福建省福州市马尾区2024-2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024—2025学年第一学期期中学情调研 九年级数学 （全卷共6页，三大题，25小题，考试时间：120分钟，满分：150分） 友情提醒：所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 1. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，若将点绕原点O顺时针旋转得点Q，则点Q的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 某市2018年底森林覆盖率为63%．为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力开展植树造林活动，2020年底森林覆盖率达到68%，如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 函数的最大值是3 C. 抛物线开口向上 D. 顶点坐标为 8. 若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是直径，是弦，点E在弦上．是的中点，，，若四边形为平行四边形，则的半径是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（   ） A. 1     B. －1   C. 2    D. －2 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 11. 一元二次方程的根是_________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为________． 13. 写出一个两根之和为2，两根之积为的一元二次方程：______． 14. 把抛物线向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为________． 15. 如图，是半圆O的直径，C，D是半圆O的两点，且满足，连接，则的度数为______ 16. 如图，在中，，，，线段绕点逆时针旋转到，连，为的中点，连接，则的最大值为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程：x(x－2)＋x－2＝0． 18. 无论p取何值，方程总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 20. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，求的长． 21. 如图，中，，将绕点按顺时针方向旋转到，使点落在边的点处． （1）在图中作出旋转后的． （2）连接，若，求的度数． 22. 如图，计划用长为米的绳子围一个矩形围栏，其中一面是墙（墙足够长）．设矩形围栏与墙垂直的一边长为（单位：），与墙平行的一边为（单位：），面积为（单位：）． （1）直接写出与，与之间的函数关系（不要求写出的取值范围）； （2）当为何值时，矩形围栏的面积能达到吗？如果能，求的值；如果不能，请说明理由． 23. 综合与实践 问题情境：如图1，矩形是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段组成的封闭图形，点A，B在矩形的边上．现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案． 方案设计：如图2，米，的垂直平分线与抛物线交于点P，与交于点O，点P是抛物线的顶点，且米．欣欣设计的方案如下： 第一步：在线段上确定点C，使，用篱笆沿线段分隔出区域，种植串串红； 第二步：在线段上取点F（不与C，P重合），过点F作的平行线，交抛物线于点D，E．用篱笆沿将线段与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季． 方案实施：学校采用了欣欣的方案，在完成第一步区域的分隔后，发现仅剩6米篱笆材料．若要在第二步分隔中恰好用完6米材料，需确定与的长．为此，欣欣在图2中以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： （1）在图2中画出坐标系，并求抛物线的函数表达式； （2）求6米材料恰好用完时与的长． 24. 如图，、均为等边三角形，，．将绕点A沿顺时针方向旋转，连接、． （1）在图1中求证：； （2）如图2，当时，连接，求的面积； （3）在的旋转过程中，直接写出的面积的取值范围． 25. 已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）过A，B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点M的坐标； （3）如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点F（点F在对称轴右侧），求证：直线与抛物线有唯一公共点． 2024—2025学年第一学期期中学情调研 九年级数学 （全卷共6页，三大题，25小题，考试时间：120分钟，满分：150分） 友情提醒：所有答案都必须填写在答题卡相应的位置上 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】A 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，满分24分） 【11题答案】 【答案】， 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】（答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】56 【16题答案】 【答案】 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】， 【18题答案】 【答案】 无论p取何值，方程（x－3）（x－2）－p²＝0总有两个不等的实数根，理由如下： 原方程可以化为，， ∴＝＝＝25－24＋4p²＝1＋4p²， ∵p²≥0， ∴1＋4p²＞0，即＞0， ∴原方程总有两个不等的实数根． 【19题答案】 【答案】（1） 解：如下图所示： （2）40 （3）(答案不唯一) 【20题答案】 【答案】2 【21题答案】 【答案】（1） 解：如图所示： ； （2） 【22题答案】 【答案】（1）； （2） 不能， 理由：当时，， ， ， ∴原方程无实数根， ∴矩形围栏的面积不能达到 【23题答案】 【答案】（1） 建立如图所示的平面直角坐标系， （2）的长为4米，的长为2米 【24题答案】 【答案】（1） 证明：∵、均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． （2） （3） 【25题答案】 【答案】（1），， （2）或 （3） 证明：二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为， 则点的坐标为， 设点的坐标为，点的坐标为， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，连接， ∴，，， 在中，，即， 整理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 联立直线和抛物线的解析式得：， 将②代入①得：，即， 这个方程的根的判别式为，这个方程有两个相等的实数根， ∴直线与抛物线有唯一公共点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $