第二十二章二次函数章节基础练习 (1) 2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十二章 二次函数章节基础练习 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．关于x的二次函数中，若，则下列示意图中符合要求的是（    ）． A． B． C． D． 2．已知二次函数的图象如图2所示，有下列结论：①；②；③；④，⑤．其中，正确结论的个数有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 3．将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到将抛物线必经过（   ） A． B． C． D． 4．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴是直线x=-1，点B的坐标为(1，0)．下面的四个结论：①AB=4；②b2-4ac>0；③ab<0；④a-b+c<0，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．二次函数的图像的一部分如图所示．已知图像经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②，③﹔④关于x的方程的两根分别为，3．上述结论中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2＝0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为（　　） A．1 B．2 C． D． 7．在平直角坐标系中，如果抛物线y＝4x2不动，而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位，那么在新坐标系下抛物线的解析式是（    ） A．y＝4（x﹣2）2+2 B．y＝4（x+2）2﹣2 C．y＝4（x﹣2）2﹣2 D．y＝4（x+2）2+2 8．共享单车为市民的出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆，设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则x的值为（    ） A．1.2 B． C． D． 9．若将抛物线F：图象位于y轴右侧的部分沿着直线l：翻折，其余部分保持不变，组成新图形H，点为图形H上两点，若，则m的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 10．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①b＜2a；②a+2c﹣b＞0；③b＞a＞c；④b2+2ac＜3ab．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．抛物线在对称轴右侧的部分是 的.(填“上升”或“下降”) 12．二次函数的部分图像如图所示，要使函数值，则自变量的取值范围是 . 13．已知点(﹣1，m)、(2，n )在二次函数y＝ax2﹣2ax﹣1的图象上，如果m＞n，那么a 0(用“＞”或“＜”连接)． 14．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，若B点的横坐标与纵坐标之和等于6，则正方形OABC的面积为 ． 15．对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知二次函数， （1）若2是此函数的不动点，则m的值为 ． （2）若此函数有两个相异的不动点a，b，且，则m的取值范围为 ． 三、解答题 16．已知二次函数，求顶点坐标，小明的计算结果与其他同学的不同，小明的计算过程： ……①； ……②； ……③； 顶点坐标是……④； （1）请你帮他检查一个，在标出的①②③④几个步骤中开始出现错误的是________________步． （2）请写出此题正确的求顶点的计算过程． 17．已知抛物线的函数解析式为y＝x2-(2m－1)x＋m2－m （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x－3m＋4的一个交点在y轴上，求m的值． 18．如图，要搭建一个矩形的自行车棚，一边靠墙(墙足够长)，另外三边围栏材料的总长为80米．设垂直于墙的一边的长为x米，车棚面积为S平方米．当车棚的面积最大时，求出的长． 19．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形．其中，抽屉底面周长为180cm，高为20cm．请通过计算说明，当底面的宽x为何值时，抽屉的体积y最大？最大为多少？（材质及其厚度等暂忽略不计）． 20．在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点. （1）求抛物线的解析式； （2）为抛物线上的一个动点，点关于原点的对称点为.当点落在该抛物线上时，求的值； （3）是抛物线上一动点，连接，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点或恰好落在轴上时，求对应的点坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C C D B C C C 1．A 【分析】需要分类讨论求解，当时，若，当时，当时；当时，若，当时，当时． 【详解】解：当时，若，分两种情况讨论： 当时，此时图像开口向上，与轴交于负半轴，顶点到第四象限；故A选项的图符合要求； 当时，此时图像开口向上，与轴交于正半轴，顶点到第二象限；没有符合要求的图； 当时，若，分两种情况讨论： 当时，此时图像开口向下，与轴交于正半轴，顶点到第一象限；没有符合要求的图； 当时，此时图像开口向下，与轴交于负半轴，顶点到第三象限；没有符合要求的图； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像问题，解题的关键是利用分类讨论的思想进行讨论求解． 2．C 【分析】由图象判断a，b，c的值，再结合图象找到特殊x值对应的函数图象与x轴的关系，从而判断每个选项． 