精品解析：福建省福州高级中学2024-2025学年高一上学期第一学段（期中）考试数学试题

福州高级中学2024-2025学年第一学段考试 高一数学试题 命卷教师：汤钧 审卷教师：高岚龙 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定. 【详解】命题的否定为，. 故选：A 2. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到，利用交集和补集的概念求出答案. 【详解】，， 则图中阴影部分表示的集合为. 故选：B 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质得到充分性成立，举出反例得到必要性不成立，得到答案. 【详解】，故，两边同乘以得， 故充分性成立， 不妨设，满足，但不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知，则的值是（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】两边平方，得到答案. 【详解】两边平方得， 故. 故选：B 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性及又时函数值的正负即可判断. 【详解】解：因为定义域为R，且，所以为偶函数，其图象关于轴对称，故排除选项B、D； 又时，，排除选项C，故选项A正确. 故选：A. 6. 已知函数，若为上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性，结合指数函数单调性列不等式组求解即可. 【详解】由函数为上的减函数， 得，解得，所以的取值范围是. 故选：A 7. 设，，，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数的单调性比较大小即得. 【详解】，， ，所以. 故选：D 8. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，变形给定不等式确定函数在上的单调性，进而求解不等式. 【详解】令，则，， 对，且，都有， 则，整理得， 所以函数在上单调递减， 不等式，因此， 所以原不等式的解集为. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，两函数定义域不同，A错误；B选项，变形得到，求出值域；C选项，方程思想得到，与条件中的方程联立求出答案；D选项，由抽象函数定义域求解方法得到答案. 【详解】A选项，的定义域为， 的定义域为R，故两函数定义域不同，不表示同一函数，A错误； B选项，，解得，B错误； C选项，定义在上的函数满足①， 则②， 式子①②联立，解得，C正确； D选项，由题意得，故，则的定义域为，D正确. 故选：CD 10. 下列所求最小值正确的是（ ） A. 已知正数，满足，则的最小值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最小值为3 D. 若正数，满足，则的最小值是2 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，由基本不等式“1”的妙用求出最小值；B选项，由指数函数单调性和二次函数的最值得到B正确；C选项，换元后，利用对勾函数单调性得到最小值；D选项，变形后得到，换元后得到最小值. 【详解】A选项，正数，满足， 故， 当且仅当，即时，等号成立，A正确； B选项，，B正确； C选项，令，故， 所以， 由对勾函数知，当时，单调递增， 故，C错误； D选项，正数，满足， 故，当且仅当时，等号成立， 令，则，解得或（舍去）， 则，D正确. 故选：ABD 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，赋值得到，，从而得到；B选项，赋值得到，令得，B错误；C选项，令，其中，结合题目条件得到，C正确；D选项，变形得到，当时，，结合函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得， 又，故， 中，令得， 中，令得，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 又的定义域为，故为奇函数，B错误； C选项，令，其中， 则，即， 又时，，故， 故在上单调递增，C正确； D选项，因为， 所以， 在上单调递增，当时，，故， 所以，即， 故当时，，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】0 【解析】 【分析】利用分数指数幂的运算法则得到答案. 【详解】. 故答案为：0 13. 定义在上的偶函数，若，当时，为增函数，则满足不等式的实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出当时，，再由函数的奇偶性得到在上单调递减，且，故当时，，得到答案. 【详解】当时，为增函数，， 故当时，， 又为定义在上的偶函数， 故在上单调递减，且， 故当时，， 故的实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是______． 【答案】且. 【解析】 【分析】因式分解得到或，画出，数形结合得到且，求出答案. 【详解】， 解得或， 画出及，的图象，如下： 其中，随着的增大，无限接近于直线， 故要想有4个不同的实根， 则需且，解得且. 故答案为：且. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）选①或者②，；选③，或. 【解析】 【分析】（1）求出，利用交集概念求出答案； （2）选①②，得到，进而得到不等式，求出；选③，需满足或，求出答案. 【小问1详解】 当时，， 又因为， 所以； 【小问2详解】 若选①，，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选②，“”是“”的充分条件，则， 显然，要满足，则，解得， 故的取值范围是； 若选③，，显然， 需满足或，解得或， 故的取值范围是或 16. 已知函数，． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若函数在上单调，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）得到的两根为，由韦达定理进行求解； （2）根据对称轴得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 由题意得的两根为， 由韦达定理得，解得，满足题意； 【小问2详解】 ，的对称轴为， 故需满足或，解得或， 综上，实数的取值范围为或. 17. 