精品解析：广东省深圳市南山外国语集团滨海学校2024-2025学年九年级上学期数学期中试题

2024—2025学年第一学期期中考试 九年级 数学试卷 （试卷总分：100分 考试时间：90分钟） 注意：请将答案写在答题卷上 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．含2个未知数，故不是一元二次方程； B．含2个未知数，故不是一元二次方程； C．的分母含未知数，故不是一元二次方程； D．是一元二次方程； 故选D． 2. 如图，在中，若，则下列比例式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质；由平行线分线段成比例定理得，由可判定，由相似三角形的性质即可求解；掌握判定方法及性质是解题的关键． 【详解】解：A.，，结论正确，符合题意； B.，，，结论错误，不符合题意； C.，，，结论错误，不符合题意； D.无法判断，结论错误，不符合题意； 故选：A． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线的乘积 D. 每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形的判定，平行四边形的判定，菱形面积的计算，解题的关键是了解平行四边形及特殊的平行四边形的判定方法． 【详解】解： A 、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故A不符合题意； B 、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B不符合题意； C 、菱形的面积等于对角线的乘积的一半，故C不符合题意； D 、每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形，故D符合题意； 故选： ． 4. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了本题考查用列表法或画树状图法求概率，解决本题的关键是画树状图把所有可能出现的结果表示出来，可知共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种，即可求解． 【详解】解：画树状图，如下图所示， 共有种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果共有种， 两人恰好选中同一根绳子的概率是．   故选： ． 5. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】设参加会议有x人，再根据等量关系“每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手”列方程求解即可． 【详解】解：设参加会议有x人，依题意得： ， 整理得：， 解得（舍去） 所以参加这次会议的有12人． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意、准确找到等量关系列出方程是解答本题的关键． 6. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键．由，可得出进而得出解出即可得出结论． 【详解】解： ， ， ， 故选：B 7. 若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解的概念先解一元一次方程得出，利用一元二次方程解的定义得到，然后再利用整体代入的方法计算． 【详解】解： 解得： 把代入方程得， ， 所以， 所以． 故选：B． 8. 如图，，点在上，是边长为10的等边三角形，过点作与垂直的射线，，过射线上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. 20 C. D. 40 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形性质，解题关键是证得平分，利用垂线段最短及含角的直角三角形性质求解．如图，连接，由矩形的对角线互相平分且相等，得，再由等边三角形的性质得，即可证得点在的垂直平分线上，再根据等腰三角形“三线合一”性质，得，根据垂线段最短，得当时，的值最小，然后根据直角三角形角所对的直角边是斜边的一半，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形，对角线，的交点为， ， 是等边三角形， ，， ，且平分， 点在的垂直平分线上， 平分， ， 当时，的值最小， 此时， ，， ， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 若，且，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用了等比性质．根据等比性质，可得答案． 【详解】解：， 由等比性质，得， 所以． 故答案为：6． 10. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为______（精确到0.01） 【答案】0.53 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率的知识，随着实验次数的增多，频率逐渐稳定到某个常数附近，可用这个常数表示概率．根据图表中数据解答本题即可． 【详解】解：由表中数据可得：随着实验次数的增大，“盖面朝上”的概率接近0.53， 故答案为：0.53． 11. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质，得，，得到，结合，得到,，，求得的长，解答即可. 本题考查了正方形的性质，解直角三角形的相关计算，熟练掌握解直角三角形的相关计算是解题的关键. 【详解】解：根据正方形的性质，得，， ∴， ∵， ∴, ， ， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：． 12. 如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长为3cm，现将玩具尾部点固定，当这组菱形形状发生变化时，玩具的头部沿射线移动，整个过程中六个菱形始终全等．当由变为时，点移动了______cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识点．连接相交于O，由菱形的性质和已知条件可得是等边三角形，即，，最后结合图形即可解答． 【详解】解：如图：连接相交于O， 当时， ∵菱形，， ∴， ∴是等边三角形，即， ∴两点间的距离为； 当时， ∵菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴两点间的距离为； ∴点移动了． 故答案为：． 13. 如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过E作于F，设，，根据直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质证得，，，进而利用三角形的外角性质和三角形的中位线性质得到，，证明，利用相似三角形的性质和勾股定理得到；根据角平分线的定义和相似三角形的判定与性质证明得到，进而得到关于的一元二次方程，进而求解即可． 