【详解】解：由抛物线的开口向上，得到a＞0， 由抛物线与y轴交于负半轴，得到c＜0， ∵抛物线对称轴为直线x=1， ∴， ∴， ∴=0，故⑤错误； ∴abc＞0，故②正确； 根据图象知，函数图象与x轴交于两个不同的点， ∴中，，故①正确； 当x=-1时，函数图象在x轴下方， ∴，故③正确； ∵图象与x轴交点之一在-2和-1之间，对称轴为直线x=1， ∴另一个交点在3和4之间， ∴当x=3时，函数图象在x轴下方， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）来说，a的符号由抛物线开口方向决定；b的符号由对称轴的位置及a的符号决定；c的符号由抛物线与y轴交点的位置决定；此外还要注意利用抛物线的对称性及x=-1，3时对应函数值的正负． 3．A 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：， 将抛物线的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到，即， 当时，； 当时，； 当时，； 所以抛物线必经过点． 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 4．C 【分析】利用二次函数对称性以及结合的符号与轴交点个数关系，再利用数形结合分别分析得出答案． 【详解】∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，点B的坐标为(1，0)， ∴A(﹣3，0)， ∴AB＝4，故选项①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴＞0，故选项②正确； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线对称轴在y轴左侧， ∴a，b同号， ∴ab＞0，故选项③错误； 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c此时最小，为负数，故选项④正确； 综上①②④正确 故选： 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，熟练运用二次函数的图象与性质，正确判断的符号是解题关键． 5．C 【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴的位置，与轴的交点位置，得到的符号，进行判断；②利用对称性，得到和的函数值相同，判断式子的符号即可；③利用对称轴和图像经过点，进行判断即可；④利用对称性和图像经过点，确定图象与轴的另一个交点坐标，进行判断即可． 【详解】解：①∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴为：， ∴， ∵图象与轴交于正半轴， ∴， ∴；故①正确； ∵抛物线关于对称， ∴和的函数值相同，即；故②错误； ∵图像经过点， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵图像经过点，抛物线关于对称， ∴图象与轴的另一个交点坐标为：， ∴关于x的方程的两根分别为，3．故④正确； 综上：正确的个数为：3个． 故选C． 【点睛】本题考查根据二次函数的图象，确定二次函数系数和式子的符号．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 6．D 【分析】由题意可得≥0，然后根据不等式的最小值计算即可得到结论． 【详解】解：由， 由根与系数的关系得，， 所以． 因为方程有实数根， 所以， 解得， 所以当时，取得最小值，且最小值为． 故选D 【点睛】考查了根与系数的关系：若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 7．B 【分析】将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位，将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位，据此根据平面直角坐标系中函数图象的平移规律求解可得． 【详解】解：将x轴向上平移2个单位就相当于将抛物线向下平移2个单位， 将y轴向右平移就相当于将抛物线向左平移2个单位， 根据平移法则：左加右减，上加下减， ∴在新坐标系下抛物线的解析式为y＝4（x+2）2﹣2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律：左加右减，上加下减是解题的关键． 8．C 【分析】根据该公式第一个月及第三个月单车的投放量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．C 【分析】求得的对称轴为，与轴交点为，分当时，即对称轴在轴左侧；当时，即对称轴为轴；当时，即对称轴在轴又侧时进行讨论即可求解． 【详解】解：的对称轴为： ， 与轴交点为：， 关于对称轴的对称点为 当时，即对称轴在轴左侧，如图： 点为图形H上两点，且， 则位于直线下方，位于直线上方， 则的水平距离大于， ， 解得：； 当时，即对称轴为轴，如图： 点为图形H上两点，恒成立，    当时，即对称轴在轴又侧，如图： 与轴交点为：， 关于对称轴的对称点为 点为图形H上两点，且 则位于直线下方，位于直线上方， 则的水平距离大于， ， 解得：； 综上所述：； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，翻折的性质；解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性，正确作图分析． 10．C 【详解】由图象可知，a＞0，b＞0，c＞0， ∵﹣＞﹣1， ∴b＜2a，故①正确， 如图易知A（﹣1，0），B（﹣1，a﹣b+c），C（0，c）， 当AB=OC时，﹣（a﹣b+c）=c，可得a+2c﹣b=0， 当AB＞OC时，﹣（a﹣b+c）＞c，可得a+2c﹣b＜0， 当AB＜OC时，﹣（a﹣b+c）＜c，可得a+2c﹣b＞0， 故②错误， ∵﹣＜﹣， ∴b＞a， 设x1＞x2 ∵﹣＜x1＜0，﹣2＜x2＜﹣1， ∴x1•x2＜1， ∴＜1， ∴a＞c， ∴b＞a＞c，故③正确， ∵b2﹣4ac＞0， ∴2ac＜b2， ∵b＜2a， ∴＜3ab， ∴b2=b2+b2＞b2+2ac， b2+2ac＜b2＜3ab， ∴b2+2ac＜3ab．故④正确． 故选C． 11．下降 【分析】首先根据抛物线解析式判定开口向下，以及对称轴，然后即可得解. 【详解】根据题意，得 抛物线开口向下，对称轴为 ∴对称轴右侧的部分是下降的 【点睛】此题主要考查抛物线图像的增减性，熟练掌握，即可解题. 12． 【分析】根据，则函数图象在直线的上方，所以找出函数图象在直线的上方的取值范围即可. 【详解】根据二次函数的图象可知： 对称轴为，已知一个点为， 根据抛物线的对称性，则点关于对称性对称的另一个点为， 所以时，的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，读懂图象信息，利用对称轴求出点的对称点是解题的关键． 13．>； 【详解】∵=a(x-1)2-a-1， ∴抛物线对称轴为：x=1， 由抛物线的对称性，点（-1，m）、（2，n）在二次函数的图像上， ∵|−1−1|＞|2−1|，且m＞n， ∴a>0. 故答案为> 14．10． 【分析】根据点B在抛物线y＝x2的第一象限部分，可设B点坐标为（x，x2），则x＞0．根据B点的横坐标与纵坐标之和等于6，列出方程x+x2＝6，解方程求出x的值，再根据正方形的性质求出正方形OABC的面积． 【详解】解：∵正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限部分， ∴可设B点坐标为（x，x2），且x＞0． ∵B点的横坐标与纵坐标之和等于6， ∴x+x2＝6， 解得x1＝2，x2＝﹣3（不合题意舍去）， ∴B（2，4）， ∴OB2＝22+42＝20， ∴正方形OABC的面积＝OB•AC＝OB2＝10． 故答案为10． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正方形的面积，求出B点坐标是解题的关键． 15． -8 【分析】（1）由函数的不动点概念得出2=22+3×2+m，解得即可； （2）由函数的不动点概念得出a、b是方程x2+3x+m=x的两个实数根，由x1＜1＜x2知Δ＞0，令y=x2+2x+m，则x=1时y＜0，据此列出关于m的不等式组，解之可得． 【详解】（1）由题意得2=22+3×2+m， 解得m=-8， 故答案为-8； （2）由题意知二次函数y=x2+3x+m的两个相异的不动点a，b是方程x2+3x+m=x的两个不相等实数根， 且a＜1＜b， 整理，得：x2+2x+m=0， 由x2+2x+m=0有两个不相等的实数根，且a＜1＜b，知Δ＞0， 令y=x2+2x+m，画出该二次函数的草图如下： 则， 解得m＜-3， 故答案m＜-3． 【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于m的不等式． 16．（1）①；（2）见详解 【分析】（1）根据配方法把二次函数的一般式化为顶点式的步骤，即可得到答案； （2）利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：（1）y＝0.5x2−x−0.5 ＝0.5（x2−2x）−0.5 ① ＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5 ② ＝0.5（x−1）2−1③ ∴顶点坐标是（1，−1）④； 故答案为：①； （2）y＝0.5x2−x−0.5 ＝0.5（x2−2x）−0.5 ＝0.5（x2−2x＋1−1）−0.5 ＝0.5（x−1）2−1 ∴顶点坐标是（1，−1）． 【点睛】此题考查二次函数的顶点式，二次函数解析式的三种形式有：顶点式；两根式以及一般式，掌握配方法，是解题的关键． 17．（1）见解析；（2）或． 【分析】（1）根据二次函数的交点与图象的关系，证明其方程有两个不同的根即△＞0即可； （2）根据题意，令x＝0，整理方程可得关于m的方程，解可得m的值． 【详解】证明：（1）令y＝0得：x2－（2m－1）x＋m2－m=0① ∵△＝－4（m2－m）×1＝1＞0， ∴方程①有两个不等的实数根， ∴原抛物线与x轴有两个不同的交点. （2）令x＝0，根据题意有：m2－m＝－3m＋4， 解得m＝或． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用一元二次方程根的判别式是解题的关键． 18．当车棚的面积最大时，的长为米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，设垂直于墙的一边的长为x米，根据矩形的面积公式，列出函数关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：依题意， 当时，取最大值为平方米． 答：当车棚的面积最大时， 的长为米 19．当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3 【分析】根据题意列出二次函数关系式，然后利用二次函数的性质求最大值． 【详解】已知抽屉底面宽为x cm，则底面长为180÷2－x=（90－x）cm． 由题意得：． ∴当x=45时，y有最大值，最大值为40500． 答：当抽屉底面宽为45cm时，抽屉的体积最大，最大体积为40500cm3． 20．（1）.（2）或.（3）点的坐标为，， ，. 【分析】（1）将和点代入解析式解方程即可； （2）将的坐标表示，把坐标代入解析式求m即可； （3）利用正方形性质和一线三直角几何模型，找到全等三角形，根据直角边解方程即可. 【详解】（1）∵抛物线经过点和点. 得，解得 ∴抛物线的解析式为. （2）∵与关于原点对称， ∴的坐标为. ∵，都在抛物线上， ∴，. ∴. 解得或. （3）当点落在轴上时， 如图1，过点作轴于点， ∵四边形是正方形， ∴，. ∴. ∵， ∴. ∴. 又， ∴. ∴. ∴，有， 解得或（舍去）. ∴点坐标为. 如图2，过点作轴于点， 同理可以证得， ∴. ∴，有， 解得或（舍去）. ∴点坐标为. 当点落在轴上时， 如图3，过点作轴于点，过点作于点， 同理可以证得， ∴， ∴，有， 解得或（舍去）. ∴点坐标为. 如图4，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点， 同理可以证得， ∴， ∴，有， 解得或（舍去）. ∴点坐标为. 综上所述，点的坐标为，， ，. 【点睛】本题是经典的二次函数题目，涉及待定系数法求解析式，点的表示及代入，以及与一线三直角模型的点的存在性问题，是典型的综合性题目. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$