某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1） （2）当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，写出相应的解析式，得到答案； （2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求最值，比较后得到结论. 【小问1详解】 当时， ， 当时， ， 故； 【小问2详解】 当时， ，故当百台时，取得最大值，最大值为万元， 当时， （万元）， 当且仅当，即时，等号成立， 由于，故当年产量为60万台时，企业所获年利润最大，最大利润为350万元. 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）根据函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 由（1）得， 任取，且， 则 ， 因为，故，又， 故，即， 所以在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数奇偶性和单调性得到有两个不同的实根，换元后得到有两个不等正根，由根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 由题意得，即， 即， 所以，解得； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为为定义在上的奇函数， 所以， 因为在上单调递增， 所以有两个不同的实根， 设，故有两个不等正根， 需满足，解得， 故的取值为. 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． （1）已知函数，若是为上的增长函数，直接写出一个符合条件的实数的值（无需写出求解过程）； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，其中且，若为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）（答案不唯一，即可） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）写出，并得到，故满足要求； （2）由已知在上恒成立，故，解得，得到答案； （3）当时，满足要求，当时，结合图象证明，进一步证明. 【小问1详解】 ，理由如下： 的定义域为，当时， ，故恒成立， 所以是为上的增长函数； 【小问2详解】 由题意得，，， 即，整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数单调递增， 所以当时，取得最小值，最小值为， 所以只需，解得， 故正整数的最小值为； 【小问3详解】 因为，当时，当时，， 又函数是定义域为的奇函数，故当时，，故， 即，故， 故，函数在上单调递增， ， 满足为上的增长函数； 当时，当时，， 则当时，，当时，， 由奇函数的对称性可知，当时，，当时，， 画出的图象，如下： 由函数图象可知，在上单调递减，其余区间上单调递增， 为上的增长函数，故对任意的，有， 因为在上单调递减，则不能同在区间上， 所以， 又因为时，，当时，， 若，令，则，此时， 故，不合题意， 故，解得， 若，当时，因为在上单调递增， 故满足； 当，即， 此时，， 故， 因为，所以， 又，故，满足要求； 当，即时，， 又，故， 故恒成立， 综上，实数的取值范围为 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州高级中学2024-2025学年第一学段考试 高一数学试题 命卷教师：汤钧 审卷教师：高岚龙 试卷总分：150分 完卷时间：120分钟 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的值是（ ） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 5. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若为上的减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，，则，，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 和表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 定义在上的函数满足，则 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 下列所求最小值正确的是（ ） A. 已知正数，满足，则的最小值为 B. 函数的最小值为 C. 函数的最小值为3 D. 若正数，满足，则的最小值是2 11. 已知定义在上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 当时， 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 定义在上的偶函数，若，当时，为增函数，则满足不等式的实数的取值范围是_________． 14. 已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在①②“”是“”的充分条件，③，这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解，已知. （1）当时，求； （2）若______，求实数的取值范围. 16. 已知函数，． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）若函数在上单调，求实数的取值范围． 17. 某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2024年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 18. 已知函数是定义在上的奇函数． （1）求实数的值； （2）根据函数单调性的定义证明在上单调递增； （3）设关于的方程有两个不同的实根，求的取值范围． 19. 若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． （1）已知函数，若是为上的增长函数，直接写出一个符合条件的实数的值（无需写出求解过程）； （2）已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； （3）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，其中且，若为上的增长函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $