 答：高的单位面积产量是低的单位面积产量的倍． 1．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D．a+•b＝a 【分析】分别根据分式的运算法则判断即可． 【解答】解：A、+＝，故A不符合题意； B、﹣＝＝，故B符合题意； C、a+＝，故C不符合题意； D、a+•b＝a+1，故D不符合题意； 故选：B． 2．以下是乐乐同学在学习分式运算时解答的四道题：①2÷m×＝2；②＝x﹣x2；③﹣＝0；④，其中解答正确的有（　　） A．1道 B．2道 C．3道 D．4道 【分析】根据分式乘除法运算法则进行计算判断①和②，根据异分母分式加减法运算法则进行计算判断③和④． 【解答】解：2÷m×＝2×，故①计算错误， 是最简分式，不能进行约分，故②计算错误， ，故③计算错误， ，故④计算正确， 正确的解答共1道， 故选：A． 3．嘉嘉在计算：时，将“÷”号看成了“+”号，运算结果为，则“△”应该是（　　） A．m﹣1 B．m C．m+1 D． 【分析】根据题意可得，则只需要计算出的结果即可得到答案． 【解答】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴“△”应该是m， 故选：B． 4．如图所示，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角，若已知该运算正确，则撕坏的部分中“□”代表的是（　　） A． B． C． D． 【分析】用结果除以，再加上1即为“□”代表的式子． 【解答】解：由题意，得：“□”代表的是； 故选：C． 5．甲、乙、丙、丁四位同学在进行分式接力计算过程中，开始出现错误的同学是（　　） 化简： 甲同学：原式＝；乙同学：＝； 丙同学：＝；丁同学＝． A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【分析】写出正确解答过程，再观察各位同学的解答即可得到答案． 【解答】解： ＝÷ ＝• ＝• ＝﹣， 观察可知，开始出现错误的同学是乙； 故选：B． 6．已知x2+2x﹣2＝0，计算的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D． 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再用x表示出x2+x的值，代入原式进行计算即可． 【解答】解： ＝• ＝ ＝， ∵x2+2x﹣2＝0， ∴x2+x+x﹣2＝0， ∴x2+x＝2﹣x， ∴原式＝＝﹣1． 故选：A． 7．根据分式的性质，可以将分式（m为整数）进行如下变形：，其中m为整数． 结论Ⅰ：依据变形结果可知，M的值可以为0； 结论Ⅱ：若使M的值为整数，则m的值有3个．（　　） A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ不对Ⅱ对 D．Ⅰ对Ⅱ不对 【分析】由分式的性质可知m﹣1≠0，m+1≠0，从而可得结论Ⅰ不对，由M的值为整数且m为整数，则m+1＝1，2，﹣1，﹣2，即可得出结论Ⅱ正确． 【解答】解：， 由化简过程可知，m﹣1≠0，m+1≠0， ∴m≠±1， ∴； 由题意可知，若使M的值为整数且m为整数，则m+1＝1，2，﹣1，﹣2， ∴m＝0，1，﹣2，﹣3， 综上所述，m＝0，﹣2，﹣3． 所以，Ⅰ不对Ⅱ对． 故选：C． 8．若分式，则分式的值等于（　　） A．﹣ B． C．﹣ D． 【分析】根据已知条件，将分式整理为y﹣x＝2xy，再代入则分式中求值即可． 【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy； ∴x﹣y＝﹣2xy 将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得 ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：B． 9．若x为整数，则使分式的值为整数的x的个数有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 【分析】先化简分式，然后利用整数的整除性求到x的值即可求解． 【解答】解：∵ ＝ ＝ ＝， 要使分式值为整数，且x为整数， ∴x＝±1，±3， 又x≠3， ∴x＝±1，﹣3， ∴整数的x的个数有1，﹣1，﹣3，共3个， 故选：B． 10．实数a、b、m、n满足a＜b，﹣1＜n＜m，若，，则M与N的大小关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．无法确定的 【分析】首先将M，N变形，即可得M﹣N＝（b﹣a），继而求得答案． 【解答】解：∵＝a+b，＝a+b， ∴M﹣N＝（﹣）a+（﹣）b ＝a+b ＝（b﹣a）， ∵a＜b，﹣1＜n＜m， ∴m﹣n＞0，1+m＞0，1+n＞0，b﹣a＞0， ∴M﹣N＞0， ∴M＞N． 故选：A． 11．若|a|＝3，|b|＝6，且ab＞0，则代数式的值等于 　或　． 【分析】根据|a|＝3，|b|＝6，且ab＞0，分两种情况求解即可． 【解答】解：由条件可知：a＝±3，b＝±6， ∴当a＝3时，b＝6， ＝3﹣6+＝﹣， 当a＝﹣3时，b＝﹣6， ＝﹣3﹣（﹣6）+＝． 故答案为：或． 12．某商店有A，B两种糖果，原价分别为a元/千克和b元/千克．据调查发现，将两种糖果按A种糖果m千克与B种糖果n千克的比例混合，取得了较好的销售效果．现调整糖果价格，若A种糖果单价上涨20%，B种糖果单价下调10%，仍按原比例混合后，糖果单价恰好不变．则为 　　． 【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出算式am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n，然后化简即可得到的值． 【解答】解：由题意可得， am+bn＝a（1+20%）m+b（1﹣10%）n， 解得， 故答案为：． 13．定义两种运算：，，则mΔn÷（m*n）＝　　． 【分析】先根据题意得出mΔn与m*n的表达式，再根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：∵：，， ∴mΔn＝，m*n＝， ∴mΔn÷（m*n） ＝÷ ＝• ＝． 故答案为：． 14．已知a+b+c＝0，abc＞0，则＝ 　1　． 【分析】由于b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c，则原式＝﹣（++），再根据有理数的性质判断a、b、c中有2个负数，一个正数，则利用绝对值的意义，在、、中有2个负数，一个正数，然后进行有理数的加减运算． 【解答】解：∵a+b+c＝0，abc＞0， ∴b+c＝﹣a，c+a＝﹣b，a+b＝﹣c， ∴原式＝++＝﹣（++）， ∵a+b+c＝0，abc＞0， ∴a、b、c中有2个负数，一个正数， ∴原式＝﹣（﹣1﹣1+1）＝1． 故答案为：1． 15．对于代数式m，n，定义运算“⊗”：m⊗n＝，例如：4⊗2＝，若（x﹣1）⊗（x+2）＝，则A+2B＝　5　． 【分析】根据定义运算表示出（x﹣1）⊗（x+2）的式子，再将进行运算，便得到A和B的值，最后代入A+2B中，求出结果即可． 【解答】解：（x﹣1）⊗（x+2）＝＝， ＝+ ＝ ＝ ＝， ∵＝， ∴A+B＝2，2A﹣B＝﹣5， 解得A＝﹣1，B＝3， ∴A+2B＝﹣1+2×3＝5， 故答案为：5． 16．化简 （1） （2） 【分析】（1）根据异分母分式的加减运算法则求解即可； （2）根据分式的混合运算法则求解即可． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝； （2） ＝ ＝ ＝ ＝． 17．先化简：，然后从的范围内选取一个你喜欢的整数作为m的值代入求值． 【分析】首先把分子和分母分解因式，然后转化成乘法计算，再约分即可化简；然后选取适当的数值代入求值即可． 【解答】解： ＝ ＝× ＝ ＝． 当m＝﹣1时， 原式＝＝0． 18．嘉淇在作业本上看到一道化简题，但墨水遮住了原式子的一部分． （1）嘉淇猜被墨水遮住的式子是，请代入原式化简，然后从﹣1，0，1中选取一个你喜欢的作为a值代入求值； （2）若这道题的答案是，则被墨水遮住的式子是多少？ 【分析】（1）用代替中的■化简，根据a≠1，a≠﹣1，取限定的﹣1，0，1中的0作为a值，代入化简结果计算即得； （2）根据乘除加减的互逆关系做等式变形，计算中的■． 【解答】解：（1） ＝ ＝ ＝， ∵a﹣1≠0，a+1≠0， ∴a≠1，a≠﹣1， ∴从﹣1，0，1中选取0作为a值代入求值， 原式＝； （2）∵， ∴■＝ ＝ ＝ ＝， 则被墨水遮住的式子是． 19．阅读材料：已知，求的值． 解：由得，，则有，由此可得，；所以，． 请理解上述材料后求： （1）已知，求分式的值； （2）已知，用a的代数式表示的值． 【分析】（1）根据阅读材料的计算方法与步骤进行计算即可； （2）根据阅读材料的计算方法与步骤进行计算即可． 【解答】解：（1）由得，， 则有， 所以； 所以， ∴分式的值为； （2）由得，， 则有， 所以； 所以， ∴的值为． 20．阅读理解： 材料1：我们为了研究分式的值与分母x的关系，制作如下表格： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 … … ﹣0.25 ﹣0. ﹣0.5 ﹣1 无意义 1 0.5 0. 0.25 … 从表格数据观察，当x＞0时，随着x的增大，的值随之减小，并无限接近0；当x＜0时，随着x的增大，的值也随之减小． 材料2：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：＝＝1﹣；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： （1）当m＞0时，随着m的增大，的值 　减小　（填“增大”或“减小”）； 当m＜0时，随着m的增大，的值 　减小　（填“增大”或“减小”）； （2）当m＞1时，随着m的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【分析】（1）根据示例，可得到当m＞0时，随着m的增大，的值随之减小，从而得到1+的值也随之减小，得到结果； 当m＜0时，随着m的增大，的值随之减小，1+的值随之减小，从而得到结果； （2）当m＞1时，随着m的增大，的值随之减小，并无限接近0；从而得到随着m的增大，的值无限接近3． 【解答】解：（1）∵当m＞0时，随着m的增大，的值随之减小， ∴当的值减小时，1+的值也随之减小， ∴当m＞0时，1+的值也随之减小， 故答案为：减小； ∵， 当m＜0时，随着m的增大，的值随之减小， 当的值减小时，1+的值随之减小， ∴当m＜0时，随着m的增大，的值 随之减小， 故答案为：减小； （2）∵＝， 当m＞1时，随着m的增大，的值随之减小，并无限接近0； ∴3+的值也随之减小，并无限接近3， 即：当m＞1时，随着m的增大，的值无限接近3， 答：当m＞1时，随着m的增大，的值无限接近3． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$