【详解】解：连接，过E作于F，设，， ∵，为中点， ∴，又， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，则，又， ∴， ∴，， ∴， 则； ∵是的一条角平分线， ∴，又， ∴， ∴， ∴，则， ∴，即， 解得，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线性质、三角形的外角性质、角平分线的定义以及解一元二次方程等知识，是一道填空压轴题，有一定的难度，熟练掌握三角形相关知识是解答的关键． 三、解答题（共61分，14题10分，15题11分，16题6分，17题8分，18题8分，19题8分，20题10分） 14. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解答本题的关键． （1）方程利用因式分解法求解即可； （2）方程移项后，利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得：， ，， ，； 【小问2详解】 解：∵， 整理得， 因式分解，得：， 或， 解得，． 15. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 【答案】（1）0.1，16，0.4； （2）200 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查概率和频数分布表，列出树状图是关键； （1）先求出总人数，再求出b的值，进而a和c的值； （2）用九年级总人数乘选择“B．猜想、证明与拓广”项目所占比即可； （3）画出树状图，再利用概率公式求解即可 【小问1详解】 解：， ， ，， 故答案为：0.1，16，0.4； 【小问2详解】 （人）， 答：B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数有200人； 【小问3详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，恰好选到一名女生和一名男生的有6种， 所以恰好选到一名女生和一名男生的概率= 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 【答案】（1） 即为所求； （2） 点F即为所求作． 【解析】 【分析】（1）在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，，根据位似图形的判定和性质可知即为所求作； （2）在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F，根据相似三角形的判定和性质可知F即为所求． 本题主要考查了网格作图——位似变换，相似变换，熟练掌握位似三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，是解题的关键． 【小问1详解】 如图所示，在延长线上取格点D，在延长线上取格点E，使，，连接，，， 则， ∵， ∴， 故即为所求； 【小问2详解】 如图所示，在点A的下方取格点G，使，，连接交于点F， 则， ∵， ∴， 故点F即为所求作． 17. 某果园原计划种棵桃树，一棵桃树平均结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过棵．如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ （1）设多种x桃树后，桃树有______棵，桃子的产量为______个； （2）请求出多种的桃树． 【答案】（1）（）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．熟练掌握列代数式，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）设多种x棵桃树，则桃树的总共有棵，每棵桃树的产量减少个，进而可求总产量； （2）依题意得，（），计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 解：设多种x棵桃树，则桃树的总共有棵，每棵桃树的产量减少个， ∴总产量是个， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：依题意得，（）， 整理得，， ， 解得，（舍去）． 答：多种的桃树棵． 18. 在矩形中，，，是直线上一动点，连接． （1）如图，当点在边上，且时，求的长度； （2）连接，过点分别作，，与交于点，连接．当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：四边形是正方形； 理由：如图，设与交于点O， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 当时，则，即， ∴四边形是菱形． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴在中，． 同理可得， ∴， ∴菱形是正方形； 【解析】 【分析】（1）先求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）先证明四边形是平行四边形得到；当时，推出，则四边形是菱形．再证明四边形是矩形，则，然后根据等腰三角形的性质证得，，则，进而可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵四边形是矩形， ∴．， 在中，根据勾股定理可得； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了正方形的判定、平行四边形、矩形和菱形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握特殊四边形的判定方法和性质是解答的关键． 19. 【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 【答案】问题1：证明：由题可得 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴①号“”字与②号“字”测试的视力相同 问题2： 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用；问题1：证明，根据相似三角形的性质可得； 问题2：根据相似三角形的性质，将数据代入比例式，即可求解． 【详解】问题1：略 问题2：由（1）可得 ∵ ∴ ∴ 答：②号“”的高度应为 20. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试证明，并求出的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出满足条件的所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵，，． ∴， ∴，， ∴即， ∵， ∴， ∴； （2）；（3）直角三角形的面积为4或12或16或． 【解析】 【分析】（1）根据，，．证明，，继而得到，即，再证明，得到； （2）连接，延长交于点Q，根据(1)得，得到，根据中线得到，继而得到，结合，得到即，得到，再证明，得证矩形，再利用勾股定理，三角形相似的判定和性质计算即可； （3）运用分类思想解答即可． 【详解】（1）略 （2）连接，延长交于点Q，连接交于点，延长交于点，根据（1）得， ∴， ∵是中线 ∴， ∴， ∵， ∴即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （3）直角三角形的面积为4或12或16或；理由如下： 分4种情况： 如下图，当与重合时， 此时，，此时是直角三角形， ； 如下图，当在延长线上时， 此时，，此时是直角三角形， ； 如图，当时，此时是直角三角形， 过点A作于点Q， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故； 如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N， ∴设，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 故． 综上，直角三角形的面积为4或12或16或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理的判定和应用，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，中位线定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中考试 九年级 数学试卷 （试卷总分：100分 考试时间：90分钟） 注意：请将答案写在答题卷上 一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在中，若，则下列比例式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线的乘积 D. 每组邻边都互相垂直且相等的四边形是正方形 4. 如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，小丽从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手．有人统计一共握了66次手，这次会议到会的人数有多少人（　　） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 6. 图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，与相交于点O，，根据图 2 中的数据可得x的值为（ ） A. 0.8 B. 0.72 C. 1.8 D. 2 7. 若关于的一元二次方程的一个解与方程的解相同，则的值是（ ） A. 2021 B. 2022 C. 2023 D. 8. 如图，，点在上，是边长为10的等边三角形，过点作与垂直的射线，，过射线上一动点（不与重合）作矩形，记矩形的对角线交点为，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. 20 C. D. 40 二、填空题（每题3分，共15分） 9. 若，且，则________． 10. 数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实验数据如下表： 累计抛掷次数 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 盖面朝上次数 28 54 106 157 264 527 1056 1587 2650 盖面朝上频率 0.560 0.540 0.530 0.523 0.528 0.527 0.528 0.529 0.530 根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为______（精确到0.01） 11. 如图，在正方形中，点在上，于点，于点．若，，则的面积为___________． 12. 如图所示的玩具，其主要部分是由六个全等的菱形组成，菱形边长为3cm，现将玩具尾部点固定，当这组菱形形状发生变化时，玩具的头部沿射线移动，整个过程中六个菱形始终全等．当由变为时，点移动了______cm． 13. 如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则______． 三、解答题（共61分，14题10分，15题11分，16题6分，17题8分，18题8分，19题8分，20题10分） 14. 解方程： （1）． （2）． 15. “综合与实践”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中四大领域之一，武侯区某学校九年级开展“综合与实践”项目式学习．设置了“A．制作视力表”“B．猜想、证明与拓广”“C．池塘里有多少条鱼”三个项目供九年级学生选择，每名学生只选择其中一个项目进行学习，现随机调查部分学生的选择情况并绘制了如下表格： 项目 选择人数 频率 A．制作视力表 4 B．猜想、证明与拓广 C．池塘里有多少条鱼 20 0.5 请根据以上信息解答下列问题： （1）填空：___________，____________，____________； （2）该校共有500名九年级学生，请估计选择“B．猜想、证明与拓广”项目学习的学生人数； （3）本次调查中，选择“A．制作视力表”项目学习的四人中有三名女生和一名男生，现从中随机选取两人在全年级作汇报展示，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名女生和一名男生的概率． 16. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均相等，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．（保留作图痕迹） （1）如图1，以点为位似中心画，使得与位似，且相似比为，，为格点． （2）如图2，在边上找一点，使得． 17. 某果园原计划种棵桃树，一棵桃树平均结个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量．试验发现，每多种1棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过棵．如果要使产量增加，那么应多种多少棵桃树？ （1）设多种x桃树后，桃树有______棵，桃子的产量为______个； （2）请求出多种的桃树． 18. 在矩形中，，，是直线上一动点，连接． （1）如图，当点在边上，且时，求的长度； （2）连接，过点分别作，，与交于点，连接．当时，判断四边形的形状，并说明理由． 19. 【项目式学习】制作“”形视力表， 【课题实施】根据标准对数视力表（测试距离为米），以小组合作方式，制作变更测试距离的视力表． 【课题结论】 （1）如图1，利用“”的高度与它到眼睛的水平距离之比（即）来刻画视力． （2）大小不同的“”，只要它们这一比值（即）相同，那么用他们测得的视力就相同． 【课题应用】 问题1：根据图2所示，水平桌面上依次放着①号和②号大小不一样的两个“”字，将②号“”沿水平桌面向右移动，直至从观测点看去，对应顶点，，在同一直线上为止，其中是①号“”字的高度，是②号“”字的高度，请用所学知识证明：此时①号字“”与②号“”字测试的视力相同． 问题2：小明想制作一张测试距离为3米的“”形视力表．以图2所示，①号“”是标准对数视力表中视力为的“”字，其高度为，求小明在制作视力为的②号“”字时，②号“”的高度应为多少?（、、在一条直线上，、、在一条直线上） 20. 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，在纸片绕点旋转过程中，试证明，并求出的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究三点能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出满足条件的所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $